數(shù)學(xué)中的分析法匯總十篇

序論：好文章的創(chuàng)作是一個不斷探索和完善的過程，我們?yōu)槟扑]十篇數(shù)學(xué)中的分析法范例，希望它們能助您一臂之力，提升您的閱讀品質(zhì)，帶來更深刻的閱讀感受。

篇（1）

一、分析法的基本概念

分析法是從問題的結(jié)論出發(fā)尋求其成立的充分條件的證明方法.即先假定所求的結(jié)果是成立，分析使這個命題成立的條件，把證明這個命題轉(zhuǎn)化為判定這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么可以斷定原命題成立.我們稱之為“執(zhí)果索因”。

要證明命題：“若A則D”思考時可以由結(jié)論D出發(fā)向條件A回溯，先假定所求的結(jié)論D成立，尋求D成立的原因，而后就各個原因分別研究，找出它們成立的條件，逐步進行下去，最后達到條件A，從而證明了命題.其思考路線如圖：

D？圯C？坩B？坩…？坩A

用分析法進行證明，每一步推理都是尋找充分條件，最后找到要證命題的條件。就是說，每一對相連的判斷中，后者是前者的充分條件，這樣，聯(lián)成一個邏輯鏈時，才保證了由條件A到結(jié)論D.由傳遞律得出，A是D的充分條件，從而證明了命題“若A則D”.分析法的證明中，每一步都是從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”，此處的“需知”是倒推的“中途點”。

二、例析分析法

要證明命題：“若A則D”.思考時可以由結(jié)論D出發(fā)向條件A回溯.先假定所求的結(jié)論D成立，尋求D成立的原因，而后就各個原因分別研究，找出它們成立的條件，逐步進行下去，最后達到條件A，從而證明了命題.其思考路線如圖：

篇（2）

做任何事情都需要講究一定的方法，用對了方法，才能事半功倍，把一件事情做得更好. 在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中也是一樣的，分析問題和解決問題都需要正確的方法.

一、分析法概述

對分析法的運用主要就是把整體的內(nèi)容分解為若干個部分，是一個從整體到局部，從復(fù)雜到簡單的過程，再針對各個部分進行分析和探究. 在數(shù)學(xué)中的一些證明題中，逆推法就是一種分析法，它的過程就是從一種結(jié)果追溯到產(chǎn)生這種結(jié)果的原因，不斷地追溯上去，一層一層地分析. 還有，在求多邊形的面積時，通常我們都是把多邊形分解成若干個三角形再進行計算，這也是分析法運用的一種形式. 分析法的運用也可以把一個完整的過程分解成若干個有序的步驟，在我們所學(xué)習(xí)的列方程解應(yīng)用題中，就可以把解題過程分解成幾個步驟，如假設(shè)，找等量關(guān)系并列方程，解方程，檢驗. 通過完成每一個步驟來解決這個問題，可以讓整個過程變得更加清晰，容易理解.

二、分析法的應(yīng)用

分析法的運用范圍很廣，在一些幾何類的證明題中，分析法的運用具有非常明顯的特征. 下面我將舉例來說明分析法在解決問題的過程中該如何運用，具體說來，就是要從數(shù)學(xué)題的特征和結(jié)論出發(fā)，一步步不斷探索，最終達到與題設(shè)和已知條件相關(guān)聯(lián).

例1 如圖1所示，點P是圓O外的一點，PQ切圓O于點Q，PAB和PCD是割線，∠PAC = ∠BAD. 求證：PQ2 = PA2 + AC·AD.

分析過程：根據(jù)已知條件，我們可以很容易得出PQ2 = PA·PB.

這樣，通過逐步地分析就把問題轉(zhuǎn)化成了我們所熟悉的求三角形相似的問題.

那么再根據(jù)已知條件，證明這兩個三角形相似. 連接BD，因為∠PCA是圓內(nèi)接四邊形ABCD的一個外角，所以∠PCA = ∠ABD. 又因為已知中已經(jīng)給出的∠PAC = ∠BAD，所以APC∽ADB. 再把整個過程反過來書寫，命題得證.

例2 如圖，在ABC中，AB = AC，∠1 = ∠2，求證：AD平分∠BAC.

這是一道比較簡單的證明題，但分析的方法還是一樣的.

分析過程：要證明AD平分∠BAC，就要得到∠BAD = ∠CAD.

由于這兩個角在不同的三角形內(nèi)，因此，就要證得ABD ≌ ACD，已知條件中已給出了AB = AC，AD又是公共邊，那么只要證得BD = CD即可. 要得到BD = CD，必須要該三角形的兩個底角∠1 = ∠2，而這剛好就是已知條件. 通過這樣的分析，思路明確了之后，寫出來就很容易了.

三、綜合法概述

綜合法與分析法可以說是兩種相逆的方法，但卻又是兩種有著密切聯(lián)系的方法. 綜合法運用的具體過程就是要把事物中的不同部分，各個方面以及相關(guān)的要素綜合起來，從整體上來考慮. 也是根據(jù)已知條件推導(dǎo)出結(jié)論的一種思維方法. 比如我們在學(xué)習(xí)有理數(shù)的概念時，就需要把正整數(shù)，零，負整數(shù)，正分數(shù)，負分數(shù)，綜合起來研究并形成有理數(shù)的概念，這樣我們對有理數(shù)的概念才能有更加深刻和清晰的理解. 綜合并不是把各個部分進行簡單機械的拼湊，而是要找出各個部分之間的相關(guān)性和規(guī)律性. 就比如說有理數(shù)，它包括很多個部分，而這些不同的部分之間的相同點就是它們都不是無限不循環(huán)的數(shù)，這也是相對于無理數(shù)而言的. 總的來說，綜合法的應(yīng)用過程是從已知條件出發(fā)，根據(jù)已知條件再進行適當(dāng)?shù)倪壿嬐评?，最后達到解決問題的目的.

四、綜合法的應(yīng)用

下面我們同樣以一道證明題來展示綜合法的具體運用.

例3 如圖，在ABC中，AB = AC，∠BAC和∠ACB的平分線相交于點D，∠ADC = 130°，求∠BAC的度數(shù).

綜合法的分析過程：

從已知條件入手，把每一個已知條件發(fā)散出來，不斷地得出更多的條件.

根據(jù)AB = AC，以及AE是∠BAC的角平分線，可以得出∠DEC = 90°，又因為條件中的∠ADC = 130°，所以∠ECD = 40°.

篇（3）

中圖分類號：G424 文獻標(biāo)識碼：A

Exploration and Practice of the Discovery Teaching

Method in Mathematics Analysis Course

ZHOU Qiyuan， XIANG Xuyan， ZOU Qingyun

（Department of mathematics， Hu'nan University of Arts and Sciences， Changde， Hu'nan 415000）

Abstract Combining the characteristics of the course of mathematical analysis， Applying the discovery teaching method into mathematical analysis course is important to inspire the learning interests and voluntary learning consciousness of students and cultivate the abilities of problem-solving and team-work of students.

Key words mathematics analysis； discovery teaching methods； teaching reform； practice

發(fā)現(xiàn)教學(xué)法亦稱假設(shè)法和探究法，是美國認知主義心理學(xué)家布魯納提倡的一種啟發(fā)式的教學(xué)方法，是指教師在學(xué)生學(xué)習(xí)概念和原理時，不是將學(xué)習(xí)的內(nèi)容直接提供給學(xué)生，而是向?qū)W生提供一種問題情境，只是給學(xué)生一些事實（例）和問題，讓學(xué)生積極思考，獨立探究，自行發(fā)現(xiàn)并掌握相應(yīng)的原理和結(jié)論的一種方法。①布魯納認為，學(xué)生主要不是去發(fā)現(xiàn)人類尚未知曉的事物，而是去認識人類幾千年來的認知成果和歷史經(jīng)驗。

1 對數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)法教學(xué)的認識

所謂數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)教學(xué)法，就是指借助教師和教科書向?qū)W生提出一系列精心設(shè)計的數(shù)學(xué)問題或作業(yè)，使學(xué)生在閱讀、觀察、實驗、解題等過程中，親自去“發(fā)現(xiàn)”數(shù)學(xué)的概念、定理和解題方法等，使學(xué)生成為知識的“發(fā)現(xiàn)者”，以達到使學(xué)生加深對知識的體驗和感悟，逐步形成學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的積極態(tài)度與情感，掌握學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的基本方法與技能，發(fā)展學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的能力的目的。②

2 發(fā)現(xiàn)教學(xué)法在數(shù)學(xué)分析③教學(xué)中的探索與實踐

數(shù)學(xué)分析課程是高等院校數(shù)學(xué)類專業(yè)的主干課程，在培養(yǎng)學(xué)生形成嚴謹?shù)倪壿嬎季S能力和推理論證能力、提高學(xué)生運用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的能力和開拓學(xué)生的創(chuàng)新能力等方面都起著重要的作用。但長期以來，數(shù)學(xué)分析的教學(xué)效果總是不能令人滿意。如何通過改革數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)，提高數(shù)學(xué)分析的課堂教學(xué)效果和教學(xué)質(zhì)量一直是受關(guān)注的問題，近年來，也有不少學(xué)者做了這方面的研究。④⑤本文將從數(shù)學(xué)分析的概念教學(xué)、命題教學(xué)、解題教學(xué)、課后作業(yè)等方面嘗試進行發(fā)現(xiàn)教學(xué)法，促使學(xué)生成為知識的“發(fā)現(xiàn)者”。

2.1 在數(shù)學(xué)概念的導(dǎo)入中實施發(fā)現(xiàn)教學(xué)法

建構(gòu)主義觀點認為，數(shù)學(xué)知識不是簡單地通過教師傳授到學(xué)生頭腦中去，而是要根據(jù)個人的操作、體驗、感悟、交流，思維由淺入深，由低級到高級，由感性認識上升到理性認識來主動構(gòu)建，并通過反省來調(diào)節(jié)。⑥

關(guān)于定積分概念的建立，是通過求曲邊梯形的面積與變力所做的功而引入的。在求曲邊梯形面積時，是通過分割、近似作和得到其近似值。教學(xué)中通常是直接對曲邊梯形進行塊分割，學(xué)生往往不得要領(lǐng)，我們從學(xué)生能解決矩形面積的計算與逼近思想出發(fā)，利用發(fā)現(xiàn)法教學(xué)，提出課題：曲邊梯形面積如何用對應(yīng)的矩形面積去近似代替而使得其誤差趨于零？引導(dǎo)學(xué)生將曲邊梯形中的連續(xù)曲線所在的邊用一條水平線段代替，就得到一個曲邊梯形面積的近似值，但誤差較大，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)：若將該曲邊梯形分成兩塊，即在底邊上插入一個分點，每一塊都用矩形面積代替它，這時的誤差就會比前面的要小.設(shè)想：如果將這些曲邊梯形分成三塊（即插入2個分點）、四塊（即插入3個分點）、十塊（插入9個分點）、一百塊、一千塊……、無數(shù)多塊，這種誤差是不是會越來越小，最終趨于零？輔助多媒體演示，讓學(xué)生表述結(jié)論，學(xué)生不難得出結(jié)論：我們的設(shè)想是可行的，即當(dāng)分的塊愈多（即插入的分點越多），每個小矩形面積的和就越接近曲邊梯形的面積，從而小矩形面積的和就越接近曲邊梯形的面積。將此過程用準確的符號語言來敘述并輔以多媒體演示，學(xué)生很自然地解決課題所涉及問題，同時也讓學(xué)生感知了“以直代曲”的數(shù)學(xué)思想。

這樣通過明確課題，揭示矛盾，分析矛盾有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的深刻領(lǐng)會；有利于數(shù)學(xué)思想的滲透，同時也有利于學(xué)生認識“發(fā)現(xiàn)”思維的某些規(guī)律。

篇（4）

數(shù)學(xué)思想是指人們對數(shù)學(xué)理論和內(nèi)容的本質(zhì)的認識，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的具體化形式，實際上兩者的本質(zhì)是相同的，差別只是站在不同的角度看問題。通?；旆Q為“數(shù)學(xué)思想方法”。 而小學(xué)數(shù)學(xué)教材是數(shù)學(xué)教學(xué)的顯性知識系統(tǒng)，看不到由特殊實例的觀察、試驗、分析、歸納、抽象概括或探索推理的 心智活動過程。 而數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)的隱性知識系統(tǒng)。 因此，教師在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，要使“數(shù)學(xué)方法”與“數(shù)學(xué)思想”結(jié)合，于無形之中讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時候了解到解決問題的思路以及由來，從而培養(yǎng)學(xué)生的解決問題以及數(shù)學(xué)能力，從而學(xué)會獨立借用數(shù)學(xué)思想解決問題。正所謂“授之以魚，不如授之于漁”， 要讓學(xué)生知道如何解決這道題的同時，更知道解決問題的思想，從而受到啟發(fā)，能解決于此類似或相關(guān)甚至變換、延伸出來的問題，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)。

一、數(shù)形結(jié)合的思想方法

數(shù)與形是數(shù)學(xué)教學(xué)研究對象的兩個側(cè)面，把數(shù)量關(guān)系和空間形式結(jié)合起來去分析問題、解決問題，就是數(shù)形結(jié)合思想?！皵?shù)形結(jié)合”可以借助簡單的圖形、符號和文字所作的示意圖，促進學(xué)生形象思維和抽象思維的協(xié)調(diào)發(fā)展，溝通數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，從復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系中凸顯最本質(zhì)的特征。它是小學(xué)數(shù)學(xué)教材編排的重要原則，也是小學(xué)數(shù)學(xué)教材的一個重要特點，更是解決問題時常用的方法。

例如，我們常用畫線段圖的方法來解答應(yīng)用題，這是用圖形來代替數(shù)量關(guān)系的一種方法。我們又可以通過代數(shù)方法來研究幾何圖形的周長、面積、體積等，這些都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。

二、集合的思想方法

把一組對象放在一起，作為討論的范圍，這是人類早期就有的思想方法，繼而把一定程度抽象了的思維對象，如數(shù)學(xué)上的點、數(shù)、式放在一起作為研究對象，這種思想就是集合思想。集合思想作為一種思想，在小學(xué)數(shù)學(xué)中就有所體現(xiàn)。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，集合概念是通過畫集合圖的辦法來滲透的。

如用圓圈圖（韋恩圖）向?qū)W生直觀的滲透集合概念。讓他們感知圈內(nèi)的物體具有某種共同的屬性，可以看作一個整體，這個整體就是一個集合。利用圖形間的關(guān)系則可向?qū)W生滲透集合之間的關(guān)系，如長方形集合包含正方形集合，平行四邊形集合包含長方形集合，四邊形集合又包含平行四邊行集合等。 　三、化歸思想

化歸思想是把一個實際問題通過某種轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為一個數(shù)學(xué)問題，把一個較復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為一個 較簡單的問題。應(yīng)當(dāng)指出，這種化歸思想不同于一般所講的“轉(zhuǎn)化”、“轉(zhuǎn)換”。它具有不可逆轉(zhuǎn)的單向性。

例： 狐貍和黃鼠狼進行跳躍比賽，狐貍每次可向前跳4 1／2 米，黃鼠狼每次可向前跳2 3／4米。它們每 秒種都只跳一次。比賽途中，從起點開始，每隔12 3／8米設(shè)有一個陷阱， 當(dāng)它們之中有一個掉進陷阱時，另 一個跳了多少米？

這是一個實際問題，但通過分析知道，當(dāng)狐貍（或黃鼠狼）第一次掉進陷阱時，它所跳過的距離即是它每 次所跳距離4 1／2（或2 3／4）米的整倍數(shù)，又是陷阱間隔12 3／8米的整倍數(shù)，也就是4 1／2和12 3／8的“ 最小公倍數(shù)”（或2 3／4和12 3／8的“最小公倍數(shù)”）。針對兩種情況，再分別算出各跳了幾次，確定誰先掉 入陷阱，問題就基本解決了。上面的思考過程，實質(zhì)上是把一個實際問題通過分析轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為一個求“最小公倍數(shù)”的問題，即把一個實際問題轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為一個數(shù)學(xué)問題，這種化歸思想正是數(shù)學(xué)能力的表現(xiàn)之一。

四、極限的思想方法

極限的思想方法是人們從有限中認識無限，從近似中認識精確，從量變中認識質(zhì)變的一種數(shù)學(xué)思想方法，它是事物轉(zhuǎn)化的重要環(huán)節(jié)，了解它有重要意義。

現(xiàn)行小學(xué)教材中有許多處注意了極限思想的滲透。在“自然數(shù)”、“奇數(shù)”、“偶數(shù)”這些概念教學(xué)時，教師可讓學(xué)生體會自然數(shù)是數(shù)不完的，奇數(shù)、偶數(shù)的個數(shù)有無限多個，讓學(xué)生初步體會“無限”思想；在循環(huán)小數(shù)這一部分內(nèi)容中，1÷3=0.333…是一循環(huán)小數(shù)，它的小數(shù)點后面的數(shù)字是寫不完的，是無限的；在直線、射線、平行線的教學(xué)時，可讓學(xué)生體會線的兩端是可以無限延長的。

那如何加強數(shù)學(xué)思想方法的滲透呢？

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一、分層教學(xué)的必要性

班級內(nèi)，學(xué)生群體上，個體間的差異普遍存在，而且多種多樣，諸如智力差異、學(xué)習(xí)基礎(chǔ)差異、學(xué)習(xí)品質(zhì)差異、學(xué)習(xí)態(tài)度差異、學(xué)習(xí)目的差異、學(xué)習(xí)環(huán)境差異等等。心理學(xué)的研究結(jié)果表明：學(xué)生的學(xué)習(xí)能力差異是存在的，特別是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力方面存在著較大的差異這已是一個不爭的事實。造成差異的原因有很多，學(xué)生的先天遺傳因素及環(huán)境、教育條件都有所不同，還有社會因素（即環(huán)境、教育條件、科學(xué)訓(xùn)練），這些原因是對學(xué)生學(xué)習(xí)能力的形成起著決定性作用，所以學(xué)生所表現(xiàn)出的數(shù)學(xué)能力有明顯差異也是正常的。教育要面向班級每一個學(xué)生，每一個學(xué)生都有獲得知識和享受應(yīng)有教育的權(quán)利。班級教學(xué)不能“放棄”任何一名學(xué)生，不能只針對某一個層次的學(xué)生，但又要滿足每一個層次學(xué)生學(xué)習(xí)和進一步提升的需要。初中數(shù)學(xué)新課標(biāo)要求學(xué)生分層次提高，進而達到班級學(xué)生的最優(yōu)化組合。按照教育家達尼洛夫關(guān)于教學(xué)過程的動力理論之說，認為只有學(xué)生學(xué)習(xí)的可能性與對他們的要求是一致的，才可能推動教學(xué)過程的展開，從而加快學(xué)習(xí)成績的提高，而這兩者的統(tǒng)一關(guān)系若被破壞，就會造成學(xué)業(yè)的不良后果?！胺謱咏虒W(xué)”，實際是在大班教學(xué)的背景下，將學(xué)生依據(jù)學(xué)習(xí)情況分成幾個不同的層次，在此基礎(chǔ)上，對不同的學(xué)生開展不同的教育，實行不同的教學(xué)方法、制定不同的教學(xué)目的、采用不同的評價標(biāo)準，從而努力使不同程度的學(xué)生在班級學(xué)習(xí)中，都能在自己已有的程度下獲得知識的進一步提升，實現(xiàn)班級教學(xué)水平的整體提升。

二、分層教學(xué)的過程

備課時，教師認真研究教材，抓住問題的本質(zhì)，了解知識的發(fā)生、發(fā)展、形成過程，設(shè)置合理的認知層次：形象記憶性內(nèi)容設(shè)為第一梯級，保證后進學(xué)生“吃得了”；抽象理解性內(nèi)容為第二個階梯，使中等學(xué)生“吃得好”；知識擴展性內(nèi)容為第三個梯級，滿足優(yōu)等學(xué)生“吃得飽”。 作業(yè)是鞏固和提高學(xué)生所學(xué)知識的中要途經(jīng)。針對不同層次的學(xué)生，布置不同的作用，才能避免差生在難題面前的受挫和無奈，也能避免優(yōu)等生對大量基礎(chǔ)題的趣味索然，使不同類型的學(xué)生都能在作業(yè)中得到自己所需的：鞏固，還是提高，都能給以滿足。

“分層次”教學(xué)法在遵循由淺入深，由易到難的一般講課規(guī)律的基礎(chǔ)上，在知識和時間的安排上做了較大的改進。就新授課而言，對于不同層次的學(xué)生，在不同的教學(xué)目標(biāo)下，應(yīng)該才用不同的實現(xiàn)手段，及教學(xué)方式。如，對于成績優(yōu)秀的學(xué)生，可以進行探索式的教學(xué)方式，對其思維進行更深層次的訓(xùn)練；而對于依靠努力取得成績的這一類稍差一點的學(xué)生，則不妨通過各類題型的講解以及拔高題目的訓(xùn)練，開拓其視野，使其掌握相對較深的解題思路；對于又差一點的學(xué)生，基礎(chǔ)知識的理解和掌握，則顯得十分重要。既要明確不同層次學(xué)生回答相應(yīng)層面的問題，又要激勵低層面學(xué)生回答高層面的問題，完成高組的任務(wù)。分層上課就是教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，能兼顧各類層次的學(xué)生，讓其主動參與獲得發(fā)展，克服過去單一教學(xué)的傳統(tǒng)模式，按照分層備課的歸類，在施教過程中得以完成。

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2.質(zhì)疑啟發(fā)?！皩W(xué)起于思，思源于疑”。教育心理學(xué)研究表明，疑最容易引起定向――探究反射。有了這種反射，思維也就應(yīng)運而生，恰當(dāng)?shù)卦O(shè)“障”立“疑”，使學(xué)生有所想，聯(lián)系新舊知識，設(shè)想種種解答方案，促使學(xué)生頭腦中思維波濤迭起，自覺地由疑到信，從而收到良好的教學(xué)效果。

3.攻難啟發(fā)。積極的思維與疑難并存，教師在教學(xué)中要精心地設(shè)置一些有一定難度，但經(jīng)過努力可以解決的問題，有意地讓學(xué)生“跳起來摘摘桃子”“碰碰釘子”，在難題面前，學(xué)生的思維高度集中，他們會運用已有的知識，積極地思考，大膽地探索。在教師恰當(dāng)?shù)卣T導(dǎo)與啟發(fā)下，學(xué)生通過自己的勞動攻克難關(guān)，獲得知識，會產(chǎn)生一種愉快的心理，感受到學(xué)習(xí)的歡樂。不過，在攻難的過程中，應(yīng)該把握好“度”。難度太大，學(xué)生會畏難而退；難度太小，學(xué)生不用思考就會得到答案，達不到啟發(fā)的效果。

4.動情啟發(fā)。教師把正確的觀點與入情入理的主題講述清楚，并寓于生動感人的具體事例中，有助于突出主題，強化認識。在引導(dǎo)學(xué)生明理激情的過程中，教師要自己先做到感情豐富，講課直觀形象、生動活潑，抓住啟發(fā)學(xué)生感情的熱點，重視學(xué)生情感的激發(fā)，做到有情有理，情景交融，以情感人，使學(xué)生從中得到啟發(fā)。

5.分析啟發(fā)。所謂分析就是“執(zhí)果溯因”的思維方法。教師從命題的結(jié)論出發(fā)，逆推而上，提出一系列“欲證之，先要證什么”的問題，引起學(xué)生的思索，直溯到命題的條件或所學(xué)習(xí)的公理、定理、法則、公式等。這種分析啟發(fā)能培養(yǎng)學(xué)生有規(guī)律地探索解題思路，有利于發(fā)展邏輯思維能力，不僅為數(shù)眾多的習(xí)題在解答之前需要分析啟發(fā)，而且教材中大量定理、公式等在證明之前，也應(yīng)進行這種分析啟發(fā)。

6.歸納啟發(fā)。就是讓學(xué)生對某些特殊事物進行分析和比較，抽象出個別特征，并分出本質(zhì)的特性而舍棄非本質(zhì)的東西，從而歸納出這類事物的一般特性，或者形成概念，或者形成法則和公式。這有利于培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力和概括能力。

7演繹啟發(fā)。演繹是從一般到特殊的思維形式。它是關(guān)于特殊事物同某種一般事物相適應(yīng)的思想，演繹啟發(fā)就是引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)過去所獲得的關(guān)于某種事物的一般性的認識（大前提），去指導(dǎo)自己認識這類事物中某個或某些新的個別事物（小前提）而得出正確的結(jié)論。這種啟發(fā)是使學(xué)生獲得新知識，認識新事物的重要方法，它可以使學(xué)生在遇到新問題時容易找到思考和解決問題的途徑，對發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力是有意義的，它在概念、規(guī)律的應(yīng)用教學(xué)中經(jīng)常用到。

8.類比啟發(fā)。就是引導(dǎo)學(xué)生把所要研究的新問題與之有關(guān)的原有知識和方法進行比較，使學(xué)生認識到它們的共同特點和規(guī)律，從而以熟悉的方法和知識去解決新問題。類比有利于發(fā)展學(xué)生求同思維，培養(yǎng)學(xué)生舉一反三、觸類旁通的能力，促進知識能力的遷移。對于有區(qū)別但是類似的概念、運算、證明、作圖等，常可運用類比啟發(fā)。

9.直覺啟發(fā)。是給出實物、模型或圖形等讓學(xué)生觀察，在教師的指導(dǎo)下，使學(xué)生獲得對一類事物的某種特殊性的認識，這種啟發(fā)有利于培養(yǎng)學(xué)生敏銳的觀察事物的能力和周密的審題能力。在引出定義或定理、公式時較為有用。

篇（7）

多年教學(xué)實踐表明，凡是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)吃力的學(xué)生，多數(shù)屬于對極限概念理解不透徹。因此，數(shù)列極限概念的學(xué)習(xí)是至關(guān)重要的。數(shù)列極限概念的教學(xué)難點極限概念難以理解、掌握的原因在于：概念在教學(xué)這過程中涉及“任意”“給定”“無限接近”“存在”“趨向”等較抽象的術(shù)語。例如：當(dāng)x0時，sinx～x，tanx～x，1-cosx～■x2，ln（1+x）～x

一、極限的和（差）做等價無窮小替換

在通常情況下，等價無窮小替換只能在作積（商）時才能使用，在其他情況下不能隨便亂用；那么，等價無窮小的和（差）是否可以做等價替換？如果可以，那么，現(xiàn)在討論在什么條件下等價無窮小的和（差）分別能做等價替換？

定理1：設(shè)u（x），u1（x），v（x），v1（x），當(dāng)x？鄢為無窮小，u1（x）～u（x），v1（x）～v（x）且■■=A≠±1，則u1（x）±v1（x）～u（x）±v（x）

證明：■■=■■=■=1

推論：設(shè)u1（x），u11（x），u2（x），u22（x），…un（x），unn（x）當(dāng)x？鄢為無窮小時

u00（x）～u0（x），u11（x）～u1（x），u22（x）～u2（x）…unn（x）～un（x），且■■=A1≠±1，■■=A2≠±1，■■=An≠±1，則u00±u11±u22±…unn～u0±u1±u1±…±un

證明：■■=■=■=1

下面我們來看幾個例子：

例1.I1=■■如果用洛必達法求得正確解為■，若用等價無窮小代替得錯解即I1=■■=■（因為當(dāng)x0時，exsinx～xex

例2.I2=■■=■■=■■=1，若用等價無窮小替代得錯解I2=■■=2（因為■■=-1不滿足定理1的條件）

例3.I3=■■=■■=0（錯解，因為■■=1，正確解法請見華東師大數(shù)學(xué)分析第62頁。）

例4：I4=■■=■■=■■=-■

從例1、2、3我們可以觀察到：它們都不滿足定理1的條件即它們不滿足互不等價；而例4滿足定理1的條件，即可作等價無窮小替換的那兩個式子互不等價。所以，兩個（多個）無窮小做和（差）替換滿足的條件是它們分別作無窮小的等價替換的式子不等價。因此，和（差）作等價無窮小替換是有嚴格的條件要求的，不可以隨便作等價無窮小替換，否則，將會出現(xiàn)錯誤的結(jié)論。

二、統(tǒng)一了兩個重要極限的1∞型極限的快速、準確求法

先來看一個“1∞”型的例子，求■（cosx）■這是一個1∞型極限。我們用取對數(shù)的方法來解這一題。作恒等變形為（cosx）■=e■，則■■lncosx=■■=■■=-■，所以■（cosx）■=e■

請認真仔細觀察這個解題的過程，我們會發(fā)現(xiàn)并能總結(jié)得到求1∞型極限的一半步驟：

1.判斷■uv是否為1∞型極限

2.若是1∞型

則（1）令■uv=ea

其中a=■（u-1）v

所以■uv=ea

這樣，我們把兩個重要極限統(tǒng)一到1∞型上來討論，減少了其中的恒等變形，形式變得簡單，統(tǒng)一了解題方法，不但好記而且解題準確率高，因此，用這種方法解決某些較難的1∞型極限從而變得輕而易得。

例1.■（■）■

解：令■（■）■=ea，則a=■（■-1）■■=■（■）■■=■■=■■=■

■（■）■=e■

例2.■（1+■+■）n

解；令■（1+■+■）x=ea，則a=■（1+■+■-1）x=■（1+■）=1

■（1+■+■）x=e，由此可得，■（1+■+■）n=e

例3.■cosn■

解：令■cosx■=■（cos■）x，令■（cos■）x=ea則a=■（cos■-1）?x=■■?x=-■

■cosx■=■ ■cosn■=■

例4.計算■■

解：由于■■=■（cos■）■，令■（cos■）■=ea，則a=■（cos■-1）■=-■■（■）2?■=-■

■■=■

例5.計算■■

由于■■=■（1+x2ex）■，令■（1+x2ex）■=ea，則a=■（1+x2ex-1）?■=■x2ex?■=■x2?■=2

■■=e2

從中可以看出這種解題方法的優(yōu)越性：不但思路清晰，步驟簡單，而且對比較困難的題也容易得出結(jié)果，因此，熟練掌握后既能提高正確率，又能提高解題速度。

三、在某些情況下，用定積分的定義求極限，但是在有些情況下，若函數(shù)不能直接轉(zhuǎn)化為（*）式，也就不能直接運用（*）式計算，因此要解決這個問題，我們要引用一個習(xí)題的結(jié)論，把它作為定理來用

若f（x）在[a，b]上可積，則可對區(qū)間[a，b]用某種特殊的劃分方法，運用定義法得到一種極限和式，如果這種和式可以通過變形即■■■g（n）=■f（x）dx…（？鄢），這種轉(zhuǎn)化就是我們通常所熟悉求定積分的方法。下面我們來看兩個例子：

例1.求■n[■+■+…+■]的值

解：原式=■■[■+■+…+■]

=■[■+■+…+■]■

=■■■■=■■dx=■

例2.求■■[sin■+sin■+…+sin■π]的值

解：原式=■■■sin[■?■]，設(shè)f（x）=sinx，x∈[0，π]，且f（x）∈[0，π]，從而f（x）可積。

所以原式=■■■[sin■?■]=■■sinxdx=■

定理2.對數(shù)列{an}，設(shè)■an=a，則■■=■■■an=■an=a

證明TH2：因為■an=a，由極限的？著-N定義知，對任意的？著>0，存在正整數(shù)N1，當(dāng)n>N1，有│an-a│N1時，有│■│=│■│=│■│≤■（│a1-a│+│a2-a│+…+│aN■-a│+│aN■+a│+…+│an-a│）≤■N1?A+■≤■N1?A+？著，其中A=max{│a1-a│，│a2-a│，…│aN■-a│} 又■■=0，由極限的？著-N定義知，對給定的？著>0，存在正整數(shù)N2，使得當(dāng)n>N2，有│■-0│=■N1時，有│■-a│

例1.■■■■（1+■）■

這一題型可以用定理2來計算?！觥觥觥觯?+■）■=■■（1+■）■，令yk=（1+■）k，顯然，{yk}單調(diào)增加且與上界，故yk

■■■■（1+■）■=∞，0e

此結(jié)論的∞和0容易得到，在此我們只證明結(jié)論為e■的情況。

當(dāng)a=e時，令zx=[■（1+■）x]x，兩邊取對數(shù)得

lnzx=x[xln（1+■）-1]，下面計算■lnzx的值，由Taylor中值定理得，ln（1+■）=■-■+■+0[（■）3]，其中-1

通過對題型結(jié)構(gòu)認真的觀察，適當(dāng)?shù)淖冃危@是解決問題的必要步驟和關(guān)鍵所在，能夠起到事半功倍的效果，達到解決問題的目的。

參考文獻：

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[13]崔強，宋濤.無窮小量的等價定理及其應(yīng)用[J].山東建筑工程學(xué)院學(xué)報，1997（3）.

篇（8）

中圖分類號：G632 文獻標(biāo)識碼：B 文章編號：1002-7661（2013）33-158-01

在傳統(tǒng)教育模式的影響下，現(xiàn)階段的初中數(shù)學(xué)教學(xué)絕大部分都是大班授課制度，此種教學(xué)方法雖然在我國教育發(fā)展史上起到了重要的推動制度，但其對于學(xué)生數(shù)學(xué)技能及知識水平的培養(yǎng)效果卻不是最佳的。因為學(xué)生的生理成長狀態(tài)、智力、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、學(xué)習(xí)能力等各個方面都是具有差異性的，在這些差異性的基礎(chǔ)上大班授課制是無法滿足學(xué)生們的學(xué)習(xí)需求的，因此必須要有新的教學(xué)方法來改變這一教學(xué)現(xiàn)狀，至此分層教學(xué)法應(yīng)運而生。分層教學(xué)法的出現(xiàn)不僅改變了初中數(shù)學(xué)的教學(xué)模式，更實現(xiàn)了新課程改革下實現(xiàn)學(xué)生全體進步的教學(xué)目標(biāo)，正因如此分層教學(xué)法受到了初中數(shù)學(xué)教師的普遍關(guān)注與使用，并在實踐教學(xué)活動中得到了不錯的教學(xué)效果。

一、教學(xué)主體的分層

學(xué)生是數(shù)學(xué)教學(xué)活動的主體，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程當(dāng)中所有的教學(xué)活動都是圍繞學(xué)生來展開的，所以在分層教學(xué)初期必須要先對學(xué)生進行分層，只有對學(xué)生進行科學(xué)、恰當(dāng)?shù)姆謱硬拍軌虮ＷC分層教學(xué)法的教學(xué)效果和有效性。筆者在采取分層教學(xué)法進行教學(xué)的過程中，首先在班級進行了階段性小測驗和問卷調(diào)查，小測驗當(dāng)中主要分為基礎(chǔ)知識、難度問題以及靈活性問題三個部分，其測驗的目的是為了掌握每一個學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識掌握水平，現(xiàn)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平以及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。而問卷調(diào)查則是為了了解學(xué)生眼中的數(shù)學(xué)，看看他們對數(shù)學(xué)學(xué)科的認知、學(xué)習(xí)興趣有多少。在此基礎(chǔ)上筆者將學(xué)生分為了A、B、C三個層次：A層學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識扎實，學(xué)習(xí)興趣濃厚，學(xué)習(xí)能力及思維靈活性強；B層學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識比較扎實、有一定的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)習(xí)能力及思維靈活性一般；C層學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識不夠扎實、學(xué)習(xí)興趣不高，學(xué)習(xí)能力及思維靈活性較差。為了避免學(xué)生產(chǎn)生消極或自卑的心理，筆者在將學(xué)生進行合理的分層后，與學(xué)生探討了自己的教學(xué)想法，并將各自的分層告訴他們，讓他們放下心理負擔(dān)，根據(jù)筆者的教學(xué)計劃來進行學(xué)習(xí)，以期在教學(xué)活動完成后收到良好的教學(xué)效果。

二、教學(xué)目標(biāo)的分層

教學(xué)目標(biāo)是在教學(xué)主體分層的基礎(chǔ)上來進行的，其根據(jù)不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)、學(xué)習(xí)水平以及學(xué)習(xí)態(tài)度來為他們設(shè)定出具有實際意義的、且能夠完成的教學(xué)目標(biāo)。在這一環(huán)節(jié)當(dāng)中，筆者建議教學(xué)目標(biāo)設(shè)置的不要過難或過大，以免學(xué)生無法完成而對他們的學(xué)習(xí)自信和學(xué)習(xí)態(tài)度產(chǎn)生消極影響。根據(jù)不同層次學(xué)生的實際學(xué)校特點，筆者為他們設(shè)計了不同層次的教學(xué)目標(biāo)：A層學(xué)生以課外訓(xùn)練、實踐和突破為主，學(xué)會將數(shù)學(xué)理論知識運用到實際生活當(dāng)中，以達到學(xué)以致用的學(xué)習(xí)狀態(tài)；B層學(xué)生以課內(nèi)難度提升，解題思路的拓寬，思維邏輯性及敏捷性的提高為主，以達到能夠獨立解決中、高等難度習(xí)題的水平；C層學(xué)生以夯實數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，樹立正確的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度等方面為主，以達到學(xué)生能夠?qū)?shù)學(xué)學(xué)科產(chǎn)生正確的認識和理解為主，進而主動的去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識。

三、教學(xué)內(nèi)容的分層

教學(xué)內(nèi)容的分層是整個分層教學(xué)活動中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，這一環(huán)節(jié)的教學(xué)分層工作會直接對整個分層教學(xué)的效果產(chǎn)生直接影響。在這一環(huán)節(jié)當(dāng)中教師必須要注意好對教學(xué)內(nèi)容難度的拿捏，根據(jù)不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)水平以及為他們制定的教學(xué)目標(biāo)來由淺入深、由簡至繁的對教學(xué)內(nèi)容進行分層，通過有效的課堂提問與習(xí)題訓(xùn)練，來設(shè)置好教學(xué)內(nèi)容的難度梯度，進而達到對不同層次學(xué)生的數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)。例如筆者在進行因式分解的教學(xué)時就為學(xué)生做好了內(nèi)容分層：

例題：多項式m（n-2）-m2（2-n）分解因式等于（ ）

A.（n-2）（m+m2） B.m（n-2）（m+1）

C.（n-2）（m-m2） D.m（n-2）（m-1）

在這道因式分解題當(dāng)中，A層學(xué)生需要自己進行運算，來得出結(jié)果；B層學(xué)生則可以在4個選項當(dāng)中選擇出自己認為正確的選項；而C層學(xué)生只需要在A與B兩個選項當(dāng)中進行選擇就可以。這一樣不僅能夠節(jié)省教師在為不同層次學(xué)生準備教學(xué)內(nèi)容的實踐，還能夠?qū)崿F(xiàn)利用同一個內(nèi)容來對不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)水平和學(xué)習(xí)能力的鍛煉，其效果可謂是事半功倍。

四、課后復(fù)習(xí)的分層

課后復(fù)習(xí)是整個分層教學(xué)過程中的總結(jié)階段，其雖不像前三個環(huán)節(jié)那樣會對學(xué)生的學(xué)習(xí)效果產(chǎn)生直接的影響，但其對于學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的掌握、端正學(xué)習(xí)態(tài)度、以及內(nèi)部學(xué)習(xí)動力的影響也是非常重要的。筆者在課后復(fù)習(xí)分層環(huán)節(jié)當(dāng)中，對于A層學(xué)生筆者主要以難度實用性訓(xùn)練為主，以培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題及高難度數(shù)學(xué)問題的能力；B層學(xué)生筆者主要以課內(nèi)拓展訓(xùn)練為主，以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯性思維及頭腦行靈活性；C層學(xué)生則主要是對例題同類型習(xí)題的訓(xùn)練和學(xué)習(xí)為主，讓學(xué)生加深對例題解題方法、解題思維以及解題切入點的鍛煉，切實提高他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平。

世界上沒有兩片相同的葉子，同樣也沒有兩個完全相同的人，所以學(xué)生之間存在的差異性是生理發(fā)展的必然規(guī)律。教師只有對學(xué)生之間存在的差異性給予充分的肯定，才能夠?qū)崿F(xiàn)教學(xué)工作當(dāng)中學(xué)生的共同進步。由于數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)需要學(xué)生具有一定的邏輯思維能力，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中會遇到一定的難度，在這種情況下，分層教學(xué)方法的使用非常有必要，其不僅能夠激發(fā)出學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科的興趣，實現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平的進步，還能夠幫助學(xué)生樹立起數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)信心，以便學(xué)生在未來學(xué)習(xí)過程中，即使遇到了難題也能夠從容的面對，并將其正確的解答出來。

參考文獻：

篇（9）

學(xué)生群體的層次化異步劃分是高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的先決條件，對后續(xù)教學(xué)過程的設(shè)計和課后作業(yè)的安排都有著直接的影響.按照素質(zhì)教育和新課標(biāo)改革的教學(xué)大綱，將高中數(shù)學(xué)教育的最終目標(biāo)設(shè)置為底層的最小目標(biāo)、中層的基本目標(biāo)和高層的發(fā)展目標(biāo)這三種.與之相對應(yīng)的，將學(xué)生群體劃分為A、B、C三個層次.A組是成績相對較差，學(xué)習(xí)能力較低的學(xué)生.B組是學(xué)習(xí)成績中等，綜合素質(zhì)一般的學(xué)生.C組則是成績較好，各方面素質(zhì)水平都較高的學(xué)生.A、B、C三組學(xué)生的人數(shù)比重通常設(shè)置為2∶5∶3.

二、教學(xué)過程的層次化異步設(shè)計

高中數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)是一個師生雙方彼此溝通、相互交流的教學(xué)過程.數(shù)學(xué)教師必須在課堂上充分調(diào)動起學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性，才能發(fā)揮出學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的主體性地位和主觀能動性.要想實現(xiàn)這一理想化的課堂條件，數(shù)學(xué)教師應(yīng)該全面考慮到不同層次學(xué)生對課堂內(nèi)容的不同掌握程度.在設(shè)計課堂教學(xué)的知識內(nèi)容時，根據(jù)學(xué)生的實際學(xué)習(xí)情況選擇與之相適宜的教學(xué)內(nèi)容.

例如，在教授函數(shù)的幾個基礎(chǔ)概念時，數(shù)學(xué)教師可以在正式開始上課之前，向?qū)W生提出以下這些問題：

（1）函數(shù)在數(shù)學(xué)意義上的具體含義是什么？由函數(shù)中映射出的又是什么概念？

（2）為什么自變量x和因變量y會有一定的范圍限制？怎樣確定自變量x和因變量y的取值范圍？

（3）假設(shè)自變量x和因變量y的取值范圍分別是兩個集合，集合與集合之間可能存在怎樣的聯(lián)系？

（4）表示函數(shù)的方法有幾種？各種表示方法之間有哪些相同點和不同點？

（5）函數(shù)的知識點還可以輻射到哪些其它的數(shù)學(xué)知識點上？如何解決綜合型的函數(shù)應(yīng)用題？

這些問題的設(shè)計有難有易.數(shù)學(xué)教師在選擇學(xué)生進行回答時，應(yīng)該有意識地將問題鎖定在不同層次的學(xué)生群體中.比如，問題1太過簡單，不應(yīng)該由B組或C組的學(xué)生回答，而應(yīng)該留給A組的學(xué)生給出答案.問題2和問題3可以由B組的學(xué)生回答.而問題4和問題5則應(yīng)該讓C組的學(xué)生進行解答.這種從易到難的問題設(shè)置，保證了全體學(xué)生都主動參與課堂學(xué)習(xí)活動的興趣與積極性，使得每一個層次的學(xué)生都能夠在回答問題的過程中樹立起學(xué)習(xí)的信心.

三、課后作業(yè)的層次化異步安排

高中數(shù)學(xué)教育中的課堂教學(xué)與課下練習(xí)是兩個相互獨立又有所聯(lián)系的有機部分.前期的課堂教學(xué)活動有了層次化的異步設(shè)計，后期的課下練習(xí)活動自然也應(yīng)該繼續(xù)層次化的異步安排.學(xué)生的課下練習(xí)活動，主要是課后作業(yè)的完成過程.具體的安排方式就是為A組學(xué)生安排簡單易懂的淺層次習(xí)題，幫助其在反復(fù)練習(xí)中鞏固基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識.為B組學(xué)生安排難易適中的中層次習(xí)題，幫助其在基礎(chǔ)訓(xùn)練后兼顧綜合應(yīng)用的數(shù)學(xué)題型.為C組學(xué)生安排難度較高的高層次習(xí)題，幫助其在完成課內(nèi)知識的學(xué)習(xí)之后，還能進一步拓展數(shù)學(xué)思維和創(chuàng)新思維.

例如，在教授一元二次不等式的解題技巧時，數(shù)學(xué)教師可以針對學(xué)生群體的層次劃分，為學(xué)生布置三種不同的課后作業(yè).

第一種課后作業(yè)是簡單的一元二次不等式求解問題，主要是為A組學(xué)生安排的基礎(chǔ)題型：

（1）4x2-4x>15；

（2）14-4x2≥x；

（3）x（x+2）

（4）-x2-2x+8>0.

第二種課后作業(yè)是求一元二次等式中自變量取值范圍的數(shù)學(xué)問題，主要是為B組學(xué)生安排的練習(xí)題型，難度適宜：

（1）y=x2-4；

（2）y=1x2+x-12；

（3）y=-x2+2x-1.

第三種課后作業(yè)是復(fù)合型的一元二次不等式問題，主要是為C組學(xué)生安排的拓展題型，解題思路較為復(fù)雜：

已知一元二次不等式kx2-2x+6k

篇（10）

一、前言

榱巳醚生掌握高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識和方法，并熟練運用數(shù)學(xué)思維考慮問題，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和方法探究的能力[1]，教師的教學(xué)方法、教學(xué)進度和內(nèi)容廣度上都與初中的數(shù)學(xué)教學(xué)有很大的差異[2].面臨這些挑戰(zhàn)，很多高一新生無法適應(yīng)新的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)模式，沒有挖掘出一套適合自己的學(xué)習(xí)方法，進而導(dǎo)致學(xué)習(xí)積極性低下，成績一落千丈.提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，關(guān)鍵在于教師正確的引導(dǎo)、善于運用遷移理論以及提高課堂有效性，這對高一新生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有舉足輕重的意義.

二、提高高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量的方法

（一）學(xué)生提高自身學(xué)習(xí)遷移能力

眾所周知，數(shù)學(xué)知識相互關(guān)聯(lián)，以前學(xué)過的知識是新知識的鋪墊，新知識是學(xué)過知識的延伸和拓展.數(shù)學(xué)知識的獲得是一個循序漸進的過程，是經(jīng)過長時間的積累來逐漸獲得的[5].比如，學(xué)習(xí)了點到直線的距離求解，有助于點到平面距離的求解；學(xué)習(xí)了三角函數(shù)，有助于對周期函數(shù)的理解；學(xué)習(xí)了向量，那么，求解幾何中的距離、空間角等問題則能夠得心應(yīng)手.

學(xué)生培養(yǎng)遷移能力主要通過以下三個方面：

（1）建立自身的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu).數(shù)學(xué)的認知結(jié)構(gòu)，簡單來說就是經(jīng)過長時間的學(xué)習(xí)和積累，學(xué)習(xí)者通過感知、理解、消化進而存儲到大腦的記憶性的、相互關(guān)聯(lián)的陳述性、過程性和程序性知識[3].

（2）提高自身對數(shù)學(xué)經(jīng)驗的總結(jié)概括水平.對數(shù)學(xué)知識的概括一般分為三種：先一般，后特殊；先特殊，后一般；先廣義，后具體.其中的先廣義，后具體則運用遷移的思維方法，把需要學(xué)習(xí)的材料，與之前學(xué)過的具有相同結(jié)構(gòu)特征的規(guī)則聯(lián)系起來，或者與生活中的現(xiàn)象聯(lián)系起來.例如，在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)第一章的集合中元素的性質(zhì)時，我們可以這么思考：一個班的人數(shù)為一個確定的值，對于任何人，有兩種可能，即屬于這個班和不屬于這個班，這就生動形象地闡述清楚了集合中各個元素的確定性.如果班里學(xué)生之間調(diào)換座位，這個班里還是那些學(xué)生，這個集體并沒有發(fā)生改變，這就說明了集合中元素的無序性.而班里的每名學(xué)生都是不同的人，這就說明了元素的互異性.

（3）巧用思維定式.思維定式既可以促進也可以阻礙學(xué)生遷移能力的培養(yǎng).一般來說，在解決同類型數(shù)學(xué)問題時，思維定式起促進作用.

總的來說，培養(yǎng)自身的學(xué)習(xí)遷移能力，有利于學(xué)生建立系統(tǒng)的知識體系，形成數(shù)學(xué)知識認知結(jié)構(gòu).有助于學(xué)生們把所學(xué)數(shù)學(xué)知識、技能轉(zhuǎn)變?yōu)橐环N數(shù)學(xué)能力.

（二）教師提高課堂的有效性

在當(dāng)前教育制度下，數(shù)學(xué)教學(xué)存在著許多不可忽視的問題.為了“應(yīng)試教學(xué)”，有的教師講解每一個知識點都要求達到全面、詳細，以至于平常上課時間不夠用，需要加班加點來完成教學(xué)；還有的教師講課追求速度，搞題海戰(zhàn)術(shù)，這樣導(dǎo)致教學(xué)效率以及學(xué)生學(xué)習(xí)效率低下，學(xué)習(xí)壓力過大.讓學(xué)生機械重復(fù)，使得部分學(xué)生產(chǎn)生厭學(xué)的心理，而且這種不講效率的落后教學(xué)模式，也打擊了部分教師自身教學(xué)的積極性.

因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中，教師有必要建立有效教學(xué)的意識，促進學(xué)生高效學(xué)習(xí)，以達到整個教學(xué)系統(tǒng)的良性和諧發(fā)展.

教師提高課堂有效性主要可以通過以下幾個方面進行：

（1）培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維.在對數(shù)學(xué)題的解答中，一題多解普遍存在，教師應(yīng)該多啟發(fā)并引導(dǎo)學(xué)生從多個角度思考，運用不同的知識理論來解題[4].比如，在高中必修二的第二章的直線和圓的方程中，可以利用多種解法來求解，這樣，既能增加學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，活躍課堂氣氛，同時又培養(yǎng)了學(xué)生的解題技巧與能力.

（2）通過多題一解法幫助學(xué)生提高知識遷移能力.在數(shù)學(xué)課堂中，常常提到“通法”即“多題一解法”.教師在課堂中可以針對一道題，通過變換條件或結(jié)論來解決同一大類問題，促使學(xué)生切身體會到觸類旁通、應(yīng)用知識游刃有余的樂趣.比如，在高中數(shù)學(xué)必修五第三章的解含絕對值的不等式中，運用“數(shù)形結(jié)合”的方法，簡單明了.

（3）一題多變，提高學(xué)生活學(xué)活用的能力，培養(yǎng)創(chuàng)新性思維.一題多變就是對一個問題進行拓展延伸，這樣既可以使學(xué)生克服單一狹隘的思維方式，又可以增強學(xué)生收斂思維的能力.在教學(xué)中，進行“一題多變”的訓(xùn)練，既可以規(guī)避孤立靜止地思考問題的局限性，也可以激發(fā)學(xué)生解題的興趣，使學(xué)生在聯(lián)想探索中創(chuàng)新思維，從而養(yǎng)成良好的求異思維能力與解題的應(yīng)變能力.

通過原題，可以延伸出其他具有相關(guān)性、相似性、相反性的新問題.這可以達到深刻挖掘習(xí)題的教育功能，培養(yǎng)學(xué)生靈活與綜合運用知識的能力的效果.

三、結(jié)語

高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是更高層次的學(xué)習(xí)的墊腳石，同時也是其他科目和知識的學(xué)習(xí)的風(fēng)向標(biāo).學(xué)生本身作為學(xué)習(xí)的主體，應(yīng)當(dāng)有意培養(yǎng)自身在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上更高的素養(yǎng)，善用知識遷移.教師作為學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者和知識的傳授者，應(yīng)當(dāng)提高課堂效率，力求做到“授之以漁”，教學(xué)生自主學(xué)習(xí)，培養(yǎng)其可持續(xù)性的學(xué)習(xí)動機.為實現(xiàn)高中數(shù)學(xué)課程目標(biāo)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，為學(xué)生的終身發(fā)展謀出路.

【參考文獻】

[1]錢家凱.高中數(shù)學(xué)入門課――淺談高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法[J].語數(shù)外學(xué)習(xí)，2013（12）：44-46.

[2]喻平.數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2010：33-35.