探索平行線的條件匯總十篇

序論：好文章的創作是一個不斷探索和完善的過程，我們為您推薦十篇探索平行線的條件范例，希望它們能助您一臂之力，提升您的閱讀品質，帶來更深刻的閱讀感受。

篇（1）

[生]測量結果∠1=∠5。[生]圖中還有∠2與∠6，∠3與∠7，∠4與∠8是同位角，測量它們的大小也相等。[師]現在我把∠5剪下，把它貼在∠1的上面，觀察到這兩個角相等。（教師動畫演示）[師]通過測量和剪貼對比∠1的度數和∠5的度數相等，其它同位角也一樣相等。從而得出同位角相等。[師]那么大家來說說是不是所有的同位角都相等呢?[生]不是。[師]很好。（電腦出示）如圖示:∠1與∠2是同位角，但不相等。

[師]那么到底兩條直線在什么情況下同位角相等？[生]兩直線平行時,同位角相等.[師]很好.我們得到結論就是在兩條直線平行的情況下同位角相等。那此時內錯角的關系怎樣?同旁內角關系怎樣？下面我們再來探索：（電腦出示）

如圖示，直線a與直線b平行。（2）圖中有幾對內錯角？它們的大小有什么關系？為什么？（3）圖中有幾對同旁內角？它們的大小有什么關系？為什么？（4）換一組平行線試試，你能得到相同的結論嗎？

[生]圖中有2對內錯角，分別是：∠3與∠6；∠4與∠5。通過測量它們大小分別相等。[師]很好，如果我們不通過測量而用數學語言是否能證明它們是相等的嗎？[生]能，直線a與直線b平行，∠3與∠7是同位角，所以∠3=∠7，又因為∠7與∠6是對頂角，相等，因此可知∠3=∠6。同樣得出∠4=∠5。[師]這位同學敘述得很好，我們用簡單的數學語言推證如下：（電腦出示）由此我們得到的結論是：兩直線平行，內錯角相等。（電腦動畫剪貼過程）接下來我們來解決第（3）個問題。[生]圖中有2對同旁內角。分別為∠3與∠5；∠4與∠6。它們的關系為互補。因為：直線a與直線b平行，∠2與∠6是同位角，所以∠2=∠6。又因為∠2+∠4=180o，所以得∠4+∠6=180o。同理推證∠3+∠5=180o。[師]這位同學敘述得很好，我們用簡單的數學語言推證如下：（電腦出示）由此我們得到的結論是：兩直線平行，同旁內角互補。[師]由此我們得到了平行線的特征：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補。[板書]接下來我們做一做。（電腦出示）如圖示，一束平行光線AB與DE射向一個水平鏡面后被反射，此時∠1=∠2，∠3=∠4。（1）∠1，∠3的大小有什么關系？∠2與∠4呢？（2）反射光線BC與EF也平行嗎？

解：

下面我們來做練習以鞏固平行線的特征。Ⅲ.隨堂練習如圖（1）所示，AB∥CD，AC∥BD。分別找出與∠1相等或互補的角。圖（1）圖（2）解：如圖（2）所示：與∠1相等的角有：∠3，∠5，∠7，∠9，∠11，∠13，∠15。與∠1互補的角有：∠2，∠4，∠6，∠8，∠10，∠12，∠14，∠16。

生活數學1如圖1，一條公路兩次拐彎后，和原來的方向相同，第一次拐的角∠B是142°，第二次拐的角∠C是多少度？圖（1）圖（2）解：如圖2示，AB∥CD，∠ABC與∠BCD是內錯角。因為兩直線平行，內錯角相等，所以∠BCD=∠ABC=142°即圖（1）中∠C=∠B=142°

生活數學2如圖某玻璃碎片是梯形，已有上底的一部分，量得∠A=115°，∠D＝100°，梯形另外兩個角各是多少度？解：因為AD∥BC，∠A與∠B是同旁內角，所以∠A與∠B互補，則∠B=180°-115°=65°同理可得，∠C=180°-100°=80°

篇（2）

(1)知識結構

平行線的性質：

(2)重點、難點分析

本節內容的重點是平行線的性質.教材上明確給出了“兩直線平行，同位角相等”推出“兩直線平行，內錯角相等”的證明過程.而且直接運用了“”、“”的推理形式，為學生創設了一個學習推理的環境，對邏輯推理能力是一個滲透.因此，這一節課有著承上啟下的作用，比較重要.學生對推理證明的過程，開始可能只是模仿，但在逐漸地接觸過程中，能最終理解證明的步驟和方法，并能完成有兩步推理證明的填空.

本節內容的難點是理解平行線的性質與判定的區別，并能在推理中正確地應用它們.由于學生還沒學習過命題的概念和命題的組成，不知道判定和性質的本質區別和聯系是什么，用的時候容易出錯.在教學中，可讓學生通過應用和討論體會到，如果已知角的關系，推出兩直線平行，就是平行線的判定;反之，如果由兩直線平行，得出角的關系，就是平行線的性質.

2、教法建議

由上面的重點、難點分析可知，這節課也是對前面所學知識的復習和應用.要有一定的綜合性，推理能力也有較大的提高.知識多，也有了一些難度.但考慮到學生剛接觸幾何，進度不可過快，盡量多創造一些學習、應用定理、公理的機會，幫助學生理解平行線的判定與性質.

(1)講授新課

首先，提出本節課的研究問題：如果兩直線平行，同位角、內錯角、同旁內角有什么關系嗎?探究實驗活動還是從畫平行線開始，得出兩直線平行，同位角相等后，再推導證明出其它的兩個性質.教師可以用“”、“”的推理證明形式板書證明過程，學生在理解推理證明的過程中，欣賞到數學的嚴謹的美.

(2)綜合應用

理解平行線的判定和性質區別，并能在推理過程中正確地應用它們成為了教學難點.老師可以設計一些有兩步推理的證明題，讓學生填充理由.在應用知識的過程中，組織學生進行討論，結合題目的已知和結論，讓學生自己總結出判定和性質的區別，只有自己構造起的知識，才能真正地被靈活應用.

(3)適當總結

幾何的學習，既可以培養學生的邏輯思維能力，，也可以培養學生分析問題，解決問題的能力.對于好的學生，可以引導他們總結如何學好幾何.注意文字語言，圖形語言，符號語言間的相互轉化.對簡單的題目，能做到想得明白，寫得清楚，書寫逐漸規范.

教學目標：

1.使學生理解平行線的性質，能初步運用平行線的性質進行有關計算.

2.通過本節課的教學，培養學生的概括能力和“觀察-猜想-證明”的科學探索方法，培養學生的辯證思維能力和邏輯思維能力.

3.培養學生的主體意識，向學生滲透討論的數學思想，培養學生思維的靈活性和廣闊性.

教學重點：平行線性質的研究和發現過程是本節課的重點.

教學難點：正確區分平行線的性質和判定是本節課的難點.

教學方法：開放式

教學過程：

一、復習

1.請同學們先復習一下前面所學過的平行線的判定方法，并說出它們的已知和結論分別是什么?

2、把這三句話已知和結論顛倒一下，可得到怎樣的語句?它們正確嗎?

3、是不是原本正確的話，顛倒一下前后順序，得到新的一句話，是否一定正確?試舉例說明。

如、“若a=b，則a2=b2”是正確的，但“若a2=b2，則a=b”是錯誤的。又如“對頂角相等”是正確的。但“相等的角是對頂角”則是錯誤的。因此，原本正確的話將它倒過來說后，它不一定正確，此時它的正確與否要通過證明。

二、新課

1、我們先看剛才得到的第一句話“兩直線平行，同位角相等”。先在請同學們畫兩條平行線，然后畫幾條直線和平行線相交，用量角器測量一下，它們產生的幾組同位角是否相等?

上一節課，我們學習的是“同位角相等，兩直線平行”，此時，兩直線是否平行是未知的，要我們通過同位角是否相等來判定，即是用來判定兩條直線是否平行的，故我們稱之為“兩直線平行的判定公理”。而這句話，是“兩直線平行，同位角相等”是已知“平行”從而得到“同位角相等”，因為平行是作為已知條件，因此，我們把這句話稱為“平行線的性質公理”，即：兩條平行線被第三條線所截，同位角相等。簡單說成：兩直線平行，同位角相等。

2、現在我們來用這個性質公理，來證明另兩句話的正確性。

想想看，“兩直線平行，內錯角相等”這句話有哪些已知條件，由哪些圖形組成?

已知：如圖，直線a∥b

求證：(1)∠1=∠4;(2)∠1+∠2=180°

證明：a∥b(已知)

∠1=∠3(兩直線平行，同位角相等)

又∠3=∠4(對頂角相等)

∠1=∠4

(2)a∥b(已知)

∠1=∠3(兩直線平行，同位角相等)

又∠2+∠3=180°(鄰補角的定義)

∠1+∠2=180°

思考：如何用(1)來證明(2)?

例1、如圖，是梯形有上底的一部分，已經量得∠1=115°，∠D=100°，梯形另外兩個角各是多少度?

解：梯形上下底互相平行

∠A與∠B互補，∠D與∠C互補

∠B=180°-115°=65°

∠C-180°-100°=80°

答：梯形的另外兩個角分別是65，80°

篇（3）

1、理解平行線的性質，掌握他們的圖形語言、文字語言、符號語言，并靈活的進行實際應用。

2、經歷觀察、實驗、猜想、驗證等數學活動，培養他們分析問題和解決問題的能力。

3、體會幾何知識來源于實踐并反作用于實踐，認識事物的規律是從特殊到一般，再從一般到特殊等辯證唯物主義觀點。

重點：理解并應用平行線的性質。

難點：探究平行線的性質。

一、復習回顧、引入新課

問題：我們學過判定兩條直線平行的方法有哪些？

如果將判定方法中的結論做為條件，是否能夠得到判定方法中的已知。

二、合作交流、探索新知

問題1：在自己的橫格作業本上選擇任意兩條線作為平行線，再用鉛筆任意畫一條這組平行線的截線，選擇其中一組同位角，猜想它們的關系如何？驗證你的猜想。

問題2：同問題1，選擇一組內錯角，猜想兩個角在數量上有什么關系？除了可以用測量的方法，能否給出理論證明？

問題3：根據問題1、2，你能說出兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角有什么關系嗎？能否給出理論證明？

歸納新知：平行線性質定理：

（1）兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。

（2）兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等。

（3）兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補。

簡單的說成：

（1）

（2）

（3）

問題4：如圖，直線a、b被直線c所截，在括號內為下面各小題填空：

（1）性質1： a 1

a//b ∠1=∠243

（兩直線平行，同位角相等） b2

（2）性質2：

a//b ∠ =∠

（兩直線平行，內錯角相等）

（3）性質3：

a//b ∠ +∠=（）

三、拓展應用：

例1：如圖是一塊梯形鐵片的殘余部分，量得

∠A=100°，∠B=115°，梯形另外兩個角分別是多少度？（圖見課本）

練習1、如圖，直線a//b,∠1=54°，那么∠2，∠3，∠4各是多少度？

練習2、如圖，∠ADE=

∠ABC,若∠AED＝42°，

則∠B＝_____，∠C＝_______．

篇（4）

2.教學目標

知識與技能：掌握平行線的性質，能應用性質解決相關問題。

數學思考：在平行線的性質的探究過程中，讓學生經歷觀察、比較、聯想、分析、歸納、猜想、概括的全過程。

解決問題：通過探究平行線的性質，使學生形成數形結合的數學思想方法，以及建模能力、創新意識和創新精神。

情感態度與價值觀：在探究活動中，讓學生獲得親自參與研究的情感體驗，從而增強學生學習數學的熱情和勇于探索、鍥而不舍的精神。

3.教學重、難點

重點：平行線的性質

難點：“性質1”的探究過程

4.教學方法

“引導發現法”與“動像探索法”

5.學法引導

5.1教師教法

采用嘗試指導、引導發現法，充分發揮學生的主體作用，體現民主意識和開放意識。

5.1學生學法

在教師的指導下，積極思維，主動發現，認真研究。

6.教具、學具

教具：多媒體課件

學具：三角板、量角器。

7.教學過程：

7.1創設情境，設疑激思

1．播放一組幻燈片。內容：①火車行駛在鐵軌上；②游泳池；③橫格紙。

2．聲音：日常生活中我們經常會遇到平行線，你能說出直線平行的條件嗎？

學生活動：

思考回答。①同位角相等兩直線平行；②內錯角相等兩直線平行；③同旁內角互補兩直線平行；

教師：首先肯定學生的回答，然后提出問題。

問題：若兩直線平行，那么同位角、內錯角、同旁內角各有什么關系呢？

引出課題――平行線的性質。

7.2數形結合，探究性質

1．畫圖探究，歸納猜想

任意畫出兩條平行線（ab），畫一條截線c與這兩條平行線相交，標出8個角（圖略）。

問題一：指出圖中的同位角，并度量這些角，記錄結果

學生活動：畫圖――度量――填表――猜想

結論： 兩直線平行，同位角相等。

問題二：再畫出一條截線d，看你的猜想結論是否仍然成立？

學生：探究、討論，最后得出結論：仍然成立。

2．教師用《幾何畫板》課件驗證猜想

3．性質1. 兩條直線被第三條直線所截，同位角相等。（兩直線平行，同位角相等）

7.3引申思考，培養創新

問題三：請判斷內錯角、同旁內角各有什么關系？

學生活動：獨立探究--小組討論--成果展示。

教師活動：評價，引導學生說理。

abab

所以∠1＝∠2所以∠1＝∠2

又 ∠1＝∠3 又∠1+∠4＝180°

∠2＝∠3∠2+∠4＝180°

語言敘述：

性質2兩條直線被第三條直線所截，內錯角相等。

（兩直線平行，內錯角相等）

性質3兩條直線被第三條直線所截，同旁內角互補。

（兩直線平行，同旁內角互補）

（四）實際應用，優勢互補

1.（搶答）

（1）（圖略），平行線AB、CD被直線AE所截

①若∠1 = 110°，則∠2 =°。理由：。

②若∠1 = 110°，則∠3 =°。理由：。

③若∠1 = 110°，則∠4 =°。理由：。

（2）（圖略），由ABCD，可得（）

（A）∠1＝∠2 （B）∠2＝∠3

（C）∠1＝∠4 （D）∠3＝∠4

（3）（圖略），ABCDEF，

那么∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝（ ）

（A）180°（B）270° （C）360° （D）540°

（4）誰問誰答：（圖略），直線ab，

如：∠1＝54°時，∠2＝.

學生提問，并找出回答問題的同學。

2.（討論解答）

（圖略）是一塊梯形鐵片的殘余部分，量得∠A＝100°，

∠B＝115°，求梯形另外兩角分別是多少度？

（五）概括存儲（小結）

1．平行線的性質1、2、3；

2．用“運動”的觀點觀察數學問題；

3．用數形結合的方法來解決問題。

（六）作業第69頁2、4、7.

8.教學反思：

8.1教的轉變

本節課教師的角色從知識的傳授者轉變為學生學習的組織者、引導者、合作者與共同研究者。在引導學生畫圖、測量、發現結論后，利用幾何畫板直觀地、動態地展示同位角的關系，激發學生自覺地探究數學問題，體驗發現的樂趣。

8.2學的轉變

篇（5）

但是，一個學生在課堂上不經意的一句話，顛覆了很多教師對“畫平行線”的認識。

一、情景回放

一名教師按照“教師示范畫法—學生表達過程—師生總結步驟—學生嘗試練習”的常規課堂模式執教這節課。同時也強調：要利用三角尺的直角邊。前面環節風平浪靜，但是在學生嘗試練習環節，一個學生突然高高地把手舉起：“老師，我不用直角邊也能畫出平行線！非得用直角邊畫嗎？”很明顯，這個學生的問題超出了教師的課堂預設，也大大出乎聽課教師的預料，但教師采取了回避的態度：“你很有探索精神，老師很欣賞你。”只評價了學生的學習態度，而未對方法作出肯定。

評課環節中，經過靜心思考，教師都一致認為，一句“非得用直角邊畫嗎”中，藏著非常可貴的數學思想的火花。這個學生首先善于思考，其次敢于質疑，這是在很多數學教師身上都沒有的數學品質。

基于學生的問題，筆者也對“畫平行線”進行了深入研究。下面是現行三個主要版本教材中所呈現的 “畫平行線”的過程。

可以看出，在各版本教材呈現圖中，雖然用以作為平移標尺的工具不同（人教版和蘇教版用的是直尺，北師大版用的是兩塊三角尺中的其中一塊），但是，在畫平行線的主要步驟中，都是利用三角尺的一條直角邊與已知直線完全重合，另一條直角邊與平移標尺靠緊進行平移。

由學生的質問，筆者羅列出利用三角尺畫平行線的所有方法（用直尺作為平移標尺），見下圖。

除了方法①②是課本給定的方法外，方法③④⑤一樣可以順利畫出平行線。由于課本局限于利用三角尺的兩條直角邊去畫，反而會造成一些問題。

二、教學思考

【存在問題一】人為加深學習難度

“畫平行線”是整個小學階段的難點，四年級學生還不能自如地操作兩件工具，同時，畫平行線的步驟繁多也使學生增加了記憶過程的難度。如果再一味強調要使用三角尺的兩條直角邊，更是人為加深了學生的學習難度。在教學傳統的用直角邊畫平行線的過程時，筆者常發現很多學生手拿三角尺不停地旋轉，不知所措。這是因為四年級的學生空間觀念發展不夠全面，雖然能順利找到三角尺中的直角邊，但是當需要把直角邊放在固定位置并利用另外的直角邊時，存在較大困難。教材只強調用直角邊畫平行線，使原本就繁多的步驟又添上了不必要的過程，加深了學生學習的難度，加重了學生負擔。

【教學建議】 筆者進行了教學嘗試，通過引導學生利用“平移”的性質去畫平行線，而不局限于只利用直角邊去畫，教學過程如下。

出示 ，引導學生找平行線，初步感知“平移能得到平行線”。

師：同學們，剛才的題目告訴我們：三角形通過平移后對應的邊互相平行。我們還可以利用剛才的重要發現畫平行線呢！

師：想一想，用這個發現畫平行線，你認為需要什么工具？

生：三角尺。

師：為什么要用三角尺？

生：因為我們可以通過三角尺的平移畫出平行線。

師：只用三角尺就可以嗎？（教師拿三角尺隨意地挪動了一下）這樣能保證是“平移”嗎？

生：還需要一個東西靠著三角尺。

生：需要一個直直的東西。

師：那這個直直的東西我們可以用什么呢？

生：可以用數學課本的邊。

生：可以用三角尺。

生：可以用直尺。

師：數學課本的邊、三角尺、直尺的作用是什么？

生：讓三角尺沿著直的邊滑動，才能保證三角尺平移。

師：你能試著結合平移的思想用三角尺和直尺畫出一組平行線來嗎？

教師展示學生常見畫法。

師：你能嘗試總結畫平行線的過程嗎？

學生討論、匯報，教師補充，共同總結出畫平行線的步驟與方法：可以先沿三角尺的一條邊畫一條直線，再用直尺貼緊三角尺的另一邊，把三角尺平移，然后仍沿三角尺的原來一邊畫一條直線。

師：恭喜同學們，利用自己靈活的大腦不僅研究出那么多畫平行線的方法， 還知道為什么要這樣畫。下面，我們通過一道習題檢驗一下自己的新本領。

出示：過A點畫已知直線的平行線。

筆者對學生完成情況整理反饋，發現學生成功率高，完成速度快，收到了良好的效果。

【存在問題二】不能銜接后續學習

平行線有一個重要性質——“兩直線平行，同位角相等”，反過來“同位角相等，兩直線平行”也是平行線判定的一條重要依據。同時這也是用直尺與三角尺畫平行線的一個重要的理論基礎。教師可以把直尺想象成與平行線相交的一條直線，把三角形平移前后的兩個內角看成平行線中的同位角。教材中，只強調用三角尺的直角邊去畫平行線，其實只考慮到“在同一平面內，垂直于同一直線的兩條直線互相平行”這一特征，容易給學生留下“只有同位角為直角時兩條直線才是互相平行”的固有印象，影響學生的后續學習。

【教學建議】從教師與教材的角度來看，小學階段的教材可以說是孤立的，小學教師一般也只從事小學階段教學工作。但是，對數學知識體系和學生的發展而言，這個過程卻是連貫的、持續的。如果不考慮知識與學生的發展，會讓學生產生數學不嚴密的誤解，這與“數學是嚴密的科學”的本質是相悖的，同時也會造成不必要的教育資源浪費。

篇（6）

課堂上，教者在認識平行線時，“走進生活、發現生活”，從樓梯欄桿、天花板中讓學生自己去發現幾條邊緣線的奇特之處，激起學生探索的欲望。學生各抒己見時，教師給予鼓勵和耐心的引導，并做補充，課堂氛圍民主和諧。學生的有效參與也是有目共睹的，既獨立思考又相互啟發，短短數分鐘的環節，所有學生都能夠自己定義出什么是平行線。

二、課堂互動，激發學生主動嘗試的欲望

課堂教學是師生多邊的活動過程。教師要主動為學生參與教學過程創設條件、創設情境，讓學生動手操作、動眼觀察、動腦思考、動口表達。在教學“如何畫平行線”時，教者設計了以下幾個步驟：

1.教師取出三角尺，任意畫出一條線，簡稱“一畫”。

2.教師拿起直尺，緊靠三角尺直角的一條邊，簡稱“二靠”。

3.通過固定的直尺，慢慢移動三角尺，逐漸離開第一條線，簡稱“三移”。

4.移出一定的距離后，最后作出另一條直線，也就是第一條線的平行線，簡稱“四畫”。

整個步驟概括為“一畫二靠三移四畫”，激發學生動手實踐的欲望。畫出平行線后，教師又以“一合二靠三移四看”來檢驗是否完全平行，讓學生相互檢驗、評價。通過這樣的設計，將操作、觀察、思維與語言表達結合在一起，不僅使學生參與學習畫平行線的整個過程，而且還啟迪了他們思維的發展，達到了數學教學使學生既長知識又長技能的目的。

三、因材施教，滿足不同學生求知的需求

既要面向全體，又要考慮個性差異，課堂必須做到“上不封頂，下要保底”。教師對教學進行動態設計，以滿足不同學生的知識需求。教師取出一個長方體，讓學生找出不相交的平行線，很多學生都會找出第一面的長與對面的高雖然方向不同，但也不會相交。教師借此完善了平行線的定義：在同一平面內，不相交的兩條直線互為平行。

篇（7）

創設情境又是廣大教師常用的導入方法。教師可以通過創設學生熟悉的生活情境，提出問題引發學生深入思考，引起懸念，從而激起學生探索的愿望。比如，在教學《認識三角形》一課時，一位老師這樣進行課堂教學。

師：老師每天上班都要從學校先經過加油站，再從加油站到學校，有沒有更近一點的路呢？出示課件，如圖。

生：老師可以從家直接去學校。

師：為什么從家直接去學校這條路最近呢？我們可以把這幾個地點和路線看成什么圖形呢？

生：三角形。

師：你在生活中見到過哪些物體的形狀是三角形的？

（請學生欣賞長江大橋、高壓線桿、自行車、房屋的人字梁等含有三角形物體的圖片。）

師：三角形在我們的生活中真是無處不在，同學們在生活中找出了許多三角形，你能想辦法自己做個三角形嗎？

教師把符合學生興趣、適應時代氣息的生活實踐內容請進課堂，喚醒了學生探索的欲望，同時通過操作，讓學生體驗到樂學的幸福。

二、思考，探究新知挖本質

在課堂教學中以學生為主體并不是粗線條的放手，而是應該體現在關鍵處、細微處的教師指導和點撥，以引領學生的思維不斷向縱深發展，體現細節設計在課堂教學中的那份精彩。比如《垂線、平行線》一課的生上臺板演平行線的教學片斷。

生1：用三角尺的一條直角邊與已知直線重合。（邊說邊演示）

師：大家說他第一步做得怎樣？（生：好）好在哪里？（畫已知直線的平行線，就要以已知直線為準。）

生1：然后向上移一點。（他正準備畫線）

師：向上平移兩點行不行？（學生笑著點點頭）

就在學生再向上平移的過程中尺子晃動了，他似乎感覺到了，但還是畫了上去。

生2：這兩條不是平行線，他在平移的時候，尺晃動了。

生3：要是有什么辦法使尺不晃動那就好了！

師（因勢利導）：你的設想很好，如果尺不晃動那該多好啊！小組討論一下，有什么辦法？并嘗試一下。（學生小組討論，再次嘗試，一會兒，學生們興奮地叫起來，一位學生上臺板演。）

生4：第一步和生1一樣（教師板書：重合）;為了讓這把移上去的尺不晃動，要用第二把尺固定住。第二步用另一把尺緊貼三角尺的另一條邊（師板書：緊貼）;然后按住貼上去的尺，緊貼著它移動三角尺（師板書：移動）;到所需的位置畫直線（師板書：畫直線）。

生5：我還有一種畫法。（這位學生展示了利用平行線之間的距離處處相等的特點板演了畫法）

從上面的教學細節中，不難看出學生在獲得“平行線”概念后，在畫“平行線”中已經知道畫一條直線的平行線中要把這條直線平移。關鍵是在平移過程中產生晃動，給平移造成了誤差。那么怎樣引導學生自己發現問題，主動地提出問題，提高學生的探究欲望，就成為本節課細節設計的切入點，正是由于教師抓住了“在平移的過程中晃動”這一細節而設計教學，才使得學生的主體地位和教師的主導作用得以充分體現。

三、變式，練習鞏固掃障礙

數學課堂練習是學生形成理性認識的實踐活動，通過課堂練習，能使學生將剛剛理解的知識加以應用，同時，在練習過程中也能暴露學生在理解上的誤區，從而有針對性地調整教學策略，變式訓練就是當中廣泛采用的一種。比如，在教完比一個數多或少幾分之幾的應用題后，我出這一題讓學生進行變式練習。

例題教學之后可進行如下變式：

1.變換條件，將題中“六月份比五月份多捕了1/4”變換為：

（1）六月份比五月份少捕了1/4;

（2）六月份捕魚是五月份的一又四分之一倍;

（3）相當于六月份捕魚千克數的4/5;

（4）六月份比五月份的4/5多100千克。

2.變換問題，將題中“六月份捕魚多少千克”變換為：

（1）五月份和六月份一共捕多少千克？

（2）六月份比五月份多捕魚多少千克？

（3）五月份捕魚千克數是六月份的幾分之幾？

篇（8）

學生欣賞一組有關平行線的圖片，主要有筆直的馬路，多幢筆直的高樓，雙杠，鐵軌，跑道線，雪橇，整齊的教室課桌椅，整齊的做操隊列……

教師：請大家欣賞、觀察、思考、尋找平行線的形象，憑借小學對平行線的認識，展示的圖片中哪些具有平行線的形象？找出以上幾幅圖中的平行線.

學生1：一組馬路的斑馬線，高樓的邊緣線，雙杠中兩根杠子的延長線，鐵軌的邊緣線……

教師：平行線具有什么特征？在生活中有哪些可以看做平行的生活實例.

學生2：學生進行想象，滑雪板、正方體中的一些棱、運動跑道，等等.

教師：通過對平行線的感受，什么叫做平行線？請帶著問題小組一起探討下面問題.

問題展示：如圖1，分別將木條a、b與木條c釘在一起，并把它們想象成兩端可以無限延伸的三條直線.轉動a，直線a從在c的左側與直線b相交逐步變為在c的右側與b相交.想象一下，在這個過程中，有沒有直線a與直線b不相交的位置呢？

設計意圖：充分發揮學生的想象能力，把三個木條想象成三條直線，想象在轉動過程中不相交的情況，進而描述兩直線平行的定義.

教師活動：教師演示教具，并在學生想象、描述的基礎上引導學生進行歸納.

教師：你們現在能說出平行線的定義嗎？

眾生：在同一平面內，若直線a和b不相交，那么就稱直線a和b平行，記作a∥b.（板書課題“平行線”）

二、師生互議，建構概念

教師：一個長方體如圖3，和AA1平行的棱有多少條？和AB平行的棱有多少條？A1B1與BC所在的直線是兩條不相交的直線，他們平行嗎？

學生活動：獨立思考后展示，初步感受空間兩條直線的位置關系，強化對定義中“同一平面”的認識.

教師活動：引導學生對定義的強化.

辯一辯：（1）不相交的兩條直線是平行線；（2）在同一平面內兩條直線的位置關系有相交、垂直、平行；（3）在同一平面內不相交的兩條線段平行； （4）在同一平面內不相交的兩條射線是平行線；（5）在同一平面內不相交的兩直線是平行線；（6）同一平面內，兩直線位置關系有兩種，即相交或平行.

學生活動：獨立思考后進行交流，代表發言，進一步理解定義中“兩條直線”的關系.

教師活動：引導思考，強化定義.

教師：如何表示平行線？

學生活動：類比所學的幾何知識，直線可以怎么表示？從而得出兩種表示的方法.

教師活動：引導、幫助.

三、鞏固訓練，運用概念

畫一畫：

（1）在活動木條a的過程中，有幾個位置使得 a與b平行？

（2）經過直線a外一點B畫直線a的平行線，你能有幾種方法？可以畫幾條？經過點C呢？

學生活動：小組交流，你是怎么畫的？有哪些方法？通過畫平行線你發現了什么？

教師活動：如何畫？指導學生在方格紙紙中，用三角板、直尺等工具畫.

說一說：已知三條直線AB、CD、EF.如果AB∥EF ，CD∥EF，那么直線AB與CD可能相交嗎？說說你的理由.

學生活動：獨立思考并討論得出結論，初步感受反證法.

教師活動：幫助學生說出過程.

練一練：（1）已知a∥b，b∥c，則________________________________________.

（2）已知a∥b，b∥c，c∥d，則________________________________________.

設計意圖：及時鞏固平行線的基本性質.

議一議：在同一平面內有3條直線，問可以把這個平面分成幾部分？如果在同一平面內有4條直線呢？

學生活動：分組探究，小組討論，發現問題，小組討論解決，在學生研究結束后，每小組派一名代表進行交流，交流完成后完善自己的結果.

學生經過探究可以發現：（1）當4條直線兩兩平行時，可以把平面分成5部分；（2）當4條直線中只有三條兩兩平行時，可以把平面分成8部分；（3）當4條直線僅有兩條互相平行時，可以把整個平面分成9部分或10部分；（4）當4條直線中其中兩條平行，另兩條也平行時，可以把平面分成9部分；（5）當4條直線任意兩條都不平行時，可以把平面分成8或10或11部分.

設計意圖：本環節主要考查學生探究問題的能力，同時培養學生的合作與交流意識，在探究的過程中教師可以適當引導學生按一定的條件分類，比如按平行線的條數分或按交點的個數分類，讓學生養成有序考慮問題的習慣.

四、總結歸納，反思提煉

思一思：（1）今天你學到哪些知識？（2）今天你積累了哪些學習方法？（3）今天你在小組合作中的表現如何？

五、延伸課后，作業布置

篇（9）

2.1余角與補角(本文來源于：兔笨笨英語網 tooben )

1.×、×、×、×、×、√;2.(1)對頂角(2)余角(3)補角;3.d;4.110°、70°、110°;5.150°;6.60°;7.∠aoe、∠boc，∠aoe、∠boc，1對;8.90°9.30°;10.4對、7對;11.c;12.195°;13.(1)90°;(2)∠mod=150°,∠aoc=60°;14.(1)∠aod=121°;(2)∠aob=31°,∠doc=31°;(3)∠aob=∠doc;(4)成立;

四.405°.

2.2探索直線平行的條件(1)

1.d;2.d;3.a;4.a;5.d;6.64°;7.ad、bc，同位角相等，兩直線平行;8、對頂角相等，等量代換，同位角相等，兩直線平行;9.be∥df(答案不);10.ab∥cd∥ef;11.略;12.fb∥ac，證明略.

四.a∥b,m∥n∥l.

2.2探索直線平行的條件(2)

1.ce、bd，同位角;bc、ac，同旁內角;ce、ac，內錯角;2.bc∥de(答案不);3.平行，內錯角相等，兩直線平行;4.c;5.c;6.d;7.(1)∠bed，同位角相等，兩直線平行;(2)∠dfc，內錯角相等，兩直線平行;(3)∠afd，同旁內角互補，兩直線平行;(4)∠aed，同旁內角互補，兩直線平行;8.b;9.c;10.b;11.c;12.平行，證明略;13.證明略;14.證明略;15.平行，證明略(提示：延長dc到h);

四.平行，提示：過e作ab的平行線.

2.3平行線的特征

1.110°;2.60°;3.55°;4.∠cgf，同位角相等，兩直線平行，∠f，內錯角相等，兩直線平行，∠f，兩直線平行，同旁內角互補;5.平行;6.①②④(答案不);7.3個 ;8.d;9.c;10.d;11.d;12.c;13.證明略;14.證明略;

四.平行，提示：過c作de的平行線，110°.

2.4用尺規作線段和角(1)

1.d;2.c;3.d;4.c;5.c;6.略;7.略;8.略;9.略;

四.(1)略(2)略(3)①a② .

4.4用尺規作線段和角(2)

1.b;2.d;3.略;4.略;5.略;6.略;7.(1)略;(2)略;(3)相等;8.略;9.略;10.略;

四.略.

1.143°;2.對頂角相等;3.∠acd、∠b;∠bdc、∠acb;∠acd;4.50°;5.65°;6.180°;7.50°、50°、130°;8.α+β-γ=180°;9.45°;10.∠aod、∠aoc;11.c;12.a;13.c;14.d;15.a;

16.d;17.d;18.c;19.d;20.c;21.證明略;22.平行，證明略;23.平行，證明略;24.證明略;

生活中的數據

3.1 認識百萬分之一

1，1.73×10 ;2，0.000342 ; 3，4×10 ; 4，9×10 ; 5，c; 6，d;7，c ; 8，c; 9，c;10，(1)9.1×10 ; (2)7×10 ;(3)1.239×10 ;11， =10 ;10 個.

3.2 近似數和有效數字

1.(1)近似數;(2)近似數;(3)準確數;(4)近似數;(5)近似數;(6)近似數;(7)近似數;2.千分位;十分位;百分位;個位;百位;千位;3. 13.0， 0.25 , 3.49×104 , 7.4*104;4.4個, 3個, 4個, 3個, 2個, 3個;5. a;6、c;7. ;8. d ;9. a ;10. b;

11.有可能，因為近似數1.8×102cm是從范圍大于等于1.75×102而小于1.85 ×102中得來的，有可能一個是1.75cm，而另一個是1.84cm，所以有可能相差9c

12. ×3.14×0.252×6=0.3925mm3≈4.0×10-10m3

13.因為考古一般只能測出一個大概的年限，考古學家說的80萬年，只不過是一個近似數而已，管理員卻把它看成是一個精確的數字，真是大錯特錯了.

四：1，小亮與小明的說法都不正確.3498精確到千位的近似數是3×103

3.3 世界新生兒圖

1，(1)24% ;(2)200m以下 ;(3)8.2%;

2，(1)59×2.0=118(萬盒);

(2)因為50×1.0=50(萬盒)，59×2.0=118(萬盒)，80×1.5=120 (萬盒)，所以該地區盒飯銷量的年份是2000年，這一年的年銷量是120萬盒;

(3) =96(萬盒);

答案：這三年中該地區每年平均銷售盒飯96萬盒.

單元綜合測試

一、填空

1、70 2、銳角 3、60° 4、135° 5、115°、115°

6、3 7、80° 8、551 9、4對 10、40°

11、46° 12、3個 13、4對2對4對

二、選擇

14、D 15、D 16、B 17 B 18、B19、A 20、C

21、AD//BC

∠A=∠ABF∠A=∠C∠C=∠ABF

BA∥DC

22、32. 5°

23、提示：列方程求解得∠1=42°∠DAC=12°

24、平行

25、130°

26、BDAC，EFAC

BD∥EF

∠5=∠FEC

∠1=∠FEC

∠1=∠5

GD∥BC

∠ADG=∠C

27、CE平分∠BCD，DE平分∠CDA,∠1+∠2=90°

∠BCD+∠CDA=180°

AD∥CB

CBAB

篇（10）

浙江省富陽市郁達夫中學

把心理輔導原理運用于新課程背景下數學課堂教學稱謂數學“課堂心育”教學。筆者試圖在實踐領域中以以一堂初一幾何課的案例為研究對象，對其進行剖析，作為數學課堂“心育”教學嘗試的實例，并從理論層面上對“課堂心育”的可行性問題作一些探討。

一、課例過程和操作例釋

案例情景：讓學生在經歷中體驗“平行”

（盛志軍）

情景一：

星期三上午第三節，是初一（15）班的數學課。第二節一下課，同學們拿好學具就來到多媒體教室。一走進教室，大家就感到新奇：桌椅一改往日“插秧式”擺放，“馬蹄形”的座位組成十組。大家很快按照原來小組的順序就座，看起來很自然。面對面坐著，唧唧喳喳的議論著，今天數學課怎么象要搞聯歡活動似的？

“叮鈴鈴……”

隨著上課鈴的響起，教室立刻安靜了下來。我健步走進教室，似乎今天精神特別飽滿。我微笑著環視了每一小組同學，從他們明亮的眼神中，可以看出他們驚異、期待的心情，連數學從不感興趣的趙偉同學，也挺著腰板看著我。

我沒有那么多禮節，直接開始上課了。

數學課歷來被認為是正板正眼的，數學教師在學生眼里總是一副嚴肅的神態，而學生一開始也就總是嚴陣以待的樣子，等著老師來上課。本堂課一開始就基本改變了這一狀態。首先改變了物理環境，桌椅從“插秧式”到“馬蹄形”，拉近了師生、生生之間的心理距離，為創設寬松的交流環境奠定了基礎，便于課堂相互接納，相互傾聽。其次，教師的“健步”、“微笑”、“環視”，使學生眼神“明亮”，心情“驚異、期待”，并“挺著腰板”。“沒有那么多禮節，直接開始上課了”。教師用非語言的技巧，走出自己的角色，體現了教師的真誠，使自己的形象很快被學生所認同。教學就是溝通與交流，本堂課的溝通就此開始。

情景二：

上課從復習中開始。

我讓學生復習兩條直線相交的位置關系。“同學們，請在草練本上畫：兩條相交直線AB與CD，使ABCD于O，并標出交點字母。”接著提問：“如果兩條直線相交，那么兩條直線相交有多少個交點？”“在同一平面內有沒有不相交的兩條直線，如果有，這兩條直線叫做什么？”這些問題完全在學生小學學習的原認知結構上進行，同學們象是從倉庫里調配出儲備糧一樣，異口同聲地回答了一個個問題。 “我們這節課進一步研究這一問題”我邊說邊在屏幕上放映出本節課題——平行線

上課從復習中開始，這符合教育認知心理原理，與學生原有的認知結構取得聯結。這是我們一般數學教師常用的方法。但如何聯結呢？是簡單的提問嗎，不是。這里，教師采用了學生動手的方法，并以同感的心態，估計學生可能出現的矛盾，因此要求“標出交點字母”。再加上兩句恰到好處的提問，讓學生 “從倉庫里調配出儲備糧”的經歷來感悟，從而，很自然地引出這節課的課題。

情景三：

新課引出是那么的自然。我十分清楚學生對平行線的概念理解還在表面層次上，這節課要讓學生經歷平行線概念形成的過程。

“同學們，老師和大家一起畫一畫：已知一條水平直線AB。畫一條直線CD，使CD不和AB重合，但仍保持水平位置。”大家憑著直覺七手八腳的動了筆，顯然太草率了。

“大家剛才畫得準確嗎？”我直截了當地說，“現在老師和大家一起，用規范的方法畫平行線。”我打開了課件，“請大家同步畫圖。我們通常用一塊三角板為工具畫圖，具體步驟如下：”

一“落”：畫直線TR垂直水平直線AB，把三角板的一直角邊落在已知水平直線AB上；

二“靠”：用三角板另一條直角邊，靠緊所畫直線TR；

三“推”：把靠緊的三角板沿垂線TR推動，使三角板離開AB；

四“畫”：沿三角板的這條邊畫直線CD；

直線CD就是所要畫的水平線。

“同學們，請大家想一想：直線AB與直線CD可能相交嗎？為什么？”看來已經是引出概念的時侯了。“請各小組討論，選出一位代表準備回答老師的問題。”教室里第一次成了“茶館”。我及時到各小組，聽取大家的討論，不時地進行啟發引導。似乎問題已進入到“最近發展區”，兩分鐘后，各小組紛紛舉起了手。我還是選定了平時學習成績中等程度一個小組代表發言。

“徐敏，請你代表你們小組回答。”

“因為AB與CD都是保持水平的直線，相當于把直線AB保持水平位置不變，移動至CD的結果，不可能有交點，所以它們不相交。那么，我們把這樣的兩條直線叫做平行線。”這位平時說話都臉紅的學生，這次發言出奇的流利。“嗯，你歸納得很好！”我充分的肯定了他。教室里第一次響起了熱烈的掌聲。

理解和尊重是數學課堂“心育”教學中教師的最基本態度特質。“我十分清楚學生對平行線的概念理解還在表面層次上”，教師以自己特有的教學經驗進行了判斷，從而利用黑板上課無法來完成的的課件進行教學，實現了自己的預想。

這里，教師還到位的采取傾聽技巧。營造了小組合作討論的方法，讓學生根據課件展示的結果暢所欲言。“我及時到各小組，聽取大家的討論，不時進行啟發引導。”討論前，教師采用了開放性提問，“同學們，請大家想一想：直線AB與直線CD可能相交嗎？為什么？”引發了學生的發散性思維；討論后，“選定了平時學習成績中等程度一個小組代表發言。”并且是一位平時說話都臉紅的學生為代表。教師采用了封閉的鼓勵：“嗯，你歸納得很好！”這個“嗯”是贊許，是肯定。學生感到親切，甜美。

情景四：

看來接下去要讓學生真正認識概念的火候到了。

“同學們，現在請大家翻開課本P31，默讀黑體字”（不在同一平面內的兩條不相交的直線是平行線）。我感到僅僅這樣做是事倍功半的，必須制造認知沖突。我進行了“誤導”：“同學們，我們要科學精神，老師覺得這句話不夠嚴密，現在運用你學的語文知識，咬文嚼字，研究一下這句話，是不是闡述得不完整，需不需要增加什么？是不是表達的太羅嗦，有的文字可以省去？現在請大家討論。”

這次討論夠熱烈了。他們感到驚疑，書本也有錯誤？老師您是否搞錯了！我不動聲色地巡視著各小組，并在學生“最近發展區”發問：不在同一平面內的不相交的兩條直線是否也是平行線呢？哪幾個字最要引起我們的注意，特別對“在同一平面內”這六個字加以思考，想過了嗎？答案有了嗎？并用實例說明。

“老師，我覺得‘在同一平面內’這六個字不需要。”忽然，一向舉手發言的小胖子凌樹華叫了起來。

“為什么？”

“比如，地球上的兩條緯線不會相交，但它們平行。”

“那么，兩條緯線是直線嗎？”

“這個……對了，怎么我不考慮這一條件呢！”

“地球是圓的，不是平面，這里的緯線應該是曲線也要考慮到。凌樹華同學的鉆研精神很好。”我進行了補充和肯定。

這時，大家感到，認識一個概念，要全面考慮各個條件。

討論結果：老師您也會“說謊”。我用狡詰又得意的眼神看了全班學生。是啊，同學們逐字逐句研究、反思，概念的本質屬性已初步理解了，這比要求學生背十遍二十遍效果明顯多了。學生似乎也知道了我的用意。

這是本堂課的所在。整個情景中深入了學生心理內部，以同感的態度，積極傾聽學生展開的。而具體又正確運用神入、探究的技巧，制造學生心理內部的認知沖突，引導學生自我挑戰，自我探究。從而較好地開發了學生的資源，符合數學新課程的教學理念和學生的認知規律。“‘同學們，現在請大家翻開課本P31，默讀黑體字”（不在同一平面內的兩條不相交的直線是平行線）。我感到僅僅這樣做是事倍功半的，必須制造認知沖突。我進行了‘誤導’。”這句內心的獨白，首先，反映了教師站在學生認知的心理角度，就是一種深切的同感，而且，也反映了教師，在傾聽中，不僅傾聽學生的外部行為和內部心理，也在傾聽自己的心理，這也是一名教師所必備的應有素質。這樣，就為幫助學生有效的數學學習提供了必要條件。其次，教師的“誤導”而產生學生的“認知沖突”，不是牽強附會，而是自然的在“最近發展區”“神入”，引起學生的自我挑戰，投入到自我的探究中去。一場探究由此而來：把問題集中在“同一平面內”五個字上，讓學生誤入到“不是平面內的地球兩條緯線”的陷阱中。再由教師一語道破天機：地球表面是平面嗎？

到此學生恍然大悟。在教師“狡詰又得意的眼神”中，學生理解了教師的用意，理解了平行線概念的本質屬性。這是一個助人自助的生動例子。

情景五：

讓學生經歷實際應用，強化對概念的理解是我下一步的策略。我在屏幕上放映出下面題目：

兩架飛機在空中作直線航行，一架飛機在9000米上空由東向西飛行，可以把航線想象成一條東西方面的直線；另一架飛機在10000米上空由南向北飛行，可以把航線想象成一條南北方面的直線。這兩條直線相交嗎？這兩條直線平行嗎？我通過動畫、聲音，并用教具輔助，形象直觀地進行了展示：

西

北

10000米

9000米

學生明白了：在空間，不相交的兩條直線不一定是平行線。之后，我抓住時機出示了平行線的三個基本特征：

第一是在同一平面內；第二是兩條直線；第三是不相交。這三個條件缺一不可。

即在同一平面內不相交的兩條直線是平行線。

這時，同學們臉上露出會意的笑容。

“同學們，請大家在來看一看”我沒有放棄直觀圖形在形象思維對抽象思維、空間觀念的建立的作用，“課本上有兩幅圖正是反映了平行線的形象。”

⑴兩條直線的鐵軌；⑵教室同一面墻分別和天花板及地面的兩條相交線；

“ 請同學們再舉出幾例。”我又把發言權讓給學生。

“長方形的兩組對邊。” “操場上的雙杠。” “100米直線跑道。” “電線桿上的電線。” “兩根直立的電線桿。”……學生的一雙雙小手林立在教室的每個位置上。

“同學們，大家的發言很踴躍，但是有一個問題，注意到了嗎？” 我把話題一轉。“ 因為直線是可以向兩方無限延伸的，所以在同一平面內的兩條直線的位置關系只有兩種：相交或平行。但兩條線段或兩條射線不相交并不一定平行，只有當它們無限延和后而不相交，才平行。如圖1，它們現在雖然都不相交，但延長后均相 交，所以AB和CD、OA和O′A′均不平行。

至此，我已經清楚，該把平行線的表示法告訴大家了：

如圖2，直線AB和CD平行，記作“ABCD”，

讀作“AB平行于CD”。不要把平行符號錯寫在“=”。

同時也應該讓學生練習，把知識點的落實情況反饋給我。

I 課本P32練習1、2。

II 判斷下列圖中的圖形是否是平行線？為什么？（四人小組討論）

在同學們討論的基礎上，我用多媒體進行板書。

最后我讓學生進行小結。

“請同學們回顧本節課主要學的內容及注意的問題。” 同學們唰刷地舉起了手，我請三個小組同學代表進行回答，并幫助歸納：

⑴平行線的定義（強調三個特征）；

⑵在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線是平行線；

⑶直線外一點畫已知直線的平行線要點。

（四步：一落二靠三推四畫）

課后要求再去思考，要判斷兩條直線是否平行，除了定義外，有沒有其他方法呢？

“叮鈴鈴……”下課鈴響了，這時我看得出大家眼睛更加閃著光亮，似乎還沉浸在剛才“平行線”的經歷的興奮之中。

數學課畢竟不是心理輔導課，掌握數學知識和技能是新數學課程標準的第一目標。本情景的展開，是遵循學生“反應—強化”的認知規律，建立一個正強化的操作條件系統。這個系統還是圍繞平行線概念的內涵進行，讓學生在經歷中去體驗。飛機的飛行、火車路的鐵軌、教室的墻面的交線、兩根直立的電線桿等問題，來源與生活，來源與實踐，再一次體現了新數學課程的思想。而圖一，圖二的知識強化題，更使平行線概念提升到更高的認識層面。后面的小結，讓學生完成，發揮了學生的自主作用，使學生集中起散亂的思維和情感，促進平行線作法和概念得到進一步的梳理和認識。而最后的讓學生帶者問題下課，又使學生，建立求知的新起點。心理輔導的小結不是以任務完成為目的，而是讓學生自己促進自己，產生新的視野，去解決新的問題。

二、數學“課堂心育”活動的幾點理論性思考