質數和合數的概念匯總十篇

序論：好文章的創作是一個不斷探索和完善的過程，我們為您推薦十篇質數和合數的概念范例，希望它們能助您一臂之力，提升您的閱讀品質，帶來更深刻的閱讀感受。

篇（1）

1、質數（prime number）又稱素數，有無限個，定義為在大于1的自然數中，除了1和它本身以外不再有其他因數。

2、合數指自然數中除了能被1和本身整除外，還能被其他數（0除外）整除的數。與之相對的是質數，而1既不屬于質數也不屬于合數。最小的合數是4。其中，完全數與相親數是以它為基礎的。

3、奇數（英文：odd），又稱單數， 整數中，能被2整除的數是偶數，不能被2整除的數是奇數，奇數的個位為1，3，5，7，9。偶數可用2k表示，奇數可用2k+1表示，這里k就是整數。

4、所有整數不是奇數（單數），就是偶數（雙數）。若某數是2的倍數，它就是偶數（雙數），可表示為2n；若非，它就是奇數（單數），可表示為2n+1（n為整數），即奇數（單數）除以二的余數是一。

（來源：文章屋網 ）

篇（2）

人類社會的生產、生活促進了數學的產生和發展。也就是說，任何一個數學概念的引入都是必要的，都有它的現實以及數學知識發展的需要。概念的教學遵循從具體到抽象、從特殊到一般的規律，讓學生經歷從典型、豐富的實例中概括概念的思維活動，而不是強制給出概念，再舉例說明讓學生理解。在導數概念的教學中，根據學生生活經驗，通過實際背景創設豐富的情境，直接通過膨脹率、速度、效率、增長率等反映導數本質的實例，使學生經歷并感受由平均變化率到瞬時變化率的轉化過程，并得出瞬時變化率即為導數，使學生體會導數的思想就是研究變化率問題。

在“導數幾何意義”的教學中，設置問題串，引導學生探究幾何意義，“能回憶導數的概念嗎？導數的物理意義是什么？你能根據函數y=f（x）的圖象得出平均變化率表示的幾何含義嗎？在?x逐漸趨向0的過程中，你能感知割線PPn如何變化嗎？你能從上述過程中概括出f（x）在x=x0處的導數f'（x0）的幾何意義嗎？”學生通過對問題的探究，體會無論是實際意義還是數值意義，都是從“數”的角度理解導數，從而思考“形”的意義，借助多媒體使學生能夠用心體會通過“無限逼近”所達到的“量變到質變”“近似與精確”的哲學思想，并通過動手操作、觀察發現，獲得導數及其幾何意義的知識結構，不要急于得出形式化的定義，應努力追求“水到渠成”的教學效果。

在體驗中認識概念

教材以觀察、思考、探究等欄目明確提出問題，引導學生的數學活動，在導數幾何意義的教學中，合乎情理地設問，自然地探究活動。教師十分注意提問的技巧，設計的問題圍繞“如何想到導數的幾何意義就是在某點處切線的斜率”而進行，引導學生充分經歷“提出問題（從數的角度探究了導數后，從形的角度如何探究導數）;尋求方法（平均變化率的幾何表示）;實施方法（學生動手畫割線）;發現規律（體會割線趨進的規律）;給出幾何意義（強調在曲線上某點處，是局部性質）;應用幾何意義解釋現象（如以直代曲）”。這一完整的探究活動，通過對幾何意義的深入探究，領悟概念的本質，讓學生感受到，數學是自然的數學，是看得見的數學。

尋找概念區別與聯系

在導數幾何意義的教學中，教師提問：“切線定義與以前學過的圓的切線有何不同？能否舉例說明？”這時學生感到應該是不同的，可又不知道哪里不同？緊接著，教師引導能否舉例說明。通過小組合作，學生很容易畫出曲線與圓切線的區別：公共點唯一也可不唯一，從而使學生發現圓的切線定義有局限性，并不適用于一般的曲線，需要對原來的定義進行拓展提高，即通過“逼近”的思想，將割線趨近于確定位置的一條直線定義為切線（交點可能不唯一）適用于一般曲線，這種定義才真正反映了切線的本質，即切線是某點處的切線，是一個局部概念。

通過過渡，學生抽象概括出導函數的動態概念，理解與函數概念的聯系：導數是特殊的函數，是整個高中概念教學的難點，在導數教學中，要正確、充分地提供概念的各種變式，系統地學習概念，使學生有機會從實際意義、數值意義、幾何意義等不同角度理解導數的本質。

深化概念理解

知識點是數學的主體，問題是數學的核心，數學思想方法則是數學的靈魂。數學思想方法一旦落實到學生學習和運用數學思維活動上，就能發揮學生的數學能力，提高學生的數學素養。在“導數幾何意義”教學中，關注學法滲透，關注探究過程：無論是復習導數的概念及物理意義，還是探究導數的幾何意義及其應用，教師都十分關注學生對數學思想和方法的掌握和理解。通過探究導數的幾何意義，體會數形結合的數學思想;通過講練書上例2、例3，引導學生動腦審題，動手畫切線，動口討論，并歸納小結數學知識以及數學思想方法。由學生思考后，說出自己的收獲，發揮學生主體作用，培養學生歸納總結的數學能力，讓學生體驗從靜態到動態的變化過程。

多媒體技術與課程內容相結合

篇（3）

中圖分類號：G712 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）07-029-01

我在數學教學中經常會發現這個問題：學生自認為上課聽懂了，但在涉及到獨立解題時又感到千般思緒，萬般無奈。產生了一種“懂”與“做”之間的障礙。于是我嘗試了以下方法，收到了不錯的效果。

一、新概念提前預習

在每次新課前，我都要提前給學生提出明確的目標任務，讓學生帶著問題去預習。首先圍繞基本概念、原理、法則、規律、公式等閱讀教材，了解本課的目標、重點與難點以及與舊知識間的內在聯系，重點讀定義的字、詞、句。其次做課后練習題，目的在于檢查自己的預習效果和水平，找出自己不懂或不足的地方，然后帶著問題去聽課，并發現先前的知識沒有掌握時，及時補上來。在預習過程中做好預習筆記，將自己的思維成果記錄下來。這樣既培養學生了獨立解決問題的能力，又便于教師根據學生預習情況，有目的、有重點的精講教材的有關內容，提高課堂效率。

二、新概念及時練習

一般地在教學一個新概念之后，教師宜及時地針對概念的本質特征選擇一些課內外練習題是完全必要的確。

例如在講了集合概念后，針對集合概念的三個本質特征：①集合是指具有某種屬性的一些對象的全體，而不是指其中的個別對象；②集合中的元素是確定的，即可以確切地判斷一個對象屬于還是不屬于這個集合；③集合中的元素是彼此不相同的，即一個元素在同一集合里不能重復出現。可以選擇下列練習題

問題一：以下各題是否正確，為什么？（1）由班上不高不矮的人能組成一個集合；（2） 是方程 的解的集合；（3） 是方程 的解的集合；（4）1，2，3，1，4五個數構成一個集合

三、相關概念結合練習

數學知識的系統性很強。對于數學概念來說，一些舊概念都是某些新概念的基礎，新概念則是由舊概念增加新的屬性而建立起來的，新舊概念之間既有區別，又有聯系，教師在講解一個新概念之后，應把與此相關的舊概念結合在一起，選擇練習題，讓學生練習。

四、易混概念對比練習

對于容易產生混淆的概念，要引導學生用對比方法認識它們之間的區別和聯系。顯然，這不僅要求教師講授時應充分應用對比方法，講清易混概念之間的相同點和相異點；而且必須加強對比練習，才能使學生涇渭分明。練習題應選擇那些易于比較的題目，使學生通過練習，既掌握它們各自的特點，又能區別它們的異同。

五、重點概念著重練習

數學概念，由于它們在數學知識體系及其應用中具有不同的地位和作用，總是有主要與次要、關鍵與一般、難學與易學之分。所以要使學生學好數學基礎知識，必須突出重點、抓住關鍵，解決難點。這不僅應該體現在教師的講解上，還應體現在對練習的要求上。對于重要概念的練習，要在題目的數量和質量的選擇兩方面下功夫。一般地說，在講了一個新的重要概念之后，選配一些比較簡單的練習題用以增強學生對新概念的理解。然后，在此基礎上由淺入深、由易到難，逐步配備一些較為復雜的題目，以培養學生應用概念全面分析和正確解答問題的能力。

六、枯燥概念趣味練習

在事件的相互獨立性的教學中，我用了“三個臭皮匠頂個諸葛亮“這個故事引入 ，學生很感興趣，我順水推舟，布置了這樣的練習題：已知諸葛亮解出問題的概率為0.8，臭皮匠老大解出問題的概率為0.5，老二為0.45，老三為0.4，且每個人必須獨立解題，求：①老大、老二、老三都能解出的概率；②老大、老二、老三恰有一人能解出的概率；③老大、老二、老三至少有一人能解出的概率；④老大、老二、老三都不能解出的概率；⑤老大、老二、老三至多一人能解出的概率；

七、抽象概念實踐練習

篇（4）

臺灣師范大學洪萬生教授指出教師應用數學史至少可以分為三個層次:

第一,說故事;

第二,在歷史脈絡中比較數學家所提供的不同方法,拓寬學生的視野,培養全方位的認知能力和思考彈性;

第三,從歷史的角度注入數學活動的文化意義,在數學教育過程中實踐多元文化關懷的理想.

據此,在概念教學中應用數學史也相應的分為三種層面:

1.情感層面——激發學習興趣

情感層面是指在概念教學通過歷史上發生的小故事、科學家的傳記、趣題等內容提高學生學習的興趣.

例如,坐標系概念的教學中可以從講故事著手:

傳說中有這么一個故事:有一天,笛卡爾(1596—1650,法國哲學家、數學家、物理學家)生病臥床,但他頭腦一直沒有休息,在反復思考一個問題:幾何圖形是直觀的,而代數方程則比較抽象,能不能用幾何圖形來表示方程呢?這里,關鍵是如何把組成幾何的圖形的點和滿足方程的每一組“數”掛上鉤.他就拼命琢磨,通過什么樣的辦法才能把“點”和“數”聯系起來.突然,他看見屋頂角上的一只蜘蛛,拉著絲垂了下來,一會兒,蜘蛛又順著絲爬上去,在上邊左右拉絲.蜘蛛的“表演”,使笛卡爾思路豁然開朗.他想,可以把蜘蛛看作一個點,它在屋子里可以上、下、左、右運動,能不能把蜘蛛的每個位置用一組數確定下來呢?他又想,屋子里相鄰的兩面墻與地面交出了三條線,如果把地面上的墻腳作為起點,把交出來的三條線作為三根數軸,那么空間中任意一點的位置,不是都可以用這三根數軸上找到的有順序的三個數來表示嗎?反過來,任意給一組三個有順序的數,例如3,2,1,也可以用空間中的一個點 P來表示它(如圖 1).同樣,用一組數(a, b)可以表示平面上的一個點,平面上的一個點也可以用一組兩個有順序的數來表示(如圖2).于是在蜘蛛的啟示下,笛卡爾創建了直角坐標系.

無論這個傳說的可靠性如何,有一點是可以肯定的,就是笛卡爾是個勤于思考的人.這個有趣的傳說,就像瓦特看到蒸汽沖起開水壺蓋發明了蒸汽機,牛頓被蘋果砸了后發現了萬有引力一樣,說明笛卡爾在創建直角坐標系的過程中,很可能是受到周圍一些事物的啟發,觸發了靈感.

2.認知層面——促進對概念的理解

認知層面是指在歷史脈絡中比較數學家們所提供的不同方法,拓寬學生的視野,提高學生對概念的理解.在教學中教師要總結知識發展的規律,概念發明和發現的方法.

例如:在函數概念的教學中我們可以遵循歷史的足跡,比較函數概念在各個時期的變化,找到它們的區別與聯系.

有些數學概念是已有概念的擴充,若能揭示概念的擴充規律,便可以水到渠成地引入新概念.

例如復數概念的教學中可以先回顧已經歷過的幾次數集擴充的事實:正整數自然數非負有理數有理數實數.然后教師提出問題:上述數集擴充的原因及其規律如何?

分析如下:實際問題的需要使得在已有的數集內有些運算無法進行,數集的擴充過程體現了如下規律:

(1)每次擴充都增加規定了新元素;

(2)在原數集內成立的運算規律,在數集擴充后的更大范圍內仍然成立;

(3)擴充后的新數集里能解決原數集不能解決的問題.

有了上述準備后,教師提出問題:負數不能開平方的事實說明實數集不夠完善,因而提出將實數集擴充為一個更為完整的數集的必要性.那么,怎樣解決這個問題呢?教師呈現數學史上復數概念的產生遇到的困難和科學家們的解決思路,借鑒上述規律,為了擴充實數集,引入新元素i,并作出兩條規定.這樣學生對i的引入不會感到疑惑,對復數集概念的建立也不會覺得突然,使學生的思維很自然地步入知識發生和形成的軌道中,為概念的理解和進一步研究奠定基礎.

3.文化層面——體會概念中蘊含的文化

文化層面是指從歷史的角度注入數學概念一定的文化意義,主要是講概念的價值和意義.

例如坐標系概念可以從以下方面介紹:

(1)在學科中的意義

直角坐標系的創建,在代數和幾何上架起了一座橋梁.它使幾何概念得以用代數的方法來描述,幾何圖形可以通過代數形式來表達,這樣便可將先進的代數方法應用于幾何學的研究.

笛卡爾在創建直角坐標系的基礎上,創造了用代數方法來研究幾何圖形的數學分支——解析幾何.他的設想是:只要把幾何圖形看成是動點的運動軌跡,就可以把幾何圖形看成是由具有某種共同特性的點組成的.比如,我們把圓看成是一個動點對定點O做等距離運動的軌跡,也就可以把圓看作是由無數到定點O的距離相等的點組成的.我們把點看作是形成圖形的基本元素,把數看成是組成方程的基本元素,只要把點和數掛上鉤,也就可以把幾何和代數掛上鉤.

把圖形看成點的運動軌跡,這個想法很重要!它從指導思想上,改變了傳統的幾何方法.笛卡爾根據自己的這個想法,在《幾何學》中,最早為運動著的點建立坐標,開創了幾何和代數掛鉤的解析幾何.在解析幾何中,動點的坐標就成了變數,這是數學第一次引進變數.

(2)歷史上的評價

恩格斯高度評價笛卡爾的工作,他說:“數學中的轉折點是笛卡爾的變數.有了變數,運動進入了數學,有了變數,辯證法進入了數學.”

以上三個應用的層面,在教學中都要有所涉及,但側重點不同.從概念教學目的考慮,應以認 知層面為主,以文化層面和情感層面為輔.

下面談談采取怎樣的策略融入數學史使數學概念教學能有效地達到對數學概念的認知層面.

1. 問題策略——設置問題,激發學習動機

問題策略是指為了豐富學生在概念學習中的體驗,將數學史中數學概念的形成過程、形式化的數學概念以及一些相關的材料轉化成數學問題,形成問題情境,在問題的探究中“學數學、做數學、用數學”,最終構建概念的心理表征.

動機來源于需要,而推動數學發展的原始動力就是數學問題.正是有了形形的數學問題,才產生了豐富多彩的數學概念,因此,概念教學的起點應是問題.我們平時所有的教科書是按演繹體系來編排的,即概念定理問題解決,反映了一種靜止的數學觀,但歷史的真實面目并非如此,這是教學法的違背.真正的數學教育應遵循數學發展漸進系統化的過程,教學生像數學家那樣“再創造”的方法去學習.重要的是,教科書的編寫人員應將一些歷史概況和數學思想變遷的重要例子寫進教材,而學生通過解題討論不同的猜想和過程,對自己的概念形成和難點及重要的觀念的改變做進一步的了解也同樣很重要.

數學史的應用必須問題化.這可以從兩方面下手:其一,把概念生成過程問題化.一個概念是如何引入的?必要性和重要性何在?這些問題往往也是區分概念的本質特征和非本質特征的關鍵所在.因此教學中應盡可能把知識的發生過程轉化為一系列帶有探究性的問題,真正使有關材料成為學生思考的對象.其二,把形式化的數學材料轉化為蘊含概念本質特征、貼近學生生活的、適合學生探究的問題.通過學生動手操作,把數學拉到學生的身邊,使數學變得親切,把學生引向概念本質.

2. 有指導的再創造策略——追溯歷史,重建數學概念

有指導的再創造策略是指利用數學史料進行課堂設計讓學生經歷數學知識的形成與應用,自主地生成概念.

再創造策略可以使學生更好地理解數學概念形成過程,體會蘊含在其中的思想方法,追尋數學發展的歷史足跡,增強學好數學的愿望和信心.特別是對于抽象數學概念的教學,要特別關注概念的形成的實際背景與形成過程,幫助學生克服機械記憶概念的學習方式.

弗賴登塔爾說得好:“我們不應該遵循發明者的足跡,而是經過改良同時有更好的引導作用的歷史過程.”在教學過程中,學生應當有機會經歷與數學事件的歷史發展相類似的探究過程,但此時并不是真正地去創造,而是在教師的引導下獲得知識.學生沿著歷史發展的路徑,了解某部分的數學概念的來龍去脈,在此過程中他們的學習也包含了再創造、再發現的意義.

有指導的再創造策略的應用要求教師的課堂設計應當具有一定的開放性,為學生提供“提出問題、探索問題”的空間,培養學生勤于思考的習慣、堅忍不拔的意志和勇于創新的精神.信息技術為數學實驗提供了可能,教師應盡可能地使用科學計算器、計算機及軟件、互聯網以及各種數學教育技術平臺,支持和鼓勵學生用現代信息技術學習數學、開展課題研究,改進學習方式,提高學生的創新意識和實踐能力.

【參考文獻】

篇（5）

【中圖分類號】G【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2015）06B-0072-03

對一個數學概念的學習，并不僅僅在于能記住它、表達出它的定義、認識它的代表符號，而且要真正能夠理解和把握它的本質屬性，并能運用它來解決問題。對數函數是高考的一個熱點。對數概念掌握不好，將會直接影響到學生對很多與對數函數有關的題目的理解和把握，導致各種的錯誤的發生。所以說對數概念是數學的一個基本而又重要的概念。本文將圍繞對數概念的講解策略，從對數概念的應用等方面對對數概念教學進行探討。

一、問題的提出

高三的同步訓練中有這樣一道題：

函數的定義域是（ ）

A.（1，2）∪（2，3） B.（-∞，1）∪（3，+∞）

C.（1，3） D.[1，3]]

解答過程如下：

由解之得，故選 A

這道題的考查目的就是為了讓學生熟練掌握函數的定義域的求法，把握好基礎知識，但結果答對的只有少數幾個，相當多的學生根本不知道怎么入手，看見log就頭痛，20%的學生的答案為C。最后，很多學生對解答過程提出問題：可以理解，那是因為真數要求大于0，但為什么還要這個條件？若把題目換成求函數的定義域，大部分的學生馬上可以回答是。這時候才有同學醒悟過來，原來還要考慮分母不為0。可為什么是≠1？只有極少的學生知道原因所在。

高三了，仍有相當多的學生對對數的定義和性質掌握不好，理解膚淺，有的甚至連最基本的對數和指數的互化都不懂。其他班的情況也好不到那里去。在普通高中里，這種情況不是一屆兩屆學生的問題，而是我們在數學教學中一直都頭痛的問題。那么，我們的對數概念的教學應該如何進行才能讓學生理解并掌握呢？

對數概念是數學的一個基本而又重要的概念。對數概念掌握不好，將會直接影響到學生對對數函數的理解和掌握，影響到很多與對數函數有關的題目的理解和把握，導致各種錯誤的發生。而且，對數函數是高考的一個熱點，通常以選擇題或填空題的形式考查對數函數的圖象和性質；或者與不等式等其它知識相結合，出現在解答題中。但我們知道，學好一個數學概念，并不僅僅在于能記住它，把它背下來，能表達出它的定義、認識它的代表符號，而是要真正能夠理解和把握它的本質屬性，弄清它的內涵和外延，并能運用它來解決問題。而這一點，也正是學生要學好數學的原因所在。

在高一的課程中，首先安排了對數概念和對數的運算法則的教學和學習，然后再安排對數函數的教學和學習。分步教學，逐層加深。而“對數”這個概念對高一的學生而言，是個陌生而且抽象的東西，首先在心理上就對它產生了排斥；再次對新概念不理解，導致對性質、公式的不理解，加上運算能力差，怕麻煩，對對數的計算不耐心，產生放棄的心理。因此，相當多的學生在遇到對數時，情愿放棄也不愿多思考，多總結，多練習。一而再，再而三，也就忽視了對這個概念的理解，導致遇到對數就避開，積累下來，問題就更難以解決了。本文將圍繞對數概念的講解策略結合自己的經驗對對數概念教學進行一點探討。

二、對數的講解策略

學生對概念的學習就是一個對概念的認知過程。從認知理論上來說任何教學都會引起三種認知負荷。澳大利亞心理學家J.Sweller等認為“認知負荷就是將特定工作加在個體認知系統時所產生的負荷量”。認知負荷包括內在認知負荷、外在認知負荷和相關認知負荷三種基本成分。內在認知負荷是指由于元素間交互形成的負荷，內在認知負荷取決于所要學習的材料的本身的難易程度和復雜性與學習者的原有的知識水平之間的交互，教學設計者不能對它產生直接的影響但可以進行控制；外在認知負荷是超越內部認知負荷的額外負荷，它與不合理的教學設計、教材的呈現方式和教學活動的組織有關，也稱為無效負荷或無關負荷。能通過教學內容的重組和設計進行調整，降低額外負荷量；相關認知負荷是指與個體主觀領域相關的信息，指個體在圖式建構和自動化過程中所投入的認知資源的數量，它與個體的認知努力有關，提高學生個體的相關認知負荷，可以引導學生利用剩余認知資源進行深層次的圖式建構，將知識存于長期記憶中，降低工作記憶的負荷量。由于內在認知負荷、外在認知負荷和相關認知負荷具有疊加性，且三者之和不超過工作記憶總的負荷量，若超過工作記憶所能接受的范圍，就會產生焦慮、壓力和煩惱，并影響學習的績效。因此，對于每一個教學內容，若想要獲得好的學習效果，則對該教學內容的設計和活動的組織必須考慮到這三種認知負荷，使學生所承受的總負荷量不超過其工作記憶的總負荷量。對于對數概念的教學，首先要引入得當，對教學設計要合理，這樣就會讓學生承受的內在負荷與外在負荷降低，增加其相關認知負荷。下面將從這三個方面具體談談對數概念教學的一些體會。

（一）充分考慮教材的特點、學生的知識水平和接受能力的交互作用，控制內在負荷量的增加

我們可以先從一個比較常用的問題出發，在講對數的概念之前，先舉一個利息計算的問題的例子。如，你手頭有5萬元，存進銀行，每年的利率為2.25%，試計算需要多久，連本帶利共有10萬元？

這是發生在學生的生活當中一個常見的問題，是他們所熟悉的感興趣的問題，因而會激起學生強烈的好奇心。而且這與所學過的指數運算有關，通過這樣一個平臺，降低學生所承受的內在負荷與外在負荷。再因勢利導，引導他們積極思考問題“應該怎樣去解決這個問題呢？”因而可以這樣分析：

根據題意，我們可以利用方程的思想，由“求什么就設什么”，可設需要x 年，連本帶利共有10萬元，則可列出式子

5×（1+2.25%）x=10

化簡得 1.0225x=2

對于這個指數式，相當多的學生是既熟悉又陌生的，若方程是2x=8，由于23=8，他們可以得出答案為x=3，因為2x=8=23，可求出x=3，但是1.0225x=2中，這個底數1.0225與右邊的2不像2和8那樣具有這種明顯的指數關系，因而要解決這個問題，就得另辟捷徑了。

在解決這個問題之前，我們可以先復習這樣一個問題：若2+x=6，怎樣求出x？這是小學生也能回答的問題。即x=6-2，x=4。提出x+2=6是加法，而求出x時，x=6-2=4所運用的是減法，那么加法和減法有什么關系？學生都可以回答是互為逆運算，進而可以提出，互為逆運算，可以解決加減法的計算問題，同樣的，它也可以解決乘除法的計算問題，那么，它能否解決指數的計算問題呢？

通過這個問題的提出，給學生指出了一條解決問題的路徑，那就是找到指數運算的逆運算。但是它的逆運算是什么呢？此時，我們可以告訴學生，這就是我們將要學習的新內容――對數。

通過這樣的一個課前引入，讓學生在接觸到新的概念之前，就已經有了一個強烈的感知，他們要學的是指數運算的逆運算。減輕他們對新概念的排斥力，從心理上給他們吃下一顆定心丸，降低他們認知的無關負荷，增強他們有效的相關認知負荷。

（二）合理設計教學過程，降低無關負荷對學生的知識的圖式建構和記憶的負面影響

那么，什么是對數呢？引進課本的概念，若a（a>0，a≠1）的b次冪等于N，就是ab=N，那么數b叫做以 a為底N 的對數，記做lagaN=b，其中 a叫做對數的底數，N 叫做真數。

其中“log ”是對數（logarithm）的符號，是對數的拉丁文logarithm的縮寫，與“+”“-”的作用相當。說明了“log ”的作用和來源，減輕了學生對它的恐懼感，增加了學生對對數的理解和認識。這樣，有助于降低外在負荷的影響，增強有效負荷的承受力。

由于概念中是直接由指數式ab=N定義對數式lagaN=b 的，那么這兩者之間的關系必然密不可分，這就讓學生不由自主地回憶起剛才的第一個認識――它們是互為逆運算。再引導學生觀察指數式ab=N和對數式lagaN=b這兩個式子，看看對應的字母的位置有什么變化？

在此過程中，教師的作用僅在于引導學生觀察和分析，讓學生在觀察和分析的過程中建立自己對知識的圖式建構，內化為自己的知識。

然后，通過讓學生自己觀察、填空，分組討論得出以下問題的結論。

（1）42=16 log4（ ）=2

（2）log42=（ ）

（3）102=100log（ ）100=2

（4）m-2=n logm（ ）=-2

（5）log525=25（ ）=25

（6）4-2=（ ）

（7）log1010000=4（ ）4=10000

（8）loge10=2.303e（ ）=10

通過圖形中字母的位置的變化，鞏固學生自己建構起來的知識網絡，增強有效的相關認知負荷；也可以通過圖形中字母的位置的變化，明確指數運算和對數運算這兩個逆運算之間的變化規則，并用于實際計算中。通過這樣數形結合，加強學生的感性認識，掌握指數式和對數式之間的互化的規律，達到掌握概念的目的。然后，因勢利導，引進常用對數（以10為底的對數）和自然對數（以 e為底的對數）的定義，分別簡記為lg N和lnN。

利用表格將指數式的一些性質列出，讓學生對應找出對數式的性質。

學生通過此表格，可以利用指數式和對數式之間的互化，將loga1=0，logaa=1寫出，進而用文字將“零和負數沒有對數”，“1的對數為0”，“底數的對數為1”這幾個性質總結出來。

基于大腦皮層的結構和人腦的認知結構，人腦對圖形語言所反饋的信息的接受力比對文字敘述所反饋的信息的接受力要強得多。利用圖表來建構數學知識，直觀形象，使學生更利于理解和接受，然后內化為自己的更深層次的圖式建構，將信息存于自己的長期記憶中。這對增強學生的有效認知負荷，降低無關負荷的影響，使工作記憶總負荷量達到平衡起到極為重要的作用。

通過圖表的類比策略，不僅幫助學生復習舊的知識，還通過新舊知識的遷移，達到學習新知識的目的。多個類比源多次類比，有助于學生形成更為抽象的圖式，它可以增長學生的類比經驗，幫助學生形成感知知識結構的思維傾向，更好地提取信息的一般規律，用于解決不同表征的問題，降低學生的無關負荷的影響力。

另外，學習環境也影響著學生認知負荷的構成，創設一個良好的學習環境，讓學生伴隨著感知、聆聽、觀察、思維、陳述等認知過程的介入，以及信心、興趣、成功或失敗等情感因素的介入，可以有效地降低無關負荷的影響，增強有效的相關認知負荷。因此，可以在課堂上組織學生進行分組討論，合作學習，將學習的主動權交還給他們自己。這樣不僅促進學生的自主思考，而且通過相互間的交流，鍛煉他們的表達能力和團結協作的精神，這要比教師唱獨角戲要有效得多。

（三）精選例題，鞏固概念，通過對概念的初步感知，將學生建構的概念的圖式存于長期記憶中，降低工作記憶的負荷量，不超出工作記憶所能接受的總負荷量。

總而言之，我們要加強對數學概念教學的研究，合理運用各種教學策略，遵循學生的思維方式和認知特點把復雜的概念簡單化。運用學生熟悉的情景教學，舉例示范，變抽象為具體，能有效降低學生的內在與外在無關認知負荷。讓學生多觀察，多思考，提煉自己對知識的圖式建構。多分析概念中的關鍵詞，幫助學生弄清楚概念的內涵與外延，增加有效的相關認知負荷。從而激發學生的學習興趣，促進學生自主學習，提高課堂效率。

【參考文獻】

[1]陳巧芬.認知負荷理論及其發展[J].教育技術學報，2008（9）

篇（6）

一、引言

熟語是構成漢民族豐富語言體系的方言中最為突出的語言特色之一。《現代漢語詞典》對“熟語”的定義是“固定的詞組，只能整個應用，不能隨意變動其中成分，并且往往不能按照一般的構詞法來分析，如：慢條斯理、無精打采、八九不離十等。”《辭海》（1999）給出的定義是：“語言中固定的詞組或句子，使用時一般不能任意改變其組織，且要以其整體來理解語義，包括成語、諺語、格言、慣用語、歇后語等。”由此，熟語的基本特征可歸納為：結構固定、意義完整、富有哲理。前人的研究主要集中在熟語特征及翻譯、中西方熟語的比較、熟語的分類及其中的隱喻等，且著重宏觀層面研究，鮮有涉及微觀層面即方言中的熟語。方言的歷史遠于普通話的歷史，方言中的熟語才真真正正是千百年來漢民族經驗和智慧的結晶。

Fauconnier與Turner創建的概念整合理論中的“概念整合”是在自然語言意義構建過程中的一種極為普遍的認知過程。王文斌（2004）認為，概念整合理論是關于言語交際過程中各心理空間相互映射并產生互動作用的系統性闡述，其宗旨是試圖揭示言語意義在線構建背后的那座認知冰山。本文以臺州方言中的熟語為研究對象，運用概念整合理論，分析臺州人民腦海中存在的地方熟語意義的心理表征，進而探討其背后動態的意義構建過程。

二、臺州熟語與概念整合理論

（一）臺州熟語

熟語用簡短但富有地方特色的語言來反映富有哲理、耐人尋味的道理；它是一種特殊的語言形式，是我國民間最為寶貴的語言文化特色之一；它反映了漢民族的思想內容，具有較強的民族特色和地方特色。自古以來，我國有很多精彩的熟語流傳下來，社會的發展促進了熟語數量的增加。

前賢側重研究普通話中的熟語，卻忽視了方言中的熟語。方言是中國語言最重要的組成部分。臺州位于浙江省東南部，四面環山，交通不便，以農業勞作為主。所以，臺州方言由于與外界缺乏交流而富有極強的地方特色。

（二）概念整合理論

概念合成理論的濫觴者是以Fauconnier和Turner為代表的一批美國學者。“概念合成”是指心理空間的合成，其中的心理空間，汪少華（2001）認為是指人們進行思考、交談時為了達到局部理解與行動之目的而構建的小概念包”。王文斌（2007）認為，心理空間指人們進行交談和思考時為了達到局部理解與行動的目的而構建的概念集。簡言之，概念合成指將兩個或兩個以上空間中的部分結構整合為合成空間中帶有層創特性的一個結構，運用在線的、動態的認知模式來構建意義。它是人類進行思維和活動，特別是創造性思維和活動時的一種認知過程。Fauconnier（1997、2002）指出，概念整合理論可用來解釋各種語言現象，如隱喻、轉喻、虛擬句、指示代詞、語法結構等。

概念合成一共包括四個相互聯系的心理空間：兩個輸入空間（輸入空I和輸入空間II），一個類屬空間和一個合成空間（見圖1）。

圖1（轉自廖揚，2007）

下面對圖1作簡單說明（引自王文斌：2007）：輸入空間I指隱喻中的始源域，輸入空間II指隱喻中的目標喻。這兩個輸入空間包含來自范圍的相關信息，也包含文化、語境及其它背景信息。類屬空間是一個較為抽象的組織和結構，包含來自于兩個輸入空間抽取出來的相匹配的相似的語義特征。合成空間指從類屬空間中繼承事件與結果的關系，并將兩個輸入空間中的成分和結構有選擇地對應起來，進而形成一個在一定程度上有別于原輸入空間的概念結構。合成空間中方框所指的新顯結構指當兩個輸入空間部分而又選擇地被映射到合成空間結構后，通過三種相互聯系的方式，即“組合”“完善”和“擴展”的共同作用而產生的結構。這個新顯結構的產生過程就是意義的演變和形成過程。

三、臺州熟語的概念合成闡釋

熟語既有字面意義，又有隱喻意義。熟語的使用語境已經超越了最初的語境，使得其意義與現實世界中所指的現實事件聯系起來。張輝（2003）指出，熟語的初始來源域和抽象目標域可根據話語語境納入到熟語空間中去，并在熟語空間與話語感知空間的整合中影響到熟語的理解和意義建構。王紅梅和董桂榮（2006）認為，語境在熟語等理解中具有重要作用，語境可以為意義的即時構建提供具體信息，促成層創結構（即新顯結構）的產生，從而完成概念整合。因此，熟語空間和話語感知空間的共同整合導致了熟語意義的產生。運用概念整合理論，我們能從一個全新的視角來理解和闡釋臺州熟語的認知動因和推理機制。下面以幾條臺州人民口語中常用的熟語為例，分析說明其中的動態意義構建過程。

（1）鄰居A：誰把我家的桌凳拿走了，講都不講一下，讓我找也找不到。

鄰居B：不要擔心，這些東西不會丟的。你不在家時，可能有人過來拿去用一下啦。

鄰居C：（鄰居C過來歸還桌凳時）：大姐，我來借的時候，你不在家里。事情比較急，我就先拿去用啦，你不要生氣，偷秧弗是賊。

輸入空間I：字面意義上的“偷秧弗是賊”是對種田人而言的。該熟語的意思是“偷秧的人不是小偷”。農民在插秧時節偷秧往往是為了緩解燃眉之急，那時被偷秧的農民對此是理解和包容的。所以，當人們急需某物而沒有，無奈拿了他人的東西時，會用這個俗語來進行辯解。這個熟語字面意義包含了各種成分：“偷秧的農民”“偷秧的農民的選擇”“秧”“丟失秧的農民”。

輸入空間II：鄰居C（拿桌凳的人）、鄰居C的選擇、“桌凳”、鄰居A（丟桌凳的人）。

類屬空間：行為者、行為者的選擇、行為者所拿去的東西、受損害的人。

合成空間：拿桌凳的人是情有可原的，應該得到理解，不應該受到責備。

對熟語“偷秧弗是賊”，聽者頭腦中會產生兩個輸入空間。一個是由當時的語境相關的話語感知空間，其成分包括鄰居C、鄰居C的選擇、“桌凳”、鄰居A；另一個是熟語本身構成的熟語空間，其成分包括“偷秧的農民”“偷秧的農民的選擇”“秧”“丟失秧的農民”。類屬空間對以上兩個空間的共有組織和成分結構進行抽象概括，并通過語境的作用使兩輸入空間相互匹配和對應連接，使得輸入空間II中的成分賦予新的涵義和價值，使成分得到壓縮，在心理空間之間相互映射，生成一個新的突顯結構，使熟語得到了具體語境下的解讀。因此，鄰居C的隱含意思：為解燃眉之急，鄰居之間應該相互理解。當急需某物而又難以聯系到物件的主人時，可以先拿走東西用一下，被拿走的那一方應予以理解。

運用該熟語，鄰居C隱含且委婉地說明了自己不應該受到責備。如此使用，鄰居C既維持了自己的面子，又取得了鄰居A的諒解。我們對習語的理解是一個瞬間過程，但在理解背后，是通過動態的在線推理才得到的相關結果。其概念整合網絡如下圖：

圖2

（2）學生的家長A：你幫我跟領導講一下吧，這件事情是我家小孩錯了，他不應該去玩游戲。幫我求情一下啦。

學生的班主任B：你知道校長的脾氣的，和他講是沒有用的。你讓我去求情，不就是牽牛上板壁，我也做不到的。

輸入空間I：“牽牛上板壁”意思和“趕鴨子上架”類似。該熟語意思是“讓牛上板壁是不可能的事情”，說明這個牽牛人了解牛。寓意是某人在不知道另外一個人能力的情況下強迫他做超出能力范圍的事情。這個熟語字面意義包含了多種成分：“牽牛的人”“牛”“牽牛人強迫牛做的事情”。

輸入空間II：“學生的家長A（找人幫忙辦事的人）”“學生的班主任B（被要求幫忙辦事的人）”“幫A的小孩跟校長求情”。

類屬空間：行為發出者、行為承受者、發出的行為。

合成空間：不能要求別人做其能力范圍之外的事情。

對熟語“牽牛上板壁”，聽者頭腦中會產生兩個輸入空間。一個是由當時的語境相關的話語感知空間，其成分包括“學生的家長（找人幫忙辦事的人）”“學生的班主任B（被要求幫忙辦事的人）”“事件（幫A的小孩跟校長求情）”；另一個是熟語本身構成的熟語空間，其成分包括“牽牛的人”“牛”“牽牛人強迫牛做的事情”。新生成的突顯結構使熟語得到了具體語境下的解讀。因此，我們便知道了B的隱含意義：A對B提出的要求，B是無法完成的。對于B來說，這無疑是超出其能力范圍的。

運用該熟語，B隱含且委婉地說明了自己無法向校長幫A的小孩求情。如此使用，B既維持了自己的面子，又生動地向A表達了不是自己不愿意，而是這確實是其難以完成的事情。其概念整合網絡如下圖：

圖3

（3）女兒A：媽媽，今天我們去看病吧。你的病再不去看是肯定不行的啦。

媽媽B：不去。看病錢這么貴。病自己會好的，干嘛要花錢去看病？

女兒A：不行。一定要去看病。不去看病，錢是省了，但病越來越嚴重。不就是大水牛推（擬音字，沖）去，涼帽花拾轉。

輸入空間I：“大水牛推（擬音字，沖）去，涼帽花拾轉”的意思和“丟了西瓜撿了芝麻”類似。“涼帽花”指破舊的箬帽，洪水沖走了大水牛，放牛的人只撈回破箬帽。這個熟語的意思是“譏諷某人迂笨，不想辦法挽住大利益，卻在那兒撈取蠅頭小利。”這個熟語字面意義包含了多種成分：“放牛的人”“大水”“牛被水沖走”“撿回涼帽花”。

輸入空間II：“媽媽”“病”“病情加重”“省鈔票”。

類屬空間：行為者、事件引發源、事件負面后果、事件偽正面后果。

合成空間：為了省錢不去看病，錢雖然省下來了，但是病情卻越來越嚴重，得不償失。

對熟語“大水牛推去，涼帽花拾轉”，聽者頭腦中會產生兩個輸入空間。一個是由當時的語境相關的話語感知空間，其成分包括“媽媽”“病”“病情加重”“省鈔票”；另一個是熟語本身構成的熟語空間，其成分包括“放牛的人”“大水”“牛被水沖走”“撿回涼帽花”。新生成的突顯結構使熟語得到了具體語境下的解讀。因此，我們知道了女兒A的隱含意義：A要求媽媽B不要為了省錢而放棄看病。錢雖然能省下來一些，但是病越來越厲害，最后要花大錢去看原本可以用小錢就能看好的病。

使用該熟語，女兒A向媽媽B委婉表達了自己的不滿，覺得媽媽是沒抓住主要問題，得不償失。其概念整合網絡如下圖：

圖4

通過以上分析可知，熟語的隱喻意義理解關鍵是熟語本身空間和話語感知空間的概念整合。通過這種動態的在線整合過程，熟語可在新的話語語境中得到具體闡釋。

臺州方言中還有很多熟語可在概念整合理論下得到解釋。如：熟語“人家嘸主腦，種些雜納稻”就是指一戶人家沒有主心骨，日子過得亂糟糟的，如同田里種著“雜納稻（雜七雜八、好好壞壞摻和在一起）”。“稻桿繩落水——假緊”的字面意義是指稻桿繩浸到水里一下子變得緊實，撈出來一曬，它便恢復蓬松的原狀。人們借此熟語諷刺那些臨時表現積極的懶人。“爛污田翻搗臼——越陷越深”①的字面意義是滿是稀泥漿的水田，石臼滾下去，越是翻動，陷得越深。人們借此熟語來形容人深陷絕境，越是掙扎，陷得越深。臺州方言中還有很多極具地方特色的熟語，這些熟語在具體話語語境中都可以運用概念整合理論來得到解釋。這些熟語意義構建過程就是概念的整合過程。

四、結語

人們對熟語的理解是一個較為復雜的且是互動的在線認知心理過程。Fauconnier和Turner的概念整合理論通過多個空間相互作用從而建構意義，為熟語的在線建構提供了一個全新的視角。熟語動態意義的建構同時展示了人們對熟語的抽象認知過程。它是在話語感知空間和熟語本身空間共同作用下得到闡釋的，這不僅要求對話雙方都熟悉熟語涉及到的相關知識，而且要求對語境具有一定的感知能力。概念整合理論所具有的強大的闡釋力和分析力能夠闡釋臺州熟語背后的認知動因，有助于我們更加明確了解臺州方言中熟語的認知機制和邏輯推理過程。

注 釋：

①上文熟語使用語境本應該用方言形式。但為便于理解，本文采用

普通話形式。熟語仍用方言形式。

參考文獻：

[1]Fauconnier，G.Mappings in Thought and Language[M].Cambridge：Cambridge University Press，1997.

[2]Fauconnier，G.& M.Turner. The Way We Think[M].New York：Basic Books，2002.

[3]廖揚.概念復合理論對廣告語中漢語熟語翻新的認知闡釋[J].西南農業大學學報（社會科學版），2007，（5）.

[4]王紅梅，董桂榮.概念整合理論與習語的理解[J].安徽理工大學學報，2006，（3）.

[5]汪少華.合成空間理論對隱喻的闡釋力[J].外國語2001，（3）.

[6]王文斌.概念整合理論研究與應用的回顧與思考[J].外語研究，2004，（1）.

[7]王文斌.隱喻的認知構建與解讀[M].上海：上海外語教育出版社，2007.

篇（7）

以《中心對稱》中概念中心對稱圖形學習為例：硬紙條――線段AB的中點O用圖釘釘在小黑板上，讓學生演示線段AB繞著它的中點O旋轉多少最少的角度后的線段和原線段重合，即點A的位置轉到點B的位置， 點B的位置轉到點A的位置；再演示硬紙制作的平行四邊形ABCD，把平行四邊形ABCD硬紙繞其對角線交點O旋轉多少最少的角度后的平行四邊形和原平行四邊形重合，即點A的位置轉到點C的位置， 點C的位置轉到點A的位置，同樣點B的位置轉到點D的位置， 點D的位置轉到點B的位置，類似地，矩形、正方形、菱形等都具有這種性質，即圖形繞著某點旋轉180°后的圖形與原圖形重合，而等腰三角形、正三角形沒有這種性質，從而引出中心對稱圖形的定義。

二、辨析

在對概念有初步理解之后，可以適當舉一些概念判斷題讓學生辨認比較，有利于澄清學生的錯誤認識，使學生在實踐中自我檢驗所學概念的掌握程度和運用能力，有利于對概念的準確理解。負數概念是用描述性語言給出的，如，等，在數（除零外）前面放有負號的數叫做負數，所以學生容易被表面現象“-”所迷惑，這時在引進了字母表示數以后，我們可以舉些反例，如a是負數嗎？3a一定小于4a嗎？2+a一定大于2-a嗎？等來加深對負數概念的理解。又如在學習了最簡二次根式的概念后，讓學生辨析下列各式：，，等，哪些是最簡二次根式？哪些不是？為什么？通過這樣的練習，培養學生運用概念作簡單判斷的能力，而每做一次判斷，概念的本質屬性就在學生的思想里重復一次，達到再進一步理解新概念的目的。

三、比較

有比較才有鑒別。對于容易混淆或難以理解的概念，只有經過多次的對比分析和練習，才能達到正確理解的目的，運用比較的方法有助于學生抓住概念的本質，正確把握概念的本質。例如：等式與方程、方程的解與解方程、因式分解與整式乘法、平方和與和的平方等，學生常常分辨不清。教學時可引導學生找出它們的異同點，加深對概念的理解。等式和方程是既有聯系又有區別的兩個概念，等式是表示相等關系的式子，它包含兩種：一種是恒等式，如2+3=5，a+b=b+a不論a、b取何值等式總能成立；另一種是條件等式，如3+x=7，只有當x=4時，等式才能成立，否則不成立。像這種含有未知數的等式就是方程。這說明方程必須同時滿足條件：①含有未知數、②等式。又如平方和與和的平方可比較它們的運算順序：平方和是先平方再求和，即a2+b2；和的平方是先求和再平方，即（a+b）2。因式分解與整式的乘法可以比較運算結果：因式分解是把多項式分解成幾個因式的乘法，如x2-y2=（x+y）（x-y）；整式的乘法是把幾個因式的乘法化成多項式，如（x+y）（x-y）=x2-y2。有些難以理解的概念，還可通過比較化難為易，揭示本質，例如：比較兩個代數式12a2b2c和8a3xy的共同點；比較正方形和正五邊形的異同點；等等。

四、類比

有時，通過概念的類比，可以更好地理解概念。如：分式與分數、不等式與方程、相似三角形與全等三角形等類比，這樣類比之后，溫故知新、互相裨補，加深概念理解的效果。例如：學生是以直接定義的方式學習梯形的概念，可以與自己認知結構中的有關概念平行、四邊形、四邊形的對邊聯系起來思考，認識到梯形是原有四邊形特殊的一類，從而明確它的內涵與外延，通過討論梯形的各種特例，如直角梯形、等腰梯形等，進一步突出梯形的本質屬性，與原有的一些概念（如平行四邊形）區別開來，并相互貫通組成一個整體，納入原有概念（四邊形）體系中，再學習例題、解答習題，特別是通過讓學生辨認肯定例證及否定例證（其中包括一些變式圖形），加深對梯形概念的理解，使它在認知結構中進一步得到鞏固。

篇（8）

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673－291X（2011）20－0242－02

我國從2000年開始組織人員在進行各項調查、研究及廣泛征求社會各界意見的基礎上編寫出全國或地方范圍內適用的課程標準。這些新的課程標準的共同點在于：新的課程體系不僅要讓學生掌握基本的數學知識和技能，更要求教師努力創設一些情景、設計一些活動讓學生經歷數學知識發生發展的過程，提供學生親身體驗的機會。例如：

《普通高中數學課程標準（實驗稿） 》[1]中指出：“數學課程要講邏輯推理，更要講道理，通過典型例子的分析和學生的自主探索活動，使學生理解數學概念、結論逐步形成的過程，體會蘊涵在其中的思想方法，追尋數學發展的歷史足跡，把數學的學術形態轉化為學生易于接受的教育形態。”

《上海市中小學數學課程標準（試行稿）》[2]：“數學課程不僅應重視教學的內容和要求，更應充分關注課程中的學習過程，創設有利于學生、教師發揮主體性和創造性的條件。要遵循認知心理發展的規律，合理組織教學內容；要用知識的發生、發展、形成和應用的過程，加強數學學習的活動，提供學生親身感受、體驗的機會。”

下面以最近教學的《數學期望》這一內容為例來說明。與其他絕大多數的概率統計的概念一樣，數學期望也是在現實生活的基礎上抽象出來的數學概念，但是較之于平均數、方差、（古典）概率等概念，它的抽象過程要復雜得多，因此也難懂得多。如果沒有充分認識到這一點，那么，對于數學期望這一概念的教學，教師一般會依照教材先介紹數學期望的定義及其計算公式，然后通過一些例子練習數學期望的應用，名為應用，實際上就是套套公式，學生很快就學會了，教師和學生都已覺索然無味，一節課的時間卻還沒用掉。如此，應付考試足矣。可是，對于數學期望究竟是怎么回事，學生最終還是一片茫然。根據新的課程標準，這種不管知識的來龍去脈，只把學生當成機器強行填塞的做法實在欠妥。

經過再三斟酌，我們這樣來上“數學期望”這節課：

師： 同學們，大家已經知道現實生活中有許多可能發生也可能不發生的隨機事件，隨機事件發生的可能性的大小可用什么數學語言來描述呢？

生：概率。

師：對！而且在理論上，常在古典概型條件下計算概率；在經驗上，常用頻率（經驗概率）作為概率的近似值，即大數定律。請完整地敘述一下大數定律。

生：頻率在大數次重復試驗中穩定于某一常數（概率）。

師：剛才提到古典概型，古典概型的特點是什么？

生：（1）基本事件全集只包含有限個基本事件；（2）每個基本事件的出現具有相等的可能性。

師：大家知道，概率統計是一門應用性很強的數學分支。上周末我去莫干山旅游，途中一個擺地攤的人引起了我的興趣。他用20枚簽（其中，10枚標有5分分值，10枚標有10分分值）設局，讓游客從中抽出10枚，以10枚簽的分值總和為獎、罰依據。具體獎罰金額見表1[3]：

如果是你，你愿意參加這個游戲嗎？

生甲：我當然愿意。分值總共有11種，中大獎的分值有2種，輸錢的分值不過3種。似乎中獎的機會還是蠻大的！而且就算輸錢的話， 也就輸1元，可是贏的話卻能贏10元或100元。

生眾：沒那么簡單吧，那個攤主肯定是為了賺錢而不是賠錢……

師：對！那他是怎樣賺到錢的呢？同學們能不能幫他算一算？譬如說，游客中獎的機會到底有多大？是不是剛才生甲所說的2/11？

生：應該不是。因為出現上面每個分值的可能性不一定相同。這與古典概型要求每個基本事件的出現具有相等的可能性不符。

師：對！下面請大家用正確的方法計算上述四個隨機事件的概率。為了提高效率，大家分組完成。第1、2、3、4組分別計算獎100元、獎10元、不獎不罰、罰1元的概率是多少。

給學生一定的時間計算、研究。

第四組學生代表上來演示：

當抽到6個5分簽，4個10分簽時得70分；當抽到5個5分簽，5個10分簽時得75分；當抽到4個5分簽，6個10分簽時得80分，抽到這些結果分別有C×C，C×C，×C種。從20枚簽中抽取10枚的取法共有C＝184756種。所以輸1元錢的概率是：

＝≈0.82110

師：很好，你說得太好了。下面請其他組的同學展示計算結果。

……

師：下面我把四個小組的研究的情況進行一番剪拼，我們會看到一個有趣的結果：

當抽到10個5分簽，0個10分簽時得50分；

當抽到9個5分簽，1個10分簽時得55分；

當抽到8個5分簽，2個10分簽時得60分；

當抽到7個5分簽，3個10分簽時得65分；

當抽到6個5分簽，4個10分簽時得70分；

當抽到5個5分簽，5個10分簽時得75分；

當抽到4個5分簽，6個10分簽時得80分，

當抽到3個5分簽，7個10分簽時得85分；

當抽到2個5分簽，8個10分簽時得90分；

當抽到1個5分簽，9個10分簽時得95分；

當抽到0個5分簽，10個10分簽時得100分。

你們能看出其中的規律嗎？

生：5分簽的個數從0至10依次增大，同時10分簽的個數從10至0依次減小。

師：對。由此可以看到，如果我們按照抽到的10分簽（或5分簽）的個數（0個至10個）進行分類，就可以有條不紊地列出所有的情況。由此可見分類討論的好處。同時，把所有的情況一一列出的方法叫做窮舉法，大家不要忘記這也是一種重要的數學方法。

下面我們對計算結果進行匯總、分析。我們用X來表示獎罰金額。“X=n”表示贏得n元這一隨機事件，在這個問題中n可取-1，0，10，100四個值，n取不同值時“X=n”的概率是不同的。把同學們的計算結果用表2匯總就是：

請同學們解釋一下表格中的數據說明了什么問題？

生：通過表格中的數據，我們可以了解到要想得大獎的希望實在是太渺茫了，而輸錢的可能性卻很高。

師：是啊，當時我就站在地攤旁邊，不動聲色地算了半天，然后對攤主說了上面這番話。可是攤主卻說：“被罰錢的概率是很大，但是罰額很低啊！贏得大獎的概率小，但是獎額很高啊！兩者互相扯平，剛剛好！”被攤主這么一說，我就糊涂了。我覺得他說得很有道理，但是又覺得他不可能不賺錢。那他到底能賺多少錢呢？同學們能不能計算一下？

學生一片茫然。討論了一陣子，有人說：

我覺得把上表每列的數據分別相乘然后加起來就是每人能從游戲中掙到的錢。

師：這個結果是多少？

生：還沒算……哦，是-0.81元。

師：“-0.81元”的含義是什么？是說每個人都要輸給攤主0.81元嗎？可是要輸的話總是輸1元，怎么會是0.81元呢？

生：哦，大概是平均每人輸給攤主0.81元吧。

師：為什么把上表每列的數據分別相乘然后加起來就是平均每人輸給攤主的錢？

生：這個……只是感覺，我也說不清為什么。

師：你剛才提到平均值，那我們就來計算一下平均值吧。假設有m個人參加游戲，那么就應該有82.11%的人贏-1元錢，17.78%的人贏0元錢，0.10825%的人贏10元錢，0.0010825%的人贏100元錢，那么平均每個人贏的錢應該如何計算？

生：

X＝

＝-0.81（元）

師：他的感覺是對的！原來這樣計算出來的真的是平均值！剛才的算式的值顯然與m的值無關，那么，是不是說無論幾個人去參加游戲，總是平均每人輸給攤主0.81元？實踐是檢驗真理的唯一標準，我這里準備好了游戲中所需的材料，下面請10個同學上來抽一下簽，然后我們來計算一下平均值。

學生抽簽、計算。

師：實際的結果是0.1元，與-0.81元嚴重不符。這是怎么回事？

生：我認為是算式與人數有關。因為在算式中用到了概率的值，根據大數定律，只有在大數次的重復實驗中，頻率才會穩定于概率。所以在實際的游戲中，參加的人數越多，平均每人輸給攤主的錢就應該越接近0.81元。

師：你說得太好了！由于概率是一個理論值，所以-0.81也是理論值，是我們根據大數定律期望能得到的理論上的平均值，數學上稱之為數學期望。數學家正是根據現實生活中許許多多類似于剛才這樣的例子，抽象概括出了數學期望的這一數學概念。請大家根據剛才的例子，嘗試自己給數學期望下一個定義。

得出數學期望的定義之后，利用課本上的例題和練習熟悉一下數學期望的計算公式，特別要強調學生對運算結果的實際意義的正確理解。

作業：利用今天所學的數學知識為某商家的某產品設計有獎促銷方案，并討論它的可行性。

通過課堂現場感知和事后課堂錄像的分析，可以肯定我們對“數學期望”的教學設計是成功的，是受到學生普遍歡迎的。我們認為，這樣的教學最大的成功之處在于合理設置了情景（攤主設局，到底如何賺錢），隨著情景的不斷展開，一個個問題（你愿意參加這個游戲嗎；游客賺錢的機會到底是多大；獎罰是扯平的嗎；攤主到底能賺多少錢；為何現場抽獎結果與事先計算結果不符；等等）自然產生，有效地激發了學生的好奇心和探索欲望，在問題解決的不斷驅動下，讓學生親身經歷了數學概念的形成過程，并進行應用（解數學期望應用題及利用數學期望設計有獎促銷方案），從而獲得了對數學期望這一數學概念的深刻理解，并有利于學生正確的數學觀的形成（例如，數學與現實世界是緊密聯系的，數學概念是從現實世界中抽象出來并有著廣泛應用的；探索數學是有趣的；等等）。

參考文獻：

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一、前言

合作學習模式既是探索新課程改革中教學模式突破口的一個重要切點，又是高度契合素質教育精神的一種新型課堂教學形式。在教師的指導之下，鼓勵學生參與教學活動，并進行自主探索與合作交流，這是初中數學新課程標準對于初中數學教學改革的原則性要求。在本文中，我結合自己的教學經驗，參照相關學習理論，總結了一套提高基于合作學習理念的初中數學教學效果的方法和措施。

二、提高初中數學合作學習模式實效性的策略

不少的教育專家均承認，如果是單純地將學生劃分為一個一個學習小組，并要求每個小組成員進行合作，這根本無法保證學生達成“合作學習”的目標。換言之，小組合作學習模式效果的發揮需要眾多因素的參與，也只有這些參與因素的協調與配合，才能夠在真正意義上達成小組合作學習的目標。我結合相關理論和教學實踐，在下文中給出了提高初中數學合作學習模式實效性的若干策略。

1. 端正認識。合作學習模式之所以不同于傳統的教學模式，主要是因為處于同一小組的學生需要依照明確的分工來共同完成預定的學習目標。簡言之，團隊精神對于合作學習模式而言至關重要。組員之間不僅分工明確，而且還需要相互幫助，除了知識的學習之外，學生往往需要更多的時間去傾聽、參與、交流，因此，能力培養尤為合作學習模式所看重。教師和學生對此必須要有深刻的認識。

2.劃分小組。學習小組劃分得是否科學合理將直接影響日后的學習效果。因此，教師在進行小組劃分時必須要充分考慮學生的性格、性別、興趣、成績等多種因素，參照“組內異質、組間同質”的基本分組原則合理劃分學習小組。在小組成員數量方面需要進行有效控制，建議每個學習小組包括四至六名學生為最佳；同時，為了能夠調動學生參與的積極性，保證每個組內成員擁有同等參與機會，應該讓每一個組員均擔任一定角色（如組長、發言人、記錄員等），并且每一個角色由組員定期、輪流擔任。

3.明確分工。明確的分工有利于小組內部成員各司其職，也有利于查找學習任務進行不順利的根源。所以，教師在完成分組之后，需要為每一個小組明確合作學習的目標與任務，并幫助學生合理劃分組內職能。另外，建議制定一份合作學習的操作程序（包括學習任務的意圖、要求、方法、步驟等信息），并認真講解給同學聽，為初次合作學習提供行動指導。因為團隊精神對于合作學習的成敗有著至關重要的作用，所以，教師應該重點培養每一個組員的合作意識與合作精神，并積極構建組員之間的依賴關系，使他們覺得能夠與小組成員分享自己的學習成果是一種榮譽。

4.設計內容。作為一種教學模式，合作學習是突破學生和學生之間、教師和學生之間心理壁壘的有效途徑，更是實現師生合作、生生合作的重要方法，它能夠有效培養學生的自學能力和自我督促能力。但是，需要我們注意的是，并不是所有的初中數學內容（包括指定需要合作學習的內容）均適合采用合作學習模式。在設計合作學習內容的時候，需要充分考慮問題難度、學生素質、教材內容以及教學目標等多種因素，最后做出最優的選擇。

5.過程管控。在開展小組活動時，常會表現出一些問題，教師要有效地進行調控。當小組提前完成任務時，應檢查他們是否正確完成了任務；發現小組討論混亂無序時，要耐心講解，幫助學生盡快進入有效的討論；討論偏離主題時，要及時發現，及時制止，將學生引回到任務中來。

6.典型示范。合作學習結束后，要給學生充分展示成果的機會，并給予及時的反饋和總結，做到善始善終。教師要盡量讓更多的小組充分展示其成果，每位學生的發言都是代表小組的意見而不是哪個人的想法。其他組的成員有不理解的地方可以向發言小組的成員提問。

所以，落實初中數學的合作教學模式，絕對不能夠照搬理論、硬套模式，需要結合當時的實際情況，并及時解決應用過程中的各種問題，使其最符合當時的教學實際情況，如此才能夠滿足學生的個性化學習需求，并實現學習時間的靈活調配。總而言之，在落實合作教學模式的過程中，應該認真組織學習進行充分溝通，調動學生參與的積極性，不僅要求組員之間相互合作，還要求組員之間相互鼓勵進行探索，彰顯合作學習的精神價值。

參考文獻：

[1]黃安成.自主探究 合作交流 挑戰競爭 師生雙贏――學習《數學課程標準》改進課堂教學[J].數學通報.2004（08）.

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中圖分類號：R654.1 文獻標識碼：A 文章編號：1009_816X（2013）04_0295_03doi：10.3969/j.issn.1009_816X.2013.04.15

近年來，體外循環心臟手術后死亡率顯著下降，但術后神經系統并發癥仍高居不下，尤其是術后短期認知功能障礙成為術后主要并發癥之一，引起人們高度關注。資料顯示，體外循環心臟手術后短期認知障礙發生率33%～83%，其中一部分患者可存留長期或永久認知缺陷[1，2]。體外循環中腦代謝異常與術后認知障礙密切相關，而腦血流量與血PaCO2的變化成正相關。體內乳酸水平的高低是目前評判體外循環術后預后的一個常用指標，乳酸能夠反映機體氧供是否充足，從而來判斷患者的腦代謝情況。體外循環后出現認知功能障礙是否與術中血PaCO2及乳酸水平有關，目前報道較少。本研究對60例體外循環下老年心臟手術患者進行了觀察，將其中發生術后認知功能障礙與未發生的患者術中血PaCO2和乳酸的水平進行了分析，現將結果報告如下。

1 資料與方法

1.1 一般資料：收集本院2009年至2011年收住的年齡大于60歲需在體外循環下行心血管手術的患者60例，其中男38例，女22例，ASA分級Ⅱ～Ⅲ級，手術種類包括冠狀動脈搭橋術、瓣膜置換術及大血管手術等，全部病例排除活動性肝病、中風后遺癥，神經和精神系統疾病或服用相應藥物的患者，排除有溝通能力障礙，不愿意或不能完成神經精神功能測試的患者，及體外循環時間少于60分鐘者。

1.2 麻醉方法：患者入室后監測血壓、心率及脈搏氧飽和度等，開放外周及中心靜脈，麻醉誘導前局麻下行橈動脈穿刺監測動脈血壓及平均動脈壓。誘導劑量為咪唑安定0.02～0.04mg/kg，依托咪酯0.2～0.4mg/kg，芬太尼5～10ug/kg，維庫溴銨0.2～0.3mg/kg靜脈注射誘導氣管插管，芬太尼，維庫溴銨間斷使用維持麻醉，輔以七氟醚吸入。

1.3 體外循環方法：患者手術中均使用進口膜式氧合器，JOSTRAL體外循環機、一次性成人CPB血管路和進口微栓過濾器，常規肝素化（400U/Kg），預充成分為復方乳酸鈉注射液1000～1500ml，羥乙基淀粉（商品名：萬汶）1000ml，20%人血白蛋白、25%硫酸鎂（0.6ml/kg），5%碳酸氫鈉，10%葡萄糖酸鈣和10%氯化鉀等以維持術中正常血氣和電解質平衡。患者采取股動脈-右房插管或者采用升主動脈-右房或上下腔靜脈插管。轉流中維持紅細胞壓積（hct）在25%～30%，灌注流量2.4～2.8L/m2·min，平均動脈壓（MAP）60～90mmHg，混合靜脈氧飽和度在0.7以上。心肌保護方法為4∶1冷含血停跳液，15～20ml/kg主動脈根部灌注或左、右冠狀動脈口直接灌注，每30分鐘復灌一次，劑量減半。必要時結合經冠狀動脈竇持續逆行灌注心肌保護液（灌注壓力40mmHg）和經移植血管橋灌注。開放升主動脈后，即刻給予利多卡因100mg。術前腎功能異常患者，術中積極利尿，必要時采用血濾器進行超濾。術前合并糖尿病患者，術中常規監測血糖，并控制在12mmol/L以下。

1.4 數據收集及分析：收集所有患者術前（T0），體外循環并行后（T1），心肌阻斷60分鐘（T2），三個時點的血PaCO2及乳酸水平情況。MMSE是評價患者認知功能的常用方法，包括記憶力、語言、回憶及空間定向力等方面，其敏感度為87%，特異度為82%，故假陽性和假陰性率均較低，且簡便易行[3]。MMES最高分為30分，23分或低于23分為判斷認知功能受損害的指標，下降2分以上為認知功能下降的指標。分別于術前（Ta），病人醒后24h（Tb）對病人進行測試。按術后是否出現認知功能損害，將出現認知功能損害的患者分為P組，未出現認知功能損害的患者分為N組，并將兩組患者的血PaCO2、乳酸水平進行比較分析。

1.5 統計學處理：使用SPSS13.0統計學軟件進行數據處理，計量資料以（x-±s）表達，組間比較用t檢驗，各時點檢測值間的比較用方差分析，計數資料比較采用卡方檢驗。P

2 結果60例患者中，有27例出現了認知功能損害（MMSE小于23分，或者下降大于2分以上），我們將其歸為（P組），其中男17例，女10例，年齡64～76（66.7±8.4）歲，體外循環時間（78.4±16.8）分；33例未出現認知功能障礙的患者稱其為（N組），其中男21例，女12例，年齡60～72（63.4±9.2）歲，體外循環時間（71.7±22.0）分。兩組患者性別、年齡等差異無統計學意義。

3 討論術后認知功能障礙（POCD）屬于輕度神經認知障礙，其特征是由一般的醫療處理引起而又不屬于譫妄、癡呆及遺忘等臨床類型，最重要的是其診斷需經神經心理學測試。POCD表現為患者在麻醉、手術后出現記憶力與集中力等智力功能的損害，在老年患者中易被誤診為癡呆惡化，它可能是某些嚴重基礎疾病（如急性心肌梗死、肺梗死、肺炎及感染等）的最初或唯一表現，而心臟手術由于往往要經歷體外循環，其發生率較高，但測試方法及患者年齡和種族的不同，發生率差異較大[4，3]。本研究60例患者中有27例出現了不同程度的認知功能損害，發生率為45%，因為本研究所選的患者為老年患者，故其發生率較高，這與國內外文獻報道相符。

本研究顯示，盡管兩組患者的血PaCO2水平均在正常范圍，但未發生術后認知功能損害的患者與發生術后認知功能損害的患者比較，其心肌阻斷后60分鐘的血PaCO2要高，其結果有統計學意義。腦動脈和小動脈的管徑對血管周圍的pH改變非常敏感，酸中毒導致血管擴張，堿中毒則使血管收縮。pH每變化0.1，小動脈的直徑可改變7%左右。雖然氫離子和碳酸根離子不能通過血腦屏障，但是二氧化碳可以通過小動脈彌散，改變腦細胞內環境的pH值，故PaCO2在生理范圍內，腦血流對PaCO2的變化非常敏感[5]。PaCO2每增加1mmHg，腦血流增加約2ml/100g/min。PaCO2低于25mmHg或高于100mmHg，上述變化關系降低。動物實驗表明急性肺泡過度換氣使PaCO2降到20mmHg以下，可以使腦血流減少到缺血狀態。在患者PaCO2低于20mmHg以下時，引發腦電圖（EEG）異常改變和感覺異常；這些異常可以被高碳酸性氧合所糾正，這進一步證明過度腦血管收縮易致腦組織缺氧[7]。因此，我們認為，在體外循環時維持適當的相對較高的血PaCO2，能增加患者的腦血流量，從而改善患者大腦的氧供，進一步降低患者術后認知功能障礙的發生。

目前大量的研究已經證實，體外循環術中術后機體都有一定程度的缺氧，乳酸是細胞無氧代謝的特異產物，機體在氧耗異常增多或氧供不足及細胞利用氧發生障礙時乳酸增多，發生乳酸酸中毒[8，9]。乳酸水平對于術后循環及預后的影響已有較多的研究。本研究顯示，術后認知功能損害的患者與未出現認知功能損害的患者比較，其在不同時點間的乳酸水平差異無統計學意義。出現這種情況的原因可能與乳酸常用來反映全身氧耗的情況，而對于微環境的氧耗的評估不是非常的敏感有關。

綜上所述，體外循環中患者血PaCO2的水平對術后認知功能有一定的影響，維持較高水平的PaCO2對于減少認知功能的損害或許有益，但本研究的不足之處在于樣本量過少，以及PaCO2對術后認知功能的影響有待進一步的定量分析。

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