三角函數變換規律匯總十篇

序論：好文章的創作是一個不斷探索和完善的過程，我們為您推薦十篇三角函數變換規律范例，希望它們能助您一臂之力，提升您的閱讀品質，帶來更深刻的閱讀感受。

篇（1）

由于三角函數的變換具有多向性、不定性，因此，學生對其理解不是很透徹，也比較難掌握每一種方法，但是“萬變不離其宗”，其變化的基本思想與規律是不會變換的，下面進行詳細分析.

一、三角函數變換中的幾種常見類型

1.函數名稱變換.在三角函數變換中，最為常見的是函數的名稱變換，在名稱變換的情況中最為常見的是切割化弦.對于三角函數名稱的變換我們可以從化函數或者是化形式的方面進行思考.

在三角函數中，正弦與余弦是六個三角函數的基礎，也是應用最為廣泛的，其次是正切、余切，我們只需要將變換了的三角函數名稱轉換成為同名的三角函數，就能夠成為我們常見的三角函數.比較常見的方式是“切割化弦”、“齊次弦代切”這兩種轉化方式.

2.三角函數“角”的變換.“角”的變換主要體現在了三角函數中的差角、余角、補角、半角等之間相互轉換.隨著三角函數“角”的變換，其相應的運算符號、名稱、次數都會出現一定的變化，在解題的過程中，我們只需要認準三角角度之間的和、差、半、補、余等關系，利用已知的“角”來表示未知的“角”，然后再根據相關的關系運算，就能夠順利的解決三角函數的求解問題.

例1 設A、B均是銳角，且cos（A+B）=1213，cos（2A+B）=35，求cosB=？

分析：從題目中我們知道“已知角”是（A+B）、（2A+B），，B=2（A+B）-（2A+B）.

比較這三者之間的關系，我們只需要將B用A+B、2A+B表示出來，再利用兩角差的余弦公式就能夠輕松的解出cosB.

解：略.

3.三角函數“形”的變換.我們在對三角函數進行轉化、求簡或者求值的過程中，會根據一些情況來講一些常數，比如1，2，1+2等轉換成為與其相關的三角函數，其中利用常數1來轉換是比較常見的.

從上文我們知道了，遇到這種情況，先利用已知條件，因此，我們利用“弦化切”來進行解答.我們利用整式中的分母都是相同4的情況，將其轉換為1，將分母“1”轉化為：sin2α+cos2α，從而簡化解答.

在解答的過程中，我們要遵循由繁到簡、由簡到易的規律.

二、幾種比較常用的三角函數變換解題方法

1.將“弦函數”與“切函數”進行相互的轉換.將“弦函數”與“切函數”進行相互的轉換是在平常的解答三角函數中比較常見的也是兩種基礎的轉換手法.

如，在三角函數式中存在正切函數，我們就可以利用三角函數之間最為基本的關系或者是利用將“弦函數”轉換為“切函數”來進行求解或者是證明.這種方法比較簡單，學生掌握起來也比較快，在三角函數式中應用比較廣泛.

2.采用“角”的等量代換.如，在三角函數中出現已知角與所求角時，我們要判斷兩者之間的相互關系，在確定兩者之間存在某種關系的時候，我們就可以采用“角”之間的等量代換.

比如，α=（α+β）-β=β-（β-α）=（α+β）2+（β-α）2.

采用比較簡單的“角”變換就能夠將一些不容易解的題目變換為我們熟悉的題目來進行求解.

3.公式逆用或者變用對于公式或者定理，我們可以對其進行反推（從結果開始證明到題目），或者是將公式變換來進行用，會取到意想不到的效果.當然這必須建立在對公式或者定理足夠熟悉的基礎上，比如我們可以讓學生熟練的使用2sin2x=1-cos2x、2cos2x=1+cos2x這些基礎的三角函數公式，并作出引導的證明或者變換的證明，讓學生反復練習，達到熟能生巧的地步.

除以上的基本解題方法，我們在教授學生的過程中要培養學生如何自己去解題，不是只會記“題”，要記住“題型”，會變換“題型”，我們所知的三角公式比較多，在解題的過程中假如沒有選對公式或者選錯了方向，那么解題過程就是一個泥潭，會越陷越深，在進行三角函數的變換過程中要：公式選擇必須謹，角的范圍盡量小，變量統一變，不局限一種方法，綜合考慮.

三角變換的基本思想可以總結如下：找差異、建聯系、選公式、促轉化，在三角函數中無論題目是要求求值化簡，還是要求我們證明某一結論，我們都應該將題目的中已知轉化為未知，這也是所有解題的方法之一.根據整體已知的條件，找取相應的部分定理條件，或者是角之間的差異，或者是函數名稱的差異，在找到差異之后，整個題目就迎刃而解了.

參考文獻：

篇（2）

考題解析

考點1：同角三角函數間的基本關系式與誘導公式。

此類問題容易因忽視角所在象限而失分。此題考查同角三角函數的基本關系與二倍角公式難度中等。

考點2：三角函數的圖象。

本考點在高考中，一個是考察利用圖象求解析式或用待定系數法求函數的解析式，題目難度不大，但常與三角函數的性質結合起來，求解的關鍵是確定各參數的值，另一個是考察三角函數圖象的平移、伸縮、相位變換，尤其是平移變換。

例2（2012年湖南卷）已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R， ω>0，0

考點3：利用恒等變換求值與化簡。

利用恒等變換進行求值與化簡，是每年高考必考內容，重點考察運用正、余弦函數的和、差角公式，正切函數的和、差角公式，以及倍角公式的正用、逆用、變形應用。從近幾年高考趨勢看，對于三角恒等變換求值與化簡，高考命題以公式的基本運用、計算為主，在解題中一般有兩個解題思路，一個是角的變化，即將多種形式的角盡量統一減少角的個數；二是"名"的變換，即三角函數名稱的統一，要靈活利用公式，盡量實現切化弦，同時在實際解題時還要注意雙管齊下，整體代換。

點評：在求三角函數值的問題中，要注意"三看"，即：一看角，把角盡量向特殊角或已知角轉化；二看名，把三角函數中的切函數向弦函數轉化，把多個函數名向一個函數名轉化；三看式，看式子是否滿足公式，能否逆用公式，能否向公式的形式轉化。

考點4：利用恒等變換研究函數性質。

在高考中，恒等變換常與三角函數綜合起來，通過恒等變換，將三角函數式化為"單角單函數"的形式，來研究三角函數的性質。

點評：要注意到三角函數名或角的差異，合理運用公式，進行恒等變換，化為"三角單角函數"的形式，進而研究三角函數的性質。

篇（3）

三角學起源于古希臘，在中國距今兩千多年前的《周髀算經》中也有關于我國最早的三角測量的記載.三角函數是三角學中非常基礎的、非常重要的一部分.在高中數學中，對三角函數的學習主要是三角函數的圖像和性質.雖然在高中數學中對三角函數的學習要求并不高，但是我們學習起來也常常會有一些錯誤出現.本文將把這些三角函數中常見的錯誤歸類出來，加以詳細的探究，希望能為以后的三角函數學習提供借鑒和幫助.

一、知識性錯誤

數學中的知識性錯誤是指由于對有關所學的概念理解不清，對概念、性質混淆不清等，從而導致的錯誤.

（一）概念理解不清

致錯分析 以上錯解的原因是沒有考慮函數的定義域，因為函數f（x）的定義域為x≠kπ+ π 2 ，k∈ Z .

二、邏輯性錯誤

由于我們認知結構的不完善，所以在數學解題中就很容易出現邏輯性的錯誤.邏輯性錯誤指的是我們在解題的過程中由于違背了邏輯思維的規律而產生的錯誤.邏輯思維的規律，即邏輯規律一般指的是同一律、矛盾律、排中律和充分理由律.常見的邏輯性錯誤的類別一般為循環論證、偷換概念、虛假理由、分類不當和不等價變換這五種.在高中數學三角函數的學習中，一般會出現的邏輯性錯誤有分類不當、循環論證和不等價變換這三種.

（一）循環論證

論題、論據和論證是構成任何數學問題的三大要素，其中論題指的是為了真實性而需要的那個命題，論據指的是為了證明論題的真實性所需要依據的真命題，論證指的是聯系起了論題和論據的具體的推理形式.只有真實的論據才能論證出論題的真假，但是論據的真實性不能不依賴于論題的真實.循環論證指的就是論據的真實性需要依賴論題的真實性的一種論證.

致錯分析 上述解法看上去好像是正確的，其實已經犯了循環論證的錯誤，錯在沒有利用題設條件進一步縮小α-β的范圍，產生了增根.

事實上，同理可得：.

（二）不等價變換

不等價變換是屬于邏輯錯誤中的違反同一律原則的錯誤.在解題過程中，對命題進行不等價的變換，常常會出現解集的縮小或者是擴大.

三、策略性錯誤

在數學解題過程中的策略性錯誤主要指的是在解題方向上有偏差.這樣的錯誤往往會導致解題的思路受阻而無法完成解題過程，或者解題思路過于曲折而即使做對了也非常費時費力.

（一）不善于正難則反

我們在解題的過程中一般都會習慣于從正面去思考問題，而并不去做反面的思考.但是有時候從正面來解決一個問題是非常艱難或者復雜的，甚至常常會容易出錯.這就要求我們在解題的時候要靈活運用方法，當正面解題比較艱難的時候可以從反面進行思考.

例5 函數y=- 1 2 cos2x-2asinx+a2+a+ 1 2 的最小值是3，求a的值.

錯解 將原函數變形為：y=sin2x-2asinx+a2+a，令sinx=t，則y=（t-a）2+a，當t=a時，ymin=a，a=3.

致錯分析 三角函數中通過換元便隱去了三角函數的特性，三角函數的定義域和值域的有界性常常被忽略，例子 中-1≤sinx≤1，即-1≤t≤1，當a=3時，t=3，即sinx =3顯然不符合題意.事實上，換元后，問題轉化為二次函數y=f（t）=（t-a）2+a在閉區間[-1，1]上的最小值問題.

正解 （1）當a

（2）當-1≤a≤1時，由ymin=f（a）=3，得a=3，不符合題意，舍去；

（3）當a>1時，由ymin=f（1）=3，得a=2.

綜合（1）、（2）、（3）得：a= -3- 17 2 或a=2.

（二）審題出現主觀臆斷

篇（4）

一、新課標下三角函數試題的特點

新課標卷高考數學文理科試題差異明顯，文科注重考查基礎知識，理科則是知識與能力考查并舉；試題的呈現形式靈活多樣，沒有固定的模式；分值大致穩定在20分左右，必做題15分左右，選做題5分左右；在第（17）題出現三角函數題，一般都會對學生的個性品質和心理素質進行考查。

二、新課標下三角函數試題的考點追蹤

1.三角函數的概念、圖象與性質

三角函數的定義，五點法作圖，圖象變換，根據部分圖象求函數解析式；值域（最值），周期性，奇偶性，單調性，圖象的對稱性；含有參數的三角函數問題；在知識交匯處命題，綜合性較強，思維含量較高，需要仔細審題，方可準確解答。

2.三角恒等變換

恒等變換是三角函數的核心內容，是高考的熱點，每年必考。試題靈活性大，能力要求較高。常常以三角函數式的化簡、求值形式出現，常與三角函數的圖象、性質結合，也與解三角形聯系在一起考查。考查同角三角函數的基本關系式，誘導公式，兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式及其變形應用。

3.三角形中的三角函數問題

這類題常考常新，亮點紛呈。常以三角形為載體，考查正、余弦定理，三角形面積公式，平面幾何中重要的定理，三角公式的靈活運用，凸顯三角函數的實用性。在（17）題中出現時，已成為解答題能否取得高分的分水嶺，與以往的三角題相比，突出思維含量，減少了運算量。對恒等變換、邏輯推理、數據處理以及遇到障礙時繞過障礙重新選擇思路等方面的能力要求較高，同時還有函數與方程思想，考生的個性心理品質的考查。

點評：三角形面積最值的求解策略基本有兩種方法：建立函數模型求解，利用不等式求解。法一通過解三角形，建立關于三角函數模型，利用三角函數的性質求最值，滲透函數思想；法二借助于基本不等式來求最值，不失為上策。

考情匯總：2007至2015年均可見到解三角形問題，選擇題、填空題、解答題中都出現過。

4.坐標系與參數方程

新課標下對三角函數的考查也經常出現在三選一的解答題（23）題中，也是大多數考生首選的題。常見曲線的參數方程，極坐標方程都與三角函數緊密相關，一般考生能順利解答第一問，第二問就比較困難。若能準確理解參數方程中參數的幾何意義，極坐標方程的意義，充分發揮三角函數的工具性作用，則可以輕松求解，穩妥得分。

點評：這兩道題都涉及了求兩動點之間距離的最值問題，例5利用橢圓的參數方程借助于三角函數求最值；例6只需要將曲線C1的普通方程化成極坐標方程θ=α（ρ∈R，ρ≠0），利用極坐標方程求解顯得簡便。

考情匯總：2007至2015，每年在（23）中均出現，而且靈活性越來越大，不是想象的送分題了，解答須謹慎。

三、備考建議

篇（5）

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：C DOI：10.3969/j.issn.1672-8181.2013.24.117

三角函數是中學數學中一種重要的函數，它的定義和性質涉及的知識面廣，并且有許多獨特的表現，所以它是高考中對基礎知識和基本技能考查的重要內容之一，同時，三角函數又和代數、幾何有密切的聯系，因此，它又是研究其他知識的重要工具，在高中數學中有著廣泛的應用，三角函數在高考中既有選擇題、填空題，一般也都有一道解答題，因此，我們既要注重它的基礎性和工具性，又要兼顧它的靈活性和新穎性，注意培養應用三角工具解題的習慣，提高分析問題和解決問題的能力。

下面以2013年新課標全國Ⅱ卷（文、理）三角函數試題為例做粗淺解析。

1 原題再現

①（文4）ABC的內角A，B，C對邊分別為a，b，c，b=2，B=[π

6]，C=[π

4]，則ABC的面積為多少？

②（文6）已知sina2α=[2

3]則=cos2（α+[π

4]）=？

③（文16）函數y=cos（2x+）（-π≤≤π）的圖像向右平移[π

2]個單位后，與函數y=sin（2x+[π

3]）的圖像重合，則=__？

④（理15）設θ為第二象限角，若tan（θ+[π

4]）=[1

2]，則sinaθ+cosθ=__？

⑤（理17） ABC的內角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知a=bcosC+csinB.

（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=2，求ABC面積的最大值.

2 試題解析

①這道解三角形的考題，以小題形式出現，屬容易題。解三角形問題主要指求三角形中的一些基本量，即求三角形的三邊、三角、面積等，它的實質是將幾何問題轉化為代數問題，解題關鍵是正確分析邊角關系，依據題設條件合理地設計解題程序。本題考查的知識點有：正弦定理，面積公式，誘導公式和角正弦公式。

②這道題屬于利用三角恒等變換求三角函數值的類型，三角函數化簡的通性通法是從函數名、角、運算三方面進行差異分析，再利用三角變換使異角化同角、異名化同名、高次化低次等。求解此類問題的關鍵是能根據問題的特點發現差異（觀察函數名、角運算間的差異），尋找聯系（運用相關三角函數公式，找出差異之間的內在聯系），合理轉化（選擇恰當的三角函數公式，促使差異的轉化）。盡管此題屬一道容易題，但是學生對于掌握升降冪公式歷來都是一個難點，常常犯錯。因此，我們在教授此知識點時，一定要讓學生大量練習，靈活掌握。教材在這部分內容上給出了大量的習題，目的也在于此，所以高考備考復習時要抓綱務本，重視基礎。

③這道圖像變換題作為填空題的壓軸題出現，對于文科學生來說還有一定難度，難度一：函數名、角不同；難度二：圖像平移變換；難度三：正、余函數間的相互轉化（利用誘導公式）。高考對三角函數的圖像變換主要考查兩種類型：先作周期變換、再作相位變換；先作相位變換、再作周期變換。

④這道題中，角的范圍限定，屬于容易題，但也有一定的綜合性，因為集知識性、思想性、方法性于一體，不失為一道好題：a.考查和角正切公式；b.考查方程思想和化切為弦的轉化思想；c.考查同角三角函數關系。

⑤解三角形問題是三角函數問題的姊妹題，在高考中與三角函數具有同等重要的位置，近幾年新課標高考對解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的綜合運用為主。在解題時，要分析清楚題目條件，利用正弦定理、余弦定理轉化為三角形中各邊之間的關系或各角之間的關系，并結合三角形的內角和為180°，誘導公式，同角兩角和與差的正三角函數基本關系，兩角和與差的正弦、余弦、正切公式進行化簡求值。這道題作為解答題的第一個門檻，學生需要一定的知識儲備和靈活的邏輯推理能力。它以考查正弦、余弦定理及三角形面積公式為載體，以邊角轉化思想與和角正弦公式為紐帶，以基本不等式放縮為技巧，帶有一定的綜合性和靈活性，屬于中檔題，且有一定的難度，這道題困擾學生思維的地方有：第一，化邊為角的轉化思想（正弦定理）；第二，角A正弦轉化為角B+C正弦的轉化思想；第三，運用基本不等式放縮求最值的技巧。像這種體現基本知識、基本技能和基本技巧于一身的優秀考題，我們在今后的備考復習中應多加訓練，融會貫通。解答如下：

（Ⅰ）由已知及正弦定理得sinA=sinBcosC+sinCsinB ①；

又A=π-（B+C），故sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC ②；

聯立①，②和C（o，π）得sinB=cosB.由于所以B（o，π），所以B=[π

4]。

（Ⅱ）ABC的面積S=[1

篇（6）

例1已知一扇形的圓心角是α，半徑為R，弧長為l.

（1）若α=60°，R=30cm，求扇形的弧長l及該弧所在的弓形面積.

（2）若扇形周長為20cm，當扇形的圓心角α為多少弧度時，這個扇形的面積最大？

（3）若將該扇形的圓心放在坐標原點，使角α的始邊與x軸重合，已知角α的終邊上一點P的坐標為（-3，y）（y≠0）且sinα=214y，求cosα，tanα.

（4）若α=60°，求θ，使θ與α的終邊相同，且-720°≤θ

【思路點撥】 （1）可直接使用弧長公式計算，但注意在弧度制下角需用弧度制.（2）可用弧長或半徑來表達出扇形的面積，弓形面積由扇形面積與三角形面積的差組成，然后確定其最大值.（3）利用三角函數的定義求解，注意對y的討論.（4）利用終邊相同的角的集合S={β|β=α+2kπ，k∈Z}.

【解析】 （1）α=60°=π13rad，R=30，l=|α|·R=π13×30=10πcm.

S弓=S扇-S三角形=112×10π×30-112×302×sinπ13=150π-2253（cm）2.

（2）由題意得l+2R=20，l=20-2R（0

S扇=112lR=112×（20-2R）×R=（10-R）·R=-R2+10R.

當且僅當R=5時，S有最大值25（cm）2.

此時l=20-2×5=10，α=l1R=1015=2rad.

當α=2rad時，扇形面積取最大值.

（3）r2=x2+y2=y2+3，由sinα=y1r=y1y2+3=214y，所以y=±5.

所以當y=5時，cosα=x1r=-614，tanα=y1x=-1513，

當y=-5時，cosα=-614，tanα=1513.

（4）令θ=60°+k·360°（k∈Z）.取k=-1，-2就得到適合-720°≤θ

60°+（-1）×360°=-300°，60°+（-2）×360°=-660°.

【歸納總結】 扇形的面積與弧長的計算在幾何中應用較多，都可以用角度制與弧度制兩種方式給出，應注意角度制與弧度制不能混用.合理利用圓心角所在的三角形，合理選擇參數，運用函數思想、轉化思想，解決扇形中的有關最值問題.利用定義法求三角函數值需要已知或設角α終邊上一異于原點的點P的坐標，則可先求出點P到原點的距離r，然后用三角函數的定義求解.利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數k賦值來求得所需角.

【變式訓練1】

（1）已知角α的終邊在直線y=-3x上，則10sinα+3×11cosα=.

（2）不借助計算器的情況下，證明：sin20°

考點二、三角函數的同角公式及誘導公式

【考點解讀】 求值題主要考查同角三角函數的基本關系式、誘導公式的應用，利用三角公式進行恒等變形的技能.題型多為選擇題或填空題.六組誘導公式可統一記為“奇變偶不變，符號看象限”.利用誘導公式進行化簡求值時，先利用公式化任意角三角函數為銳角三角函數，其原則：負化正、大化小、化到銳角為終了.切弦互化的技巧必須靈活掌握.

例2（1）設θ為第二象限的角，若tan（θ+π14）=112，則sinθ+cosθ=.

（2）是否存在α∈（-π12，π12），β∈（0，π），使等式sin（3π-α）=2cos（π12-β），3cos（-α）=-2cos（π+β）同時成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，請說明理由.

【思路點撥】 （1）利用兩角和的正切公式，求出tanθ，然后切化弦，再聯想平方關系式，解題突破口就是求解關于“sinθ，cosθ”的方程組.（2）要想求出α，β的值，必須知道α，β的某一個三角函數值，解決本題的關鍵是由兩個等式，消去α或β得出關于β或α的同名三角函數值.

【解析】 （1）tan（θ+π14）=112，tanθ=-113，

即3sinθ=-cosθ

sin2θ+cos2θ=1，解得sinθ=10110，cosθ=-310110.

sinθ+cosθ=-1015.【答案】 -1015.

（2）假設存在α，β使得等式成立，即有

sin（3π-α）=2cos（π12-β）1①

3cos（-α）=-2cos（π+β）1②

由誘導公式得sinα=2sinβ1③

3cosα=2cosβ1④

③2+④2得

sin2α+3cos2α=2，cos2α=112，

又α∈（-π12，π12），α=π14或α=-π14，

將α=π14代入④得cosβ=312.又β∈（0，π），β=π16代入③可知符合.

將α=-π14代入④得cosβ=312.又β∈（0，π），β=π16代入③可知不符合.

綜上可知，存在α=π14，β=π16滿足條件.

【歸納總結】 （1）對于sinθ+cosθ，sinθcosθ，sinθ-cosθ這三個式子，已知其中一個式子的值，其余二式的值可求.轉化的公式為（sinθ±cosθ）2=1±2sinθcosθ；（2）關于sinθ，cosθ的齊次式，往往化為關于tanθ的式子.已知角α的三角函數值求角α的一般步驟是：①由三角函數值的符號確定角α所在的象限；②據角α所在的象限求出角α的最小正角；③最后利用終邊相同的角寫出角α的一般表達式.

【變式訓練2】

若f（α）=sin[α+（2n+1）π]+2sin[α-（2n+1）π]1sin（α-2nπ）cos（2nπ-α）（n∈Z），求f（19π16）.

考點三、三角函數的圖象和性質

【考點解讀】 能畫出y=sinx，y=cosx，y=tanx的圖象，理解這三種函數的性質（如周期性、單調性、奇偶性、最大值和最小值、對稱中心和對稱軸等），函數的單調性是相對于某一區間而言的，研究其單調性必須在定義域內進行.

例3（1）求函數y=lg（2sinx-1）+-tanx-11cos（x12+π18）的定義域；

（2）求y=3tan（π16-x14）的周期及單調區間；

（3）求函數y=3cosx-3sinx的值域.

【思路點撥】 （1）求三角函數的定義域實際上是解簡單的三角不等式（組），常借助三角函數線或三角函數圖象來求解.（2）先化為：y=-3tan（x14-π16），再求單調區間.（3）先將原函數式進行等價變形，利用|cosx|≤1，|sinx|≤1，但要注意自變量的取值變化.

【解析】 （1）要使函數有意義，則

2sinx-1>0

-tanx-1≥0

cos（x12+π18）≠0sinx>112

tanx≤-1

x12+π18≠kπ+π12（k∈Z），

如圖利用單位圓得：

2kπ+π16

kπ+π12

x≠2kπ+3π14（k∈Z），

函數的定義域為：{x|2kπ+π12

（2）y=3tan（π16-x14）=-3tan（x14-π16），

T=π1|ω|=4π，y=3tan（π16-x14）的周期為4π.

由kπ-π12

3tan（x14-π16）在（4kπ-4π13，4kπ+8π13）（k∈Z）內單調遞增，

y=3tan（π16-x14）在（4kπ-4π13，4kπ+8π13）（k∈Z）內單調遞減.

（3）y=3cosx-3sinx=23（312cosx-112sinx）=23cos（x+π16），

|cos（x+π16）|≤1，該函數值域為[-23，23].

【歸納總結】 （1）求三角函數的定義域，既要注意一般函數定義域的規律，又要注意三角函數的特性，如題中出現tanx，則一定有x≠kπ+π12，k∈Z.求三角函數的定義域通常使用三角函數線、三角函數圖象和數軸.（2）對于y=Atan（ωx+φ）（A，ω，φ為常數），其周期T=π1|ω|，單調區間利用ωx+φ∈（kπ-π12，kπ+π12）（k∈Z），解出x的取值范圍，即為其單調區間.（3）將原函數式化為一角一名的形式，如y=Asin（ωx+φ）+B，y=Acos（ωx+φ）+B或化為關于sinx（或cosx）的二次函數式，切忌忽視函數的定義域.

【變式訓練3】

已知函數f（x）=cos（π13+x）cos（π13-x）-sinxcosx+114，

（1）求函數f（x）的最小正周期和最大值；

（2）求函數f（x）單調遞增區間.

考點四、函數y=Asin（ωx+φ）的圖象及三角函數模型的簡單應用【考點解讀】 該考點是高考的必考點.理解函數y=Asin（ωx+φ）中A，ω，φ的意義及其對函數圖象變化的影響.能根據所給三角函數的圖象和性質確定其中的參數，并能由一個三角函數的圖象通過平移變換、伸縮變換、振幅變換和對稱變換得到另一個三角函數的圖象.利用三角函數的解析式可研究三角函數的性質和圖象.會用三角函數解決一些簡單實際的問題.

例4已知函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0，0

（1）求函數f（x）與g（x）的解析式；

（2）是否存在x0∈（π16，π14），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某種順序成等差數列？若存在，請確定x0的個數；若不存在，說明理由.

【思路點撥】 （1）根據題目給出的周期和對稱中心求得函數f（x）的解析式，利用函數圖象的平移和伸縮的變換規律逐步得到g（x）；（2）將等差數列問題轉化為方程在指定區間內是否有解的問題，再構造函數，利用函數的單調性確定零點的個數.

【解析】 （1）由函數f（x）=sin（ωx+φ）的周期為π，ω>0，得ω=2，

又曲線y=f（x）的一個對稱中心為（π14，0），φ∈（0，π），

故f（π14）=sin（2×π14+φ）=0，得φ=π12，所以f（x）=cos2x.

將函數f（x）圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）后可得y=cosx的圖象，再將y=cosx的圖象向右平移π12個單位長度后得到函數g（x）=sinx.

（2）當x∈（π16，π14）時，112

所以sinx>cos2x>sinxcos2x，

問題轉化為方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（π16，π14）內是否有解.

設G（x）=sinx+sinxcos2x-2cos2x，x∈（π16，π14），

則G′（x）=cosx+cosxcos2x+2sin2x（2-sinx）.

因為x∈（π16，π14），所以G′（x）>0，G（x）在（π16，π14）內單調遞增，

又G（π16）=-1140，

且函數G（x）的圖象連續不斷，故可知函數G（x）在（π16，π14）內存在唯一零點x0，

即存在唯一的x0∈（π16，π14）滿足題意.

【歸納總結】 探討三角函數的性質，難點在于三角函數解析式的化簡與整理，熟練掌握三角恒等變換的有關公式，靈活運用角之間的關系對角進行變換，將解析式轉化為一角一函數的形式，然后通過換元法求解有關性質即可.根據y=Asin（ωx+φ）+k的圖象求其解析式的問題，主要從A、k、ω及φ等四個方面來考慮.

【變式訓練4】

（1）函數y=2sin（ωx+φ）在一個周期內的圖象如圖所示，則此函數的解析式可能是.

（2）如圖，正五邊形ABCDE的邊長為2，甲同學在圖中用余弦定理解得AC=8-8cos108°，乙同學在RtACH中解得AC=11cos72°，據此可得cos72°的值所在區間為.

考點五、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式及簡單的三角恒等變換【考點解讀】 該考點是高考的必考點.研究不同三角函數值之間的關系時，常以角為切入點，并以此為依據進行公式的選擇，同時還要關注式子的結構特征，通過對式子進行恒等變形，使問題得到簡化.在進行三角運算時必知的幾個技巧：“1”的代換，正切化弦，異角化同角，異次化同次，變角，變名，變結構等化簡技巧.

例5已知函數f（x）=2cos（x-π112），x∈R.

（1）求f（-π16）的值；

（2）若cosθ=315，θ∈（3π12，2π），求f（2θ+π13）.

【思路點撥】 （1）直接代入，根據誘導公式和特殊角的三角函數值得出結果；（2）先求出sinθ，利用倍角公式得出sin2θ，cos2θ的值，使用三角變換公式求解.

【解析】 （1）f（-π16）=2cos（-π16-π112）

=2cos（-π14）=2cosπ14=1；

（2）f（2θ+π13）=2cos（2θ+π13-π112）

=2cos（2θ+π14）=cos2θ-sin2θ，

因為cosθ=315，θ∈（3π12，2π），所以sinθ=-415，所以sin2θ=2sinθcosθ=-24125，cos2θ=cos2θ-sin2θ=-7125，所以f（2θ+π13）=cos2θ-sin2θ=-7125-（-24125）=17125.

【歸納總結】 三角函數式的化簡要遵循“三看”原則：（1）一看“角”，通過看角之間的差別與聯系，把角進行合理的拆分，從而正確使用公式；（2）二看“函數名稱”，看函數名稱之間的差異，從而確定使用的公式；（3）三看“結構特征”，分析結構特征，找到變形的方向.公式的逆用，變形十分重要，常通過三角變換消去或約去一些非特殊角的三角函數.

【變式訓練5】

31cos10°-11sin170°=.

【變式訓練答案】

1.解析：（1）設α終邊上任一點為P（k，-3k）.則r=x2+y2=k2+（-3k）2=10|k|.

當k>0時，r=10k，sinα=-3k110k=-3110，11cosα=10k1k=10.

10sinα+3×11cosα=-310+310=0.

篇（7）

一、關于符號問題

使用同角三角函數關系式、誘導公式、二倍角公式等，都易在符號上發生錯誤，分析原因，主要是學生對觀察原角所在象限來決定符號的實際意義理解和掌握得不夠深刻具體，應當引導學生在領會三角函數的基礎上，能夠據以使用這角終邊上的點的坐標的符號來判定，就以使用帶有根號的半角公式為例運算的步驟是首先求出這個單角的余弦，然后再考慮根號前正負符號的選擇是取決于這個半角所在象限內原函數應具有的符號，對此，對使用這個公式所決定的符號可總結如下：

1.若沒有給出決定符號的條件，則在根號前應保持正負兩種符號

例1.已知cosα=■，求cos■的值。

由二倍角的公式變形得cos2■=■（1+cosα）

cos■=±■

2.如果給出了角α的大小，應當先求出■的大小，然后按照 所在象限原函數的符號決定公式的根號前應有相同的符號

例2.已知cosα=■，且α∈（0，π），求cos■的值。

由二倍角的公式變形得cos2■=■（1+cosα）

α∈（0，π），■∈（0，■）

cos■=■

3.如果給出的角是某象限角時，則依角的終邊所在可能的象限來判斷符號

例3.已知cosα=-■，且α為第二象限角，求sinα，tanα的值。

α是第二象限角且cosα=-■

sinα>0，tanα

sinα=■，tanα=■

二、關于運算的準確問題

應用三角函數關系公式進行運算時，學生容易發生錯誤。

1.明確公式的用途

只有當學生理解了所學公式的用途和適用范圍，才能在使用時目的明確，熟練穩準。例如，講同角三角函數關系式后，通過練習題演算，使學生了解這些公式的應用范圍包括以下幾個主要方面：

①已知一個角的一個三角函數值，求該角的其他三角函數值

②用一個角的一個三角函數表達出該角的其他三角函數

③化簡三角函數式

④證明三角恒等式

在三角函數的教學中，應發揮單位圓和三角函數的作用。單位圓可以幫助學生直觀地認識任意角、任意角的三角函數，理解三角函數的周期性、誘導公式、同角三角函數關系式以及三角函數的圖象和基本性質。

2.加強運算中的檢驗

在數學教學中，隨時都應注意對學生的運算加以嚴格的要求，更需要讓他們養成檢驗的習慣，除了在運算時應當有演算底稿，運算的步驟規格要一致外，還要為檢驗創造良好的條件。在三角函數中還可以引導學生利用概念與公式間的聯系，加強這種訓練。例如開始應用誘導公式運算時，出錯率較高，我們可以引導學生用三角函數線或三角函數定義來驗證所取的符號，以后也可以用兩角和差的三角函數進行檢驗，等到學生有了檢驗的習慣以后，再進一步培養他們選擇簡捷而有效的檢驗方法。

三、使學生明確公式間的活用

新課標要求，能運用公式進行簡單三角函數式的求值、化簡與恒等式的證明。能靈活運用公式進行簡單的恒等變換，我們要求學生掌握公式要做到兩用，兩用就是“能正面用，也能反面用”。只有這樣，才能在解決實際問題時做到靈活應用。如：倍角的余弦公式中倍角的形式是2α，而這個形式，對于4α，則可以寫成2（2α），而有

sin4α=2sin2αcos2α

Cos4α=cos22α-sin22α

=1-2sin22α=2cos22α-1

同樣，α也可以寫成2（■），■寫成2（■），如果引導學生仔細觀察一下，發現等式兩端的角的量數始終保持著“2”對“1”的關系，抓住這個規律，就不會僵化地死記這個公式，同時倍角的余弦：cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α，又可變形為：cos2α=■（1+cos2α），sin2α=■（1-cos2α）

前者是由單角表示倍角的三角函數間的變形，用它可以使三角函數式中某些項升冪；而后者是由倍角表示單角的三角函數間的變形，用它則可使三角函數式中某些項降冪，這些對三角函數式的恒等變換和解三角方程很有幫助，也擴大了公式的活用范圍。

四、使學生運算時注意總結規律

三角函數問題中我們應隨時注意引導學生善于對所用知識與練習題進行分類歸納，總結方法，探尋規律，以不斷提高他們思考、推理和判斷的能力。例如，剛接觸三角函數性質綜合題時，學生常感到不知道怎樣在開始時引用公式，或恰當地選擇公式。在最初練習中，我們有必要給予一些指導、提示或是演示。

篇（8）

三角函數是一門較重要的科學知識，它往往會與理工科的其他科目有聯系，我們不僅會在數學中學習到三角知識，而且這一知識也與物理方面的相關知識掛鉤，如在電學中，有不少波的相關公式，以及得出的物理現象就是用三角函數表達式表達的，所得到的圖形是三角函數圖。所以，三角函數不僅僅是一門對數學學習有幫助，同時對于工學類的其他科目也有用途的科學，在實際工作和生活中有廣泛的應用。

二、三角函數問題概述

1三角函數問題的特點

到現在為止，我們已經接觸過了不少問題，這些三角問題大多數是通過三角函數的性質和恒等變換來求解的。如我們要計算三角函數值某個角的大小，就往往是采用計算該角的某一種三角函數值，再依據我們學過的三角函數性質，根據三角函數值的正負來確定象限得出來的。我們要判斷三角函數的單調性，或者確定三角函數的單調區間，往往可以通過基本三角函數的單調區間來求解。所以說，三角函數的一切問題的求解還在于二方面：一是對性質的把握，二是熟悉掌握三角恒等變換公式，并在具體的問題中學會靈活自如地加以應用。

三、考題分析

1考題

例題：在 中，角A，B，C 所對應的邊分別為 a，b，c，

，求A，B及b，c

2考題求解過程分析

3總體分析

上面這道題是以三角形為主要的參考模型來考查三角函數知識的，這是三角函數大題的一大常用考試思路，主要是借助三角形，給出一些已知的參數（可以是邊，可以是角，從而來求其他三角參數的值，如可以是面積，也可以是邊角，這是三角函數的一種基本的考查形式。

3.2.2本題分析

先看考題第一問，要求的是A，B的值，通常情況下，要求出角的大小，我們往往是要求一下角所在的三角函數值的大小，所以根據這一思路，我們要求出B，C的三角函數值，題中給出了三個已知條件，其中第一個邊的大小對于求解第一問起不到幫助，我們只能從后面的二個條件入手，很明顯，從條件2，可以求出C角的三角函數值，其中 ，這很容易看出來，而根據這一點，我們可以求解出C角的三角函數值， ，角C是30或150度，再根據后面的第三個條件，仍然是把A換成B和C，可以得出 ，直接得出B和C角大小相等。由此，得到三個角的大小，是一個等腰三角形。

3.3考題求解

下面，我們按照先前確定的分析過程，理一下思路，求解二問，具體如下：

解：由 得

，又

由 得

即

由正弦定理 得

四、考題總結

根據上面的這道題，我們不難發現，從結論開始進行分析和展開聯想是有必要的。上面的這一題的要求解的內容，將會直接決定我們分析的走向，如第一問要求三角函數，我們就要考慮采用三角和差公式，第二問要計算邊長，我們就要聯想到正、余弦定理。這都是我們在上面這道題中發現的規律。

4.倒推法求解三角恒等變換問題的基本思路

4.1以問題為出發點

在前面，我們就已經明確指出，倒推法是以問題為中心而展開的。所以，來了三角函數類問題，我們必須要對將要求解的問題做一個全面的了解，看一下該問題到底是要求什么，要求邊，還是求角，還是求面積，或者是單調性等。在明確了問題以后，我們就要對此問題進行定性的分析。問題不僅僅是決定我們求解的方向所在，也是我們求解的關鍵突破口。由此看來，對于問題的性質進行全面的分析是極其重要的，它為后面的解答問題起到了鋪墊的作用。

1 注意條件的對應關系

在搞清楚問題以后，我們就要開始進行推理和想象，如上面的那一個實例，我們要調動一切因素，使我們要解決的問題和已經存在的條件無限接近。如第二問，為了使邊和面積之間建立聯系，又是在三角形中，我們唯一想到的思路就是三角面積計算公式，通過公式，我們就可以得到二條邊的乘積。此外，還有一點也是重要的，那就是給出了角的正弦值，就等同于給出了邊的比例關系。如果沒有突破這一點，也無法得以求解。

2 大膽推理和聯想

在倒推法解決問題時，一定的聯想是有必要的。而且由于我們高考題在情境上會不斷發生變化，但是只是形式上的變化，仍然存在換湯不換藥，新瓶裝老酒的做法。所以，我們要根據相關的情況大膽進行推理和猜想，如有這樣一個問題。

例2：若 則 a=B

（A） （B）2 （C） （D）

此題按常規做法是要計算的，而用倒推法，我們只要分析該角的大小，或者說所處象限就行了，根據公式有 sin （a+A）= 而A很明顯是一個銳角，（a+A）=270度，意味著 處于第三象限，排除A與B選項，再根據sinA= 是一個小于30度的角，所以a必須要大于240度，于是 tan a的值比tan60的值要小，所以直接鎖定答案D。根據此題，我們可以發現倒推法無法是用于解答小題還是解答綜合題，都可以起到一定的作用。

五、結束語

根據本文的分析，倒推法不失是一種用來求解三角函數問題的基本方法。通過以問題為出發點，可以進一步理出學過的知識，求解的問題，以及我們現有的條件的關系，使我們在解決問題時，打開思路，自由發揮。更為重要的是，它是一種解決問題的思路，尤其是對于解決難度較大的綜合型問題中更可以看到這一點。值得一提的是，倒推法不僅僅適用于解決三角函數問題，它在解析幾何，立體幾何以及數列等綜合性問題中仍然有較大的用途，這一切都有待于我們在以后的解題過程中，多加總結，以便使其能夠發揮更大的作用。

參考文獻

篇（9）

常見題型：①三角函數的圖象與性質；②化簡和求值；③三角形中的三角函數；④最值．本文對高考重點、常考題型進一步總結，強化規律，解法定模，便于同學們考試中迅速提取，自如運用．

考點1．三角函數的求值與化簡

例1 已知cosα=17,cos(α－β)=1314,且0

(Ⅰ)求tan2α的值.（Ⅱ）求β.

解：（Ⅰ）由cosα=17,0

tanα=sinαcosα=43，于是tan2α=2tanα1－tan2α=2×431－(43)2=－8347

（Ⅱ）由0

又cos(α－β)=1314，sin(α－β)=1－cos2(α－β)=1－(1314)2=3314

由β=α－(α－β)得：cosβ=cos［α－(α－β)］=cosαcos(α－β)+sinαsin(α－β)

=17×1314+437×3314=12，所以β=π3.

突破方法技巧：三角函數的化簡、計算、證明的恒等變形的基本思路是：一角二名三結構．即首先觀察角與角之間的關系，注意角的一些常用變式，角的變換是三角函數變換的核心！已知角與特殊角的變換、已知角與目標角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換. 如α=(α+β)－β=(α－β)+β，2α=(α+β)+(α－β)，α+β2=(α－β2)－(α2－β)等．第二看函數名稱之間的關系，通常“切化弦”；第三觀察代數式的結構特點．

考點2．解三角形：此類題目考查正弦定理，余弦定理，兩角和差的正余弦公式，同角三角函數間的關系式和誘導公式等基本知識，以考查基本的運算為主要特征.解此類題目要注意綜合應用上述知識.

例2 設函數f(x)=cos(x+23π)+2cos2x2,x∈R．（Ⅰ）求f(x)的值域；（Ⅱ）記ABC的內角A、B、C的對邊長分別為a，b，c，若f(B)=1，b=1,c=3，求a的值．

解：（Ⅰ）f(x)=cosxcos2π3－sinxsin2π3+cosx+1=－12cosx－32sinx+cosx+1

=12cosx－32sinx+1=sin(x+56π)+1，f(x)的值域為［0,2］

（Ⅱ）由f(B)=1得sin(B+56π)+1=1即sin(B+56π)=0又因0

突破方法技巧：

(1)內角和定理：三角形內角和為π，這是三角形中三角函數問題的特殊性，解題可不能忘記！任意兩角和與第三個角總互補，任意兩半角和與第三個角的半角總互余.銳角三角形三內角都是銳角三內角的余弦值均為正值任兩角和都是鈍角任意兩邊的平方和大于第三邊的平方.

(2)正弦定理：asinA=bsinB=csinC=2R(R為三角形外接圓的半徑).注意：①正弦定理的一些變式：(i)a:b:c=sinA:sinB:sinC；(ii)sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R；(iii)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；②已知三角形兩邊一對角，求解三角形時，若運用正弦定理，則務必注意可能有兩解.

(3)余弦定理：a2=b2+c2－2bccosA,cosA=b2+c2－a22bc等，常選用余弦定理鑒定三角形的形狀.

(4)面積公式：S=12aha=12absinC.

特別提醒：（1）求解三角形中的問題時，一定要注意A+B+C=π這個特殊性：A+B=π－C,sin(A+B)=sinC,sinA+B2=cosC2；（2）求解三角形中含有邊角混合關系的問題時，常運用正弦定理、余弦定理實現邊角互化．

考點3．求三角函數的定義域、值域或最值：此類題目主要有以下幾種題型：（1）考查運用兩角和的正弦公式化簡三角函數式，以及利用三角函數的有界性來求值域的能力.（2）考查利用三角函數的性質, 誘導公式、同角三角函數的關系式、兩角差的公式，倍角公式等基本知識，考查運算和推理能力.（3）考查利用三角函數的有界性來求最大值與最小值的能力.

例3 已知函數f(x)=(1+cotx)sin2x+msin(x+π4)sin(x－π4)．

（1）當m=0時，求f(x)在區間［π8,3π4］上的取值范圍；（2）當tanα=2時，f(α)=35，求m的值．

解：（1）當m=0時，f(x)=sin2x+sinxcosx

=12(sin2x－cos2x)+12=22sin(2x－π4)+12

又由x∈［π8,3π4］得2x－π4∈［0,5π4］，所以sin(2x－π4)∈［－22,1］，

從而f(x)=22sin(2x－π4)+12∈［0,1+22］.

（2）f(x)=sin2x+sinxcosx－m2cos2x=1－cos2x2+12sin2x－m2cos2x

=12［sin2x－(1+m)cos2x］+12

由tanα=2得sin2α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanα1+tan2α=45，

cos2α=cos2α－sin2αsin2α+cos2α=1－tan2α1+tan2α=－35，所以35=12［45+(1+m)35］+12，得m=－2．

突破方法技巧：

三角函數的最值主要有以下幾種類型：①形如y=Asin(ωx+φ)、y= asinx+bcosx的，充分利用其有界性去求最值；②形如y=sinx+cosx+sinxcosx的，換元去處理；③形如y= asinx+bsin2x的，轉化為二次函數去處理；④形如y= 2－cosx2－sinx 的，可采用反表示的方法，再利用三角函數的有界性去解決，也可轉化為斜率去通過數形結合解決．

考點4．三角函數的圖象和性質：此類題目要求同學們在熟練掌握三角函數圖象的基礎上對三角函數的性質靈活運用.會用數形結合的思想來解題.

例4 已知函數f(x)=23sinxcosx+2cos2x－1(x∈R)（Ⅰ）求函數f(x)的最小正周期及在區間［0,π2］上的最大值和最小值；（Ⅱ）若f(x0)=65,x0∈［π4,π2］，求cos2x0的值．

解：由f(x)=23sinxcosx+2cos2x－1，得f(x)=3(2sinxcosx)+(2cos2x－1)=3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)，f(x)的最小正周期為π

f(x)=2sin(2x+π6)在［0，π6］上單調遞增，在［π6，π2］上單調遞減，

又f(0)=1,f(π6)=2,f(π2)=－1，f(x)在［0,π2］上的最大值為2，最小值為-1.

（2）由（1）知f(x0)=2sin(x0+π6)，又f(x0)=65,sin(2x0+π6)=35，

由x0∈［π4,π2］，2x0+π6∈［2π3,7π6］從而cos(2x0+π6)=－1－sin2(2x0+π6)=－45

cos2x0=cos［(2x0+π6)－π6］=cos(2x0+π6)cosπ6+sin(2x0+π6)sinπ6=3－4310

突破方法技巧：

研究復雜三角函數的性質，一般是將這個復雜的三角函數化成y=Asin(ωx+φ)的形式再求解，這是解決所有三角函數問題的基本思路.

篇（10）

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711(2014)06-0144

一、前言

三角函數是高中數學的重要內容，同樣也是高考的熱點，其內容豐富、公式眾多、方法靈活。高考考查的內容包括：三角形中的三角函數、三角函數的圖象和性質、三角函數的化簡求值、三角函數的最值及綜合應用，這些對考生分析問題和解決問題的能力要求較高。本文從歷年真題出發，分析了高考中三角函數這一熱點的新變化。

二、高考中三角函數的考查特點

每年三角函數的考查內容都有所不同，但對近幾年高考中出現的三角函數題型進行仔細分析和總結，我們就會發現高考對于三角函數的考查具有一定的規律，即在考查內容、分值、題量這三方面保持穩定。考題中除了對內容的考查外，都側重考查學生的計算能力、演繹推理能力、綜合解決問題的能力等。

當然每年的高考都會出現新的變化，主要體現在出題的新意，往往以新穎的形式出現一些新的題型，特別是一些創新型問題，主要考查學生對重要數學思想方法的掌握情況，以及考試時對自己心態的調整。解決這些問題有一把“利劍”，那就是特殊化方法。特殊化方法的解題依據是，題目所敘述的一般情形成立，則對特殊情形也應該成立，若不成立，則必然選項是錯誤的。特殊化方法一般有賦特殊值、特殊函數等。雖然三角函數內容豐富、性質廣泛、產生的問題多樣，但學生只要掌握了其基本內容，就能很好地利用。全國實行新課程改革以后，高中數學增添了很多與現代生活密切相關，和當代科學技術發展密切聯系的新內容，這些內容時代性強、應用性廣，自然會吸引高考命題者更多關注的目光。

三、高考中三角函數的新題型

1. 有關三角函數的定理

三角函數是高中數學中所涉及到的一種非常重要的函數，它屬于初等函數中的一類函數。三角函數的本質是任意角的集合與一個比值的集合的變量之間的映射。三角函數一般情況下是在平面直角坐標系中來進行定義的，其定義域為整個實數域。另一種定義則是在直角三角形中，但這種定義并不完全。現代數學把它們描述成無窮數列的極限和微分方程的解，將其定義擴展到復數系。它包含六種基本函數：正切、余切、正弦、余弦、正割、余割。由于三角函數的周期性，它并不具有單值函數意義上的反函數。三角函數在復數中有較為重要的應用。此類題側重考查課本上的基本知識，主要是三角函數的公式、定理、性質的推導等，要求學生掌握課本上的知識精髓，不但要知其然，還要知其所以然。引導考生回歸課本，重視基礎知識的學習和鞏固。

2. 三角函數的圖像和性質

在高考中，三角函數的圖像和性質是對三角函數考查的重點內容。三角函數的圖象和性質具有很強的實際作用。其圖像和性質具有綜合性、靈活性，是學生解決生活中實際問題的工具，同時對于學生升入高等學府能否學習好高等數學以及應用數學有著決定性的作用，所以高考題中考查這一類內容的比較多。順應素質教育的要求，近幾年的高考降低了對三角變換的考查，那么必然會加大對三角函數圖像與性質的考查力度，進而使三角函數的圖像和性質成為高考的重點和熱點以及主要題型。

3. 三角函數的最值及綜合應用

近幾年的高考側重對學生能力的考查，往往在數學知識的交匯點設計題型，考查學生綜合運用知識解決問題的能力。此類問題主要考查三角函數的最值、恒等變換、三角函數圖像和性質以及與三角函數有關學科內的綜合問題，如與數列、不等式、解析幾何等相結合，多為解答題。而三角函數最值問題仍將是高考的熱點。三角函數和數列的主要考查內容是數列基礎知識、三角函數的最值問題，同時考查了學生們分析問題、解決問題的能力。

4. 三角函數的求零點問題

這類題考查的主要內容是三角函數的圖像及其性質、解題要點是：根據考題的特點合理運用數形結合法，根據函數的性質(值域、單調性等)進行判斷，或直觀觀察并作出判斷。

5. 有關三角函數的定積分問題

此類題考查的內容主要是三角函數在定積分中的應用。解題的要點是正確且靈活地運用定積分公式及三角函數求導的逆用。定積分是新課標新增的內容，有著廣泛的應用，這是考查三角函數的新題型，這類題型難度比較低，估計今后也會成為高考的發展方向。另外，新課標引入了導數，導數作為工具往往與三角函數結合在一起進行考查。解決此類問題的要點是理解求導的幾何意義并熟記三角函數求導公式。這是今后三角函數考查的一個重要方向，也是高考的重點。

四、結束語

高考命題通常以突出能力考查為主旨，側重于學生對三角函數綜合性和應用性的考查，在知識的交叉點設計綜合類試題，不斷求新求變。因此，在指導學生復習時，要切實根據高考大綱指導學生的日常學習，讓學生掌握數學的基本知識，同時，不斷容納新知識，注意新舊知識的融合，培養學生對數學知識的關聯能力，提高學生的科學素養及解題能力。

參考文獻：

[1] 徐旭明.解讀高考解答題中的三角函數題[J].數學學習與研究(教研版), 2009(5)．