時(shí)間:2023-09-04 16:41:31
序論:好文章的創(chuàng)作是一個(gè)不斷探索和完善的過程,我們?yōu)槟扑]十篇初中數(shù)學(xué)逆向思維范例,希望它們能助您一臂之力,提升您的閱讀品質(zhì),帶來更深刻的閱讀感受。
例1:a為何值時(shí),方程a/(x+1)-1/(1-x2)會(huì)產(chǎn)生增根?
分析:此題按常規(guī)思路考慮,運(yùn)算量大,不易求出a的值,如運(yùn)用逆向思維――反推發(fā)就能簡便的得出a的值。
解:若原方程有增根,則增根必須是x=1或x=-1,由增根意義可知,x=1或x=-1是原方程去分母后得到的整式X2+aX+a-2的根,當(dāng)x=1時(shí),-2≠0,當(dāng)x=-1時(shí),2a=1,即a=1/2,所以a=1/2時(shí),原方程會(huì)產(chǎn)生增根。
例2:已知m≠n且m,n滿足m2-5m+2=0,n2-5n+2=0求n/m+m/n的值.
分析:解此題的常規(guī)方法就是根據(jù)解一元二次方程,分別求出題中的兩個(gè)方程中的未知數(shù)M和N的值,再把值帶入未知式。但是這樣做的工作量很大,M和N各有兩個(gè)根,需要代入計(jì)算四次。所以我們可以利用逆向思維,首先考慮未知式,對(duì)它進(jìn)行化簡,再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行解題,具體步驟如下
解:由題設(shè)逆用方程的根的概念,也就是說m,n是方程x2-5x+2=0的兩個(gè)根,由根與系數(shù)的關(guān)系可知:m+n=5,mn=2,所以.
例3:已知a,b,c是實(shí)數(shù),a〉b〉c,且a+b+c=0,求證:拋物線y=aX2+bX+c開口向上。
分析:此題從正面無法下手解決問題,若運(yùn)用“反證法”,就有出人意料的效果。
證明:因?yàn)閍≠0,假設(shè)拋物線開口向下,則a〈0。又因?yàn)閍〉b〉c,所以b〈0,
c〈0,此時(shí)與a+b+c=0相矛盾。因此假設(shè)不成立,即拋物線y=aX2+bX+c開口向下。
二、幾何證明題中滲透逆向思維
例1:在四邊形ABCD中,AB=CD,M,N,P,Q分別是AD,BC,BD,AC的中點(diǎn).
求證,MN與PQ互相垂直平分.
分析:要證明MN與PQ互相垂直平分,我們可以把構(gòu)建成MN與PQ四邊形正方形或菱形的對(duì)角線,具體方法如下:
解:連結(jié)MP,PN,NQ,MQ,M,P是AD,BD的中點(diǎn),MP∥AB,MP=AB/2,
同理:NQ∥AB,NQ=AB/2,MP∥NQ,MP=NQ,四邊形MPNQ是平行四邊形.
同理,MQ=CD/2,又AB=CD,MP=MQ,平行四邊形MPNQ是菱形,
MN與PQ互相垂直平分.
例2:如下圖所示已知:AB、CD是圓內(nèi)非直徑的兩條弦,求證AB與CD不能互相平分
證明:假設(shè)AB與CD互相評(píng)分與M點(diǎn),則由已知條件AB、CD均非直徑,可以判定M不是圓心,連接OA、OB、OM
因?yàn)镺A=OB,M是AB中點(diǎn),所以O(shè)MAB
同理可證
在課堂教學(xué)的過程中,有許多具體的數(shù)學(xué)問題可以用雙向的思維進(jìn)行考慮,教師可以充分挖掘這些問題,對(duì)學(xué)生進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練,使學(xué)生有意識(shí)的逐漸養(yǎng)成獨(dú)立運(yùn)用逆向思維考慮問題的能力.在數(shù)學(xué)課本中,運(yùn)用雙向思維的地方有很多,例如,在講解多項(xiàng)式因式分解法中的公式法之后,還要啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生從逆向進(jìn)行分析,找出它們的聯(lián)系在哪,使學(xué)生清晰的掌握解決此類問題時(shí)的切入點(diǎn)和解題點(diǎn).
二、從基礎(chǔ)概念入手,增強(qiáng)逆向思維意識(shí)
數(shù)學(xué)知識(shí)中有很多互逆的概念,在講授這些互逆概念時(shí),可以采用先講解正向、然后逆向、最后正逆向進(jìn)行聯(lián)系比較的授課方式,深刻發(fā)掘互逆的因素,將學(xué)生長期形成的定式思維打破,樹立逆向思維的意識(shí),這樣可以有效的加深學(xué)生對(duì)概念的辨析程度,更加透徹的理解概念,還能逐漸形成進(jìn)行雙向思考的良好習(xí)慣.
三、在教學(xué)公式法則時(shí),培養(yǎng)學(xué)生的逆用能力
數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中,存在著很多的具有雙向性的公式、定理或者法則,雖然它們的雙向性很容易被學(xué)生們理解,但是在實(shí)際的運(yùn)用過程中,大多數(shù)人只習(xí)慣使用從左到右的正向性,對(duì)于逆向性卻很陌生.因此,在講授公式、法則的時(shí)候應(yīng)該加強(qiáng)對(duì)逆向性的講解和使用,只有很靈活的掌握正向、逆向的法則、公式才能在解題的過程中做到游刃有余.
四、在解題的訓(xùn)練中,強(qiáng)化學(xué)生的逆向思維
在數(shù)學(xué)問題的解答過程中,我們常用到的集體思路有分析法、反證法,這些都是解決數(shù)學(xué)問題中逆向思維的應(yīng)用.當(dāng)要進(jìn)行幾何證明時(shí),最有效培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的解題方式是分析法,鑒于此,在幾何的教學(xué)過程中,教師要重點(diǎn)對(duì)學(xué)生講解分析法的相關(guān)思路和想法.通常情況下,題目的解答都是由已知的條件出發(fā),去直接推導(dǎo)要求的結(jié)果,但是有些題目卻需要從反面去思考,改變定式的思維,或者從所求結(jié)論入手,找出求證所必須的條件進(jìn)行思考,尋求最直接的解題途徑和最簡潔的解題突破口.
五、使學(xué)生們?cè)诙鄻踊顒?dòng)中體驗(yàn)數(shù)學(xué),增強(qiáng)學(xué)生的逆向思維
作為教師要積極調(diào)動(dòng)各方面的資源,為學(xué)生創(chuàng)造一些能夠自己動(dòng)手接觸并且探索數(shù)學(xué)問題活動(dòng)的機(jī)會(huì),不僅能提高學(xué)生的動(dòng)手能力,還能提高他們的培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)精神和合作交流能力.事實(shí)證明,如果學(xué)生能在活動(dòng)中自己發(fā)現(xiàn)問題,并且積極思考進(jìn)行解決,所收獲的效果比教師逐步引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行雙向思考更加顯著.例如,在進(jìn)行計(jì)算儲(chǔ)蓄和銀行利息教學(xué)的過程中,教師可以對(duì)學(xué)校和銀行進(jìn)行協(xié)調(diào),結(jié)合實(shí)際情況盡可能使每一位同學(xué)都有機(jī)會(huì)去了解在銀行中關(guān)于各檔利息信息和計(jì)算利息所得稅的方法,在充分實(shí)際調(diào)研的前提下,整理好數(shù)據(jù),編寫成與數(shù)學(xué)課程相關(guān)的題目,根據(jù)自己掌握和了解的知識(shí)在課后進(jìn)行解答,然后再在課堂上進(jìn)行交流探討、分類匯總,挑選出好的題目,同學(xué)們一起進(jìn)行討論研究,這樣更好的加深學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)的熱情和對(duì)知識(shí)的理解.
六、尊重學(xué)生的個(gè)體差異,做到以人為本
在新課標(biāo)的教學(xué)理念中,明確提出了教學(xué)活動(dòng)要貫徹落實(shí)“以人為本”的理念.在我們根深蒂固的傳統(tǒng)教學(xué)模式中,最終的教學(xué)結(jié)果就是要求學(xué)生根據(jù)課本和教師的講解,得出所謂的標(biāo)準(zhǔn)答案,但是每個(gè)學(xué)生的接受能力不一樣,掌握運(yùn)用知識(shí)的快慢程度也不一樣,如果單純的布置統(tǒng)一的作業(yè),導(dǎo)致學(xué)生沒有任何創(chuàng)造性,思維得不到開拓.因此,教師要充分注意學(xué)生存在差異性,要有針對(duì)性的布置難度不同的作業(yè),在他們的能力范圍內(nèi)調(diào)動(dòng)他們的學(xué)習(xí)積極性,由淺入深,逐漸提高學(xué)生的思維能力,使每個(gè)學(xué)生的特點(diǎn)長處得到充分的發(fā)掘和發(fā)展.
總之,在數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中,逆向思維是一種很重要的思維方式,它不僅有助于使學(xué)生們探尋一些難題的解題方向,尋找恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑,還能加強(qiáng)學(xué)生們對(duì)概念和原理的認(rèn)識(shí)及理解.作為初中數(shù)學(xué)教師,必須從自身出發(fā),掌握扎實(shí)豐富的基礎(chǔ)知識(shí),結(jié)合恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)模式,量力而為、適可而止的對(duì)學(xué)生們進(jìn)行思維培養(yǎng),循序漸進(jìn),切不能急于求成,充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的逆向思維,不斷優(yōu)化他們的思維品質(zhì),最終達(dá)到每個(gè)學(xué)生的創(chuàng)新思維得到全面的發(fā)展和提高.
1 引言
數(shù)學(xué)是一門十分重要的學(xué)科,它在我們的現(xiàn)實(shí)生活中也有著很大的用途,所以說學(xué)好數(shù)學(xué)是非常有利于學(xué)生將來學(xué)業(yè)的發(fā)展的。在我們的課堂里,數(shù)學(xué)教學(xué)中,逆向思維能起到的效果會(huì)讓你意想不到,它不僅能夠開拓學(xué)生的想象空間與理解基礎(chǔ)的知識(shí),更能發(fā)現(xiàn)解題的技巧跟克服遲滯性的思維。
2 基本定義公式和定理教學(xué)的逆向思維應(yīng)用
概念具有兩個(gè)要素:內(nèi)涵與外延,兩者存在反比關(guān)系,內(nèi)涵豐富外延就小,內(nèi)涵少則外延就廣,數(shù)學(xué)概念也是如此。在教授概念時(shí),在對(duì)概念內(nèi)涵與外延進(jìn)行深入剖析的基礎(chǔ)上,讓學(xué)生通過逆向思維體會(huì)概念存在的充分條件和必要條件。
3 充分利用習(xí)題訓(xùn)練,培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維
習(xí)題訓(xùn)練也是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的重要途徑之一。教師有意識(shí)地選編一些習(xí)題,進(jìn)行逆向思維的專項(xiàng)訓(xùn)練,對(duì)提高學(xué)生的逆向思維能力能夠起到很大的促進(jìn)作用。數(shù)學(xué)中的許多公式、法則都可用等式表示。等號(hào)所具有的雙向性學(xué)生容易理解,但很多學(xué)生習(xí)慣于從左到右運(yùn)用公式、法則,而對(duì)于逆向運(yùn)用卻不習(xí)慣,因此,在數(shù)學(xué)公式、法則的教學(xué)中,應(yīng)加強(qiáng)公式法則的逆用指導(dǎo),使學(xué)生明白,只有靈活地運(yùn)用,才能使解題得心應(yīng)手。
分析:只注意到結(jié)果中的x(x-1)2是積的形式,卻忽略了小尾巴“-2”使積成了和,應(yīng)該這樣做原式=(x3-2x2)+(x-2)=( x-2)( x2+1)
4 要注意引導(dǎo)學(xué)生探索定理的逆命題是否成立
初中的數(shù)學(xué)命題中,很多性質(zhì)定理和判定定理互為逆定理。對(duì)于數(shù)學(xué)定理,探索其逆命題是否成立,既可以訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維能力,又能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)造性思維。
例如,等腰三角形三線合一的性質(zhì),可分為三種情況:頂角平分線和底邊上的中線互相重合;頂角平分線和底邊上的高互相重合;底邊上的中線和高相互重合。這三種情況都易于證明,其逆命題是否成立?三種情況是否都成立?學(xué)生探索后發(fā)現(xiàn):一邊上的中線和高互相重合的三角形是等腰三角形,一角平分線和對(duì)邊上的高相互重合的三角形是等腰三角形,而一角平分線和對(duì)邊中線相互重合的三角形是等腰三角形卻沒法證明。三種情況的不同,既能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,又能培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力。
又如,對(duì)頂角相等是正確的,而其逆命題:相等的角是對(duì)頂角卻不正確。數(shù)學(xué)命題的正確與否,說明方法有兩種:證明和反例。證明即肯定一個(gè)命題,必須在題設(shè)的條件下,對(duì)所有可能情形都證明其結(jié)論正確,而否定一個(gè)命題時(shí)只要舉一個(gè)符合題設(shè)而結(jié)論不成立的例子,即反例即可。反例是突破固有定向思維而從問題的逆向思考的。因而,反例教學(xué)也是培養(yǎng)逆向思維的一條重要途徑。在教學(xué)中,反例教學(xué)要引起足夠的重視。三、要注意引導(dǎo)學(xué)生探索定理的逆命題是否成立。
初中的數(shù)學(xué)命題中,很多性質(zhì)定理和判定定理互為逆定理。對(duì)于數(shù)學(xué)定理,探索其逆命題是否成立,既可以訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維能力,又能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)造性思維。
橫向思維是從知識(shí)之間的橫向相似出發(fā),即從數(shù)學(xué)的不同分支:代數(shù)、幾何、三角或分析等角度去考查對(duì)象,從有關(guān)規(guī)律出發(fā)去模擬,仿造或分析問題的思維方式.它利用相似性,把不同知識(shí)與方法交叉起來,從橫向的聯(lián)系中得到暗示或啟發(fā),從而具有發(fā)現(xiàn)知識(shí)或方法的開放性,以及解決問題的靈活性.
從以上兩例可看出,橫向思維需要有“似曾相識(shí)”的感覺,要以一定的數(shù)學(xué)知識(shí)和解題經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ),知道一些基本問題的解法.只有如此,對(duì)于一個(gè)陌生的問題,進(jìn)行過深思熟慮的分析,采取遷移、轉(zhuǎn)化、構(gòu)造等手法,才有可能聯(lián)想到一個(gè)熟悉的且與所給問題相類似的簡易問題,并根據(jù)這個(gè)簡易問題的解法來揣測解決所給問題采取的途徑,最終使問題獲解.在這一系列過程中,學(xué)生的零散知識(shí)得到重組,積極性充分調(diào)動(dòng)起來,分析解決問題的能力得到提高,活躍了思維,磨練了意志.
二、逆向思維
逆向思維是從已有的習(xí)慣思路的反向去思考和分析問題,表現(xiàn)為逆用定義、定理、公式、法則;逆向進(jìn)行推理,即順推繁雜時(shí)考慮逆求;反向進(jìn)行證明,即直接解決較困難時(shí)考慮間接解決,從反方向形成新結(jié)論,即探討可能性或合理性存在邏輯困難時(shí)考慮探討新的可能性等.逆向思維反映了思維過程的間斷性、突變性和反聯(lián)結(jié)性,它是擺脫思維定式,突破舊有思想框架,產(chǎn)生新思想、發(fā)現(xiàn)新知識(shí)的重要思維方式.
例3 如圖2,如果凸四邊形ABCD的兩組對(duì)邊的平方和相等,試證:ABCD的對(duì)角線互相垂直.
在當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中常采用的反證法和公式、定理的逆用等都是運(yùn)用了逆向思維,以下本文將簡單介紹如何在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中開發(fā)和應(yīng)用逆向思維。
一、逆向思維在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用
逆向思維的重要意義就是要打破學(xué)生的思維定式,解除學(xué)生固有的思維框架,逆向思維就是在思考問題時(shí)思維發(fā)生突變和跳躍,從而獲得全新的解題思路和方法,逆向思維是建設(shè)新理論、發(fā)展新科學(xué)的重要途徑。在數(shù)學(xué)教學(xué)中常應(yīng)用的假設(shè)需求解變量為x,即逆向思維在數(shù)學(xué)中最常見的應(yīng)用,其原理就是把原本需求解的未知數(shù)假定為x代入算式中,視x為已知,利用關(guān)系式反推而最終求出x的值。早在19世紀(jì)逆向思維就被應(yīng)用到數(shù)學(xué)教學(xué)中,從而得出了“非歐幾何”,20世紀(jì)的“模糊數(shù)學(xué)”也是逆向思維在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用的典型事例。
二、數(shù)學(xué)教學(xué)中逆向思維的開發(fā)和鍛煉
關(guān)于如何在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中開發(fā)和鍛煉學(xué)生的逆向思維,筆者有以下兩點(diǎn)建議。
1.將逆向教學(xué)滲入基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)中
數(shù)學(xué)是初中教育的基礎(chǔ)學(xué)科之一,在重視學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)熟練掌握和應(yīng)用的同時(shí),將逆向思維、逆向教學(xué)引入,不但可以加深學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的了解,還能夠開拓學(xué)生的思維能力和思考方式。在概念等基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)上應(yīng)著重加強(qiáng)逆向思維的教育。例如在概念中存在很多的“互為”關(guān)系,如“互為相反數(shù)”“互為倒數(shù)”等,教師可以利用這樣的概念來引導(dǎo)學(xué)生從正反兩個(gè)方面分析和解決問題,培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的能力,幫助學(xué)生建立雙向的思維模式。如果教師能夠在數(shù)學(xué)教學(xué)中適當(dāng)、適時(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從命題的反面來思考問題,那么學(xué)生的逆向思維能力就會(huì)在基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)中逐漸被開發(fā)出來。
2.強(qiáng)化逆向思維在解題方法上的滲透
①分析法。分析法注重由結(jié)論倒推需要得出解題答案的條
件,倒推過程中會(huì)發(fā)現(xiàn)解題需要的充分條件都在已知條件中,分析法可以幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到解題過程是可逆的,有助于學(xué)生逆向思
維能力的培養(yǎng)。②反證法。反證法就是利用已知條件推理論斷來證明命題的相反面不成立,從而證明命題成立,反證法屬于間接求證的方法,數(shù)學(xué)中的很多命題從正面得出結(jié)論是非常難的,這時(shí)一般都會(huì)采用反證法,加強(qiáng)學(xué)生對(duì)反證法應(yīng)用的鍛煉,有助于開發(fā)學(xué)生的逆向思維、拓展學(xué)生思維的深度和廣度。③舉反例法。在解決數(shù)學(xué)問題時(shí),若要證明某個(gè)命題是錯(cuò)的,除直接證明外,還可以采用舉反例的方式來證明。即找出一個(gè)符合命題的條件,但是在該條件下命題結(jié)論并不成立的例子,這樣就證明這個(gè)命題是錯(cuò)誤的,舉反例法需要學(xué)生從逆向來看待問題、解決問題。因此,加強(qiáng)學(xué)生舉反例的鍛煉,也可極大地開發(fā)學(xué)生的逆向思維能力。
數(shù)學(xué)作為一門重要的學(xué)科之一,學(xué)生十分有必要學(xué)好數(shù)學(xué),
這樣學(xué)生才能更好地發(fā)展自身的學(xué)業(yè)。在新課程標(biāo)準(zhǔn)的推動(dòng)下,逆向思維的應(yīng)用對(duì)于初中數(shù)學(xué)教學(xué)來講尤為重要。學(xué)生只有掌握好逆向思維的應(yīng)用,才能更好地掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí),拓展想象力,進(jìn)而有效拓展新的解題思路。
參考文獻(xiàn):
【文章編號(hào)】0450-9889(2013)01B-
0075-02
逆向思維又稱反向思維,屬于發(fā)散性思維,是在研究問題的過程中有意地去做與正向思維相反方向的探索。進(jìn)行逆向思維可以突破思維定勢(shì),往往能創(chuàng)造性地發(fā)現(xiàn)簡捷、新穎、奇異的解決問題方法。
逆向思維在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有廣泛的應(yīng)用,經(jīng)過逆向思維訓(xùn)練的學(xué)生,思考問題比較靈活,解決疑難問題的效率比較高,處理實(shí)際問題的能力比較強(qiáng)。因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中必須注意培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維,在分析問題時(shí),根據(jù)實(shí)際情況恰當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生從反面來考慮,使學(xué)生學(xué)會(huì)動(dòng)腦。
一、從概念定義去逆向思考
在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中,應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生透徹理解概念的定義,并注意根據(jù)教學(xué)內(nèi)容,適時(shí)進(jìn)行逆用定義的指導(dǎo)和訓(xùn)練,從而使學(xué)生加深對(duì)概念定義的理解。
【例1】(2006年無錫試題)已知a、b滿足a2-2a-1=0,b2-2b-1=0,則+的值等于 。
分析:此題如果用求根公式分別求出a、b的值,再代入求值式子計(jì)算,非常繁瑣。如果注意到題目條件的結(jié)構(gòu)特征,從一元二次方程根的定義來進(jìn)行逆向思考,則可得到簡捷解法。
二、逆用數(shù)學(xué)公式、法則
數(shù)學(xué)公式、法則的雙向性學(xué)生容易理解,但很多學(xué)生只習(xí)慣順向運(yùn)用公式、法則,而對(duì)逆向運(yùn)用卻不習(xí)慣。因此,在數(shù)學(xué)公式、法則的教學(xué)中,應(yīng)加強(qiáng)逆用公式、法則的指導(dǎo),使學(xué)生明白,只有靈活運(yùn)用公式、法則,才能使解題得心應(yīng)手。
三、通過逆向運(yùn)算求解
【例3】(第五屆美國數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題)求出滿足下列條件的最小正整數(shù)n:對(duì)于n,存在正整數(shù)k,使
分析:為了從條件中找出n應(yīng)該滿足的關(guān)系,需要簡化,分離n,為此,可對(duì)條件不等式的各項(xiàng)取倒數(shù)。
四、從已知條件的反面入手解題
五、根據(jù)結(jié)論找出使結(jié)論成立的條件
數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出:“義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程,其基本出發(fā)點(diǎn)是促進(jìn)學(xué)生全面、持續(xù)、和諧地發(fā)展……使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí),在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展。” 要使學(xué)生在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展,我認(rèn)為在數(shù)學(xué)教學(xué)中加強(qiáng)逆向思維訓(xùn)練是一個(gè)有效的捷徑。中學(xué)數(shù)學(xué)教材中的“逆運(yùn)算” “逆否命題 ” “反證法 ”“分析法”等很多地方都涉及到思維的逆向性。培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力是素質(zhì)教育的一項(xiàng)重要任務(wù),數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)于提高學(xué)生的思維能力有特殊的意義。
俗話說的好:“在逆境中求生存,在生存中求發(fā)展。” 在逆境中如何求生存,這就要去思考,而創(chuàng)造性思維往往來自逆向思維,有時(shí)候則要打破常規(guī)的思維方式,反其道而行之,達(dá)到擺脫困境的目的,這樣的例子在歷史上枚不勝舉。有人落水,常規(guī)的思維模式是“救人離水”,而“司馬光砸缸”救起了小伙伴,就是運(yùn)用了“破缸留人”的逆向思維。古羅馬的阿基米德利用水的浮力和物體的排水量來鑒定國王的金冠。在數(shù)學(xué)教學(xué)中注重學(xué)生逆向思維訓(xùn)練,就可以使學(xué)生養(yǎng)成多角度、多方位、多功能、多途徑思考問題的習(xí)慣,達(dá)到解決問題的目的。 解題教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的重要手段之一,因此教師在進(jìn)行解題教學(xué)時(shí),應(yīng)充分進(jìn)行逆向分析,以提高學(xué)生的解題能力。
以以下兩類為例:
一、順推不行則逆推
有些數(shù)學(xué)題,直接從已知條件入手來解,會(huì)得到多個(gè)結(jié)論,導(dǎo)致中途迷失方向,使得解題無法進(jìn)行下去。此時(shí)若運(yùn)用分析法,從命題的結(jié)論出發(fā),逐步往回逆推,往往可以找到合理的解題途徑。例如:
例1 已知a,b是 不相等的正數(shù),求證:a3+ b3> a2b+ ab2要使 結(jié) 論 成立: a3 + b3> a2b+ ab2,只須知(a+b)(a2-ab+b2)> a2b+ab2,因?yàn)閍+b>0,要使(a+b) (a2-ab+b2) >a2b+ab2成立只須知道a2 -ab +b2>ab,要使a2 -ab +b2 > ab成立只須知道a2-2ab+ b2> 0,要使a2-ab+b2> 0成立只須知道(a-b)2>0。顯然由題設(shè)a≠b,(a -b)2>0是成立的。
例2 某文具店第一次把乒乓球賣出一半后,補(bǔ)充1000個(gè),以后每次賣出一半后,都補(bǔ)充1000個(gè),到第十次,賣出一半后恰好剩下了1000個(gè),文具店原有多少個(gè)乒乓球?
分析 :若直接設(shè)文具店原有x個(gè)乒乓球,則第一次賣出一半后剩下x的一半個(gè).第二次賣出一半后剩下(x的一半加1000)的一半,依次下去做…這就太復(fù)雜了,現(xiàn)采用分析法解答。
解:設(shè)第十次賣出前有x個(gè)乒乓球,則x÷2= 2000,得x=2000這也是第九次賣出一半再補(bǔ)充1000個(gè)后的乒乓的球數(shù),又設(shè)第九次賣出前有y個(gè)乒乓球1000,得y=2000,這也是第九次賣出一半再補(bǔ)充1000個(gè)乒乓球數(shù)。因每次賣出和補(bǔ)充乒乓球數(shù)的規(guī)律相同,可知文具店原來有乒乓球2000個(gè)。
二、正面不行用反面
這里的反面指的是用反證法,是初中階段兩大間接證發(fā)中的一種,另一種是同一法。
例1 設(shè) 二實(shí)數(shù)a和b,若a2+b2=0,則a和b必須同時(shí)為零。
證明 :設(shè) a,b至少有一個(gè)不為0,則有擴(kuò)、少中至少有一個(gè)不為0.
則有a2+b2>0,與已知矛盾,所以假設(shè)不成立,原式成立。
例2: 有關(guān)于x的三個(gè)方程x2 +4mx-4m+3=0; x2 +(m-1) x+m2 =0; x2 +2mx-2m=0.它們中至少一個(gè)有實(shí)根,求實(shí)數(shù)m的范圍。
分析 “至少一個(gè)有實(shí)根”包括只有一個(gè)有實(shí)根;其中兩個(gè)方程有實(shí)根;三個(gè)方程都有實(shí)根三種情況。但我們考慮問題的反面:m為何實(shí)數(shù)時(shí),三個(gè)方程均無實(shí)根。問題變得簡單易解。
解: 若三個(gè)方程均無實(shí)根,則有 :
1<0,2<0,3<0
則: -3/2 <m<-1
數(shù)學(xué)中的定義是通過揭示其本質(zhì)而來的,定義都是充要條件,均為可逆的。所以,其命逆題也是成立的。因此,定義即是某一個(gè)數(shù)學(xué)概念的判定方法,也是這一概念的性質(zhì)。在教學(xué)中應(yīng)充分利用這一特征,尤為注意定義的逆用解決問題。在定義的教學(xué)中,除了讓學(xué)生理解定義本身及其應(yīng)用外,還要善于引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生逆向思考,從而加深對(duì)定義的理解與拓展。
如絕對(duì)值是這樣定義的:“正數(shù)的絕對(duì)值是它的本身,負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù),零的絕對(duì)值是零”除了從正向去理解計(jì)算,還要教學(xué)生逆向去理解,如“計(jì)算︱5︱=?︱-5︱=?”,這是從正向去理解計(jì)算,“一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值等于5,這個(gè)數(shù)是多少?”這是逆向去理解計(jì)算。
二、重視數(shù)學(xué)公式、法則、性質(zhì)的可逆性教學(xué)
數(shù)學(xué)公式本身是雙向的,由左至右和由右至左同等重要,但習(xí)慣上講究由左至右或化繁為簡的順序。為了防止學(xué)生只能單向運(yùn)用公式,教師應(yīng)通過對(duì)公式的推導(dǎo)、公式的形成過程與公式的形式進(jìn)行對(duì)比,探索公式能否逆向運(yùn)用,從而培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力和逆用公式,鼓勵(lì)他們別出心裁地去解決問題,在“活”字上下工夫。
公式從左到右及從右到左,這樣的轉(zhuǎn)換正是由順向思維轉(zhuǎn)到逆向思維的能力的體現(xiàn)。因此,當(dāng)講授完一個(gè)公式及其應(yīng)用后,緊接著舉一些公式的逆應(yīng)用的例子,可以開闊學(xué)生的思維空間。
三、重視引導(dǎo)學(xué)生探討命題(定理)的逆命題
每個(gè)定理都有它的逆命題,但逆命題不一定成立,經(jīng)過證明后成立即為逆定理。在平面幾何中,許多的性質(zhì)與判定都有逆定理。因此教學(xué)時(shí)應(yīng)重視定理和逆定理,強(qiáng)調(diào)其可逆性與相互性,對(duì)培養(yǎng)學(xué)生推理證明的能力很有幫助。例如:“互為余角”的定義教學(xué)中,可采用以下形式:∠A+∠B=90°,∠A、∠B互為余角(順向思維),∠A、∠B互為余角?!螦+∠B=90°(逆向思維)。
當(dāng)然,在平常的教學(xué)中,教師本身應(yīng)明確哪些定理的逆命題是真命題,才能適時(shí)給學(xué)生以訓(xùn)練。如:平行線的性質(zhì)與判定,線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定,平行四邊形的性質(zhì)與判定等,注意它的條件與結(jié)論的關(guān)系,加深對(duì)定理的理解和應(yīng)用,重視逆定理的教學(xué)對(duì)開闊學(xué)生思維視野,活躍思維大有益處。
四、注意逆向思維能力的培養(yǎng)
1.在解題中進(jìn)行逆向思維能力的培養(yǎng)
我們知道,解數(shù)學(xué)題最重要的是尋求解題思路,這就需要我們解題之前,綜合運(yùn)用分析和綜合或先順推,后逆推;或者先逆推,后順推;或者邊順推邊逆推,以求在某個(gè)環(huán)節(jié)達(dá)到統(tǒng)一,從而找到解題途徑。由此可見,探求解題思路的過程也存在著思維的可逆性,它們相輔相成,互相補(bǔ)充,以達(dá)到此路不通彼路通的效果。中學(xué)數(shù)學(xué)課本中的逆運(yùn)算、否命題、反證法、分析法、充要條件等都涉及到思維的逆向性,在數(shù)學(xué)解題中,通常是從已知到結(jié)論的思維方式,然而有些數(shù)學(xué)總是按照這種思維方式則比較困難,而且常常伴隨有較大的運(yùn)算量,有時(shí)甚至無法解決,在這種情況下,只要我們多注意定理、公式、規(guī)律性例題的逆用,正難則反,往往可以使 問題簡化,經(jīng)常性地注意這方面的訓(xùn)練可以培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性。
2.教學(xué)設(shè)計(jì)中進(jìn)行逆向思維教學(xué)的運(yùn)用
教學(xué)設(shè)計(jì)是中不僅注意反映教材的重點(diǎn)、難點(diǎn),還要注意到對(duì)學(xué)生思維能力的培養(yǎng),特別要注意逆向思維的運(yùn)用。因此經(jīng)常逆向設(shè)問,以培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維意識(shí)。
同時(shí)教師應(yīng)經(jīng)常地、有意識(shí)地從正反兩反面探索數(shù)學(xué)問題,引導(dǎo)學(xué)生從對(duì)立統(tǒng)一中去把握數(shù)學(xué)對(duì)象,解決數(shù)學(xué)問題。
教師在總結(jié)思維過程時(shí)應(yīng)告訴學(xué)生有的問題從“正面”不易解答時(shí),從其“反面”思考往往有突破性效果。通過分析啟發(fā)很容易掌握,既激發(fā)了學(xué)生解題興趣,又培養(yǎng)了學(xué)生正確思維方法和良好的思維習(xí)慣,思維能力逐步提高。因式分解一章教材本身就明確提出了“因式分解與整式乘法的互逆關(guān)系”,教學(xué)中抓住“互逆”、“反過來”這條主線,就能讓學(xué)生真正理解因式分解的意義,并得到逆向思維的訓(xùn)練從而提高思維能力。
興趣是最好的老師,因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中教師應(yīng)該想方設(shè)法激發(fā)學(xué)生的興趣,增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)逆向思維的積極性。
首先要確立教學(xué)活動(dòng)的主體――學(xué)生,要讓學(xué)生主動(dòng)積極地參與到教學(xué)活動(dòng)中來,充分發(fā)揮他們的主觀能動(dòng)性,激發(fā)他們探求知識(shí)的欲望。
其次教師要不斷提高自身的素質(zhì)。教師所擁有的淵博的知識(shí)及超凡的人格魅力也能在一定程度上激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性。
再次,教師要有意識(shí)地運(yùn)用逆向思維方法分析、引導(dǎo)和演示一些經(jīng)典的題型,從而讓學(xué)生體會(huì)到逆向思維的偉大,從中發(fā)掘出數(shù)學(xué)的美。學(xué)以致用,數(shù)學(xué)來源與生活,又回歸于生活,生活是一本厚實(shí)的書,掩藏著無盡的智慧。在日常生活中不乏經(jīng)典的逆向思維問題,往往一個(gè)不經(jīng)意中的運(yùn)用,便解決了困繞以久的難題,甚至于發(fā)明創(chuàng)造出讓人類受益不淺的成果。在教學(xué)過程中可以適當(dāng)穿插這些實(shí)例,讓學(xué)生意識(shí)到逆向思維的益處和重要性,從而逐漸增強(qiáng)學(xué)生使用逆向思維的主動(dòng)性和積極性。
二、牢固地掌握并熟練地使用性質(zhì)及公式,是解題的關(guān)鍵
根據(jù)定義、定理衍生出來的一些結(jié)論,是相關(guān)數(shù)學(xué)問題中的一部分特征。在一定范圍下使用這些結(jié)論能使得我們的運(yùn)算過程大大縮短,能使我們從很繁雜、抽象的運(yùn)算中找到靈感,找出捷徑,看到解題的曙光。
許多數(shù)學(xué)問題,實(shí)質(zhì)上只需要對(duì)一些相關(guān)性質(zhì)、公式、法則等進(jìn)行綜合運(yùn)用,就能夠解決。但是在實(shí)際的解題過程中,學(xué)生往往會(huì)沒有思路,不知道如何著手。關(guān)鍵在于學(xué)生對(duì)這些性質(zhì)、公式等,掌握得不熟練,不知道碰到哪類問題可以使用哪些性質(zhì)、公式進(jìn)行解決;而且在記憶的時(shí)候有的學(xué)生習(xí)慣于從左往右記,導(dǎo)致了一旦問題中出現(xiàn)了右邊的部分,想不到把性質(zhì)、公式等反過來用。
因此,在教學(xué)過程中,教師應(yīng)強(qiáng)調(diào)公式、性質(zhì)的互逆形式并教會(huì)學(xué)生對(duì)它們進(jìn)行互逆記憶。在練習(xí)中訓(xùn)練學(xué)生體會(huì)并學(xué)會(huì)對(duì)公式的逆用,培養(yǎng)學(xué)生解題思維的敏銳性、靈活性、變通性;培養(yǎng)學(xué)生善于逆向思考的習(xí)慣,提高靈活運(yùn)用知識(shí)的能力和解題效率。
三、在實(shí)際生活中獲得逆向思維的啟示
教書育人。教師不但要傳授給學(xué)生知識(shí),更要教會(huì)他們?cè)鯓幼鋈?,怎樣生活……培養(yǎng)他們的生活智慧和藝術(shù)。讓學(xué)生把學(xué)習(xí)中獲得的思維能力帶到生活中去,使他們更客觀、理智地看待問題,不走極端路線。
逆向思維是對(duì)傳統(tǒng)、慣例、常識(shí)的反叛,是對(duì)常規(guī)的挑戰(zhàn)。它能夠克服思維定勢(shì),破除由經(jīng)驗(yàn)和習(xí)慣造成的僵化的認(rèn)識(shí)模式。而循規(guī)蹈矩的思維和按傳統(tǒng)方式解決問題雖然簡單,但容易使思路僵化、刻板,擺脫不掉習(xí)慣的束縛,得到的往往是一些司空見慣的答案。其實(shí),任何事物都具有多方面屬性。由于受過去經(jīng)驗(yàn)的影響,人們?nèi)菀卓吹绞煜さ囊幻?,而?duì)另一面卻視而不見。逆向思維能克服這一障礙,往往能出人意料地給人以耳目一新的感覺。例如古時(shí)候“司馬光砸缸”的這個(gè)故事,一般的常規(guī)想法就是“救人離水”,但是小司馬光等人能力不夠,于是小司馬光運(yùn)用逆向思維,果斷地用石頭把缸砸破“讓水離人”,救出小伙伴。
某時(shí)裝店的經(jīng)理不小心將一條高檔呢裙燒了一個(gè)洞,其身價(jià)一落千丈。如果用織補(bǔ)法補(bǔ)救,也只是蒙混過關(guān),欺騙顧客。這位經(jīng)理突發(fā)奇想,干脆在小洞的周圍又挖了許多小洞,并精于修飾,將其命名為“鳳尾裙”。一下子,“鳳尾裙”銷路頓開,該時(shí)裝店也出了名。逆向思維帶來了可觀的經(jīng)濟(jì)效益。無跟襪的誕生與“鳳尾裙”異曲同工。因?yàn)橐m跟容易破,一破就毀了一雙襪子,商家運(yùn)用逆向思維,試制成功無跟襪,創(chuàng)造了非常良好的商機(jī)。
四、作業(yè)輔導(dǎo)及考查,以鞏固對(duì)逆向思維的理解和掌握
二、數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的類比思維能力
類比思維能力的培養(yǎng)對(duì)學(xué)生具有重要作用,類比思維能力也是每一個(gè)人應(yīng)該具備的能力,因?yàn)樗鼘?duì)我們的生活有著極為重要的意義。類比思維能力在日常生活中的應(yīng)用也非常廣泛,幫助人們解決了很多問題,例如,人們可以根據(jù)今年冬天的降雪量以及溫度推測出明年糧食的收成,可以根據(jù)晚上的天氣狀況推測出第二天的天氣狀況,這些問題能夠推測出來,依靠的都是人類的類比思維能力。類比思維能力在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也具有非常重要的意義,她主要是要求學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中利用已知的條件,推測出未知的答案,例如,等邊三角形ABC的高是6,已知D是BC的中點(diǎn),DE垂直于AB,DF垂直于AC,求:DE+DF=?這道題就要求學(xué)生利用類比思維解決問題,用題目中的已知條件,求出正確答案。這也說明,在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力是很重要的,老師在教學(xué)過程中要注意對(duì)學(xué)生逆向思維的培養(yǎng)。