概率論和統計學匯總十篇

序論：好文章的創作是一個不斷探索和完善的過程，我們為您推薦十篇概率論和統計學范例，希望它們能助您一臂之力，提升您的閱讀品質，帶來更深刻的閱讀感受。

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【中圖分類號】G642

前言 目前概率論與數理統計被廣泛的應用于科學研究、企業管理以及經濟預測等多個領域，故而其教學質量的好壞將對學生和社會未來的發展起到關鍵性的作用。由于該課程具有體系、方法錯綜復雜，并且公式概念繁多的特點，進而使得學生不能有效地將知識吸收和掌握，更談不上培養學生的創新能力。故而，在后期的教學過程中，必須改革教學的方法，促進學生學習能力的提升，同時也培養學生的創新能力。

一、激發學生的學習興趣

由于很多學生在傳統的教學模式中，并不能很好地理解和消化概率論與數理統計知識，使得部分學生對該學科失去了興趣和熱情。這就要求老師必須將這些抽象的概念和公式進行深入挖掘，同時注重智慧的啟迪，避免形式化教學。在講授數理統計知識的時候，老師通過設置合理的題目來達到完成激發學生興趣的目的。課例1：（1）數理統計的研究對象是什么；（2）隨即與必然現象之間的關聯性與區別；（3）具體的研究方法；（4）統計的核心任務；（5）具體的應用方法。通過這一系列問題，讓學生將每個獨立的知識進行串聯，進而加深對知識的理解和靈活應用，并在此基礎上樹立學習的信心，提升學習的興趣，并通過這種由淺入深的知識結構體系，使學生的創新思維能力得到逐漸的培養。

二、提升老師自身的創新能力，完善知識結構

老師自身具備較高的創新能力與創新精神，是培養和提升學生創新能力的前提。故而為了保證概率論與數理統計的教學質量，在進行教學的過程中，老師必須具備熟練地計算機操作知識、專業的理論知識、豐富的人文哲學知識等。在教學的過程中，用這些知識潛移默化的去感染和陶冶學生，同時引導學生借助計算機完成對數據的整理與分析，讓學生進行實踐操作，對SPSS、MATLAB等數學軟件靈活應用，做到理論與實踐的結合。

三.采用多樣化的教學模式

在概率與數理統計教學過程中，老師應摒棄傳統的灌注式教學模式，而應該采用引導學生進行案例研究、辯論和討論等方法，同時將理論與實踐結合，增加學習的趣味性以及應用性，使學生各抒己見，積極主動地參與到教學過程中，為學生創造良好學習氛圍的同時，也使學生的判斷與決策能力得以提升。課例2：已知某種子一千粒每粒的平均重量約為396g，經過人工培育之后，現在采取隨機抽樣的方法，對100例樹種進行稱量，每粒平均重量為437g，讓學生推斷好術中的質量是上升了還是下降了。這樣老師就可以針對課例引導學生進行如下分析：（1）若母樹林的種子每粒重396g，求得它的分布規律；（2）樣本均數標準化后的分布狀態；（3）概率表達式怎樣得來；（4）樣本平均數值的范圍；（5）得出的概率結論。通過這種將知識由淺入深，由易到難的轉換，讓學生的注意力逐漸被題目吸引，進而很好地發散思維，促進對概率和數理統計知識的掌握，并提升學生的創新能力。

四、關注學生對知識的消化和理解

為了使學生的學習能力得到有效的提升，就必須使他們對知識有一個理性的認識，同時能夠應用已經掌握的知識來對問題進行分析、判斷、綜合以及推理，確保知識結構的完整性和全面性。而并不是采用傳統教學模式中死記硬背的方法，這樣只會造成知識的大量沉積，卻不能得到有效的發揮和利用。例如老師在講授抽樣分布理論知識的時候，要充分調動學生的積極性以及創新思維，讓學生能夠對所學的知識有個深刻的理解，對概率的基礎知識（隨機變量的概率分布、事件的發生概率以及事件的概率）充分掌握， 為概率與數理統計學的學習奠定扎實的基礎。

五、制定系統、科學、動態的教學評價方法

為了有效的培養和提升學生的創新能力，制定全面、系統、動態、科學的評價內容、評價過程以及評價方法。其中評價內容是評價的關鍵，它主要包括了學生對知識的記憶能力、知識的靈活應用能力以及解題能力等，借此來有效的培養學生的動腦和動手的能力。對過程的評價主要是指教學成效提升的幅度和速度，并針對反饋的信息，及時的調整教學的方式與方法，并對學生做出積極地評價，樹立他們學習的信心。在評價的方法上，也可以采取實踐操作或是實驗操作等方式來培養學生的創新能力，而并非以考試來作為評價的唯一標準。只有結合了多個方面的評估，才能將教學的評價的職能充分展現，促進學生學習質量提升的同時，創新能力也逐漸得到培養。

六、注重實踐教學

目前隨著社會對創新型人才需求的逐漸加劇，使得培養創新能力的人才成了教學的首要目標。而怎樣通過概率和數理統計教學來達到培養學生創新能力，成了當前老師教學工作的重點。創新是在實踐的基礎上體現出來的，創新思想是關鍵，知識是基礎，而實踐就是根本。實踐教學主要包括了以下幾種方式：一是“做中學”的方式，它獨立于理論教學；二是“學中做”的方式，它依附于理論教學；三是“做中思”方式，是一種實踐與理論相結合的方式。但是在教學過程中，將重點放在“學中做”和“做中思”的方式上，這樣有助于加強學生的理解。如老師在進行參數檢驗講解時，老師讓學生對比兩組數據的差異性，進而讓學生合理的選擇檢驗方法（或方差檢驗或均值檢驗）。同時在實踐的過程中，老師應適時地對學生加以引導，并鼓勵學生進行創新，寬容失敗，促進學生創新能力的養成。

七、結語

目前教育的主要目的就是培養具有創新思維、創新精神以及創新能力的新生代，促進未來社會經濟、科技等各個領域的發展。因此，老師肩負的責任重大，為了有效的培養學生的創新能力，老師必須要激發學生的學習興趣，提升自身的創新能力，完善知識結構，采用多樣化的教學模式，并將理論與實踐結合。

參考文獻

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【關鍵詞】民辦高校；概率論與數理統計；教學效率

當今，國際競爭實際是人才的競爭，而人才競爭實質上是教育的競爭，教育對經濟和社會的發展具有全局性、先導性的作用.我國高等教育從精英向大眾化過渡，民辦高校面臨著較大的生源壓力，作為人才輸出的主要基地更需要培養社會發展所需要的合格人才，主動適應社會需求.而概率論與數理統計是經管類、理工類等專業的一門重要基礎課，是學好后續專業課的必要準備，同時也是一門應用性和實踐性很強的課程.目前現行的中學課本里也安排了一定的概率統計知識，其難度也在一點點加大.在新的形勢下，探索并實踐出有突破性的“概率論與數理統計”改革策略是民辦院校高等教育的重要研究課題.而課堂教學是學生在校期間學習文化科學知識的主陣地，也是教師對學生進行思想品德教育的主渠道.現在，由于知識的快速更新，對民辦高?！案怕收撆c數理統計”教師來說，最迫切的問題，就是如何提高課堂教學的效率，盡量在有限的時間里，出色地完成教學任務.那么，怎樣提高民辦高?！案怕收撆c數理統計”課堂教學效率呢？筆者認為：

一、把哲學思想滲透到概率論與數理統計教學中

概率論與數理統計中蘊含著豐富的哲學思想，如事物都是普遍聯系的、對立統一規律、質量互變規律等等.教師若能以哲學思想來指導教學，在教學中自覺地滲透辯證的思維方法，不僅能提高學生學習數學的效率，也能取得更好的教學效果.在“概率論與數理統計”這門課的教學中，要使學生能利用辯證唯物主義的觀點來解釋“概率論與數理統計”的形成和發展.普遍聯系規律是辯證法的核心.如離散與連續是兩個不同的概念，二項分布屬于離散型，正態分布屬于連續型.而中心極限定理表明了二項分布的極限分布是正態分布，體現了離散和連續是普遍聯系的.同時離散與連續又是對立統一的.量變和質變，是事物發展變化的兩種基本形式，量變是質變的必要準備，質變是量變的必然結果.當量變達到一定程度，突破事物的度，就產生質變.如“實際推斷原理”指出“概率很小的事件在一次實驗中實際上幾乎不會發生”.小概率事件在一兩次試驗中一般不會發生，但在大量重復實驗時這個事件幾乎是必然發生的.例如地震、海嘯、泥石流、交通事故等在某一具體地點是小概率事件，幾乎不會發生，但在自然界都是必然發生的，不可避免的.

二、突出重點，化解難點

三、運用現代化的教學手段輔助教學，采用多種教學方法

隨著科學技術的飛速發展，掌握現代化的教學手段顯得尤為重要和迫切.多媒體教學與傳統的“黑板+ 粉筆”教學有著不可比擬的優勢.多媒體教學顯著的特點：一是直觀性強，容易激發起學生的學習興趣，有利于提高學生的學習主動性；二是減輕教師板書的工作量，使教師能有精力講深講透所舉例子，提高講解效率；三是能有效地增大每一堂課的課容量；四是有利于對整堂課所學內容進行回顧和小結.如概率的定義、全概率公式的推導過程都可以用多媒體來演示.另外，根據教學中大量計算和模型分析的需要，充分利用數學軟件如Excel，Matlab，Mathematics，SPSS 及Lingo軟件等來進行圖形描繪和數據分析.這樣就使比較晦澀、難懂的內容直觀化、形象化，有效提高學習效率，刺激學生的形象思維.但傳統教學也不能舍棄，對于數學類課程特別是民辦院校的學生來講板書還是很重要的.民辦院校的學生學習自覺性和基礎相對弱一些，容易受到外界因素的影響，課下不能及時鞏固和預習.如果只講講，很多學生跟不上，學起來感覺難，特別是大多數同學容易出錯的題目和典型例題要在黑板上詳細講解，使大多數同學能聽懂，最好能觸類旁通.教師要隨著教學對象的變化，教學內容的變化，教學設備的變化，靈活應用教學方法.“概率論與數理統計”教學的方法很多，對于新授課，我們往往采用講授法來向學生傳授新知識.在“概率論與數理統計”課程中，我們可以結合課堂內容，靈活采用讀書指導、談話、練習、作業等多種教學方法.此外，我們還可以穿插演示法，向學生展示模型，或者驗證結論.有時，在一堂課上，要同時使用多種教學方法.俗話說：“教無定法，貴要得法.”只要能提高學生的學習積極性，激發學生的學習興趣，有利于所學知識的掌握和運用，有助于學生思維能力的培養，都是好的教學方法.

四、重視學生在課堂上的表現，兼顧不同層次的學生

在教學過程中，“概率論與數理統計”教師要隨時了解學生對所講內容的掌握情況.如在講完一個概念后，讓學生復述；同時教師要精選例題，可以按照例題的難度、思維方法、結構特征等各個角度進行全面剖析，不片面追求例題的數量，而要重視例題的質量.解答過程視具體情況，可以部分寫出，或者請優秀學生寫出，也可以由教師完完整整寫出.也可以將解答擦掉，請中等水平學生上臺板演.可以對基礎差的學生多提問，讓他們有較多的鍛煉機會.同時為了培養他們的自信心，讓他們能熱愛“概率論與數理統計”，學習“概率論與數理統計”，教師可以根據學生的表現，及時進行鼓勵.關鍵是講解例題的時候，要能讓學生也參與進去，而不是對學生進行滿堂灌，由教師一個人承包.教師應騰出十分鐘左右時間，讓學生思考教師提出的問題，或解答學生的提問，或做做練習，以進一步強化本堂課的教學內容.若課堂內容相對輕松，也可以提出適當的要求，指導學生進行預習，為下一次課做準備.要時刻認識到學生不是“容器”，是“人”，學生是學習的主體.教師要圍繞著學生展開教學.在教學過程中，讓學生成為學習的主人，教師只是學習的領路人，使學生變被動學習為主動學習，自始至終讓學生唱主角.教師在教育過程中必須重視情感因素的作用，尊重學生差異.反之，采用放任不管，遷就學生，或者高壓政策，粗涉，簡單說教，都不可能得到好的教育效果.

五、處理好課堂的偶發事件，及時調整課堂教學

盡管教師對每一堂課都做了充分的準備，但有時也可能遇到一些預料不到的事情.如有一次我在講授隨機事件的概率中概率的性質時，有“不可能事件的概率為0，概率為0的事件不一定是不可能事件”這一結論，但沒有說明原因，教學計劃中也沒有說明原因的要求.在課堂上遇到這個問題時，有一位成績較好的學生不理解，要求我說明原因.我就因勢利導，向學生介紹了連續型隨機變量，并用一個均勻分布的例子來說明在某一點上的概率為0，但不是不可能事件；然后，話鋒一轉，對那名同學說，關于詳細的原因，我在課后再跟你面談.這樣，雖然增加了課時的內容，但也保護了學生的學習主動性和積極性，滿足了學生的求知欲.

【參考文獻】

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[3]龔克. 全國高校數學文化課程建設研討會開幕致詞[J]. 數學教育學報，2011，20（4）：1.

[4]史寧中.漫談數學的基本思想[J].數學教育學報，2011，20（4）：8.

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中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）12-0192-02

一、大類招生背景下軟件在概率論與數理統計課程教學中應用需求分析

概率論與數理統計課程教學改革隨著大學從專業招生到大類招生的轉變，課程教學諸多改革逐步展開，為了激發同學們的學習興趣，克服概率論與數理統計抽象難懂的特點，借助軟件進行數學實驗課的引入顯得尤為突出。關于數學實驗課的教學不少專家進行了研究[1]，早在本世紀初，西安郵電大學李昌興、史克崗[2]（2003）在總結西安郵電學院多年的數學實驗和建模教學的基本內容上探索出了較好的數學實驗課的教學方法，近年來隨著統計軟件的發展和推廣，相信軟件的加入會對數學課程的教學增加新的活力和創新性的方法；朱旭[3]（2004）在文獻中也探討了如何通過開展數學實驗教學來加強學生科學素質培養，如何通內容體系和教學方式的改革、通過在數學實驗的教學實踐中充分發揮課程的育人作用培養提高學生的科學素質；趙禮峰[4]（2011）研究了數學實驗課程在實際中對大學生素質培養的一系列重要作用；張序萍、韓曉峰、呂亞男[5]（2011）研究了煤炭院校大學數學實驗教學體系的構建，談到了概率論與數理統計等課程實驗教學的組織實施?！陡怕收撆c數理統計》作為重要公共課程數學類的課程之一，是全國研究生入學課程的考試課程之一，也是今后工科類、經濟類、醫學類等領域的重要基礎課程，如何借助統計軟件加深對概率論與數理統計教學概念、方法的認識，引導更加科學的教學方法就要借助較好的教學工具才能激發學生的學習興趣，培養學生的學習熱情，進而養成好的學習習慣，這就為能力的培養奠定基礎。

現在流行的軟件非常多，比如商用軟件統計軟件SAS、SPSS、Stata，還有開源軟件R、Python，通用數學軟件matlab等，商用軟件進行統計分析效果好，但是對學生來說負擔太重并不可取，我們想借助國際上比較流行的兩款開源軟件R、Python，結合具體的內容比如如何引導學生編程來實現圓周率的計算，圓周率最早由我國古代數學家祖沖之求出較為精確的數值，后來西方數學家也計算出圓周率，那么我們就想引導學生自己通過這兩款軟件編程實現圓周率的近似計算，同時也對近似概率加深了理解。

二、以基于R、Python芍秩砑編程實現圓周率的計算為例引導學生進行興趣學習

1.基于Python軟件的圓周率編程計算分析。Python是1989年由荷蘭人Guido van Rossum研發的一種面向對象的解釋型計算機程序設計語言，早在1991年就有公開發行版問世。其語法既簡潔又清晰，它的庫非常豐富和強大。它能夠把用其他語言制作的各種模塊輕松地聯結在一起。Python的官網地址：https：///，Python可以從其官方網站獲取各種資源，且大多數都是免費的，有利于學生們的安裝及下載。（1）圓周率計算機軟件近似計算的建模分析。在學生學習隨機事件和隨機數的基礎之上，給學生強調我們計算機產生的隨機數和物理方法得到的隨機數還是有一些不同，但通過仿真模擬可以達到所要求的精度，所以我們可以通過偽隨機數進行仿真模擬實驗。設X、Y獨立并且都在（0，1）區間上服從均勻分布，首先我們定義示性變量I：I=1，X+Y≤10，其他，則E（I）=P（X+Y≤1）。根據幾何概率論所學概念我們知道隨機點落在四分之一圓內的概率即為P（X+Y≤1）=π/4，而概率我們可以用大量重復事件的頻率來近似代替，進而計算出圓周率的近似值，隨實驗次數的增多可以達到要求的精度。（2）圓周率計算機軟件近似計算的Python編程分析。Python有3.5版和2.7版，本程序可用2.7.11版本完成，進入python官方網站可以下載Python的2.7.11版進行免費安裝，調用python的numpy、random、pandas等模塊后就可以運行如下的程序得到近似的計算值，精度要求可通過改變模擬次數達到，如果模擬次數是千萬次級的運行比較快但精度稍差，如果模擬次數是億次級或更高的得到的精度就比較高，但是運行的時間比較慢，實踐教學中希望教師引導學生各種情況都嘗試一下，激發他們的學習興趣。程序中充分利用了Python提供的求和函數sum，并且程序非常簡潔，程序如下：[1]import numpy [2]import pandas [3]import random [4]from random import random [5]n=10**8 [6]pi=sum（1 if random（）**2+random（）**2

2.基于R軟件的圓周率編程計算分析。（1）R語言產生發展簡介。R語言產生于1980年前后，在統計領域使用廣泛，R語言是源于S語言，兩者有著千絲萬縷的聯系。AT&T貝爾實驗室開發了S用來進行數據探索、統計分析和作圖。后來Robert Gentleman和Ross Ihaka（新西蘭奧克蘭大學）及其他志愿人員一起開發了一個R語言系統，由“R core team”進行研發。由于R語言的開源性和廣泛的兼容性使得R在國際學術及研究機構快速流行起來，官方網址是：https：///，可以從R官方網站獲取各種資源，大多數都是免費的，有利于學生們的安裝及下載，下面我們就基于R軟件的圓周率編程計算分析進行探討。即首先用計算機可以計算出落在四分之一圓內的模擬點數，它與所有落在正方形內的點數之比，當模擬次數非常多時，即近似為π/4，模擬頻率的四倍就是π近似的計算值。（2）圓周率計算機軟件近似計算的建模分析。（3）圓周率計算機軟件近似計算的R程序模擬500次的近似結果是3.112（程序略）。

通過實際的計算機編程模擬學生會對概率中的相關概念比如：隨機事件、概率與頻率的關系、大數定律與中心極限定理、如何把所學知識糅合在一起，而且有了更深刻的理解，為將來解決實際問題打下好的基礎。

三、軟件在概率論與數理統計課程教學中應用注意的問題及結論

1.應用軟件幫助學生理解難點，突出教師的主導與學生主體相結合，不論是單開數學實驗課還是在教學中穿插引用，教學手段上都離不開突出軟件的吸引力，使學生學習更加有興趣、更加易于激發學生創新能力。

2.現在流行的軟件都有比較好的界面、可視化功能更加強大，更易于抽象問題形象化；但也要注意基礎完整理論體系的學習仍然非常重要，不能過分依賴軟件，運用軟件要和實際結合，比如進行實際數據的統計分析，不能簡單地運用軟件求出數值結果，要結合實際意義去進行解釋；引導學生發掘自我的創造性。

3.無論是驗證式教學還是探索式教學，都要選擇選擇合適的軟件，我們推薦的兩款軟件都可以非常方便地下載安裝，如果是慰式課程就要認真設計好組織考核，好的組織考核形式也是督促同學們學好基礎知識的重要方法。

總之，通過這些方法培養學生的求知欲，帶著問題通過自己編程獨立地解決實際問題；大類招生下，由于沒有分具體的專業，大一學年是剛入學的大學生必須抓住的重點學年，尤其是大學的教學和管理體制和中學差異非常大，引導學生自主獨立地去學習、去解決困難更值得提倡，這也使概率論與數理統計的教學更加易于理解、更加利于接受，從而使教學效果全面提高。

參考文獻：

[1]徐向紅，孫旭陽，丁雪梅.基于SPSS軟件進行統計實驗的農醫類概率論與數理統計課程教學模式的改革與實踐[J].黑龍江畜牧獸醫，2015，（07）：234-6.

[2]李昌興，史克崗.“數學實驗”和“數學建?！闭n程教學改革的實踐與研究[J].工程數學學報，2003，（08）：107-10.

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概率論和統計學是研究自然界中大量隨機現象統計規律性的一門科學。隨機現象是客觀世界中廣泛存在的一類自然現象，它具有三個特點：（1）一次觀測的不確定性；（2）大量觀測具有統計規律性；（3）每次觀測結果可數據表示。概率論從數學觀點研究隨機現象的基本性質；統計學從搜集到的隨機數據，估計或推斷隨機現象的基本特性，這兩本學科已經形成一門理論嚴謹，應用廣泛，發展迅速，方法獨特的數學分支。

1 賭博中的問題、隨機游戲――概率論的起源

概率論創立于17世紀，但它的思想萌芽一般來說始于意大利文藝復興時代，最先引起數學家們注意的則是賭博中的問題。15世紀意大利和法國賭博盛行，而且賭法復雜，賭注量大。一些職業賭徒，為求增加獲勝的機會，迫切需要計算獲勝的思路，如意大利貴族請天文學家伽利略（1564-1642）解釋下列問題：擲三個篩子，出現9點與10點的各種六種不同組合法，但在經驗上，發現出現10點的次數多于9點，是何緣故？伽利略給出了使對方信服的答復：

三個骰子各面點數構成總和為9的各種組合：1、2、6；1、3、5；1、4、4；2、2、5；2、3、4；3、3、3；而組合等于10的各種組合為：1、3、6；1、4、5；2、2、6；2、3、5；2、4、4；3、3、4.。而各種組合出現的機會并非相等。例如，3、3、3只有一種途徑擲出；而3、3、4則有三種不同途徑擲出；這樣，9可有25種不同途徑擲出；10則有27種不同途徑擲出。這一解答成為概率論應用題的首次成果。

另一位法國賭徒梅耳提出了一個擲骰子中的難題：擲一粒骰子4次至少出現一個6的機會要比擲兩粒骰子4次至少出現一對6的機會更大些，這是否成立？這就是有名的“梅耳猜想”。他拜請法國數學家帕斯卡（1623-1662）來解答，這一問題引起了帕斯卡和他的朋友費馬的極大興趣，經過多次通信研究，于1654年對此問題獲得一般的解法，肯定了“梅耳猜想”是對的，并奠定了近代概率論和組合分析基礎。

16世紀意大利數學家卡當曾計算過擲兩顆或三顆骰子時，出現某個點數的可能性的大小，并討論了博弈中有限個等可能的情況問題。他的研究成果集中體現在他的《論賭博》一書中，由于賭博中的概率問題最為典型，因此，從這個問題開始研究隨機現象的數量規律，便成為當時數學研究的一個重要課題，但這時期對博弈問題討論的思想方法尚未形成獨立的數學內容。

2 社會保險與社會實踐的需要――概率論的發展

概率論發展的直接動力在于實踐中應用，特別是社會保險中的需要。17世紀資本主義工業和商業的興起和發展，是社會保險應運而生，各種意外事件發生的概率，如火災、水災等，這就大大刺激了對概率問題的研究。也正是對這些問題的研究，推動了數學的發展，是一門嶄新的數學學科――概率論的誕生。其中做出突出貢獻的數學家有帕斯卡、費馬、伯努利、棣莫弗等人。如帕斯卡、費馬基于排列組合的方法，討論了賭博中的賭注分配問題，為古典概率的形成提供了思想基礎，帕斯卡在他的《論算術三角形》中用組合數學方法計算只涉及有限個基本條件的概率問題，稱為組合概率。1657年荷蘭物理學家惠更斯發表了《論賭博中的推理》的重要論文，提出了數學期望的概念。伯努利把概率論的發展向前推進了一步，于1713年出版了《度術》，指出概率是頻率的穩定值。他第一次闡明了大數定律的意義。在單一的概率與眾多現象的統計度量之內建立了關系，為概率論推向更廣泛的應用領域奠定了理論基礎。

概率論的諸多重要定理是在18世紀提出和建立起來的，例如，1718年法國數學家棣莫弗發表了重要著作《機遇原理》書中敘述了概率乘法公式和復合事件概率的計算方法，并在1733年發現了正態分布密度函數，但他沒有把這一結果應用到實際數據中。法國數學家拉普拉斯將棣莫弗的結果推廣到一般的情形。即現在所指的棣莫弗―拉普拉斯定理，這是概率論中的第二個基本定理，拉普拉斯對概率的意義如何抽象化做出了杰出的貢獻，提出了概率的古典定義，并把概率論有效的應用到人口統計學等社會各領域，他的著作有《分析概率》和《概率的哲學探討》。在《分析概率》中，拉普拉斯不僅實現了概率方法上的革命，而且系統整理了18世紀之前概率論所處理過的所有重要的問題。德國數學家高斯發展了誤差理論，并提出了最小二乘法。一些數學家開始注意把等可能思想推廣到含有無數個可能性的情況，從而產生了幾何概率。法國數學家蒲豐在其《或然算術問題》中提出了有名的“蒲豐問題”。對這一問題的研究導致了著名的蒙特卡洛方法的產生。泊松提出了一種重要的概率分布――泊松分布。

3 中心極限定理與概率論公理體系的建立

到19世紀末，概率論的主要研究內容已基本形成，但有兩個問題從理論上沒有解決：

一是概率論的公理體系；二是中心極限定理成立的條件。1928年原蘇聯數學家柯爾莫戈洛夫總結前人之大成，提出了概率論公理體系即概率的公理化定義，給出了柯爾莫戈洛夫不等式，這是證明大數定律的重要工具。

概率論里所說的極限定理，主要研究隨機變量序列的各種收斂性問題，其中包括兩種類型定理：一是大數定律；二是中心極限定理。中心極限定理的名稱是美國數學家波利亞1920年提出的。歷史上最初的中心極限定理是討論n重伯努利試驗中，條件A出現的次數漸進于正態分布的問題。中心極限定理早在1730年棣莫弗就研究過。隨后拉普拉斯用了將近20年的時間研究獨立隨機變量及分布，提出了其極限分布是正態分布，然而他的證明不夠嚴格。數學家李亞普諾夫于1901年給出了嚴格的證明，在證明過程中他提出了特征函數這一非常有用的工具，自1901年起許多人在這方面做過工作，主要目標是研究使中心極限定理成立的最廣泛條件，直到1922年才有突破性進展。林德伯爾格提出了以他的名字命名的條件，到1935年美國數學家南斯拉夫―費勒發現：在獨立隨機變量數列情況下，這個條件不僅是充分條件，甚至在一定條件下還是必要的。

4 各種隨機過程的形成與概率論的現代應用

自20世紀初開始，隨著生產和科學技術中的概率問題的大量出現，概率論得以迅速發展，并不斷誕生出一系列新的分支理論，其理論方法在科學技術、工農業生產及國民經濟各部門日益受到更廣泛的應用。當代概率論的研究方向主要是隨機過程，隨機過程是研究無窮多個隨機變量的集合，它是現實世界中隨時間變化的隨機現象的數學抽象，如某地區每年的降雨量；百貨公司每天接待顧客人數等，隨機過程的發展與力學體系理論有密切的關系，馬爾可夫推廣了大數定律和中心極限定理的應用范圍，奠定了隨機過程的發展基礎，他提出的馬爾可夫過程，是現代概率論的基本內容。在理論物理、化學和其他方面有著廣泛應用。（下轉第224頁）

（上接第179頁）早在20世紀30年代末至50年代初，著名數學家杜布和萊維就創立了鞅論。鞅論理論的發現不僅成為隨機過程中最活躍的分支之一，而且還愈來愈廣泛地應用于馬氏過程、點過程、估計理論、隨機控制等理論分支及其應用領域。另外，隨機過程與基礎學科相結合，又產生了一些新的邊沿分支，如與微分方程、數理統計、數論、幾何、計算數學等相結合，便產生了隨機微分方程、隨機過程統計、幾何概率、計算概率等新分支。這樣，當代概率論的研究方向大致可分為極限理論、馬爾可夫過程、獨立增量過程、平衡過程、鞅論和隨機微分方程、數理統計學等。

【參考文獻】

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概率和統計是既有聯系又有區別的兩部分內容，就其內容而言，初等概率論屬于數學思維的范疇，而描述性的統計學屬于數學常識的范疇。中學“概率和統計”教學也只是初步傳授概率思想和介紹數據的分析與描述。當然，概率論的教學能提供更多的培養數學思維的機會，而統計是不能離開思維而進行的，它對發展學生邏輯思維能力、提高運算能力、培養良好的個性品質等都有很大益處。更重要的是，它對于完成教學大綱的教學要求，學生今后的全面學習和走上社會從事勞動生產及研究現代技術都有很大幫助。

一、通過介紹數學史使學生明確學習概率和統計的意義

教學應從概率論的淵源講起，如關于賭場的概率論從16世紀就開始了，1797年第一次出現了統計這個詞。歷史上，帕斯卡、費爾馬和貝努利都對統計學作出了開創性的貢獻，但與研究確定性現象的數學問題相比它起步較晚，直到20世紀才作為一種數學思想和科學方法登入科學殿堂。教學時，應引導學生認識我國概率統計學科教育的現狀，20世紀60年代大學數學系才有概率課，80年代以后才在理工大學普及，但也出現了許寶J這樣馳名世界的數理統計學家。通過數學史的講述，使學生明確學習概率統計基礎知識的重要性，它是我們在日常生活和生產實踐中經常用到的工具，也是今后進一步深入學習的基礎。

二、發展學生的邏輯思維能力，提高學生的運算能力

“概率”部分中概念較多，公式規律性較強。教師應通過大量實例講清它們的意義，使學生正確理解并準確區分概念，學會利用有關定義和公式計算事件的概率，掌握求解一些事件概率的方法。在統計部分主要和數據打交道，如計算很大數據的平均數、方差等，需要一定的計算能力和靈活的計算方法，應該引導學生選擇最簡便的方法，使學生熟悉數學工具的正確使用方法。

三、引導學生領會數學思想方法，形成數學觀念

在眾多數學問題中，隨機性數學與確定性數學緊密聯系。一方面，概率論的使用方法主要是確定性的數學方法，只是對推導出的結論作不同的解釋。如初等概率論中的概率計算主要使用排列組合的計算方法，而將結果給予概率解釋。另一方面，概率思想反過來推動確定性數學的發展，例如著名的蒙特卡洛方法就是用隨機數學方法求確定性的數學問題，這些都可舉例向學生闡述。

統計數據隱藏著概率特性，統計數字雖然枯燥，但有概率分析就活了起來。統計的任務是通過對樣本分析來推斷總體的特性。統計部分滲透了許多數學思想，如轉化、比較、估計等。當數據較大且在一定位置上下波動時求平均數或方差，若用常規方法計算量大且較煩瑣，因此可以“轉化”為用簡化公式的方法，通過對眾數、中位數和平均數的“比較”，從不同角度描述一組數據的集中趨勢，還可以通過樣本平均數或方差來“估計”總體平均數或方差。

四、展現知識形成過程，激發學習興趣

本章概念較多，而正確理解概念是準確解題的關鍵。如引入概率定義時，可舉“生日問題”，與學生打賭，激發其學習興趣。統計部分中涉及的問題與學生生活密切相關，如求數學平均成績，比較兩班學生成績哪個班較好，計算商店銷售額與純利潤相關程度等。這些問題學生都很感興趣，都能主動閱讀本章內容。教學時要充分利用課后的習題激發學生的求知欲，調動學生學習的積極性，從而使學生感到數學并非枯燥無味。本章教學若能注意到這一點，將會取得很好的教學效果。

篇（6）

從1998年教育部把計量經濟學列入高等學校經濟學門類各專業核心課程之一，計量經濟學已經成為現代高校經管專業必不可少的核心課程[1]，它和微觀經濟學與宏觀經濟學一起構成了中國經濟管理類本科生和研究生的核心理論課程[2]。近20年來計量經濟學課程受到了越來越多的重視，在中國大多數經濟與管理相關的專業的教學大綱中，計量經濟學作為本科公共必修基礎課，一般都要求學生已經修完微積分、線性代數、概率論與數理統計等前期課程。事實上計量經濟學的基礎知識主要來自于概率論和數理統計，計量經濟學的基本研究過程與概率論和數理統計是一致的，先設定模型，然后通過樣本抽樣，參數估計和假設檢驗[3]。

在計量經濟學實際教學中發現，許多同學對統計學中基本概念掌握得很好，依然無法理解計量經濟學的內容。主要的原因是已有的計量經濟學教材缺乏引導學生從概率論和統計學過渡到計量經濟學的相關知識銜接。由于學生在學習這兩門課的過程中，缺失了知識點的過渡和遷移，常常用孤立和割裂的視角來看待計量經濟學的內容，這無疑提高了學生學習計量經濟學的困難程度。學生不知道將已有的數學知識與計量經濟學相互結合，形成完整的邏輯體系。針對上述問題，本文將論述從概率論和統計學過渡到計量經濟學過程中出現的知識點相互割裂的主要問題，闡述造成學生理解困難的原因，并提出相應的改進方法。

一、從概率論與統計學過渡到計量經濟學出現的教學問題

雖然大多數學生在學習計量經濟學之前，已經學過計量經濟學的基礎課程——概率論與數理統計。但學生在計量經濟學學習的過程中，面臨的巨大挑戰是如何將已有的概率論和數理統計的知識和計量經濟學中的知識點相串聯。造成這一問題的原因主要有：第一，許多計量經濟學中的重要知識點，在概率統計中只是簡略的介紹，甚至一帶而過，并未引起學生的重視。第二，許多計量經濟學的教材常常忽視概率論與數理統計的知識點，這可能是由于在歐美的計量經濟學課程，并不要求學生前期修過概率論和數理統計。所以中國在引進的國外的計量經濟學教材后，也沒有在課程上復習概率論和數理統計的相關知識。為了具體說明教學中遇到的問題，本文以本科計量經濟學教學大綱中最主要的教學內容：經典線性回歸的最佳線性無偏性質和違反基本假設造成的后果兩個重要的知識章節作為案例說明。

（一）經典線性回歸估計的最佳線性無偏性

經典線性回歸估計的最佳線性無偏性是小樣本理論下的普通線性回歸的最重要的性質，大多數本科計量經濟學教材最前面的2-3章都是介紹這一內容，例如國內最常用的教材李子奈的教材《計量經濟學》[4]和國外的伍德里奇的教材《計量經濟學導論：現代觀點》[5]等。學生對這一內容的理解程度也將直接影響到計量經濟學的后續學習。然而對于學完概率論與數理統計的同學來說，雖然他們學過隨機變量的數字特征，包括期望和方差，還有n階原點距以及n階中心距的內容。但他們在概率論與數理統計的課程中并沒有接觸過無偏性和有效性的概念，事實上，就計量經濟學的本質來說。無偏性就是用一階中心距來計算，有效性則用二階中心矩來衡量。而這兩個概念在在概率論與數理統計的課程中都已經學過，但如果在計量經濟學的教學中不特別加以說明，學生很難意識到兩者之間的聯系。學生難以理解的另一個原因在于，在數理統計課程中，關于中心矩的介紹很簡略，許多學生可能并沒有意識到其在計量經濟學中的重要性，而計量經濟學教材中往往忽視對概率統計的中心矩的介紹，導致學生采取一種割裂的視角，無法建立一個統一的思維框架。

在計量經濟學的教學中，常常遇見許多同學難以理解為什么要用最優線性無偏性來衡量最小二乘法的優劣？因為大多數計量經濟學教材往往直接介紹最小二乘法種種優良性質，在同學們不熟悉無偏性和有效性與中心矩之間關系的前提下，直接引入這兩個概念往往顯得突兀，學生在學完了線性最小二乘法的最優線性無偏性之后，仍然會產生為什么要用這兩個指標來衡量的疑問。更合理的方法是，可以在介紹最小二乘法的內容之前，先介紹均方誤差的概念來引入無偏性和最小方差兩個概念，這與數理統計中如何衡量參數估計的性質等內容部分是一脈相承的，學生如果學過了數理統計學，就很容易理解均方誤差的概念。關于這種過渡知識的介紹，已有計量經濟學教材在這方面做了很好的改進，例如陳強著的計量經濟學教材[6～7]，與許多其他的計量經濟學教材不同，他并不是在計量經濟學教材中直接介紹最小二乘法具有最優線性無偏性的性質。而是在還沒有引入最小二乘法之前，先介紹了如何評價參數估計的優劣，即介紹均方誤差的方法，均方誤差可以進一步分解成方差和偏差平方之和。偏差平方等于零就是無偏性的證明，方差最小就是有效性的證明，這種分解方法可以直觀的表示為什么線性回歸的最小二乘法估計會得到最佳線性無偏的優良性質。因為這種對參數估計優劣的評價是通用于所有的參數估計，而不僅僅是對最小二乘法。同學在理解了評價參數估計的方法之后，就不會再對最小二乘法最優線性無偏性的證明過程感到難以理解了，這有助于同學們理解如何從數理統計過渡到計量經濟學的相關知識。

（二）違反基本假設對最優線性無偏性的影響

當違反普通最小二乘法的基本假設時，其最優線性無偏性會如何受到影響？許多同學常常依靠背誦的方法記住違反了每一條假設產生的后果，正如已有研究中所指出的[8]。這會導致學生混淆違反不同基本假設與產生后果之間的關系。古典線性回歸模型是基于以下四條假設而得出的最優線性無偏的優良性質，第一，線性假定；第二，嚴格的外生性；第三，不存在嚴格多重共線性；第四，球形擾動項。事實上，在對于無偏性的證明當中，并沒有用到第三條和第四條假定。第一條假定可以通過設定線性方程的形式來保證實現，一般我們可以假設其滿足。所以，影響無偏性最重要的假定是第二條嚴格外生性。第二條假設也是最容易違反的，而且直觀上并不能看出是否違反了第二條假設，也很難使用計量的統計方法來檢測第二條假設是否被違反。事實上我們所有關于線性回歸方程內生性的討論，都是基于違反的嚴格外生性的假定而展開的。只有違反第二條假設，最終的估計才是有偏的，而違反第三條和第四條假設，并不會對估計結果的無偏性產生影響。在教學中發現，許多同學最容易犯的一個錯誤，就是他們常常認為違反多重共線性或者球形擾動項的假設都會影響無偏性的估計。以至于他們認為所有變量之間不可以存在任何相關性，或者認為不可以存在異方差和自相關，否則他們認為會導致估計結果有偏，這都是錯誤的觀念。究其原因，還是因為沒有理解在推導無偏性中所使用的概率論與數理統計學的相關知識。這里所需要期望的概念，同學們在數理統計中已經學過，但是另一個重要的知識點——迭代期望定律，在本科生概率論和數理統計課程中一般并不會介紹，如果在推導普通最小二乘回歸的無偏性之前，先介紹迭代期望定理，則可以讓同學們很容易理解整個推導過程，從而理解得到無偏性所需要的假設，并可以推導出違反不同假設對最優線性無偏產生的影響。二、統計學和計量經濟學相結合的教學改進方案

上述介紹的從概率論和數理統計學過渡到計量經濟學教學過程中出現的問題及原因，這些是高校計量經濟學教學過程中常出現的現象。結合教學實踐和相關教學研究，筆者提出以下改進的方法和建議。

總體而言，在計量經濟學的教學過程當中，推薦多采用互動式的教學方法，對于一些非常新的概念和知識點，先讓同學分組討論，由此可以了解他們的概率論和數理統計的基礎，并且讓同學們嘗試應用概率論和數理統計的相關知識推導出計量經濟學的結論，在此基礎上。教師可以知道學生已有的知識儲備和知識缺口，同時能夠很好的將計量經濟學的新知識和他們的知識儲備相連接，幫助學生從概率論和數理統計的知識點過渡到計量經濟學的知識點，建立一個整體的知識框架，在具體實踐中可以采用以下方法。

（一）計量經濟學教材的選擇

在計量經濟學教材的選擇方面，最好選用計量經濟學教材在介紹最小二乘法內容之前，先復習概率論和數理統計的相關知識。雖然有些教材將這部分知識放到了附錄部分，但是在實際教學過程中，往往忽略對這一部分基礎知識的介紹。所以更合適的方法是先介紹完概率論和數理統計的基礎知識，比如，最重要的知識點包括條件概率、條件分布、數字特征，迭代期望定理，隨機變量的性質、假設檢驗、統計推斷、大數定理和中心極限定理、隨機過程等。讓同學們在學習計量經濟學之前能夠回憶起已經學過的概率論和數理統計基礎知識。尤其對學生后期進一步學習最小二乘法的性質的數學推導過程和性質非常有幫助。

（二）課堂教學的改進方案

在課堂教學方面可以采用“學生分組討論+教師講解+課后習題演練”三者相結合的方法，傳統的教學方式往往重視教師的講解和課后的習題演練。而忽視學生的分組討論，雖然學生分組討論在學生較多的時候很難開展，尤其是在總學時有限的情況下。但是，如果在課堂上給出五分鐘，讓同學們能夠自行討論，并反饋他們對于計量經濟學推導過程的理解，將有助于老師掌握學生真實的基礎知識，尤其在不知道他們掌握了哪些概率論和數理統計的基礎知識的前提下，一味的介紹計量經濟學的相關知識，往往無法在他們已有知識庫和新的知識之間建立很好的鏈接。造成學生在理解計量經濟學的推導過程中采用孤立的視角，無法跟他們之前的概率論和數理統計的知識點形成有效的聯系，最終無法建立更加統一的知識框架和體系。

（三）教學大綱的優化方案

對于本科階段計量經濟學的教學，現有的教材在不同教學知識點的安排上并不十分合理。應該根據學生掌握的概率論和數理統計的基礎情況，提出更合理的計量經濟學的教學大綱。比如，從目前國內比較流行的計量經濟學教材來看，往往會花很多筆墨來介紹小樣本理論的普通最小二乘法的推導過程和相關性質，尤其是在違反了不同假設之后所導致的不同后果。許多教材都會介紹當擾動項存在異方差和自相關時，會產生什么樣的后果，并提出多種不同的解決方法。但在計量經濟學的實際應用當中，這兩種違反假設產生的后果并不十分嚴重，在使用計量軟件進行回歸處理的方法非常簡單。這與實際教學中所花費的學時不相符。另外，在計量經濟學的理論教學中，往往會花很多時間來介紹多重共線性對于回歸結果產生的影響，但在實際應用當中，我們并不經常討論多重共線性的問題，除非是存在著非常嚴重的多重共線性，因為當建立回歸的模型時，我們就會考慮變量之間的多重共線性問題，盡量避免使用多重共線性很嚴重的變量。而不是通過后期的測量多重共線性的方法來刪除相關變量，因為如果該變量納入到回歸方程中，一般情況下我們首先應考慮其理論意義，而不是為了降低多重共線性將其刪除，如果刪除一個相關的變量，則有可能會因為刪除一個重要的控制變量，導致最終的回歸結果產生偏誤，最終反而得不償失。

篇（7）

關鍵詞： 概率論與數理統計；改革；實踐

Key words: probability and mathematical statistics; reform; practice

0 引言

概率論與數理統計是工程、人文、經濟、社會等領域研究和處理隨機現象的一門重要的隨機數學，是目前數學專業大學本科階段乃至其它理工類專業的唯一一門隨機數學的必修課。自上個世紀六十年代引入大學課堂以來，它對于傳承人類科學文明、培養人才的綜合素質能力、解決實際問題的實踐動手能力等起到了非常重要的作用。在信息社會高度發達的今天，隨機數學的基本理論與方法作為信息采集、加工、利用的重要的理論基礎和方法論基礎，已經成為現代專業人才重要的必不可少的知識構成。文獻[1-3]對該課程的改革與實踐進行了探討。本文就該課程的特點，結合我院（系）學生的特點就該課程改革與實踐的必要性，具體思路與原則，以及改革實踐的效果做一探討。

1 概率論與數理統計課程教學改革的必要性與重要性

教學內容、手段、方法的陳舊反映出教育思想的落后，轉變教育思想和更新教育觀念是進行一切改革的先導。傳統的數學教育理念重視教學過程的理論性，嚴謹性，邏輯性。但對于學生應用數學的理論和方法解決實際問題能力的培養從教和學兩個側面有所忽視。

現在，有一種流行的教育教學方法稱為“案例教學”?！鞍咐虒W”就是通過實際問題的描述、假設、建模與求解，演示理論與方法的應用過程。數學上，這樣的教學方式就是所謂的‘問題解決’的數學建模的思想。這種方法不拘泥于對理論和方法的闡述，更注重對理論與方法的實際應用過程的展示：包括問題的描述、所涉及的變量及其相互關系、問題的假設與簡化、問題的數學模型的建立與求解。

信息社會的加速來臨，在實際生活和科技工作中，海量、龐雜的數據不斷產生，但是有用的信息并不會自動生成，它需要數學工作者利用數據采集、整理、分析與處理的工具，去發現有用的信息，以解決實際問題。數據采集與信息分析與處理的數學基礎就是《概率論與數理統計》這門數學類專業的必修課程，這也是其它理工科專業的一門必修課程，只是對數學專業的要求既注重理論又兼顧方法的實際應用，而對其它理工科專業，這門課程主要注重方法的應用。

但是，《概率論與數理統計》這門課程不同于以往學習的確定性數學，對于第一次接觸這門課程的學生，理解起來會很困難，更不用說去利用它去進行統計數據的采集、整理、處理、分析等。因此，單從這點考慮，我們就有必要對其教學方法、手段等進行改革。從本門課程的應用目的角度來考慮，也必須進行改革，以增加實踐性教學環節，培養學生應用概率論與數理統計的理論和方法解決實際問題的能力。

從培養學生利用數學的理論和方法、基于統計數據，建立和求解數學模型的能力的角度看，這完全符合現代大眾化高等教育的目的，也符合我校的辦學指導思想。

《概率論與數理統計》是其它隨機數學的理論和方法的基礎，這些課程是：多元統計分析、時間序列分析、隨機過程，基于支持向量機的現代非參數統計學習方法等，為了這些知識和方法的學習與應用，我們也必須改變教學方式，為學生打下堅實繼續學習的基礎。

2 概率論與數理統計課程教學改革的思路與原則

通過以上的分析，我們認為概率論與數理統計課程的改革必須首先改變教學方法，拋棄那種古板的、填鴨式的、純粹的重視邏輯推理而不重視應用的傳統的教學觀念，而采取不僅重視理論與方法的學習，為后繼課程的學習打下良好基礎，又能激發學生學習興趣，同時還能培養學生應用所學理論和方法解決實際問題的能力的培養。

因此，概率論與數理統計課程的改革是一項系統工程，既要考慮課程本身理論與方法的學習，還要也兼顧后繼課程的學習（有些課程是研究生的必修課），又要考慮學生應用理論與方法解決實際問題能力的培養，還要使得學生學習起來興趣盎然。應用系統工程原理，從理論、實踐、計算能力等全方位改革和建設，不能只重視某一個環節，而應從整體上思考。

在學時有限的約束條件下，我們必須改革教學內容，教學方法和教學手段，以期達到預期的改革目的。改革過程必須培養一批從事《概率論與數理統計》課程的課堂教學、實驗教學的人才，積累改革的成果，不斷總結經驗。改革過程不會一番風順，遇到非議也是可以理解的。但是，改革的決策一旦確定，就要毫不猶豫的進行下去。

3 概率論與數理統計課程教學改革的內容與措施

首先確定合理的教學學時，經過大家集思廣益，制定了相應的教學大綱，使教學改革有法可依。為了達到上述改革目標，我們對教材的內容進行必要的增加和刪減。由于，《概率論與數理統計》課程是大學生接觸的第一門研究隨機現象及其規律的數學學科，不同于以往的確定性數學，學生理解起來是相當困難的。為此，考慮到實際課時和課程的難度，在課堂教學中，借助于多媒體技術和計算機編程技術，增加了對一些隨機現象的直觀演示。刪除掉一些陳舊的知識，比如關于一些定理的證明，或者保留這些證明，作為自學內容，提供給有能力學習的學生。這也起到因材施教的目的。經過多年的實踐，編寫了自己的教材《概率論與數理統計》（陜西師范大學出版社出版），該教材是國家面向21世紀規劃教材。

為了達到培養學生利用計算機和數學軟件，以及應用概率論與數理統計的理論和方法解決實際問題的能力，我們在自己編寫的教材中，首次引入了SAS(Statistical Analysis Systems)高級程序設計語言。

為了使得課堂教學生動、有趣、直觀以及指導學生的學習，我們研制開發了多媒體課件，并編寫了與本門課程配套的課程學習指導教材。

為了達到培養學生的收集數據、整理數據、建立數學模型、利用相關的理論與方法解決實際問題的能力之目的，我們增加實踐性教學環節。從1997級開始，我們在全國首次開設了《概率論與數理統計》的實驗教學環節，并且編寫相應實驗教學大綱和實驗指導書，使實驗課有綱可循，有事可做而不流于形式。

為了培養學生的綜合應用隨機數學解決實際問題的能力，我們構建了以《概率論與數理統計》為核心的課程群，包括《多元統計分析》、《時間序列分析》、《教育測量與統計學》、《隨機過程》、《數學模型與數學實驗》、《數學軟件》等選修課程，大大豐富了學生隨機數學的理論與方法解決實際問題的數據處理與分析的能力及數學建模能力。

為了開拓學生的視野，在學年論文和畢業論文中，我們加強指導，向學生介紹了一種現代非參數統計學習方法：《基于支持向量機的統計學習方法》，將這種方法用于相關關系的學習中。

為了達到培養學生學習《概率論與數理統計》課程及其課程群的學習及其解決實際問題的能力，我們連續多年組織了對我校參加全國大學生數學建模競賽的學生的培訓工作，特別是隨機數學解決實際問題能力的培養。

由于我們改革教學的內容，增加了實驗教學環節，并注重學生平時能力的培養，所以我們改革考核方式：學生平時作業及考勤占總成績的20%，實驗占20%，課程考試占60%。

為了傳承我們的改革成果，我們注意在改革中積累經驗，培養人才，使我們的改革有了傳承、繼續推進的后備人才，形成本門課程及其課程群的年齡、學歷層次和職稱結構合理的教師隊伍，有博士1個，碩士3個，學士5個；教授1個，副教授6個，講師2個。

4 概率論與數理統計課程教學改革與實踐的效果

通過幾年來的改革實踐，概率論與數理統計的教學取得了較顯著的效果。教學內容、方法手段的改革增加了學生學習該課程的興趣，使學生真正體會到該課程的內容在工農業生產以及科學研究中的應用價值，充分調動了學生學習的主動性，激發了學生的創造性思維，增加了學生應用概率統計方法解決實際問題的能力。該課程的改革與實踐取得了良好的教學效果，提高了教學質量，得到了學生的認可和贊同，問卷調查表明90%以上的學生對現在的教學方式和考試方法給予肯定，大多數學生都認為概率統計課在各學科中有較重要的應用。說明同學們對該門課程的思想方法和應用性有了較深刻的認識，教學改革的總體方向是正確的。

隨著本課程及相關課程的深入改革，有許多學生在學年論文及畢業論文的選題上傾向于采用《概率論與數理統計》課程的理論與方法。與本課程相關的多篇畢業論文被評為校級優秀論文。

此外，本課程的任課教師還積極組織、培訓、指導學生參加全國大學生數學建模競賽并取得優異成績。

參考文獻

篇（8）

作者簡介：康國棟（1983-），男，土家族，湖南張家界人，吉首大學軟件服務外包學院，講師；周清平（1965-），男，土家族，湖南省張家界人，吉首大學軟件服務外包學院，教授。（湖南?張家界?427000）

基金項目：本文系吉首大學教學改革項目（項目編號：2011JSUJGB25）的研究成果。

中圖分類號：G642.0?????文獻標識碼：A?????文章編號：1007-0079（2012）22-0083-02

“概率論與數理統計”課程涉及的范圍相當廣泛，凡是涉及數據的收集、整理、分析、可視化和解釋方面的問題，都是概率論與數理統計學大顯身手的舞臺，[1]由此可見此學科在計算機科學中的重要地位。隨著軟件技術的發展，概率論與數理統計價值也越來越得到凸顯，軟件系統的開發與設計實踐能把“紙上談兵”的數學模型變成可行的算法并加以實現，理論在顯示強大力量的同時也露出了有趣的一面。如果不注重概率論與數理統計學的應用和直觀性，將導致數學的孤立與衰退。尤其是在軟件飛速發展的今天，概率論與數理統計科學與軟件實踐難舍難分。因而軟件工程專業概率論與數理統計的教學改革必須圍繞軟件工程專業的人才培養目標，必須以軟件行業的人才需求為核心。我國對軟件工程專業的要求是培養“實用性、復合型及國際化”的軟件工程人才，在人才培養過程中強調自主思維能力與工程實踐能力培養并重的理念。其課程體系與傳統的計算機專業相比，理論課時偏少，使“概率論與數理統計”課程在實際教學中出現了教學內容多與課時少的矛盾。因此，如何充分發揮教師的教學能力和調動學生學習的主觀能動性，如何做好軟件工程專業“概率論與數理統計”的教學，是當前亟需解決的問題。在近來的教學實踐中，努力嘗試了一些教學改革舉措，得到了一些成功的經驗。本文擬從教學內容、教學方法、考核方式等幾方面分別進行探討。

一、“概率論與數理統計”教學改革的基礎

1.軟件工程專業“概率論與數理統計”課程的定位

要做到真正意義上的“概率論與數理統計”教學改革，首先必須做好該學科的定位，提高學生、老師對其認識水平。當前，社會各行業對軟件人才的需求日益增長，其需求常常是一般性軟件、應用軟件開發人員。這就給學生一個誤導：應用強于理論（甚至只關注簡單的應用），進而使學生忽視基礎理論課程學習這種純實用思維。這種純實用思維取向將影響學生自主學習能力與邏輯思維能力的培養，降低學生學習其他專業課程的分析能力，進而降低其在工作中的拓展能力及競爭力。雖然我國高校軟件專業畢業生逐年曾多，但是許多軟件企業卻反映招聘不到合適的人才。實際上，企業缺少的是有拓展能力、快速學習能力的高層次專業人員，這類專業人才必然要具有良好的數學素養。另外，軟件工程專業學生本科畢業后，有相當比例的學生考慮繼續深造，要用到“概率論與數理統計”學科的一些基本理論和方法去研究、解決相關科學問題。根據以上的分析，結合吉首大學（以下簡稱“我?！保┨岢龅娜瞬排囵B目標，“概率論與數理統計”課程應定位為數學思維+軟件實現工具：既要求學生掌握“概率論與數理統計”的基本概念、思維模式、計算方法，培養學生的數學素養，又要求學生學以致用，培養學生對其在軟件行業里的實際作用的認知和興趣。

2.教學資源的優化整合

如果沒有教學資源將會使教學改革成為無本之木，無水之源。因而，優化整合教學資源是實施教學改革的又一項重要的基礎工作。目前，國內教學資源主要關注該學科體系的完整性與論證的嚴密性，[2]這對軟件專業的學生而言，在學習時往往看不到該學科在軟件工程中的應用，既不能與學科很好地結合起來加深理解，也不能調動學生的學習積極性。[3]而國外教材的特點是與計算機專業的聯系更加緊密、例子更加豐富。[1，4]因此，需首先成立教學研究小組，將“概率論與數理統計”教學內容分為幾個部分，每部分由一個小組成員負責教學建設及深入研究，整合國內外優秀教材，提煉教學內容：在選用國內經典教材的基礎上，指定國外優秀教材作為參考書。[5]在整體分析后，適當增加概率論與數理統計在計算機科學中的應用內容，將之與理論知識結合介紹給學生，既有助于學生理解，又為后續的專業課程的學習奠定基礎。[6]而對部分理論知識，或刪節或安排學生自學。例如，集合論基礎部分、古典概率算法等章節應當刪除，隨機變量復雜函數概率分布的理論推證適合學生自學；其次，建設網絡課程，充分利用現代網絡技術，為學生提供豐富多彩的網上教學資源，方便學生自主學習和師生間的交互，有利于指導學生進行個性化學習和協同學習，為實現精講多練的教學目標奠定資源基礎。

二、“概率論與數理統計”課程教學方式的改革

篇（9）

吉首大學數學與統計學院（以下簡稱該院）2011年成功申報統計學本科專業和一級學科碩士點?！峨S機過程》是新辦本科專業統計學的專業主干課，也是統計學碩士研究生的專業基礎課。為使該課程建設順利完成，該院統計與金融系成立隨機過程教學團隊，積極申報新開課程項目和教學改革項目，近三年對該課程進行了認真細致的研究，并結合教學實踐開展了系統的研究和探索，本文是該課題組的教學研究成果之一。

對于《隨機過程》課程教學方面的研究，陳建華[1]結合教學現狀，提出教學內容及教學方法改革探索的基本內容。薛冬梅[2]針對《隨機過程》課程概念多、理論性強、抽象等特點，提出加強《隨機過程》課程建設的建議，對課程教學進行實踐研究。吳俊杰[3]通過編寫工程研究生《隨機過程》教材，談了自己的相關體會。呂芳[4]結合洛陽師范學院統計科學系《應用隨機過程》的教學實踐，從教師的學術水平、學生的學習、教學工具的使用等方面結合個人的教學經驗提出一些措施和意見。陳家清[5]針對《隨機過程》的教學，研究教學方法與教學措施的改革，提出以人為本的教學理念，優化課程教學方法。

隨機過程是一連串隨機事件動態關系的定量描述。人們總是通過事物表面的偶然性描述出其必然的內在規律并以概率的形式來描述這些規律[4]。它與其他數學課程如《實變函數論》、《泛函分析》及《測度論》等有密切聯系，同時在統計學、金融學和經濟學等領域中有廣泛應用。因此，在講解與其他課程有關聯的相關知識時，應充分體現《隨機過程》課程的實踐這性和應用性，結合本學科的學術前沿與發展動向，拓寬學生的視野[6]。

高等院校統計學、經濟統計、應用統計和金融工程及其相關專業將《隨機過程》設置為專業主干課程，同時也是數學與應用數學、信息與計算科學等專業的選修課?！峨S機過程》的理論和方法在自然科學、工程技術、工農業生產、軍事科學、金融和經濟等眾多領域內發揮著重要作用?！峨S機過程》課程具有概念多、理論性強、抽象難以理解、應用性強和應用難于上手等特點，使得統計學及其相關專業學生難于掌握該門課程的基本知識和基本技能[5]，應用起來更難。為使不同專業的學生對《隨機過程》有更好的理解和掌握，在教學設計和教學內容方面應該大膽進行教學實踐，提高教學效率，讓學生更好地領悟隨機過程的思想精髓，讓其在應用中更好地發揮作用。

一、人才培養方案中《隨機過程》課程地位

吉首大學數學與統計學院數學與統計學院現有數學與應用數學、信息與計算科學、統計學（精算方向）、經濟統計學、應用統計學、金融工程6個本科專業，擁有數學及統計學兩個一級學科碩士點，可招收基礎數學、計算數學、應用數學、運籌學與控制論、概率論與數理統計、經濟統計、應用統計等10個二級學科碩士研究生[7]。統計學一級學科碩士點將《隨機過程》設置為專業基礎課，統計學、應用統計和經濟統計在人才培養方案中將《隨機過程》設為專業主干課；金融工程開設《金融隨機分析》，作為該專業主干課；數學與應用數學將其設為專業選修課。信息與計算科學雖然沒有開設《隨機過程》，但在實施中作為選修課。

隨機過程的重點是研究現實世界中的隨機現象，將是《多元統計分析》、《時間序列分析》、《回歸分析》和《統計預測與決策》等后續專業課的基礎。各高等院校將《隨機過程》設置為專業基礎或必修課，是比較合理的。金融工程包括創新型金融工具與金融手段的設計、開發與實施，以及對金融問題給予創造性的解決[8]。該專業需要應用隨機過程解決金融中的實驗問題，其側重點與統計學專業有所不同。因此其教學重點是隨機分析及其方法的應用。該院的其隨機分析作為其專業主干課，如能先修《隨機過程》或《應用隨機過程》，對于該專業的發展將會更有利。查詢高校人才培養方案，數學和統計學專業均開設該課程，各高等院校對隨機過程及相關分析方法越來越重視。

二、課程所需基礎

隨機過程以初等概率論為基礎，同時又是概率論的自然延伸。它的基本理論和方法不僅是數學和統計學專業所必須具備的技能，而且是工程技術、電子信息及經濟管理領域的應用與研究所需要的基本手段[2]，該課程所需的基礎是概率論的相關知識。但針對不同的專業及不同的學習要求，本課程如能有以下基礎則學習更輕松：《測度論》、《實變函數與泛函分析》等。開設有這些課程的高校均將其設為《隨機過程》的先修課程。學生如果想從事應用概率方面的研究，就必須加強測度論與分析學相關內容的學習。對于只是想了解并應用隨機過程基本方法的學生來說，就只要學習概率論就能進行該課程的學習。因此不同專業的學生，該課程所需基礎是有差異的，課程開設的時間也不一樣。對于統計學專業的學生，應該讓學生學習完概率論和測度論后開設此門課程。該課程可以設置《概率論》、《測度論》之后，《時間序列分析》之前。對于數學與應用數學、信息與計算科學和金融工程專業在學生學習完概率論與數理統計后就能開設該門課程，并在其他專業課中對其進行應用，更好地開拓隨機過程的應用領域。

三、不同專業對隨機過程課程教學內容和要求有差異

《隨機過程》作為高等院校統計學專業必修課，將在金融和經濟中發揮著重要作用。根據本課程在統計學及相關專業中的地位和作用，應該將其設置為專業必修課?！峨S機過程》要重視基本理論教學，對于統計學專業建議用測度論的語言對其教學，重視其理論推導。但此教學難度較大，要求學生數學功底好，已經系統學習《高等代數》、《數學分析》、《實變函數》、《泛函分析》和《測度論》等課程。按該方案設計，該課程的學習將重視培養學生理論推導能力，為今后學習打下堅實的理論基礎。該方案要求學生數學基礎較好，喜歡數學理論推導，各高校要根據學生基礎進行靈活設置。

對于數學與應用數學和信息與計算科學專業來說，本專業的學生已經學習《高等代數》、《數學分析》《實變函數》《泛函分析》和《概率論與數理統計》等課程，已經具備學習《隨機過程》的數學基礎，為了適應我校重基礎，寬口徑的教學目標，供有興趣的學生進行修讀，將其設置為選擇修課是比較合理的，以便讓有興趣從事金融、經濟、通信工程和其他專業的學生打好基礎，這對他們將來的發展是非常有利的。該課程可設置為第四學年的選修課。

對于應用性較強的金融工程專業來說，在其應用中需要應用隨機分析的基本理論和方法，在該專業中應該加強隨機分析的學習。因此在專業設置中所設置的課程重點應該是《金融隨機分析》，但此課程難度大，抽象難懂。為了讓學生把握教學內容，建議在該課程前先設《隨機過程》，為學習《金融隨機分析》做好知識準備，有利于學習掌握隨機分析的基本原理和方法，并對其進行靈活應用。

四、隨機過程教學改革和建議

1.金融工程專業設置改革。

根據該專業學時與學分的安排情況，本專業可以分別設置《隨機過程》和《金融隨機分析》兩門課程，教學重點不一樣。目前在經濟和金融中很多地方需要應用《隨機過程》的相關理論和思想，因此該專業需要加強本課程的學習。該專業的《隨機過程》的教學重點是隨機過程基本概念、泊松過程、馬爾可夫過程、維納過程和高斯過程等具體的一些隨機過程，而隨機分析和數理金融部分是《金融隨機分析》教學重點。

2.各專業其學分、時間各異。

對于統計學專業來說，《隨機過程》是其專業主干課設置為4學分，72學時?？梢栽谛尥辍陡怕收摗愤M行開設。若開設《測度論》和《實變函數》，應該將其設為《隨機過程》的先修課程，設置在第五或第六學期。該專業建議其重視基本理論和方法講授。

數學與應用數學和信息與計算科學這兩個專業，該課程是選修課，學分為3學分，54學時。建議將其設置在第六或第七學期，讓學生拓寬知識面，強調其應用性。金融工程專業可以將該課程設置為專業必修課或專業主干課，建議開設成兩門課程：《隨機過程》和《金融隨機分析》，各3學分，54學時?！峨S機過程》作為《金融隨機分析》的先修課程，重點是隨機過程概念和基本理論，隨機分析及應用基礎，數理金融相關內容。

3.進一步提高該課程的應用能力，增加實驗性環節。

改變傳統授課以講授為主，按照教材進行填鴨式的講解。根據現代化的教學原則，該課程結合案例進行教授，將理論知識融入各實例中，應用多媒體設備進行設計，將復雜的理論轉化為相關案例。一方面提高學生的學習興趣，另一方面化解難點，提高教學效率。

在實際教學中，建議加入實踐性環節，選定部分內容作為實驗題目，構建融知識傳授、能力培養、素質教育為一體的教學模式[2]。建議結合《時間序列分析》的相關實驗，增加實驗性環節。

通過該課程的教學實踐與研究，結合該院人才培養方案，分析《隨機過程》課程的重要性，結合不同專業的教學實際，為提高該課程的教學質量，培養學生的學習興趣，提出部分教學建議。希望通過該新開課程的建設，加強教研結合，能建設成一支由多人組成、學術能力強、教學水平高超，并致力于將教學與改革結合、教研互促的教師梯隊[1]。在此基礎上，申請校級精品課程，促進該院統計學專業主干課程教學能力的逐步提高。

參考文獻：

[1]陳建華.李海燕.張榆鋒.施心陵.《隨機過程》精品課程建設與教學改革探索[J].中國科技信息，2010，18：283-284.

[2]薛冬梅.《隨機過程》教學改革研究與實踐初探[J].吉林化工學院學報.2010，27（6）：54-56.

[3]吳俊杰，潘麟生.編寫工科研究生《隨機過程》教材的體會[J].1991，7（1-2）：217-219.

[4]呂芳，王振輝.關于《應用隨機過程》教學的思考[J].中國科教創新導刊.2009，30：50，52.

[5]陳家清.統計學專業《隨機過程》課程教學改革研究[J].湖北第二師范學院學報，2013，30（8）：106-108.

[6]鐘啟泉.新課程背景下學科教學的若干認識問題[J].教育發展研究，2008（24）：7-11.

[7]管理員.學院簡介[EB/OL].http：///Article/ShowArticle.asp？ArticleID=544，2014.6.28.

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二、結合專業，注重案例教學

在地質類專業中，很多實際問題都直接用到了《概率論與數理統計》中的內容，比如:區間估計、假設檢驗、參數估計等，都是在地質類專業教學中常用的數理統計方法。那么，我們在《概率論與數理統計》的課堂教學中就可以有的放矢地將地質類學科中的案例與數理統計中的這些方法相結合，把地質學中的實際問題當作例子在《概率論與數理統計》課堂中進行講解，地質類專業的案例在很多時候就是在具備專業背景下的統計學的應用，用這類問題來替換課本上枯燥的數學例子，一方面可以增強課堂的趣味性，提高學生的學習興趣和積極性，另一方面也為將來學生在專業課中使用概率論與數理統計知識打下基礎，幫助學生順利地完成從基礎課到專業課的自然過渡。