三角函數(shù)變換規(guī)律匯總十篇

序論：好文章的創(chuàng)作是一個(gè)不斷探索和完善的過程，我們?yōu)槟扑]十篇三角函數(shù)變換規(guī)律范例，希望它們能助您一臂之力，提升您的閱讀品質(zhì)，帶來更深刻的閱讀感受。

篇（1）

由于三角函數(shù)的變換具有多向性、不定性，因此，學(xué)生對其理解不是很透徹，也比較難掌握每一種方法，但是“萬變不離其宗”，其變化的基本思想與規(guī)律是不會(huì)變換的，下面進(jìn)行詳細(xì)分析.

一、三角函數(shù)變換中的幾種常見類型

1.函數(shù)名稱變換.在三角函數(shù)變換中，最為常見的是函數(shù)的名稱變換，在名稱變換的情況中最為常見的是切割化弦.對于三角函數(shù)名稱的變換我們可以從化函數(shù)或者是化形式的方面進(jìn)行思考.

在三角函數(shù)中，正弦與余弦是六個(gè)三角函數(shù)的基礎(chǔ)，也是應(yīng)用最為廣泛的，其次是正切、余切，我們只需要將變換了的三角函數(shù)名稱轉(zhuǎn)換成為同名的三角函數(shù)，就能夠成為我們常見的三角函數(shù).比較常見的方式是“切割化弦”、“齊次弦代切”這兩種轉(zhuǎn)化方式.

2.三角函數(shù)“角”的變換.“角”的變換主要體現(xiàn)在了三角函數(shù)中的差角、余角、補(bǔ)角、半角等之間相互轉(zhuǎn)換.隨著三角函數(shù)“角”的變換，其相應(yīng)的運(yùn)算符號(hào)、名稱、次數(shù)都會(huì)出現(xiàn)一定的變化，在解題的過程中，我們只需要認(rèn)準(zhǔn)三角角度之間的和、差、半、補(bǔ)、余等關(guān)系，利用已知的“角”來表示未知的“角”，然后再根據(jù)相關(guān)的關(guān)系運(yùn)算，就能夠順利的解決三角函數(shù)的求解問題.

例1 設(shè)A、B均是銳角，且cos（A+B）=1213，cos（2A+B）=35，求cosB=？

分析：從題目中我們知道“已知角”是（A+B）、（2A+B），，B=2（A+B）-（2A+B）.

比較這三者之間的關(guān)系，我們只需要將B用A+B、2A+B表示出來，再利用兩角差的余弦公式就能夠輕松的解出cosB.

解：略.

3.三角函數(shù)“形”的變換.我們在對三角函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化、求簡或者求值的過程中，會(huì)根據(jù)一些情況來講一些常數(shù)，比如1，2，1+2等轉(zhuǎn)換成為與其相關(guān)的三角函數(shù)，其中利用常數(shù)1來轉(zhuǎn)換是比較常見的.

從上文我們知道了，遇到這種情況，先利用已知條件，因此，我們利用“弦化切”來進(jìn)行解答.我們利用整式中的分母都是相同4的情況，將其轉(zhuǎn)換為1，將分母“1”轉(zhuǎn)化為：sin2α+cos2α，從而簡化解答.

在解答的過程中，我們要遵循由繁到簡、由簡到易的規(guī)律.

二、幾種比較常用的三角函數(shù)變換解題方法

1.將“弦函數(shù)”與“切函數(shù)”進(jìn)行相互的轉(zhuǎn)換.將“弦函數(shù)”與“切函數(shù)”進(jìn)行相互的轉(zhuǎn)換是在平常的解答三角函數(shù)中比較常見的也是兩種基礎(chǔ)的轉(zhuǎn)換手法.

如，在三角函數(shù)式中存在正切函數(shù)，我們就可以利用三角函數(shù)之間最為基本的關(guān)系或者是利用將“弦函數(shù)”轉(zhuǎn)換為“切函數(shù)”來進(jìn)行求解或者是證明.這種方法比較簡單，學(xué)生掌握起來也比較快，在三角函數(shù)式中應(yīng)用比較廣泛.

2.采用“角”的等量代換.如，在三角函數(shù)中出現(xiàn)已知角與所求角時(shí)，我們要判斷兩者之間的相互關(guān)系，在確定兩者之間存在某種關(guān)系的時(shí)候，我們就可以采用“角”之間的等量代換.

比如，α=（α+β）-β=β-（β-α）=（α+β）2+（β-α）2.

采用比較簡單的“角”變換就能夠?qū)⒁恍┎蝗菀捉獾念}目變換為我們熟悉的題目來進(jìn)行求解.

3.公式逆用或者變用對于公式或者定理，我們可以對其進(jìn)行反推（從結(jié)果開始證明到題目），或者是將公式變換來進(jìn)行用，會(huì)取到意想不到的效果.當(dāng)然這必須建立在對公式或者定理足夠熟悉的基礎(chǔ)上，比如我們可以讓學(xué)生熟練的使用2sin2x=1-cos2x、2cos2x=1+cos2x這些基礎(chǔ)的三角函數(shù)公式，并作出引導(dǎo)的證明或者變換的證明，讓學(xué)生反復(fù)練習(xí)，達(dá)到熟能生巧的地步.

除以上的基本解題方法，我們在教授學(xué)生的過程中要培養(yǎng)學(xué)生如何自己去解題，不是只會(huì)記“題”，要記住“題型”，會(huì)變換“題型”，我們所知的三角公式比較多，在解題的過程中假如沒有選對公式或者選錯(cuò)了方向，那么解題過程就是一個(gè)泥潭，會(huì)越陷越深，在進(jìn)行三角函數(shù)的變換過程中要：公式選擇必須謹(jǐn)，角的范圍盡量小，變量統(tǒng)一變，不局限一種方法，綜合考慮.

三角變換的基本思想可以總結(jié)如下：找差異、建聯(lián)系、選公式、促轉(zhuǎn)化，在三角函數(shù)中無論題目是要求求值化簡，還是要求我們證明某一結(jié)論，我們都應(yīng)該將題目的中已知轉(zhuǎn)化為未知，這也是所有解題的方法之一.根據(jù)整體已知的條件，找取相應(yīng)的部分定理?xiàng)l件，或者是角之間的差異，或者是函數(shù)名稱的差異，在找到差異之后，整個(gè)題目就迎刃而解了.

參考文獻(xiàn)：

篇（2）

考題解析

考點(diǎn)1：同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式。

此類問題容易因忽視角所在象限而失分。此題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與二倍角公式難度中等。

考點(diǎn)2：三角函數(shù)的圖象。

本考點(diǎn)在高考中，一個(gè)是考察利用圖象求解析式或用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，題目難度不大，但常與三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合起來，求解的關(guān)鍵是確定各參數(shù)的值，另一個(gè)是考察三角函數(shù)圖象的平移、伸縮、相位變換，尤其是平移變換。

例2（2012年湖南卷）已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R， ω>0，0

考點(diǎn)3：利用恒等變換求值與化簡。

利用恒等變換進(jìn)行求值與化簡，是每年高考必考內(nèi)容，重點(diǎn)考察運(yùn)用正、余弦函數(shù)的和、差角公式，正切函數(shù)的和、差角公式，以及倍角公式的正用、逆用、變形應(yīng)用。從近幾年高考趨勢看，對于三角恒等變換求值與化簡，高考命題以公式的基本運(yùn)用、計(jì)算為主，在解題中一般有兩個(gè)解題思路，一個(gè)是角的變化，即將多種形式的角盡量統(tǒng)一減少角的個(gè)數(shù)；二是"名"的變換，即三角函數(shù)名稱的統(tǒng)一，要靈活利用公式，盡量實(shí)現(xiàn)切化弦，同時(shí)在實(shí)際解題時(shí)還要注意雙管齊下，整體代換。

點(diǎn)評(píng)：在求三角函數(shù)值的問題中，要注意"三看"，即：一看角，把角盡量向特殊角或已知角轉(zhuǎn)化；二看名，把三角函數(shù)中的切函數(shù)向弦函數(shù)轉(zhuǎn)化，把多個(gè)函數(shù)名向一個(gè)函數(shù)名轉(zhuǎn)化；三看式，看式子是否滿足公式，能否逆用公式，能否向公式的形式轉(zhuǎn)化。

考點(diǎn)4：利用恒等變換研究函數(shù)性質(zhì)。

在高考中，恒等變換常與三角函數(shù)綜合起來，通過恒等變換，將三角函數(shù)式化為"單角單函數(shù)"的形式，來研究三角函數(shù)的性質(zhì)。

點(diǎn)評(píng)：要注意到三角函數(shù)名或角的差異，合理運(yùn)用公式，進(jìn)行恒等變換，化為"三角單角函數(shù)"的形式，進(jìn)而研究三角函數(shù)的性質(zhì)。

篇（3）

三角學(xué)起源于古希臘，在中國距今兩千多年前的《周髀算經(jīng)》中也有關(guān)于我國最早的三角測量的記載.三角函數(shù)是三角學(xué)中非常基礎(chǔ)的、非常重要的一部分.在高中數(shù)學(xué)中，對三角函數(shù)的學(xué)習(xí)主要是三角函數(shù)的圖像和性質(zhì).雖然在高中數(shù)學(xué)中對三角函數(shù)的學(xué)習(xí)要求并不高，但是我們學(xué)習(xí)起來也常常會(huì)有一些錯(cuò)誤出現(xiàn).本文將把這些三角函數(shù)中常見的錯(cuò)誤歸類出來，加以詳細(xì)的探究，希望能為以后的三角函數(shù)學(xué)習(xí)提供借鑒和幫助.

一、知識(shí)性錯(cuò)誤

數(shù)學(xué)中的知識(shí)性錯(cuò)誤是指由于對有關(guān)所學(xué)的概念理解不清，對概念、性質(zhì)混淆不清等，從而導(dǎo)致的錯(cuò)誤.

（一）概念理解不清

致錯(cuò)分析 以上錯(cuò)解的原因是沒有考慮函數(shù)的定義域，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的定義域?yàn)閤≠kπ+ π 2 ，k∈ Z .

二、邏輯性錯(cuò)誤

由于我們認(rèn)知結(jié)構(gòu)的不完善，所以在數(shù)學(xué)解題中就很容易出現(xiàn)邏輯性的錯(cuò)誤.邏輯性錯(cuò)誤指的是我們在解題的過程中由于違背了邏輯思維的規(guī)律而產(chǎn)生的錯(cuò)誤.邏輯思維的規(guī)律，即邏輯規(guī)律一般指的是同一律、矛盾律、排中律和充分理由律.常見的邏輯性錯(cuò)誤的類別一般為循環(huán)論證、偷換概念、虛假理由、分類不當(dāng)和不等價(jià)變換這五種.在高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)的學(xué)習(xí)中，一般會(huì)出現(xiàn)的邏輯性錯(cuò)誤有分類不當(dāng)、循環(huán)論證和不等價(jià)變換這三種.

（一）循環(huán)論證

論題、論據(jù)和論證是構(gòu)成任何數(shù)學(xué)問題的三大要素，其中論題指的是為了真實(shí)性而需要的那個(gè)命題，論據(jù)指的是為了證明論題的真實(shí)性所需要依據(jù)的真命題，論證指的是聯(lián)系起了論題和論據(jù)的具體的推理形式.只有真實(shí)的論據(jù)才能論證出論題的真假，但是論據(jù)的真實(shí)性不能不依賴于論題的真實(shí).循環(huán)論證指的就是論據(jù)的真實(shí)性需要依賴論題的真實(shí)性的一種論證.

致錯(cuò)分析 上述解法看上去好像是正確的，其實(shí)已經(jīng)犯了循環(huán)論證的錯(cuò)誤，錯(cuò)在沒有利用題設(shè)條件進(jìn)一步縮小α-β的范圍，產(chǎn)生了增根.

事實(shí)上，同理可得：.

（二）不等價(jià)變換

不等價(jià)變換是屬于邏輯錯(cuò)誤中的違反同一律原則的錯(cuò)誤.在解題過程中，對命題進(jìn)行不等價(jià)的變換，常常會(huì)出現(xiàn)解集的縮小或者是擴(kuò)大.

三、策略性錯(cuò)誤

在數(shù)學(xué)解題過程中的策略性錯(cuò)誤主要指的是在解題方向上有偏差.這樣的錯(cuò)誤往往會(huì)導(dǎo)致解題的思路受阻而無法完成解題過程，或者解題思路過于曲折而即使做對了也非常費(fèi)時(shí)費(fèi)力.

（一）不善于正難則反

我們在解題的過程中一般都會(huì)習(xí)慣于從正面去思考問題，而并不去做反面的思考.但是有時(shí)候從正面來解決一個(gè)問題是非常艱難或者復(fù)雜的，甚至常常會(huì)容易出錯(cuò).這就要求我們在解題的時(shí)候要靈活運(yùn)用方法，當(dāng)正面解題比較艱難的時(shí)候可以從反面進(jìn)行思考.

例5 函數(shù)y=- 1 2 cos2x-2asinx+a2+a+ 1 2 的最小值是3，求a的值.

錯(cuò)解 將原函數(shù)變形為：y=sin2x-2asinx+a2+a，令sinx=t，則y=（t-a）2+a，當(dāng)t=a時(shí)，ymin=a，a=3.

致錯(cuò)分析 三角函數(shù)中通過換元便隱去了三角函數(shù)的特性，三角函數(shù)的定義域和值域的有界性常常被忽略，例子 中-1≤sinx≤1，即-1≤t≤1，當(dāng)a=3時(shí)，t=3，即sinx =3顯然不符合題意.事實(shí)上，換元后，問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)y=f（t）=（t-a）2+a在閉區(qū)間[-1，1]上的最小值問題.

正解 （1）當(dāng)a

（2）當(dāng)-1≤a≤1時(shí)，由ymin=f（a）=3，得a=3，不符合題意，舍去；

（3）當(dāng)a>1時(shí)，由ymin=f（1）=3，得a=2.

綜合（1）、（2）、（3）得：a= -3- 17 2 或a=2.

（二）審題出現(xiàn)主觀臆斷

篇（4）

一、新課標(biāo)下三角函數(shù)試題的特點(diǎn)

新課標(biāo)卷高考數(shù)學(xué)文理科試題差異明顯，文科注重考查基礎(chǔ)知識(shí)，理科則是知識(shí)與能力考查并舉；試題的呈現(xiàn)形式靈活多樣，沒有固定的模式；分值大致穩(wěn)定在20分左右，必做題15分左右，選做題5分左右；在第（17）題出現(xiàn)三角函數(shù)題，一般都會(huì)對學(xué)生的個(gè)性品質(zhì)和心理素質(zhì)進(jìn)行考查。

二、新課標(biāo)下三角函數(shù)試題的考點(diǎn)追蹤

1.三角函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)

三角函數(shù)的定義，五點(diǎn)法作圖，圖象變換，根據(jù)部分圖象求函數(shù)解析式；值域（最值），周期性，奇偶性，單調(diào)性，圖象的對稱性；含有參數(shù)的三角函數(shù)問題；在知識(shí)交匯處命題，綜合性較強(qiáng)，思維含量較高，需要仔細(xì)審題，方可準(zhǔn)確解答。

2.三角恒等變換

恒等變換是三角函數(shù)的核心內(nèi)容，是高考的熱點(diǎn)，每年必考。試題靈活性大，能力要求較高。常常以三角函數(shù)式的化簡、求值形式出現(xiàn)，常與三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)結(jié)合，也與解三角形聯(lián)系在一起考查。考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，誘導(dǎo)公式，兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式及其變形應(yīng)用。

3.三角形中的三角函數(shù)問題

這類題常考常新，亮點(diǎn)紛呈。常以三角形為載體，考查正、余弦定理，三角形面積公式，平面幾何中重要的定理，三角公式的靈活運(yùn)用，凸顯三角函數(shù)的實(shí)用性。在（17）題中出現(xiàn)時(shí)，已成為解答題能否取得高分的分水嶺，與以往的三角題相比，突出思維含量，減少了運(yùn)算量。對恒等變換、邏輯推理、數(shù)據(jù)處理以及遇到障礙時(shí)繞過障礙重新選擇思路等方面的能力要求較高，同時(shí)還有函數(shù)與方程思想，考生的個(gè)性心理品質(zhì)的考查。

點(diǎn)評(píng)：三角形面積最值的求解策略基本有兩種方法：建立函數(shù)模型求解，利用不等式求解。法一通過解三角形，建立關(guān)于三角函數(shù)模型，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最值，滲透函數(shù)思想；法二借助于基本不等式來求最值，不失為上策。

考情匯總：2007至2015年均可見到解三角形問題，選擇題、填空題、解答題中都出現(xiàn)過。

4.坐標(biāo)系與參數(shù)方程

新課標(biāo)下對三角函數(shù)的考查也經(jīng)常出現(xiàn)在三選一的解答題（23）題中，也是大多數(shù)考生首選的題。常見曲線的參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程都與三角函數(shù)緊密相關(guān)，一般考生能順利解答第一問，第二問就比較困難。若能準(zhǔn)確理解參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，極坐標(biāo)方程的意義，充分發(fā)揮三角函數(shù)的工具性作用，則可以輕松求解，穩(wěn)妥得分。

點(diǎn)評(píng)：這兩道題都涉及了求兩動(dòng)點(diǎn)之間距離的最值問題，例5利用橢圓的參數(shù)方程借助于三角函數(shù)求最值；例6只需要將曲線C1的普通方程化成極坐標(biāo)方程θ=α（ρ∈R，ρ≠0），利用極坐標(biāo)方程求解顯得簡便。

考情匯總：2007至2015，每年在（23）中均出現(xiàn)，而且靈活性越來越大，不是想象的送分題了，解答須謹(jǐn)慎。

三、備考建議

篇（5）

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：C DOI：10.3969/j.issn.1672-8181.2013.24.117

三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中一種重要的函數(shù)，它的定義和性質(zhì)涉及的知識(shí)面廣，并且有許多獨(dú)特的表現(xiàn)，所以它是高考中對基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能考查的重要內(nèi)容之一，同時(shí)，三角函數(shù)又和代數(shù)、幾何有密切的聯(lián)系，因此，它又是研究其他知識(shí)的重要工具，在高中數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，三角函數(shù)在高考中既有選擇題、填空題，一般也都有一道解答題，因此，我們既要注重它的基礎(chǔ)性和工具性，又要兼顧它的靈活性和新穎性，注意培養(yǎng)應(yīng)用三角工具解題的習(xí)慣，提高分析問題和解決問題的能力。

下面以2013年新課標(biāo)全國Ⅱ卷（文、理）三角函數(shù)試題為例做粗淺解析。

1 原題再現(xiàn)

①（文4）ABC的內(nèi)角A，B，C對邊分別為a，b，c，b=2，B=[π

6]，C=[π

4]，則ABC的面積為多少？

②（文6）已知sina2α=[2

3]則=cos2（α+[π

4]）=？

③（文16）函數(shù)y=cos（2x+）（-π≤≤π）的圖像向右平移[π

2]個(gè)單位后，與函數(shù)y=sin（2x+[π

3]）的圖像重合，則=__？

④（理15）設(shè)θ為第二象限角，若tan（θ+[π

4]）=[1

2]，則sinaθ+cosθ=__？

⑤（理17） ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知a=bcosC+csinB.

（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=2，求ABC面積的最大值.

2 試題解析

①這道解三角形的考題，以小題形式出現(xiàn)，屬容易題。解三角形問題主要指求三角形中的一些基本量，即求三角形的三邊、三角、面積等，它的實(shí)質(zhì)是將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，解題關(guān)鍵是正確分析邊角關(guān)系，依據(jù)題設(shè)條件合理地設(shè)計(jì)解題程序。本題考查的知識(shí)點(diǎn)有：正弦定理，面積公式，誘導(dǎo)公式和角正弦公式。

②這道題屬于利用三角恒等變換求三角函數(shù)值的類型，三角函數(shù)化簡的通性通法是從函數(shù)名、角、運(yùn)算三方面進(jìn)行差異分析，再利用三角變換使異角化同角、異名化同名、高次化低次等。求解此類問題的關(guān)鍵是能根據(jù)問題的特點(diǎn)發(fā)現(xiàn)差異（觀察函數(shù)名、角運(yùn)算間的差異），尋找聯(lián)系（運(yùn)用相關(guān)三角函數(shù)公式，找出差異之間的內(nèi)在聯(lián)系），合理轉(zhuǎn)化（選擇恰當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)公式，促使差異的轉(zhuǎn)化）。盡管此題屬一道容易題，但是學(xué)生對于掌握升降冪公式歷來都是一個(gè)難點(diǎn)，常常犯錯(cuò)。因此，我們在教授此知識(shí)點(diǎn)時(shí)，一定要讓學(xué)生大量練習(xí)，靈活掌握。教材在這部分內(nèi)容上給出了大量的習(xí)題，目的也在于此，所以高考備考復(fù)習(xí)時(shí)要抓綱務(wù)本，重視基礎(chǔ)。

③這道圖像變換題作為填空題的壓軸題出現(xiàn)，對于文科學(xué)生來說還有一定難度，難度一：函數(shù)名、角不同；難度二：圖像平移變換；難度三：正、余函數(shù)間的相互轉(zhuǎn)化（利用誘導(dǎo)公式）。高考對三角函數(shù)的圖像變換主要考查兩種類型：先作周期變換、再作相位變換；先作相位變換、再作周期變換。

④這道題中，角的范圍限定，屬于容易題，但也有一定的綜合性，因?yàn)榧R(shí)性、思想性、方法性于一體，不失為一道好題：a.考查和角正切公式；b.考查方程思想和化切為弦的轉(zhuǎn)化思想；c.考查同角三角函數(shù)關(guān)系。

⑤解三角形問題是三角函數(shù)問題的姊妹題，在高考中與三角函數(shù)具有同等重要的位置，近幾年新課標(biāo)高考對解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的綜合運(yùn)用為主。在解題時(shí)，要分析清楚題目條件，利用正弦定理、余弦定理轉(zhuǎn)化為三角形中各邊之間的關(guān)系或各角之間的關(guān)系，并結(jié)合三角形的內(nèi)角和為180°，誘導(dǎo)公式，同角兩角和與差的正三角函數(shù)基本關(guān)系，兩角和與差的正弦、余弦、正切公式進(jìn)行化簡求值。這道題作為解答題的第一個(gè)門檻，學(xué)生需要一定的知識(shí)儲(chǔ)備和靈活的邏輯推理能力。它以考查正弦、余弦定理及三角形面積公式為載體，以邊角轉(zhuǎn)化思想與和角正弦公式為紐帶，以基本不等式放縮為技巧，帶有一定的綜合性和靈活性，屬于中檔題，且有一定的難度，這道題困擾學(xué)生思維的地方有：第一，化邊為角的轉(zhuǎn)化思想（正弦定理）；第二，角A正弦轉(zhuǎn)化為角B+C正弦的轉(zhuǎn)化思想；第三，運(yùn)用基本不等式放縮求最值的技巧。像這種體現(xiàn)基本知識(shí)、基本技能和基本技巧于一身的優(yōu)秀考題，我們在今后的備考復(fù)習(xí)中應(yīng)多加訓(xùn)練，融會(huì)貫通。解答如下：

（Ⅰ）由已知及正弦定理得sinA=sinBcosC+sinCsinB ①；

又A=π-（B+C），故sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC ②；

聯(lián)立①，②和C（o，π）得sinB=cosB.由于所以B（o，π），所以B=[π

4]。

（Ⅱ）ABC的面積S=[1

篇（6）

例1已知一扇形的圓心角是α，半徑為R，弧長為l.

（1）若α=60°，R=30cm，求扇形的弧長l及該弧所在的弓形面積.

（2）若扇形周長為20cm，當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？

（3）若將該扇形的圓心放在坐標(biāo)原點(diǎn)，使角α的始邊與x軸重合，已知角α的終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3，y）（y≠0）且sinα=214y，求cosα，tanα.

（4）若α=60°，求θ，使θ與α的終邊相同，且-720°≤θ

【思路點(diǎn)撥】 （1）可直接使用弧長公式計(jì)算，但注意在弧度制下角需用弧度制.（2）可用弧長或半徑來表達(dá)出扇形的面積，弓形面積由扇形面積與三角形面積的差組成，然后確定其最大值.（3）利用三角函數(shù)的定義求解，注意對y的討論.（4）利用終邊相同的角的集合S={β|β=α+2kπ，k∈Z}.

【解析】 （1）α=60°=π13rad，R=30，l=|α|·R=π13×30=10πcm.

S弓=S扇-S三角形=112×10π×30-112×302×sinπ13=150π-2253（cm）2.

（2）由題意得l+2R=20，l=20-2R（0

S扇=112lR=112×（20-2R）×R=（10-R）·R=-R2+10R.

當(dāng)且僅當(dāng)R=5時(shí)，S有最大值25（cm）2.

此時(shí)l=20-2×5=10，α=l1R=1015=2rad.

當(dāng)α=2rad時(shí)，扇形面積取最大值.

（3）r2=x2+y2=y2+3，由sinα=y1r=y1y2+3=214y，所以y=±5.

所以當(dāng)y=5時(shí)，cosα=x1r=-614，tanα=y1x=-1513，

當(dāng)y=-5時(shí)，cosα=-614，tanα=1513.

（4）令θ=60°+k·360°（k∈Z）.取k=-1，-2就得到適合-720°≤θ

60°+（-1）×360°=-300°，60°+（-2）×360°=-660°.

【歸納總結(jié)】 扇形的面積與弧長的計(jì)算在幾何中應(yīng)用較多，都可以用角度制與弧度制兩種方式給出，應(yīng)注意角度制與弧度制不能混用.合理利用圓心角所在的三角形，合理選擇參數(shù)，運(yùn)用函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想，解決扇形中的有關(guān)最值問題.利用定義法求三角函數(shù)值需要已知或設(shè)角α終邊上一異于原點(diǎn)的點(diǎn)P的坐標(biāo)，則可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r，然后用三角函數(shù)的定義求解.利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數(shù)k賦值來求得所需角.

【變式訓(xùn)練1】

（1）已知角α的終邊在直線y=-3x上，則10sinα+3×11cosα=.

（2）不借助計(jì)算器的情況下，證明：sin20°

考點(diǎn)二、三角函數(shù)的同角公式及誘導(dǎo)公式

【考點(diǎn)解讀】 求值題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，利用三角公式進(jìn)行恒等變形的技能.題型多為選擇題或填空題.六組誘導(dǎo)公式可統(tǒng)一記為“奇變偶不變，符號(hào)看象限”.利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡求值時(shí)，先利用公式化任意角三角函數(shù)為銳角三角函數(shù)，其原則：負(fù)化正、大化小、化到銳角為終了.切弦互化的技巧必須靈活掌握.

例2（1）設(shè)θ為第二象限的角，若tan（θ+π14）=112，則sinθ+cosθ=.

（2）是否存在α∈（-π12，π12），β∈（0，π），使等式sin（3π-α）=2cos（π12-β），3cos（-α）=-2cos（π+β）同時(shí)成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，請說明理由.

【思路點(diǎn)撥】 （1）利用兩角和的正切公式，求出tanθ，然后切化弦，再聯(lián)想平方關(guān)系式，解題突破口就是求解關(guān)于“sinθ，cosθ”的方程組.（2）要想求出α，β的值，必須知道α，β的某一個(gè)三角函數(shù)值，解決本題的關(guān)鍵是由兩個(gè)等式，消去α或β得出關(guān)于β或α的同名三角函數(shù)值.

【解析】 （1）tan（θ+π14）=112，tanθ=-113，

即3sinθ=-cosθ

sin2θ+cos2θ=1，解得sinθ=10110，cosθ=-310110.

sinθ+cosθ=-1015.【答案】 -1015.

（2）假設(shè)存在α，β使得等式成立，即有

sin（3π-α）=2cos（π12-β）1①

3cos（-α）=-2cos（π+β）1②

由誘導(dǎo)公式得sinα=2sinβ1③

3cosα=2cosβ1④

③2+④2得

sin2α+3cos2α=2，cos2α=112，

又α∈（-π12，π12），α=π14或α=-π14，

將α=π14代入④得cosβ=312.又β∈（0，π），β=π16代入③可知符合.

將α=-π14代入④得cosβ=312.又β∈（0，π），β=π16代入③可知不符合.

綜上可知，存在α=π14，β=π16滿足條件.

【歸納總結(jié)】 （1）對于sinθ+cosθ，sinθcosθ，sinθ-cosθ這三個(gè)式子，已知其中一個(gè)式子的值，其余二式的值可求.轉(zhuǎn)化的公式為（sinθ±cosθ）2=1±2sinθcosθ；（2）關(guān)于sinθ，cosθ的齊次式，往往化為關(guān)于tanθ的式子.已知角α的三角函數(shù)值求角α的一般步驟是：①由三角函數(shù)值的符號(hào)確定角α所在的象限；②據(jù)角α所在的象限求出角α的最小正角；③最后利用終邊相同的角寫出角α的一般表達(dá)式.

【變式訓(xùn)練2】

若f（α）=sin[α+（2n+1）π]+2sin[α-（2n+1）π]1sin（α-2nπ）cos（2nπ-α）（n∈Z），求f（19π16）.

考點(diǎn)三、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)

【考點(diǎn)解讀】 能畫出y=sinx，y=cosx，y=tanx的圖象，理解這三種函數(shù)的性質(zhì)（如周期性、單調(diào)性、奇偶性、最大值和最小值、對稱中心和對稱軸等），函數(shù)的單調(diào)性是相對于某一區(qū)間而言的，研究其單調(diào)性必須在定義域內(nèi)進(jìn)行.

例3（1）求函數(shù)y=lg（2sinx-1）+-tanx-11cos（x12+π18）的定義域；

（2）求y=3tan（π16-x14）的周期及單調(diào)區(qū)間；

（3）求函數(shù)y=3cosx-3sinx的值域.

【思路點(diǎn)撥】 （1）求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是解簡單的三角不等式（組），常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解.（2）先化為：y=-3tan（x14-π16），再求單調(diào)區(qū)間.（3）先將原函數(shù)式進(jìn)行等價(jià)變形，利用|cosx|≤1，|sinx|≤1，但要注意自變量的取值變化.

【解析】 （1）要使函數(shù)有意義，則

2sinx-1>0

-tanx-1≥0

cos（x12+π18）≠0sinx>112

tanx≤-1

x12+π18≠kπ+π12（k∈Z），

如圖利用單位圓得：

2kπ+π16

kπ+π12

x≠2kπ+3π14（k∈Z），

函數(shù)的定義域?yàn)椋簕x|2kπ+π12

（2）y=3tan（π16-x14）=-3tan（x14-π16），

T=π1|ω|=4π，y=3tan（π16-x14）的周期為4π.

由kπ-π12

3tan（x14-π16）在（4kπ-4π13，4kπ+8π13）（k∈Z）內(nèi)單調(diào)遞增，

y=3tan（π16-x14）在（4kπ-4π13，4kπ+8π13）（k∈Z）內(nèi)單調(diào)遞減.

（3）y=3cosx-3sinx=23（312cosx-112sinx）=23cos（x+π16），

|cos（x+π16）|≤1，該函數(shù)值域?yàn)閇-23，23].

【歸納總結(jié)】 （1）求三角函數(shù)的定義域，既要注意一般函數(shù)定義域的規(guī)律，又要注意三角函數(shù)的特性，如題中出現(xiàn)tanx，則一定有x≠kπ+π12，k∈Z.求三角函數(shù)的定義域通常使用三角函數(shù)線、三角函數(shù)圖象和數(shù)軸.（2）對于y=Atan（ωx+φ）（A，ω，φ為常數(shù)），其周期T=π1|ω|，單調(diào)區(qū)間利用ωx+φ∈（kπ-π12，kπ+π12）（k∈Z），解出x的取值范圍，即為其單調(diào)區(qū)間.（3）將原函數(shù)式化為一角一名的形式，如y=Asin（ωx+φ）+B，y=Acos（ωx+φ）+B或化為關(guān)于sinx（或cosx）的二次函數(shù)式，切忌忽視函數(shù)的定義域.

【變式訓(xùn)練3】

已知函數(shù)f（x）=cos（π13+x）cos（π13-x）-sinxcosx+114，

（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和最大值；

（2）求函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間.

考點(diǎn)四、函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象及三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用【考點(diǎn)解讀】 該考點(diǎn)是高考的必考點(diǎn).理解函數(shù)y=Asin（ωx+φ）中A，ω，φ的意義及其對函數(shù)圖象變化的影響.能根據(jù)所給三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)確定其中的參數(shù)，并能由一個(gè)三角函數(shù)的圖象通過平移變換、伸縮變換、振幅變換和對稱變換得到另一個(gè)三角函數(shù)的圖象.利用三角函數(shù)的解析式可研究三角函數(shù)的性質(zhì)和圖象.會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡單實(shí)際的問題.

例4已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0，0

（1）求函數(shù)f（x）與g（x）的解析式；

（2）是否存在x0∈（π16，π14），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某種順序成等差數(shù)列？若存在，請確定x0的個(gè)數(shù)；若不存在，說明理由.

【思路點(diǎn)撥】 （1）根據(jù)題目給出的周期和對稱中心求得函數(shù)f（x）的解析式，利用函數(shù)圖象的平移和伸縮的變換規(guī)律逐步得到g（x）；（2）將等差數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為方程在指定區(qū)間內(nèi)是否有解的問題，再構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【解析】 （1）由函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）的周期為π，ω>0，得ω=2，

又曲線y=f（x）的一個(gè)對稱中心為（π14，0），φ∈（0，π），

故f（π14）=sin（2×π14+φ）=0，得φ=π12，所以f（x）=cos2x.

將函數(shù)f（x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）后可得y=cosx的圖象，再將y=cosx的圖象向右平移π12個(gè)單位長度后得到函數(shù)g（x）=sinx.

（2）當(dāng)x∈（π16，π14）時(shí)，112

所以sinx>cos2x>sinxcos2x，

問題轉(zhuǎn)化為方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（π16，π14）內(nèi)是否有解.

設(shè)G（x）=sinx+sinxcos2x-2cos2x，x∈（π16，π14），

則G′（x）=cosx+cosxcos2x+2sin2x（2-sinx）.

因?yàn)閤∈（π16，π14），所以G′（x）>0，G（x）在（π16，π14）內(nèi)單調(diào)遞增，

又G（π16）=-1140，

且函數(shù)G（x）的圖象連續(xù)不斷，故可知函數(shù)G（x）在（π16，π14）內(nèi)存在唯一零點(diǎn)x0，

即存在唯一的x0∈（π16，π14）滿足題意.

【歸納總結(jié)】 探討三角函數(shù)的性質(zhì)，難點(diǎn)在于三角函數(shù)解析式的化簡與整理，熟練掌握三角恒等變換的有關(guān)公式，靈活運(yùn)用角之間的關(guān)系對角進(jìn)行變換，將解析式轉(zhuǎn)化為一角一函數(shù)的形式，然后通過換元法求解有關(guān)性質(zhì)即可.根據(jù)y=Asin（ωx+φ）+k的圖象求其解析式的問題，主要從A、k、ω及φ等四個(gè)方面來考慮.

【變式訓(xùn)練4】

（1）函數(shù)y=2sin（ωx+φ）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，則此函數(shù)的解析式可能是.

（2）如圖，正五邊形ABCDE的邊長為2，甲同學(xué)在圖中用余弦定理解得AC=8-8cos108°，乙同學(xué)在RtACH中解得AC=11cos72°，據(jù)此可得cos72°的值所在區(qū)間為.

考點(diǎn)五、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式及簡單的三角恒等變換【考點(diǎn)解讀】 該考點(diǎn)是高考的必考點(diǎn).研究不同三角函數(shù)值之間的關(guān)系時(shí)，常以角為切入點(diǎn)，并以此為依據(jù)進(jìn)行公式的選擇，同時(shí)還要關(guān)注式子的結(jié)構(gòu)特征，通過對式子進(jìn)行恒等變形，使問題得到簡化.在進(jìn)行三角運(yùn)算時(shí)必知的幾個(gè)技巧：“1”的代換，正切化弦，異角化同角，異次化同次，變角，變名，變結(jié)構(gòu)等化簡技巧.

例5已知函數(shù)f（x）=2cos（x-π112），x∈R.

（1）求f（-π16）的值；

（2）若cosθ=315，θ∈（3π12，2π），求f（2θ+π13）.

【思路點(diǎn)撥】 （1）直接代入，根據(jù)誘導(dǎo)公式和特殊角的三角函數(shù)值得出結(jié)果；（2）先求出sinθ，利用倍角公式得出sin2θ，cos2θ的值，使用三角變換公式求解.

【解析】 （1）f（-π16）=2cos（-π16-π112）

=2cos（-π14）=2cosπ14=1；

（2）f（2θ+π13）=2cos（2θ+π13-π112）

=2cos（2θ+π14）=cos2θ-sin2θ，

因?yàn)閏osθ=315，θ∈（3π12，2π），所以sinθ=-415，所以sin2θ=2sinθcosθ=-24125，cos2θ=cos2θ-sin2θ=-7125，所以f（2θ+π13）=cos2θ-sin2θ=-7125-（-24125）=17125.

【歸納總結(jié)】 三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則：（1）一看“角”，通過看角之間的差別與聯(lián)系，把角進(jìn)行合理的拆分，從而正確使用公式；（2）二看“函數(shù)名稱”，看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用的公式；（3）三看“結(jié)構(gòu)特征”，分析結(jié)構(gòu)特征，找到變形的方向.公式的逆用，變形十分重要，常通過三角變換消去或約去一些非特殊角的三角函數(shù).

【變式訓(xùn)練5】

31cos10°-11sin170°=.

【變式訓(xùn)練答案】

1.解析：（1）設(shè)α終邊上任一點(diǎn)為P（k，-3k）.則r=x2+y2=k2+（-3k）2=10|k|.

當(dāng)k>0時(shí)，r=10k，sinα=-3k110k=-3110，11cosα=10k1k=10.

10sinα+3×11cosα=-310+310=0.

篇（7）

一、關(guān)于符號(hào)問題

使用同角三角函數(shù)關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、二倍角公式等，都易在符號(hào)上發(fā)生錯(cuò)誤，分析原因，主要是學(xué)生對觀察原角所在象限來決定符號(hào)的實(shí)際意義理解和掌握得不夠深刻具體，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生在領(lǐng)會(huì)三角函數(shù)的基礎(chǔ)上，能夠據(jù)以使用這角終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)來判定，就以使用帶有根號(hào)的半角公式為例運(yùn)算的步驟是首先求出這個(gè)單角的余弦，然后再考慮根號(hào)前正負(fù)符號(hào)的選擇是取決于這個(gè)半角所在象限內(nèi)原函數(shù)應(yīng)具有的符號(hào)，對此，對使用這個(gè)公式所決定的符號(hào)可總結(jié)如下：

1.若沒有給出決定符號(hào)的條件，則在根號(hào)前應(yīng)保持正負(fù)兩種符號(hào)

例1.已知cosα=■，求cos■的值。

由二倍角的公式變形得cos2■=■（1+cosα）

cos■=±■

2.如果給出了角α的大小，應(yīng)當(dāng)先求出■的大小，然后按照 所在象限原函數(shù)的符號(hào)決定公式的根號(hào)前應(yīng)有相同的符號(hào)

例2.已知cosα=■，且α∈（0，π），求cos■的值。

由二倍角的公式變形得cos2■=■（1+cosα）

α∈（0，π），■∈（0，■）

cos■=■

3.如果給出的角是某象限角時(shí)，則依角的終邊所在可能的象限來判斷符號(hào)

例3.已知cosα=-■，且α為第二象限角，求sinα，tanα的值。

α是第二象限角且cosα=-■

sinα>0，tanα

sinα=■，tanα=■

二、關(guān)于運(yùn)算的準(zhǔn)確問題

應(yīng)用三角函數(shù)關(guān)系公式進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，學(xué)生容易發(fā)生錯(cuò)誤。

1.明確公式的用途

只有當(dāng)學(xué)生理解了所學(xué)公式的用途和適用范圍，才能在使用時(shí)目的明確，熟練穩(wěn)準(zhǔn)。例如，講同角三角函數(shù)關(guān)系式后，通過練習(xí)題演算，使學(xué)生了解這些公式的應(yīng)用范圍包括以下幾個(gè)主要方面：

①已知一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)值，求該角的其他三角函數(shù)值

②用一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)表達(dá)出該角的其他三角函數(shù)

③化簡三角函數(shù)式

④證明三角恒等式

在三角函數(shù)的教學(xué)中，應(yīng)發(fā)揮單位圓和三角函數(shù)的作用。單位圓可以幫助學(xué)生直觀地認(rèn)識(shí)任意角、任意角的三角函數(shù)，理解三角函數(shù)的周期性、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式以及三角函數(shù)的圖象和基本性質(zhì)。

2.加強(qiáng)運(yùn)算中的檢驗(yàn)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，隨時(shí)都應(yīng)注意對學(xué)生的運(yùn)算加以嚴(yán)格的要求，更需要讓他們養(yǎng)成檢驗(yàn)的習(xí)慣，除了在運(yùn)算時(shí)應(yīng)當(dāng)有演算底稿，運(yùn)算的步驟規(guī)格要一致外，還要為檢驗(yàn)創(chuàng)造良好的條件。在三角函數(shù)中還可以引導(dǎo)學(xué)生利用概念與公式間的聯(lián)系，加強(qiáng)這種訓(xùn)練。例如開始應(yīng)用誘導(dǎo)公式運(yùn)算時(shí)，出錯(cuò)率較高，我們可以引導(dǎo)學(xué)生用三角函數(shù)線或三角函數(shù)定義來驗(yàn)證所取的符號(hào)，以后也可以用兩角和差的三角函數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，等到學(xué)生有了檢驗(yàn)的習(xí)慣以后，再進(jìn)一步培養(yǎng)他們選擇簡捷而有效的檢驗(yàn)方法。

三、使學(xué)生明確公式間的活用

新課標(biāo)要求，能運(yùn)用公式進(jìn)行簡單三角函數(shù)式的求值、化簡與恒等式的證明。能靈活運(yùn)用公式進(jìn)行簡單的恒等變換，我們要求學(xué)生掌握公式要做到兩用，兩用就是“能正面用，也能反面用”。只有這樣，才能在解決實(shí)際問題時(shí)做到靈活應(yīng)用。如：倍角的余弦公式中倍角的形式是2α，而這個(gè)形式，對于4α，則可以寫成2（2α），而有

sin4α=2sin2αcos2α

Cos4α=cos22α-sin22α

=1-2sin22α=2cos22α-1

同樣，α也可以寫成2（■），■寫成2（■），如果引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察一下，發(fā)現(xiàn)等式兩端的角的量數(shù)始終保持著“2”對“1”的關(guān)系，抓住這個(gè)規(guī)律，就不會(huì)僵化地死記這個(gè)公式，同時(shí)倍角的余弦：cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α，又可變形為：cos2α=■（1+cos2α），sin2α=■（1-cos2α）

前者是由單角表示倍角的三角函數(shù)間的變形，用它可以使三角函數(shù)式中某些項(xiàng)升冪；而后者是由倍角表示單角的三角函數(shù)間的變形，用它則可使三角函數(shù)式中某些項(xiàng)降冪，這些對三角函數(shù)式的恒等變換和解三角方程很有幫助，也擴(kuò)大了公式的活用范圍。

四、使學(xué)生運(yùn)算時(shí)注意總結(jié)規(guī)律

三角函數(shù)問題中我們應(yīng)隨時(shí)注意引導(dǎo)學(xué)生善于對所用知識(shí)與練習(xí)題進(jìn)行分類歸納，總結(jié)方法，探尋規(guī)律，以不斷提高他們思考、推理和判斷的能力。例如，剛接觸三角函數(shù)性質(zhì)綜合題時(shí)，學(xué)生常感到不知道怎樣在開始時(shí)引用公式，或恰當(dāng)?shù)剡x擇公式。在最初練習(xí)中，我們有必要給予一些指導(dǎo)、提示或是演示。

篇（8）

三角函數(shù)是一門較重要的科學(xué)知識(shí)，它往往會(huì)與理工科的其他科目有聯(lián)系，我們不僅會(huì)在數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)到三角知識(shí)，而且這一知識(shí)也與物理方面的相關(guān)知識(shí)掛鉤，如在電學(xué)中，有不少波的相關(guān)公式，以及得出的物理現(xiàn)象就是用三角函數(shù)表達(dá)式表達(dá)的，所得到的圖形是三角函數(shù)圖。所以，三角函數(shù)不僅僅是一門對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有幫助，同時(shí)對于工學(xué)類的其他科目也有用途的科學(xué)，在實(shí)際工作和生活中有廣泛的應(yīng)用。

二、三角函數(shù)問題概述

1三角函數(shù)問題的特點(diǎn)

到現(xiàn)在為止，我們已經(jīng)接觸過了不少問題，這些三角問題大多數(shù)是通過三角函數(shù)的性質(zhì)和恒等變換來求解的。如我們要計(jì)算三角函數(shù)值某個(gè)角的大小，就往往是采用計(jì)算該角的某一種三角函數(shù)值，再依據(jù)我們學(xué)過的三角函數(shù)性質(zhì)，根據(jù)三角函數(shù)值的正負(fù)來確定象限得出來的。我們要判斷三角函數(shù)的單調(diào)性，或者確定三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，往往可以通過基本三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間來求解。所以說，三角函數(shù)的一切問題的求解還在于二方面：一是對性質(zhì)的把握，二是熟悉掌握三角恒等變換公式，并在具體的問題中學(xué)會(huì)靈活自如地加以應(yīng)用。

三、考題分析

1考題

例題：在 中，角A，B，C 所對應(yīng)的邊分別為 a，b，c，

，求A，B及b，c

2考題求解過程分析

3總體分析

上面這道題是以三角形為主要的參考模型來考查三角函數(shù)知識(shí)的，這是三角函數(shù)大題的一大常用考試思路，主要是借助三角形，給出一些已知的參數(shù)（可以是邊，可以是角，從而來求其他三角參數(shù)的值，如可以是面積，也可以是邊角，這是三角函數(shù)的一種基本的考查形式。

3.2.2本題分析

先看考題第一問，要求的是A，B的值，通常情況下，要求出角的大小，我們往往是要求一下角所在的三角函數(shù)值的大小，所以根據(jù)這一思路，我們要求出B，C的三角函數(shù)值，題中給出了三個(gè)已知條件，其中第一個(gè)邊的大小對于求解第一問起不到幫助，我們只能從后面的二個(gè)條件入手，很明顯，從條件2，可以求出C角的三角函數(shù)值，其中 ，這很容易看出來，而根據(jù)這一點(diǎn)，我們可以求解出C角的三角函數(shù)值， ，角C是30或150度，再根據(jù)后面的第三個(gè)條件，仍然是把A換成B和C，可以得出 ，直接得出B和C角大小相等。由此，得到三個(gè)角的大小，是一個(gè)等腰三角形。

3.3考題求解

下面，我們按照先前確定的分析過程，理一下思路，求解二問，具體如下：

解：由 得

，又

由 得

即

由正弦定理 得

四、考題總結(jié)

根據(jù)上面的這道題，我們不難發(fā)現(xiàn)，從結(jié)論開始進(jìn)行分析和展開聯(lián)想是有必要的。上面的這一題的要求解的內(nèi)容，將會(huì)直接決定我們分析的走向，如第一問要求三角函數(shù)，我們就要考慮采用三角和差公式，第二問要計(jì)算邊長，我們就要聯(lián)想到正、余弦定理。這都是我們在上面這道題中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。

4.倒推法求解三角恒等變換問題的基本思路

4.1以問題為出發(fā)點(diǎn)

在前面，我們就已經(jīng)明確指出，倒推法是以問題為中心而展開的。所以，來了三角函數(shù)類問題，我們必須要對將要求解的問題做一個(gè)全面的了解，看一下該問題到底是要求什么，要求邊，還是求角，還是求面積，或者是單調(diào)性等。在明確了問題以后，我們就要對此問題進(jìn)行定性的分析。問題不僅僅是決定我們求解的方向所在，也是我們求解的關(guān)鍵突破口。由此看來，對于問題的性質(zhì)進(jìn)行全面的分析是極其重要的，它為后面的解答問題起到了鋪墊的作用。

1 注意條件的對應(yīng)關(guān)系

在搞清楚問題以后，我們就要開始進(jìn)行推理和想象，如上面的那一個(gè)實(shí)例，我們要調(diào)動(dòng)一切因素，使我們要解決的問題和已經(jīng)存在的條件無限接近。如第二問，為了使邊和面積之間建立聯(lián)系，又是在三角形中，我們唯一想到的思路就是三角面積計(jì)算公式，通過公式，我們就可以得到二條邊的乘積。此外，還有一點(diǎn)也是重要的，那就是給出了角的正弦值，就等同于給出了邊的比例關(guān)系。如果沒有突破這一點(diǎn)，也無法得以求解。

2 大膽推理和聯(lián)想

在倒推法解決問題時(shí)，一定的聯(lián)想是有必要的。而且由于我們高考題在情境上會(huì)不斷發(fā)生變化，但是只是形式上的變化，仍然存在換湯不換藥，新瓶裝老酒的做法。所以，我們要根據(jù)相關(guān)的情況大膽進(jìn)行推理和猜想，如有這樣一個(gè)問題。

例2：若 則 a=B

（A） （B）2 （C） （D）

此題按常規(guī)做法是要計(jì)算的，而用倒推法，我們只要分析該角的大小，或者說所處象限就行了，根據(jù)公式有 sin （a+A）= 而A很明顯是一個(gè)銳角，（a+A）=270度，意味著 處于第三象限，排除A與B選項(xiàng)，再根據(jù)sinA= 是一個(gè)小于30度的角，所以a必須要大于240度，于是 tan a的值比tan60的值要小，所以直接鎖定答案D。根據(jù)此題，我們可以發(fā)現(xiàn)倒推法無法是用于解答小題還是解答綜合題，都可以起到一定的作用。

五、結(jié)束語

根據(jù)本文的分析，倒推法不失是一種用來求解三角函數(shù)問題的基本方法。通過以問題為出發(fā)點(diǎn)，可以進(jìn)一步理出學(xué)過的知識(shí)，求解的問題，以及我們現(xiàn)有的條件的關(guān)系，使我們在解決問題時(shí)，打開思路，自由發(fā)揮。更為重要的是，它是一種解決問題的思路，尤其是對于解決難度較大的綜合型問題中更可以看到這一點(diǎn)。值得一提的是，倒推法不僅僅適用于解決三角函數(shù)問題，它在解析幾何，立體幾何以及數(shù)列等綜合性問題中仍然有較大的用途，這一切都有待于我們在以后的解題過程中，多加總結(jié)，以便使其能夠發(fā)揮更大的作用。

參考文獻(xiàn)

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常見題型：①三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；②化簡和求值；③三角形中的三角函數(shù)；④最值．本文對高考重點(diǎn)、常考題型進(jìn)一步總結(jié)，強(qiáng)化規(guī)律，解法定模，便于同學(xué)們考試中迅速提取，自如運(yùn)用．

考點(diǎn)1．三角函數(shù)的求值與化簡

例1 已知cosα=17,cos(α－β)=1314,且0

(Ⅰ)求tan2α的值.（Ⅱ）求β.

解：（Ⅰ）由cosα=17,0

tanα=sinαcosα=43，于是tan2α=2tanα1－tan2α=2×431－(43)2=－8347

（Ⅱ）由0

又cos(α－β)=1314，sin(α－β)=1－cos2(α－β)=1－(1314)2=3314

由β=α－(α－β)得：cosβ=cos［α－(α－β)］=cosαcos(α－β)+sinαsin(α－β)

=17×1314+437×3314=12，所以β=π3.

突破方法技巧：三角函數(shù)的化簡、計(jì)算、證明的恒等變形的基本思路是：一角二名三結(jié)構(gòu)．即首先觀察角與角之間的關(guān)系，注意角的一些常用變式，角的變換是三角函數(shù)變換的核心！已知角與特殊角的變換、已知角與目標(biāo)角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換. 如α=(α+β)－β=(α－β)+β，2α=(α+β)+(α－β)，α+β2=(α－β2)－(α2－β)等．第二看函數(shù)名稱之間的關(guān)系，通常“切化弦”；第三觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)．

考點(diǎn)2．解三角形：此類題目考查正弦定理，余弦定理，兩角和差的正余弦公式，同角三角函數(shù)間的關(guān)系式和誘導(dǎo)公式等基本知識(shí)，以考查基本的運(yùn)算為主要特征.解此類題目要注意綜合應(yīng)用上述知識(shí).

例2 設(shè)函數(shù)f(x)=cos(x+23π)+2cos2x2,x∈R．（Ⅰ）求f(x)的值域；（Ⅱ）記ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a，b，c，若f(B)=1，b=1,c=3，求a的值．

解：（Ⅰ）f(x)=cosxcos2π3－sinxsin2π3+cosx+1=－12cosx－32sinx+cosx+1

=12cosx－32sinx+1=sin(x+56π)+1，f(x)的值域?yàn)椋?,2］

（Ⅱ）由f(B)=1得sin(B+56π)+1=1即sin(B+56π)=0又因0

突破方法技巧：

(1)內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和為π，這是三角形中三角函數(shù)問題的特殊性，解題可不能忘記！任意兩角和與第三個(gè)角總互補(bǔ)，任意兩半角和與第三個(gè)角的半角總互余.銳角三角形三內(nèi)角都是銳角三內(nèi)角的余弦值均為正值任兩角和都是鈍角任意兩邊的平方和大于第三邊的平方.

(2)正弦定理：asinA=bsinB=csinC=2R(R為三角形外接圓的半徑).注意：①正弦定理的一些變式：(i)a:b:c=sinA:sinB:sinC；(ii)sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R；(iii)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；②已知三角形兩邊一對角，求解三角形時(shí)，若運(yùn)用正弦定理，則務(wù)必注意可能有兩解.

(3)余弦定理：a2=b2+c2－2bccosA,cosA=b2+c2－a22bc等，常選用余弦定理鑒定三角形的形狀.

(4)面積公式：S=12aha=12absinC.

特別提醒：（1）求解三角形中的問題時(shí)，一定要注意A+B+C=π這個(gè)特殊性：A+B=π－C,sin(A+B)=sinC,sinA+B2=cosC2；（2）求解三角形中含有邊角混合關(guān)系的問題時(shí)，常運(yùn)用正弦定理、余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化．

考點(diǎn)3．求三角函數(shù)的定義域、值域或最值：此類題目主要有以下幾種題型：（1）考查運(yùn)用兩角和的正弦公式化簡三角函數(shù)式，以及利用三角函數(shù)的有界性來求值域的能力.（2）考查利用三角函數(shù)的性質(zhì), 誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的關(guān)系式、兩角差的公式，倍角公式等基本知識(shí)，考查運(yùn)算和推理能力.（3）考查利用三角函數(shù)的有界性來求最大值與最小值的能力.

例3 已知函數(shù)f(x)=(1+cotx)sin2x+msin(x+π4)sin(x－π4)．

（1）當(dāng)m=0時(shí)，求f(x)在區(qū)間［π8,3π4］上的取值范圍；（2）當(dāng)tanα=2時(shí)，f(α)=35，求m的值．

解：（1）當(dāng)m=0時(shí)，f(x)=sin2x+sinxcosx

=12(sin2x－cos2x)+12=22sin(2x－π4)+12

又由x∈［π8,3π4］得2x－π4∈［0,5π4］，所以sin(2x－π4)∈［－22,1］，

從而f(x)=22sin(2x－π4)+12∈［0,1+22］.

（2）f(x)=sin2x+sinxcosx－m2cos2x=1－cos2x2+12sin2x－m2cos2x

=12［sin2x－(1+m)cos2x］+12

由tanα=2得sin2α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanα1+tan2α=45，

cos2α=cos2α－sin2αsin2α+cos2α=1－tan2α1+tan2α=－35，所以35=12［45+(1+m)35］+12，得m=－2．

突破方法技巧：

三角函數(shù)的最值主要有以下幾種類型：①形如y=Asin(ωx+φ)、y= asinx+bcosx的，充分利用其有界性去求最值；②形如y=sinx+cosx+sinxcosx的，換元去處理；③形如y= asinx+bsin2x的，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)去處理；④形如y= 2－cosx2－sinx 的，可采用反表示的方法，再利用三角函數(shù)的有界性去解決，也可轉(zhuǎn)化為斜率去通過數(shù)形結(jié)合解決．

考點(diǎn)4．三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)：此類題目要求同學(xué)們在熟練掌握三角函數(shù)圖象的基礎(chǔ)上對三角函數(shù)的性質(zhì)靈活運(yùn)用.會(huì)用數(shù)形結(jié)合的思想來解題.

例4 已知函數(shù)f(x)=23sinxcosx+2cos2x－1(x∈R)（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的最小正周期及在區(qū)間［0,π2］上的最大值和最小值；（Ⅱ）若f(x0)=65,x0∈［π4,π2］，求cos2x0的值．

解：由f(x)=23sinxcosx+2cos2x－1，得f(x)=3(2sinxcosx)+(2cos2x－1)=3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)，f(x)的最小正周期為π

f(x)=2sin(2x+π6)在［0，π6］上單調(diào)遞增，在［π6，π2］上單調(diào)遞減，

又f(0)=1,f(π6)=2,f(π2)=－1，f(x)在［0,π2］上的最大值為2，最小值為-1.

（2）由（1）知f(x0)=2sin(x0+π6)，又f(x0)=65,sin(2x0+π6)=35，

由x0∈［π4,π2］，2x0+π6∈［2π3,7π6］從而cos(2x0+π6)=－1－sin2(2x0+π6)=－45

cos2x0=cos［(2x0+π6)－π6］=cos(2x0+π6)cosπ6+sin(2x0+π6)sinπ6=3－4310

突破方法技巧：

研究復(fù)雜三角函數(shù)的性質(zhì)，一般是將這個(gè)復(fù)雜的三角函數(shù)化成y=Asin(ωx+φ)的形式再求解，這是解決所有三角函數(shù)問題的基本思路.

篇（10）

中圖分類號(hào)：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711(2014)06-0144

一、前言

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，同樣也是高考的熱點(diǎn)，其內(nèi)容豐富、公式眾多、方法靈活。高考考查的內(nèi)容包括：三角形中的三角函數(shù)、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、三角函數(shù)的化簡求值、三角函數(shù)的最值及綜合應(yīng)用，這些對考生分析問題和解決問題的能力要求較高。本文從歷年真題出發(fā)，分析了高考中三角函數(shù)這一熱點(diǎn)的新變化。

二、高考中三角函數(shù)的考查特點(diǎn)

每年三角函數(shù)的考查內(nèi)容都有所不同，但對近幾年高考中出現(xiàn)的三角函數(shù)題型進(jìn)行仔細(xì)分析和總結(jié)，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)高考對于三角函數(shù)的考查具有一定的規(guī)律，即在考查內(nèi)容、分值、題量這三方面保持穩(wěn)定。考題中除了對內(nèi)容的考查外，都側(cè)重考查學(xué)生的計(jì)算能力、演繹推理能力、綜合解決問題的能力等。

當(dāng)然每年的高考都會(huì)出現(xiàn)新的變化，主要體現(xiàn)在出題的新意，往往以新穎的形式出現(xiàn)一些新的題型，特別是一些創(chuàng)新型問題，主要考查學(xué)生對重要數(shù)學(xué)思想方法的掌握情況，以及考試時(shí)對自己心態(tài)的調(diào)整。解決這些問題有一把“利劍”，那就是特殊化方法。特殊化方法的解題依據(jù)是，題目所敘述的一般情形成立，則對特殊情形也應(yīng)該成立，若不成立，則必然選項(xiàng)是錯(cuò)誤的。特殊化方法一般有賦特殊值、特殊函數(shù)等。雖然三角函數(shù)內(nèi)容豐富、性質(zhì)廣泛、產(chǎn)生的問題多樣，但學(xué)生只要掌握了其基本內(nèi)容，就能很好地利用。全國實(shí)行新課程改革以后，高中數(shù)學(xué)增添了很多與現(xiàn)代生活密切相關(guān)，和當(dāng)代科學(xué)技術(shù)發(fā)展密切聯(lián)系的新內(nèi)容，這些內(nèi)容時(shí)代性強(qiáng)、應(yīng)用性廣，自然會(huì)吸引高考命題者更多關(guān)注的目光。

三、高考中三角函數(shù)的新題型

1. 有關(guān)三角函數(shù)的定理

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中所涉及到的一種非常重要的函數(shù)，它屬于初等函數(shù)中的一類函數(shù)。三角函數(shù)的本質(zhì)是任意角的集合與一個(gè)比值的集合的變量之間的映射。三角函數(shù)一般情況下是在平面直角坐標(biāo)系中來進(jìn)行定義的，其定義域?yàn)檎麄€(gè)實(shí)數(shù)域。另一種定義則是在直角三角形中，但這種定義并不完全。現(xiàn)代數(shù)學(xué)把它們描述成無窮數(shù)列的極限和微分方程的解，將其定義擴(kuò)展到復(fù)數(shù)系。它包含六種基本函數(shù)：正切、余切、正弦、余弦、正割、余割。由于三角函數(shù)的周期性，它并不具有單值函數(shù)意義上的反函數(shù)。三角函數(shù)在復(fù)數(shù)中有較為重要的應(yīng)用。此類題側(cè)重考查課本上的基本知識(shí)，主要是三角函數(shù)的公式、定理、性質(zhì)的推導(dǎo)等，要求學(xué)生掌握課本上的知識(shí)精髓，不但要知其然，還要知其所以然。引導(dǎo)考生回歸課本，重視基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)和鞏固。

2. 三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)

在高考中，三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)是對三角函數(shù)考查的重點(diǎn)內(nèi)容。三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)具有很強(qiáng)的實(shí)際作用。其圖像和性質(zhì)具有綜合性、靈活性，是學(xué)生解決生活中實(shí)際問題的工具，同時(shí)對于學(xué)生升入高等學(xué)府能否學(xué)習(xí)好高等數(shù)學(xué)以及應(yīng)用數(shù)學(xué)有著決定性的作用，所以高考題中考查這一類內(nèi)容的比較多。順應(yīng)素質(zhì)教育的要求，近幾年的高考降低了對三角變換的考查，那么必然會(huì)加大對三角函數(shù)圖像與性質(zhì)的考查力度，進(jìn)而使三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)成為高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)以及主要題型。

3. 三角函數(shù)的最值及綜合應(yīng)用

近幾年的高考側(cè)重對學(xué)生能力的考查，往往在數(shù)學(xué)知識(shí)的交匯點(diǎn)設(shè)計(jì)題型，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力。此類問題主要考查三角函數(shù)的最值、恒等變換、三角函數(shù)圖像和性質(zhì)以及與三角函數(shù)有關(guān)學(xué)科內(nèi)的綜合問題，如與數(shù)列、不等式、解析幾何等相結(jié)合，多為解答題。而三角函數(shù)最值問題仍將是高考的熱點(diǎn)。三角函數(shù)和數(shù)列的主要考查內(nèi)容是數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)、三角函數(shù)的最值問題，同時(shí)考查了學(xué)生們分析問題、解決問題的能力。

4. 三角函數(shù)的求零點(diǎn)問題

這類題考查的主要內(nèi)容是三角函數(shù)的圖像及其性質(zhì)、解題要點(diǎn)是：根據(jù)考題的特點(diǎn)合理運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)(值域、單調(diào)性等)進(jìn)行判斷，或直觀觀察并作出判斷。

5. 有關(guān)三角函數(shù)的定積分問題

此類題考查的內(nèi)容主要是三角函數(shù)在定積分中的應(yīng)用。解題的要點(diǎn)是正確且靈活地運(yùn)用定積分公式及三角函數(shù)求導(dǎo)的逆用。定積分是新課標(biāo)新增的內(nèi)容，有著廣泛的應(yīng)用，這是考查三角函數(shù)的新題型，這類題型難度比較低，估計(jì)今后也會(huì)成為高考的發(fā)展方向。另外，新課標(biāo)引入了導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)作為工具往往與三角函數(shù)結(jié)合在一起進(jìn)行考查。解決此類問題的要點(diǎn)是理解求導(dǎo)的幾何意義并熟記三角函數(shù)求導(dǎo)公式。這是今后三角函數(shù)考查的一個(gè)重要方向，也是高考的重點(diǎn)。

四、結(jié)束語

高考命題通常以突出能力考查為主旨，側(cè)重于學(xué)生對三角函數(shù)綜合性和應(yīng)用性的考查，在知識(shí)的交叉點(diǎn)設(shè)計(jì)綜合類試題，不斷求新求變。因此，在指導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)時(shí)，要切實(shí)根據(jù)高考大綱指導(dǎo)學(xué)生的日常學(xué)習(xí)，讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的基本知識(shí)，同時(shí)，不斷容納新知識(shí)，注意新舊知識(shí)的融合，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)聯(lián)能力，提高學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)及解題能力。

參考文獻(xiàn)：

[1] 徐旭明.解讀高考解答題中的三角函數(shù)題[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究(教研版), 2009(5)．