高效課堂案例與解析匯總十篇

序論：好文章的創作是一個不斷探索和完善的過程，我們為您推薦十篇高效課堂案例與解析范例，希望它們能助您一臂之力，提升您的閱讀品質，帶來更深刻的閱讀感受。

篇（1）

數學具有較強的邏輯推理、抽象思維、嚴密嚴謹等特性.在數學學科教學活動中，教師經常借助數學案例這一“抓手”，進行數學知識內容的鞏固強化，以及數學學習技能素養的鍛煉和培養活動.案例教學是課堂教學活動的重要環節之一，也是課堂教學的重要形式之一.教育學指出，由于數學案例在數學知識內容方面的概括提煉特性及在數學學習技能培養提升方面的顯著功效，案例教學成為其主要教學形式.隨著新課程標準的深入推進，學習能力素養培養成為“主旋律”，如何開展有效、深入、高效的數學案例教學活動，成為重要的課題.筆者現結合案例教學感悟，對高中數學案例教學活動進行闡述.

一、案例教學要體現師生之間的互動交流特性

案例教學是數學課堂教學的一項重要活動，同時也是教師在數學教學方面的一項重要形式.案例教學作為課堂教學活動的一種形式，理應遵循和按照課堂教學活動的要求.案例教學過程，既包含教師講解指導的活動，又包含學生探知分析的活動.并且教師與學生之間的各自活動，又有深刻密切的聯系和包容.但通過大量觀摩課堂案例教學發現，部分高中數學教師在案例教學活動中，將教師的“講解”與學生的“探析”二者之間的活動過程進行割離，未能將“講”與“探”有效融合、滲透，影響案例教學效能.因此，案例教學應生動體現課堂教學的顯著特性，將互動交流特性在案例教學中予以有效體現，把教師對問題內容的講解，解析方法的點撥，以及學生解題活動的指導等活動，融入整個案例教學的活動過程中，讓教師的主導特性有效呈現，學生的主體地位充分展示，達到教學共進的目標.

如在“已知函數f（x）=|log（x+1）|，滿足f（m）=f（n），m0.”教師引導學生一起進行討論歸納活動，針對解析過程所應用的數學知識點內容及解題思路，指出：“在該類型的問題案例解答中，要利用函數的單調性，運用轉化的數學思想，比較兩個式子的大小.”

二、案例教學要落實新課程標準的能力培養要義

案例教學是教學活動的一種形式或階段，需要認真落實新課程標準提出的學習能力培養的目標要求.高中階段與其他教學階段一樣，其學習技能、學習素養及學習品質等方面，始終是教學活動的重要任務和唯一追尋.案例教學，不僅是為了教會學習對象感知案例、解析案例的方法和策略，更重要的是，讓學習對象借助案例教學這一平臺，其數學學習技能得到深刻的鍛煉和有效培養.因此，高中數學教師不僅要將案例教學作為鞏固所學知識的有效載體，還要將案例教學作為數學學習技能培養提升的有效“平臺”，提供高中生自主探知案例、合作探析案例、歸納解析策略等活動時機，同時切實做好實踐過程的引導和點撥工作，實現高中生在數學案例的探究實踐活動中，數學學習技能的有效鍛煉和提升.

問題：已知有實數x，y滿足不等式組1≤x+y≤4y+2≥|2x-3|，如果a>0時，在（x，y）所在的平面區域內，求函數z=y-ax的最大值和最小值.

學生分析：該案例是關于簡單線性規劃的問題，先畫出不等式組的平面區域圖，根據所提出的問題條件，畫出可行域，通過觀察圖像內容，可以發現需要采用分類討論的解題思想，就直線z=y-ax的斜率a>2時和直線z=y-ax的斜率-1

教師指導：該案例是關于不等式的線性規劃問題，主要考查學生對線性規劃知識的應用能力.學生開展問題解答活動.小組討論得出解題策略：正確地畫出不等式的線性規劃可行區域，準確深刻認知函數的幾何意義是本題解答的關鍵.

三、案例教學要滲透高考政策的數學考查要求

高中數學階段案例教學活動的開展任務，應達到高考政策的命題考查要求，以便高中生更好地達到高考數學命題要求.案例教學為數學高考活動“服務”，是案例教學的重要要求之一.因此，在案例講解活動中教師不能“就問題講問題”，開展淺顯的案例講解活動，還應該深刻研析近年來高考政策制定中，有關數學知識內容的考查要求和命題趨勢，在案例講解過程中，選取和設置近年來的典型高考試題，開展講解和練習活動，拓展案例講解的外延，豐富案例講解的內涵，提高案例綜合解析能力.

求函數f（x）的最小值及此時x的值的集合”高考試題，組織學生開展探析和解答活動.學生通過對典型模擬試題的研究、分析、解答等活動，認識到：“平面向量章節更注重學生對解題思想策略的運用，更突出向量與其他數學知識的交匯.”同時，也對數學高考考查要求有所認識和掌握.

總之，案例教學為教師數學知識講解提供了有效平臺，為學生數學學習技能錘煉提供了有效載體.

篇（2）

一、課堂練習問題應成為數學教材重難點的生動代言

開展的備課活動、設置的教學內容，選取的講解方式等，都要貼近教材，圍繞其目標要求以及重點難點等實施.作為預設活動之一的課堂練習問題設計活動，自然而且必須緊扣數學教材的核心要義和目標精髓進行科學、合理的預設.這就要求教者在設計課堂練習問題進程中，必須切實做好、做實教材研究分析的先期準備工作，找準數學教材的重點要義和目標意圖，學習借鑒其他先進教學經驗，認真研析并設計出與教材貼近、重點切合、難點緊密的練習問題，使所設計的課堂練習內容成為數學教材精髓要義的形象代言和生動代表，讓初中生通過探析解決練習問題而窺得數學教材之要旨和核心.如“平方差公式”一節課課堂練習設計中，教師通過備教材前提活動，認識到該節課數學教材中教師需要圍繞“平方差公式的應用”進行重點講解，同時根據以往教學心得，“用公式的結構特征判斷題目能否使用公式”是學生認知掌握的薄弱環節.此時，教師設計課堂練習問題時就胸中有數，有的放矢，設計出了“1.（a+b）（a-b）（a2+b2）；2 （a+2）（a-2）（a2+4）”、“1.（4a-1）（-4a-1）；2.（b+2a）（2a-b）”、“1.（a+b+c）（a+b-c）；2.（a+b-3）（a-b+3）”等練習案例，以供初中生進行思考分析、鞏固完善，暴露缺陷，對癥施教.值得注意的是，教者在圍繞教材重難點設計數學練習問題時，要做到與新知講解以及學習學情之間的深度融合，體現練習問題的鞏固性、補缺性和完善性等鮮明特征.

二、課堂練習問題應成為師生雙邊互動的橋梁紐帶

課堂教學活動中的講授者和參與者之間，是一種平等、互動、交流、共贏的關系.任何一節課要達到“有效”一詞的標準和要求，就必須體現落實教與學的雙邊、雙向特性和要求.但筆者在平時的教學觀摩和教學教研中發現，有不少教師存在布置問題了事，學生自主解析的“甩手掌柜”現象，沒有將所設問題變為教師和學生之間有效互動、深切交流、深刻碰撞的橋梁和紐帶，出現“剃頭挑子一頭熱”的現象.教育學指出，數學問題應是教師與學生之間交流互動的“介質”，呈現互動、雙向特性.因此，教師設計課堂練習問題應緊緊抓住教學活動雙邊特性，所設計的課堂練習內容要呈現出顯著的交流特點和雙向特性，融會貫通教師的提問和學生的回答等內容，層次性、遞進式的呈現問題、設置要求，推動師和生之間的深入活動、有效交流、共頻共振.如“如圖1所示，已知AD是ABC的角平分線，DFAB，DE=DG，如果已知道ADG和AED的面積分別為50和39，試求出EDF的面積為多少”練習設計中，教師預設課堂練習問題時，采用層層遞進、步步為營的填空式問題設置方式，提出如下需要學生一起協作解析的問題過程：

解作DM=DE交AC于M，作DNAC，交AC于N.

DE=DG（已知），

DM=DE（），

AD是ABC的角平分線，DFAB，DNAC，

（角平分線定理），

DEF≌DNM（）.

ADG和AED的面積分別為50和39，

SMDG=SADG-SAMD=50-39=11，

SEDF=SDNM=（）（）.

三、課堂練習問題應成為主體技能錘煉的重要平臺

學習技能培養，是學科教學實踐活動的根本要義和現實要求.教育發展學指出，數學練習題應是錘煉學習活動主體思維能力、鍛煉學習活動主體辨析能力、培養學習活動主體歸納能力等方面素養的重要平臺和有效介質.因此，數學學科教師設計課堂練習案例，不能照搬照抄、固定不變，而應該充分挖掘和釋放數學練習案例中的豐富內涵和培養功效.一方面設計時兼顧導學合一方式運用，既強化初中生自主探析思維的活動實踐，又重視學生探析過程的指導.另一方面設計數學練習時統籌教材豐富體系，注重對現有練習案例的加工和創新，設計豐富多樣、解析多樣、思路多樣的數學案例，力促初中生在探究解析獲得辨析、思維、創新等方面技能素養的提升.如教者在“正方形DEMF內接于ABC，若SADE=1，S正方形DEFM=4，求SABC”問題設計的基礎上，通過認真研析、上下銜接，對上述問題案例進行“深刻挖掘”，利用數學案例的發散特性，加工和變化出“已知菱形AMNP內接于ABC，M、N、P分別在AB、BC、AC上，如果AB=21 cm，CA=15 cm，求菱形AMNP的周長”、“在ABC中，有矩形DEFG，G、F在BC上，D、E分別在AB、AC上，AHBC交DE于M，DG∶DE=1∶2，BC=12 cm，AH=8 cm，求矩形的各邊長”等案例.這些變式案例的設計意圖和解析要求之間的側重點有所不同，初中生在解析時需要運用到“相似三角形的性質及判定”、“菱形的性質”以及“矩形的性質”等知識點和方法，利于初中生數學學習能力的鍛煉和提升.

篇（3）

效率，是人們實踐探究活動的“總追求”、“落腳點”。課堂教學效率，隨著時代的進步、社會的發展及課改的實施，其效率所隱含的內在特性和衡量標尺發生了豐富的變革和深刻的變化。教育實踐學認為，學科目標要求通常由知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀等構成。初中生作為其重要參與對象，衡量評判有效“參考”。新課程明確指出：“學生是整個教學實踐活動的‘中心’，學習能力培養是其教學活動的‘重心’?！币虼耍P者認為，教學效率的提高應圍繞學生主體做文章，讓數學課堂師生充分互動起來，主體技能得到充分鍛煉。鑒于上述感知，筆者現對提高初中數學課堂教學效率的方法進行論述。

一、實施互動協作教學活動，讓初中生主體充分參與課堂教學。

實踐證明，課堂教學活動效能由主體參與教學程度決定，課堂進程需要主體深度參加和積極互助。課堂是教師與學生之間交流互動的廣闊“舞臺”，課堂教學活動具有鮮明的雙邊性和互動性，課堂教學要取得好的“效果”，就要讓學生主體得到充分的展示。因此，教師在課堂教學中應將初中生引入和納入整個教學活動中，采用師生對話、討論、交流、探析等雙向互動模式，組織初中生參與到教師所設計的教學進程中，教師與學生之間遙相呼應，同頻共振，互動協作，主體特性得到充分體現。如“矩形的性質”一節課“矩形的性質”知識點教學活動中，教者采用實驗操作法教學手段，運用“師引生探”的形式，與初中生一起用三角板、量角器等學習工具動手測量矩形圖形及折疊矩形圖紙等，逐步引導初中生將測量和折疊的圖形數據進行觀察和分析，要求初中生通過同桌討論活動，總結概括出矩形圖形所具備的特性為“矩形對邊平行且相等；（同平行四邊形）；（2）矩形的四個角都是直角；（3）矩形的對角線互相平分且相等；（4）矩形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形”，初中生對矩形性質從“感性”認識上升到“理性”認知。師生互動、共同探知矩形性質的教學活動，將學生作為課堂重要“生力軍”，其學習主體特性得到有效凸顯，提高了初中生的數學認知程度。

二、實施探究解析教學活動，讓初中生數學能力得到充實錘煉。

讓學生充分“動起來”，讓學生有效“升起來”，是初中數學的最根本、最現實的要義。教育實踐學指出，課堂是學生錘煉、提升的“平臺”，課堂教學進程就是學生錘煉技能的實踐進程。當前課改背景下，課堂教學的重要考評標準之一，就是學習對象的學習能力是否得到有效鍛煉和提高。這就要求初中數學教師在課堂預設和生成進程中，要始終樹立“學生核心，能力第一”教學理念，將數學技能培養滲透于整個課堂教學中，引導主體深入思維實踐，組織主體深刻思考研析，指導主體深切概括判斷，在充足實踐和有效指導下，切實錘煉和培養學習能力。

問題：如圖所示，D，E分別是三角形ABC邊BC，AC的中點，AB=2AF，試判斷四邊形ADEF的形狀，并加以證明。

學生解析：該案例要證明ADEF的形狀，應該借助于平行四邊形的判定和性質內容，構建等量關系以此證明。

教師指點，強調指出：該問題證明時，要運用平行四邊形的判定及三角形的中位線定理。

學生完善，推導解題思路：根據三角形的中位線性質可以得DE與BF平行，DE與AB的關系為1∶2.然后根據平行四邊形的判定內容，從而判定出該四邊形為平行四邊形。

學生書寫解題過程活動，過程略。

教師組織同桌之間批改解題過程并深入交流。

教師與學生結合探析案例進程，共同歸納解題方法：正確運用平行四邊形的判定及三角形中位線的性質，是該問題解答的關鍵。

上述案例教學活動，初中生成為案例解答的“主要實施者”，并在教師科學有序的指點和引導下，完成了問題條件內容的探知、解題思路的確定，以及解題過程的探析和解答方法的概括等探究實踐“任務”，初中生主體得到了有效鍛煉，很好地落實了新課改核心精髓。

三、實施反思評析教學活動，讓初中生數學學習素養精益求精。

學習實踐活動需要學習主體進行深刻的自我總結、自我反思、自我整改，以期達到學習方法、解析素養、學習效果精益求精。初中生在課堂學習探究中，需要對自身學習活動進程表現及效能進行全面的認知和深入的“總結”及深刻的“反思”。教師作為學生學習活動的指引者，承擔著指導評判學生學習活動表現及效果的“職責”。這就要求教師一方面要做好初中生學習實踐的評判工作，運用教學評價，對初中生數學學習的活動、解析思路、解答過程及學習效能等方面進行客觀的評判，多給予肯定評價，保護初中生學習積極性，教會他們學習的方法，提高他們的學習技能。另一方面要創新教學評價，組織初中生進行小組合作評價，讓初中生成為學習活動“評委”，對他人學習活動進程進行評判，并深入交流評判觀點，相互借鑒，形成科學評判結論，使初中生在他評和自評活動中，學習缺陷有效改正，學習效能有效提升。

值得注意的是，初中數學教師在有效課堂教學的實踐進程中，在做好以上所述內容的基礎上，還要創新教學方法舉措，合理設計教學步驟，科學預設教學預案，助推課堂教與學和諧發展，共同進步。

參考文獻：

篇（4）

數學思想方法在數學教學中的滲透

高中數學概念教學的分析與思考

例談高中數學問題情境的創設

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篇（5）

教育運動學認為，課堂之中的“教”和“學”之間，不是相互孤立、互不相連、獨自為陣的單獨活動，而是相互聯系、相互融合、相互包容的有機統一體.教師的“導”和學生的“學”之間應該是互動、呼應的雙向活動.筆者以為，導學活動要深入實施、取得實效，就必須做到“教師有所指，學生就要有所應”，“導”與“學”之間始終是遙相呼應的雙邊活動.因此，教師實施導學活動，要遵循課堂教學雙向性原則，既要積極的引導和指導學生的學習活動.同時，又要組織和設計具有雙邊互動的教學氛圍和教學形式，推動學生根據教師的導學活動積極回應，對教師提出的學習任務和要求，主動地參與配合，深入地思考分析，并能主動地與教師進行討論、交流等雙向活動，有效避免了“剃頭挑子一頭熱”的不良現象，實現在雙邊互動中推動導學進程.如“指數函數”一節課“指數函數的定義”知識點導學教學中，教師采用師問生答的互動形式，設計如下教學過程：

師：板書，指數函數的概念，并向學生定義指數函數.

師：組織學生討論a的取值規定.向學生提問：“為什么要規定底數大于0且不等于1呢？”.

生：進行思考分析活動，出現認知卡殼現象.

師：引導學生分別討論a>0，a

生：通過集體討論交流，學生指出，a

師：組織學生討論指數函數的定義域.引導學生回顧指數x的取值范圍.

生：討論分析初步認識到指數x的取值范圍，并進行簡單論述.

師：總結指數函數的定義域為R.

上述導學過程之中，師與生圍繞知識點內涵進行了深入的討論、交流等雙向互動活動.在教師的提問、啟發、引導過程中，學生根據教師所提任務要求進行了深入的思考分析活動，使得導學活動貼近學教事情，推動導學取得實效.

二、遵循啟示性教學原則，在設疑解惑中開展導學

導學的過程，是一個循序漸進、解疑釋惑的發展過程.教師開展的導學活動，不是傳統教學模式下的“填鴨式”教學形式，而是依據學生認知實際，結合教學目標要求，循循善誘的教學過程.教師解疑釋惑不能“到嘴到肚”直接告知，而應該“循序漸進”的娓娓道來，在有效引導中啟發學生深入思考，找尋根源.因此，數學教師導學時，就必須遵循啟示性教學原則，找準癥結所在，設置的導學活動要富有啟示性、具有漸進性，讓學生在循序漸進的導學進程中，深入細致地思考和分析，逐步獲取認知的“本源”所在和解析的“真諦”精髓.如“平面向量”章節“共性向量”教學中，教師針對學生存在“共性向量認知不清”的疑惑，抓住他們學習認知的實際情況，通過設置“a=（-2，1），b=（λ，-1）（λ∈R），如果a和b的夾角為鈍角，試求出λ的取值范圍”問題，組織高中生認真研析活動，并展示其某一解題過程，引導他們深入分析，使他們認知產生解析錯誤的原因是“忽視a與b反向共線的情況”造成的.因此，教師在認知疑惑的導學過程中，引導高中生分析推導，從而認識到該問題中的向量a和b的夾角為鈍角等價條件是ab0，并且a、b不平行.

三、遵循探究性教學原則，在深入解析中開展導學

問題 已知集合A=xx2-2x-80，C=xx2-3ax+2a2

學生解析 通過解集集合A、B里面的兩個一元二次不等式，就可以求出集合A、B中的x的取值范圍.根據問題條件能夠容易求出A屬于B，根據CA∩B這一條件，可以對a的取值范圍進行討論，得出每種情況下集合C的情況，以及a的取值范圍.

教師指點：該問解答時需要對集合的包含關系判斷以及應用有準確的運用，需要運用到分類討論的解題思想.

學生完成解題活動，歸納總結解題方法，教師進行補充完善，獲得其解題策略.

教師進行點評：在解析這一類型問題時，要正確運用一元二次不等式的解法.

上述解題活動，是教師針對學生案例解析中經常出現的“不會運用描述法表示集合的概念及其表示形式”不足開展的導學活動.在此導學進程中，教師遵循了探究性教學原則，提供了動手探究的“舞臺”以及實踐解析的“時機”，抓住解答該類型問題的切入點和突破口，動手探究能力獲得長足進步，解析問題水平得到顯著提高.

解決問題，是學習數學學科的最根本任務和要求；解決問題能力，是學生數學學習能力的最基本要義.數學學習的過程，就是動手探究、思考分析的實踐過程.數學開展導學活動，要注重學生數學探究能力的錘煉和培養，將數學探究活動融入教師導學進程之中.組織學生圍繞教與學的任務要求，在教師的科學指導下進行親身實踐、深入解析等活動，并深刻汲取教師講解指導的“精髓”，以期獲得解析數學問題的方法，并對其科學使用深刻認知，提升學生數學技能和素養.

篇（6）

常言道，一個巴掌拍不響.互動教學活動的雙邊參與者，一方面是教師要完成教學活動設計者的任務，一方面參與主體要完成教師預設的學習探究任務，這就決定了參與主體的互動、配合應體現出一定的程度和深度，并且對互通的互動進程產生至關重要的決定作用.而學生主體參與互動的程度，受到自身內心情感狀態和學習內在情緒的制約和影響.教育心理學指出，外在活動環節或氛圍，對參與主體的內心世界影響和作用尤為顯著.這就決定了，高中數學教師所開展的互動教學活動要順利、深入開展，首要工作就是要做好適宜教學情境的創設.高中數學教師要利用數學教材所呈現的豐富內在和外在特性，同時將現實事物或生活案例與教材內容有機融合，營造寬松、愉悅、平等的教學情景，深入到高中生內心世界，推動自覺參與互動意識的建立.如“集合”一節課新知探究環節教學中，教師為增強高中生參與互動探知的積極性、主動性，扎實做好先期導入活動，采用情景導入法，設置了“已知紅星高中開展文娛活動，音樂組35人，參加舞蹈有34人，參加戲劇組有29人，其中音樂組和舞蹈組同時參加的有12人，舞蹈組和戲劇組同時參加的有14人，戲劇組和音樂組參加的13人，并且5人參加了三組，試問文娛活動有多少人？”教學活動，將該節課知識點的生活特性、應用之美予以呈現和展示，拉近新知與學生的距離，架起與情感溝通的橋梁，在積極情感驅使下，主動與教師一起深入探知數學知識內涵.

二、注重互動交流環節的創設，促進互動教學

教學活動具有雙向性、對等性，是其顯著的內在特征.但筆者發現，有個別高中數學教師片面理解互動教學模式的概念內涵，導致其實施和開展的互動教學活動，教師的教授指導和學生的思考解析等兩個環節未能較好的融合起來，貫穿起來，形成一個有機整體，導致互動活動成為一種擺設和形式，缺乏其教育和教學功效和意義.因此，教師在知識講解或案例講析課中，實施互動教學方式時，應注重對師生之間互動、交流、談話環節或過程的設置，把教者和學生的討論、協作、交流以及補充等等活動進行高效滲透和融入，實現師與生深入、深刻交流溝通、互動協作，實現其互動效果的深刻性和實效性提高.

篇（7）

用好數學史 教好數學課

談談高職高考的數學復習

論數學思想方法在高中數學教學中的滲透

關于提高數學教學開放度的探索和思考

關于高中數學模型化教學方法的探析

數學公開課的易位解析

中專數學課堂教學的改革

淺析高中數學教學中的分層教學

目標引領,自學導航——淺談學習目標的地位和作用

論中職數學分層分組合作教學模式的教學實踐

淺議中職學校數學教學評價體系

數學建模與學生創新思維能力的培養

例談數學課堂提問的部分原則

動生成的高中數學課堂教學模式的探究

基于Moodle的高中數學混合式教學設計——以《等差數列》為例

在數學課中發揮小班化教學優勢

淺議中職數學的“教”與“學”

“數學過程”之淺見

讓課堂成為學生思維的運動場

談數學高效課堂教學的完整性

初高中數學銜接教學初探

《幾何畫板》在數學探究性活動中的應用

淺談計算機輔助教學的實踐與思考

淺談電子交互白板對初中數學教學的影響

淺談高中數學教學中如何實施素質教育

淺談在數學教學中如何轉化后進生

非智力因素促進學生學習數學

高中函數概念的有效教學策略

高中數學概念教學中的三個“什么”

淺析職業學校數學教學中的分層次教學法

高中數學教學中創新教育途徑探討

如何提高數學課堂的教學效率

淺談變式教學在中職數學教學中的應用

淺談新課程對數學教師專業發展的要求

試論新課改下文化課教學中情感教育的滲透

新課程理念下的高中數學課教師應當做什么

新課程改革理念下數學課堂教學的突破與發展初探

新課程下提高課堂有效性教學初探

拓展學生思維 提高課堂效率

項目導向教學法在中職數學教學中的應用

大學數學教學應加強案例應用

從學生的節外生枝說開去——談高中數學教學預設與動態生成的和諧統一

新課程背景下高中數學有效課堂教學引入的十種方法

職高數學選擇題的間接解法

化歸思想在積分學習中的應用

分類討論解數學題的幾種常見情況

靈活思維在高中數學中的運用——以化歸思想為例

以退為進思想在高中數學中的運用

淺談思維定勢在數學解題中的影響

積分上限函數的導數計算方法初探

探求軌跡（曲線）方程的幾種常用方法

構造法證明不等式舉隅

中職數學問題解決的反思策略

關于高中導數應用教學的思考

走好解析幾何入門關——橢圓題型的優化策略

發散思維,培養能力

淺談如何計算正態隨機過程平方的協方差函數

利用向量巧解二面角

你會解已知面積作條件的題目嗎

抓住本質特點 簡化解題過程

淺析常微分方程的幾種解法

利用斜率解決一類分式求值域的問題

級數的相關性質與應用

篇（8）

課程改革成為教學發展必然趨勢，對課堂教學要求更具時代特性。學生是教與學活動的“參與者”，實踐探究，是其探索新知、解決問題的重要手段。組織初中生開展探究解析活動，是教師課堂教學的一項重要任務和要求。本人現從數學探究能力培養角度，對初中數學課堂教學活動開展進行簡要論述。

一、強化教師指導功效，在有序引導下有效探究

教育構建學認為，教學活動構建要素眾多，內涵要素豐富，其中，教師、學生，是其不可缺少的兩個重要“部件”。教師是整個教學活動體系的構建者和規劃者，起著主導作用。而學生由于自身現有的學習能力水平與現行教學目標要求之間存在“距離”，致使學生學習探究活動需要借助于“外力”的支持和幫助。教師作為課堂教學“主導”，組織、引導、指導學生學習探知，是其肩負的重要職責。組織初中生數學探究研析活動，既不能做“甩手掌柜”，放任自由，又不能做“包辦者”，全程代替，而應該在保證初中生親身探究活動時間和空間基礎上，切實發揮自身主導指導功效，做好對初中生數學探究活動的指引工作，有意識地設計探究任務要求，實時觀察和了解探究實際情況，并能針對出現的探究實踐不足及時“化解”，保證初中生在“收放”結合條件下深入有序開展探究實踐活動。如在“平行四邊形”一節課“平行四邊形的性質”知識點講解中，教者利用初中生具備的能動主體特性，采用實驗法，進行平行四邊形的性質探究研析活動。在此過程中，教師先向初中生提出本次實踐操作的目標和任務，然后采用“教師示范，學生操作”的形式，教師一邊示范操作，提出操作步驟，學生遙相呼應進行動手操作活動。教師組織初中生觀察圖形特征，學生觀察圖形，闡述圖形特征，指出平行四邊形具有“對邊相等且平行、對角相等，鄰角互補”等特點。教師針對初中生所闡述的圖形特征內容，進行補充和完善。在此過程中，初中生借助教師有效指點，探究活動更為深刻，知識點內涵掌握更為深刻，學習效能顯著提升。

二、注重雙邊互動活動，在合作互助下深入探究

教育學認為，學生學習活動不是個體獨立活動，而是集體合作活動。學生作為班集體的“一份子”，其學習活動離不開與其他學生個體的合作、交流、探討等雙邊活動。動手探究作為學生學習活動的一種形式，自然也需要互助協作活動的實施。加之，教學活動的雙邊互動特性，更決定了學生探究活動應融入合作互助集體“勞動”。但筆者發現，很多初中生習慣于單打獨斗的自主探究活動，不愿意參與到群體中間進行合作互助探究實踐。這就要求，初中數學教師在組織學生探究活動時，要注重集體合作探究活動的開展，按照“統籌兼顧，整體平衡”的原則，組建合作探究學習小組，引導初中生參與到小組合作探究數學知識或數學案例的實踐活動之中，在互補互惠、深入探討中，推進探究活動深入開展，提升初中生探究實踐、互助協作能力。如“已知有一個形如二元一次方程，如果現在這個方程組x的值為負數時，y的值就為正數，試求出m的取值范圍?！卑咐v解中，教師組織初中生開展探究解析該案例時，采用小組合作探究形式，將初中生分成若干合作探究小組，進行問題探究、推導、解析、概括等實踐活動。初中生合作感知問題條件后認識到，該問題要求m的取值范圍，需要運用到解一元一次不等式組以及解二元一次方程組的內容。在確定解題思路時，初中生進行討論交流，一致認為應先利用加減消元法求出x=2m-1，y=m+4，然后根據問題條件中的“x的值為負數時，y的值就為正數”條件內容，列出不等式，進行解不等式組活動，即可確定m的取值范圍。教師針對初中生合作探析思路，強調指出，解題時要按照同大取小，同小取大，大于小的小于大的取中間，小于小的大于大的無解的思路進行解集活動。值得注意的是，教師組織開展合作雙邊探究活動，應在保證學生個體探究效果，避免出現“身在曹營心在漢”，參與程度不深，“隨大流”、“走過場”的形式主義現象。

三、重視解析技能積累，在能力保障下高效探究

學生數學探究活動，就是學習技能、學習素養，鞏固強化，學以致用的過程。同時，探究活動程度，受到探究者自身數學技能素養的制約和影響。因此，培養學生良好、優秀的學習技能和素養，是探究活動深入開展，取得實效的“保證”。教師應在平時的初中數學課堂教學活動進程中，注重數學教材內容要義的講解，幫助初中生積累深厚的數學知識素養，重視數學解題方法策略的傳授，幫助初中生形成良好的數學解題技能，在逐步積累和實踐中，為有效自主探究活動的開展，提供素養“保證”和方法“指導”。值得注意的是，數學知識素養和解題技能培養，是長期、系統的教學“工程”，需要初中數學教師持之以恒、孜孜不倦的鍛煉和培養，在點滴培養中實現初中生探究能力素養的升華和進步。

總之，教師應將學生探究實踐活動納入課堂教學體系之中，精心組織，科學指導，注重探究，有效培樹探究技能型人才。

【參考文獻】

[1]何文忠.從“效率”走向“效益”――談數學教學的有效性[J].寧波教育學院學報，2012年04期

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試卷是教師在學科教學中提升教學活動效果，鍛煉學生數學學習技能的有效抓手和重要載體.試卷講析是試卷運用的一個重要環節，同時，也是教師與學生之間進行互動交流的有效時機.在試卷講析過程中，教師為了達到促進學生深入思考，認真探析，認知現狀，鍛煉技能，鞏固提升的目標，試卷講析活動進程中，需要采用和實施各種教學手段或方式.有效教學策略的運用，對整個試卷講析活動的開展和效果，起到推進和促動功效.高中階段，階段性測試“家常便飯”，教師試卷講習成為教學活動的一個重要內容.做好試卷講析活動，也就顯得更為重要和重大.本人現結合自己試卷講析活動體會，就教學策略的運用，從幾個方面作粗淺的談論.

一、抓住教學過程雙邊特性，實施互動式試卷講析活動

試卷講析是教師課堂教學的一種活動形式，它屬于教學活動體系的一個“分子”.試卷講析活動進程自然要具有教學活動所呈現的雙邊特性，互動特點.但筆者發現，部分高中數學教師片面追求教學進度，將學生“拋離”試卷講析活動之外，由教師一人完成試卷的“評講”和試卷的“分析”活動，導致高中生不能“沉下”身子接受教師的“講析”.教育實踐學認為，試卷是鍛煉和提升學生學習技能素養的有效抓手，學生應融入在試卷講練的每一環節.這就要求，高中數學教師要將試卷講析看作是師生相互之間，生生個體之間，深入討論、深度合作、深刻探析的重要時機，采用互動式教學方式，通過教師的“講”和“引”，來促使學生深刻的“思”和“析”，讓師生在互動合作、交流探析的雙邊活動中，正確掌握試題的解析方法.如“設全集U={x∈Z|0≤x≤10}，A={1，2，4，5，9}，B={4，6，7，8，10}，C={3，5，7}.求：A∪B，（A∩B）∩C，（

”講析活動中，教師采用互動式教學方式，引導高中生一起分析問題條件存在的關系，一起討論解題要求與條件內容之間的“切入點”，共同推導解決這一要求的思維過程，從而讓學生在互動交流的協作活動中，掌握該試題解答的方法，從而促進高中生參與試卷試題分析的程度和深度，提高講析效果.

二、抓住試卷案例實踐特性，實施探究式試卷講析活動

實踐過程學指出，教學過程，其本質就是引導學生科學、嚴謹實踐探析的過程，探究性、實踐性，應融合于教學過程之中.教師講析數學試卷，不能簡單的告知學生試卷試題完成的“對與錯”，而應該采用逐步遞進、層層推進的探究式教學方式，在指導和引導學生分析試題條件內容、推導解析問題過程和解答試題過程中，數學學習技能得到鍛煉和提升.如在“在極坐標系中，從極點o做直線與另一直線1：ρcosθ=4，相交于點m，在OM上取一點P，使得OM?OP=12，求出點P的軌跡方程”試題講析過程中，教師采用探究式教學方式，引導學生探析問題條件活動，學生合作探析試題條件后指出：“該試題是考查對圓與方程知識運用的案例”.根據試題所提出的解答要求，教師組織學生組建學習小組推導解析的分析過程，指出：“應該先求出直線1的普通方程，然后設定M，P的坐標，構建方程，求出OM，OP的向量，最后求出軌跡方程”.教師此時引導學生根據所探析的解題思路，找出解題存在的不足，改正其解題過程.高中生在教師組織開展的探究式教學活動中，通過自身探究分析試題條件及解題思路活動，解析問題的能力和動手探析的能力得到了有效鍛煉.

三、抓住試卷練習鞏固特性，實施反思式試卷講析活動

從教育功效學的角度出發，可以發現，試卷練習的目的，就是為了幫助和促進學習對象更好的鞏固所學數學知識內涵和技能，形成更加深厚、更加良好的數學學習素養.學生在試卷講析過程中，借助于教師的有效講解分析，進一步的促進了學生的自我思考、自我剖析活動的開展，其自身思考分析活動也得到了深刻鍛煉.因此，高中數學教師講解分析試卷試題，應有意識的引導高中生結合試題所包含的數學知識點內容，進行再次的回顧總結.同時，結合試題解析過程，引導高中生反思辨析自身解析試題過程，自我查找解題過程中存在的“優點”和“缺處”，教師針對高中生的“反思”過程，進行針對性的指導和評判，從而幫助高中生在鞏固反思、辨析評判的過程中形成良好數學學習能力.

四、抓住試題典型示范特性，實施發散式試卷講析活動

試卷講析，不能采用局限的“眼光”，就試題講試題；而應該運用發展的“思路”，舉一反三，觸類旁通，升華試題內容，提升講析效果.高中數學教師在試題講析時，要整體研析數學知識內容的深刻聯系和豐富外延，利用試題案例所具有的典型性、概括性和發散性特點，就某一試題講解時，要善于挖掘該試題豐富的內涵要義及深刻聯系，設置出與該案例密切聯系的其他案例內容，組織和指導高中生進行深入細致的分析和研究活動，能夠通過原有解題方法和經驗，實現對其他案例的分析和解答，提高其知識遷移能力和案例解析能力.

總之，高中數學教師在試卷講解分析的過程，要緊扣課改要求，按照高考政策考查內容，合理利用教學策略，科學開展試卷講析，實現高中生學習技能和數學素養有效提升.

【參考文獻】

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一、問題背景

經常會有學生反映：“老師，復習了那么長時間的解析幾何，做了那么多解析幾何試題，但是我現在還是很恐懼解析幾何，模擬卷的解析幾何題我都逼著自己嘗試著做，有時會做，有時一點思路都沒有，我該怎么辦呢？”在解析幾何的復習過程中，教師該如何帶領學生在制高點獲得突破？讓我們首先來看一例：

引例 （2013浙江理21）如圖，點P（0，-1）是橢圓C1：x2[]a2+y2[]b2=1（a>b>0）的一個頂點，C1的長軸是圓C2：x2+y2=4的直徑.l1，l2是過點P且互相垂直的兩條直線，其中l1交圓C2于A，B兩點，l2交橢圓C1于另一點D.

（Ⅰ）求橢圓C1的方程；

（Ⅱ）求ABD面積取得最大值時直線l1的方程.

本題涉及橢圓的標準方程及簡單幾何性質，圓的標準方程及簡單幾何性質，直線方程，直線與圓相交弦長的計算，直線與橢圓相交弦長的計算，三角形面積的計算等，涉及內容豐富.第（Ⅱ）小題建立在第（Ⅰ）小題的基礎上，起點低，入口寬，層次遞進，由易到難，突出主干知識，緊扣考試說明.但是據統計，第（Ⅱ）小題得分并不高，究其原因，主要是解題方法選擇不當，運算能力不夠，最值求取存在問題，缺少知識的融會貫通和靈活運用.

那么如何高效地開展復習課教學，使學生學以致用呢？

二、案例操作

1.試題剖析

我們首先明確要求什么.題目要求我們求得三角形面積最大值時的直線方程，那么必須要得到三角形面積的表示.根據題意，我們能很快得到三角形的面積可以表示為S=12|DP|?|AB|.

那么怎么求呢？根據解析幾何的基本思想，利用代數來研究幾何，我們設法求出兩條弦長的代數式，涉及求解這個問題的三個關鍵點：直線方程、面積表示、面積的最大值.故可確定本題的解決方式大致如下：參數設定方程及相關計算等價轉化.

2.過程探究

萬事開頭難，教學中針對學生解題的薄弱之處――如何尋找解題的突破口，本題的分析過程從讀題、審題入手，重視對有效信息的提取、翻譯、加工、應用等環節的體現.通過幾個問題，將題目層層剖析，讓學生親歷問題分析的過程.

（Ⅰ）由已知得到b=1，且2a=4，a=2，所以橢圓的方程是x2[]4+y2=1.

（Ⅱ）（1）如何選取參數？

我們發現直線l1的位置一旦確定，整個圖像就確定了，而用代數來控制直線l1的就是它的斜率.因為直線l1l2，且都過點P（0，-1），由題可得直線l1的斜率一定存在.這一步驟中借助圖形的幾何性質合理地分析出兩條直線的假設方式，既避免了分類討論，又沒有任何遺漏.考查了直線方程相關基礎知識，也通過這樣的步驟合理地設定了本題的參數.所以設直線l1：y=kx-1kx-y-1=0，則直線l2的方程為x+ky+k=0，目標量為S=12|DP|?|AB|，難度為分別求弦長AB和DP.

（2）題目中羅列的條件有哪些？

①l1交圓C2于A，B兩點；②l2交橢圓C1于另一點D.

（3）如何用代數的方法進行翻譯刻畫呢？

在合理假設直線方程的前提下，通過聯立方程，利用代數法可求得弦DP的長度，以及在圓中利用幾何法可求得弦AB的長度，這樣就可以順利寫出三角形ABD的面積表示.這里涉及解析幾何大題中的一些基本方法，如聯立方程、韋達定理、弦長等.

弦長AB根據直線與圓相交，利用垂徑定理求取得到關于斜率的一個函數d=1[]1+k2，AB=24-d2=23+4k21+k2.

DP則根據直線與橢圓相交，通過聯立方程組和弦長公式求得.由x+ky+k=0，

3.回歸本質

這個題思路簡單，采取的方法是通性通法.其實仔細分析每年高考題，我們會發現解析幾何的題具有很強的規律性，在每一題中總是若隱若現地出現那種看似無形卻有形、猶抱琵琶半遮面的情景，表達的精髓無非是坐標與方程，方程的核心則是直線方程，曲線方程往往是已知的.對直線方程，我們要有效地假設未知的信息，譬如引進斜率作為變量，通過直線與曲線方程聯立，結合韋達定理用設而不求的方式求解.總之，直線及其位置關系只有通過方程才能展開運算，只有運算才能對幾何關系進行有效的表達.

一堂課的內容是有限的，但對問題的研究是無止境的.在課堂講評之后，做以下變式，留作學生課后探究：

變式1：把橢圓改成拋物線y=2x2-6，點P（0，-2），l1，l2是過點P且互相垂直的兩條直線，l1交拋物線于A，B兩點，l2交圓于另一點D，求ABD面積取最大值時直線l1的方程.

變式2：橢圓C1：x2a2+y2b2=1a>b>0和圓C2：x2+y2=b2，已知圓C2將橢圓C1的長軸三等分，且圓C2的面積為π，橢圓C1的下頂點為E，過坐標原點O且與坐標軸不重合的任意直線l與圓C2相交于點A，B，直線EA，EB與橢圓C1的另一個交點分別為P，N.

1.求橢圓C1的方程.

2.（1）設PM的斜率為t，直線l的斜率為k1，求k1t的值；

（2）求三角形EPM面積最大時直線l的方程.

三、教學反思

解析幾何是一門“方法論”色彩濃厚的學科，應當以“用坐標法研究問題”為主線，在教學過程中，向學生滲透函數與方程思想、數形結合思想、分類討論思想、等價轉化思想及運動變換思想.

（1）課堂教學應當“把時間還給學生，把方法教給學生”；

（2）課堂教學應當使學生的思維由“表層結構”向“深層結構”發展.

【參考文獻】