高中數(shù)學競賽匯總十篇

序論：好文章的創(chuàng)作是一個不斷探索和完善的過程，我們?yōu)槟扑]十篇高中數(shù)學競賽范例，希望它們能助您一臂之力，提升您的閱讀品質(zhì)，帶來更深刻的閱讀感受。

篇（1）

隨著高中新課程的實施，高中課程體系已發(fā)生了巨大的變化，在原有課程基礎上突出了多元化選修課程的開發(fā)和運用。不少學校正在著手進行多個領域選修課程的開發(fā)和走班教學的實施。競賽類輔導恰好適合這一要求，競賽輔導從選拔到培訓與選修課程多元化的分層分類教學實施剛好吻合。深化課程改革為競賽輔導贏得了一片廣闊的天地。

在新形勢下，高中數(shù)學競賽輔導勢必需要進行相應的改革，而高中數(shù)學競賽課程化必將是這一改革的主要方向。所謂的課程化就是開設一系列高中數(shù)學競賽課程，允許不同層次不同年級的學生選擇，以各種形式開展輔導和教學質(zhì)量考核，使之變成一門學校系統(tǒng)化的課程。它可以使學有余力的同學獲得更廣泛的空間，使有興趣的數(shù)學愛好者選擇到喜歡的選修課，使參加數(shù)學競賽各級賽事的同學有針對性的輔導，使沒有得獎的參與者獲得課程學分，使更多的學生能對數(shù)學學習感興趣。我們認為，高中數(shù)學競賽課程化必須做好以下四項工作。

一、制定課程教學方案

競賽輔導工作是中學數(shù)學教學的重要組成部分。“課堂教學為主，課外活動為輔”是必須遵循的競賽原則。在這樣的原則指引下，必須通過制定競賽輔導活動的課程大綱，建立明確的活動目標體系和系統(tǒng)的競賽輔導規(guī)劃，使學科競賽輔導更加科學規(guī)范。目前不少中學已經(jīng)在選修課中實行學分制，可以配備專業(yè)指導教師，把競賽輔導變成既有組織又有開放靈活性的課程活動。通過參加各個層次的數(shù)學競賽，為學生提供展示數(shù)學才能的舞臺，讓學生在競賽中體驗樂趣，數(shù)學競賽活動課程化就是將每一項輔導活動都按照課程實施步驟進行，做到“六個有”，即有規(guī)劃、主題、有目的、有內(nèi)容、有實施、有評價。在每學期開學都必須由教研組專人負責或是教學大綱、課程方案等內(nèi)容上報教務部門。

二、充分挖掘課程資源

建立良好的數(shù)學競賽氛圍，才會有廣泛的學生基礎，也就更能從中選拔出拔尖的數(shù)學人才。培養(yǎng)專業(yè)化的師資同樣需要學校的良好氛圍，這些都是課程資源的重要元素。建立數(shù)學競賽輔導專用教室，購置數(shù)學競賽書庫，提高競賽輔導課時津貼等措施，都是對課程開發(fā)開設的保障。競賽輔導教師充分研究競賽輔導教材，作為最基礎的競賽課程資源，合理科學地使用好輔導教材，能激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，拓展思維方式。多挖掘和介紹社會熱點資源，激起學生學習熱情，使學生產(chǎn)生解決問題的強烈欲望，體現(xiàn)了正面的數(shù)學競賽的教育價值。

三、規(guī)范課程教學行為

規(guī)范競賽輔導形式，從一對一到一對多的課程形式都加以明確，參與必須通過一定的基礎選拔，人數(shù)容量應有一定限制。為了切實達到教學效果和保證教學質(zhì)量，對于選課人數(shù)的限定具有一定的特殊性。原則上每門課的選課人數(shù)不應超過40人。可以采取每門課劃分AB班的形式來解決。將競賽輔導分為比賽型和興趣型，AB班不同難度不同側(cè)重，實行動態(tài)管理。比如，對參加比賽實力不足，但對數(shù)學學習有興趣的，編到B班，經(jīng)過一段時間學習，能力得到較大提高，有一定實力參加區(qū)域數(shù)學競賽的，允許換到A班。既可以激發(fā)興趣，也可以有不同的培養(yǎng)側(cè)重。在競賽輔導中，不僅僅是題海戰(zhàn)術的重復訓練，應強化學生數(shù)學素養(yǎng)的養(yǎng)成，數(shù)學能力的提高。讓學生在實踐中提高，在鍛煉中獲得成長。允許學生走出教室，在生活中尋找數(shù)學問題，拓展學生的視野；在數(shù)學學習中提高生活質(zhì)量，完善人格。

篇（2）

數(shù)學競賽是當今中國教育界的熱點之一，自上個世紀首先在匈牙利興起，很快就風靡了全世界，各種層次競賽吸引了眾多的學生參加，成為數(shù)學教育中一件非常重要的事情。在教學方法和教學成果開展上進行研究討論具有較高的學術價值。

1 高中數(shù)學競賽的定位

數(shù)學競賽又稱為數(shù)學奧林匹克，中學數(shù)學競賽是發(fā)現(xiàn)和培養(yǎng)優(yōu)秀學生的一個非常有益的課外活動。隨著數(shù)學奧林匹克活動在我國的開展，數(shù)學競賽已經(jīng)成為中小學數(shù)學課外一個不可缺少的活動，也成為我國數(shù)學教育實踐活動中非常重要的一個組成部分。作為數(shù)學課堂教學的補充，數(shù)學競賽能夠激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，在健康的競賽機制中，青少年參加數(shù)學競賽的學習活動，能夠激發(fā)他們的上進心和榮譽感，能培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力，提高學生的數(shù)學素養(yǎng)和綜合素質(zhì)。

應該說，高中數(shù)學競賽在本質(zhì)上也是一種基礎教育，但更強調(diào)素質(zhì)的培養(yǎng)和能力的發(fā)展。有人認為“高中數(shù)學競賽只是培養(yǎng)少數(shù)尖子”，這種看法其實與事實不符，從高中數(shù)學競賽中得益的決不是少數(shù)人。我們可以以奧運會為參照，具備奪金實力的只是寥寥數(shù)人，但參加體育活動卻使眾多的人體質(zhì)增強，整個民族對體育的興趣大增。高中數(shù)學競賽也是如此，通過競賽，可以影響眾多的學生，使他們對學科的興趣大增，從而使整個基礎教育的滲透面更廣。

2 高中數(shù)學競賽的內(nèi)容和試題特點

高中數(shù)學競賽的內(nèi)容不同層次的數(shù)學競賽對競賽內(nèi)容也有著不同層次的要求。一般來說，在高中數(shù)學競賽內(nèi)容的選取上有兩個方面的要求：一個只是完全參照學生所在學段的教學大綱的基本教學要求和內(nèi)容，試題的命制范圍不超出參賽學生所學內(nèi)容，只是在解題的方法和技巧上有所提高；另一個就是提高方面的內(nèi)容，有些是課外講授的知識，此類試題對學生的解題思維能力和數(shù)學知識面都有一定的要求。目前我國高中數(shù)學競賽內(nèi)容已日趨規(guī)范化和正規(guī)化，縱觀各地高中數(shù)學競賽內(nèi)容，基本考查的都是幾何、代數(shù)、數(shù)論和組合知識這四個方面的內(nèi)容。近年來，課程改革的實踐在一定程度上改變了我國中學數(shù)學課程的體系、內(nèi)容和要求。同時，隨著國內(nèi)外數(shù)學競賽活動的發(fā)展，對數(shù)學競賽試題所涉及的知識、思想和方法等方面也有了一些新的要求。

高中數(shù)學競賽試題的特點：高中數(shù)學競賽所涉及的內(nèi)容并不是簡單的中學數(shù)學教材所包含的知識范圍，因為有一些內(nèi)容在中學數(shù)學教材中并不講授，例如數(shù)論和組合知識就是大學數(shù)學的一部分。雖然這些題目都是以初等的語言來表述，并且對這些題目的解答在中學生解題的知識和能力范圍之內(nèi)，但是這樣的題目包含了大學數(shù)學的思想和方法，有著大學數(shù)學的背景。并且相對于條件明確、結(jié)論唯一、解法固定的傳統(tǒng)問題而言的。開放性的數(shù)學試題近年來在我國教育界受到了廣泛的關注和普遍的重視，在解決開放性問題的過程中能促進學生的數(shù)學思維，學生在思維中主動地構建知識，問題的多種解決方式能有效地培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識、發(fā)散性思維能力和創(chuàng)造能力。從題目結(jié)構形式上看，開放性試題主要具有以下特征：

層次性。開放性題解答的多樣性，決定了它能夠滿足各種層次水平的學生的需求，使他們都能在自己的能力范圍內(nèi)解決問題，從而體現(xiàn)出層次性。

不確定性。開放性題的不確定性是指問題中的條件、解題策略和結(jié)論均需解題者在情景中去設定和尋找。

非完備性。在開放性題中，要么條件不充足，要么結(jié)論被隱去，要么解題方法和依據(jù)不明確，因而其組成要素是不完備的。

探究性。開放性題的解答沒有固定的、現(xiàn)成的模式可循，解答者不能用常規(guī)方法去套用，必須經(jīng)過主動地思索自行設計解題方案。因而，開放性題的解決需要具有大膽的探索精神和一定的探索能力。

發(fā)散性。解答開放性題時，必須打破原有的思維模式，展開聯(lián)想和想象的翅膀，從多角度、多方位尋找答案，因而思維方向和模式呈發(fā)散性。

3 高中數(shù)學競賽對基礎教育的影響

3.1高中數(shù)學競賽是基礎教育科學文化的生動普及：高中數(shù)學競賽活動不僅推動了各國科學教育的交流，促進了科學教育水平的提高，增進了各國青少年學生的相互了解，而且激發(fā)了廣大中學生對基礎教育科學知識的興趣，有助于發(fā)現(xiàn)和培養(yǎng)青年人才。因為高中數(shù)學競賽這項活動為世界各國表現(xiàn)本民族的聰明才智提供了競爭和交流的舞臺，因而受到越來越多的國家的重視，并因此得到聯(lián)合國教科文組織等許多國際科技教育組織的關注和支持。

3.2高中數(shù)學競賽促進了基礎教育教師素質(zhì)的提高：高中數(shù)學競賽在內(nèi)容、思維和方法上的高要求，迫使高中數(shù)學教師必須全面提高自身的知識與能力方面的素質(zhì)。一方面，高中數(shù)學教師要改革傳統(tǒng)的教學方法。因為只有這樣，高中數(shù)學教師才能迎合學科競賽的積極開展，才能在發(fā)現(xiàn)、選拔、培養(yǎng)學科英才時立于不敗之地。另一方面，高中數(shù)學教師明確自己在知識與能力等方面的不足，從而促使自己積極投身到知識更新和能力提高的自覺學習當中去。

3.3高中數(shù)學競賽推動了當前基礎教育改革的深化：高中數(shù)學競賽輔導教師在學科競賽中有著不可或缺的作用，從選手培訓到賽前指導，從豐富理論知識到訓練邏輯思維，各個環(huán)節(jié)都是對教師教學質(zhì)量、教學效果的反饋，也是對新的教學方法的考證。通過輔導學科競賽，教師可以針對發(fā)現(xiàn)的問題，對教學內(nèi)容進行改進，也可以尋求到融入實踐教育的更適宜的方式，從而達到良好的教學效果，使教學質(zhì)量更上層樓。教練和學生在學科競賽中互動要較常規(guī)教學多得多，這也是對“培養(yǎng)模式多樣化，培養(yǎng)方案個性化”的人才培養(yǎng)模式做出的探索。在不斷的課程體系和教學內(nèi)容改革中，必然會有很多新理念、新方法涌現(xiàn)。有時，在把這些探索性成果廣泛應用之前，需要一個測試、修正的過程。學科競賽就可以提供這樣一塊試驗田。

參考文獻

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推廣1：T為坐標平面上所有整點的集合（橫，縱坐標都是整數(shù)的點稱為整點），如果兩個整點（x，y），（u，v）滿足|x-u|+|y-v|=1則稱這兩個點為相鄰點。證明：存在集合S？哿T，使得每個點P∈T在P與P的相鄰點中恰好有一個屬于S。

類比1：T為三維空間中所有整點的集合（橫，縱，豎坐標都是整數(shù)的點稱為整點），如果兩個整點（x，y，z），（u，v，w）滿足|x-u|+|y-v|+|z-w|=1則稱這兩個點為相鄰點.證明：存在集合S？哿T，使得每個點P∈T在P與P的相鄰點中恰好有一個屬于S。

類比2：T為三維空間中點的集合，如果兩個點（x，y，z），（u，v，w）滿足|x-u|，|y-v|，|z-w|中恰有兩個為0，有一個為1，則稱這兩個點為相鄰點。證明：存在集合S？哿T，使得每個點P∈T在P與P的相鄰點中恰好有一個屬于S。

推廣2：T為n維空間中所有整點的集合（所有n個坐標都是整數(shù)的點稱為整點），如果兩個整點（x1，x2，…，xn），（y1，y2，…，yn）滿足|x1-y1|+|x2-y2|+…+|xn-yn|=1則稱這兩個點為相鄰點.證明：存在集合S？哿T，使得每個點P∈T在P與P的相鄰點中恰好有一個屬于S。

證明：對n維空間中的整點A（x1，x2，…，xn），令Li1=（x1，x2，…，xi-1，xi+1，xi+1，…xn），Li-1=（x1，x2，…，xi-1，xi-1，xi+1，…xn）.于是A的相鄰點為Lij（j=？芄1，i=1，2，…，n）.

對任意（x1，x2，…，xn）∈T，定義f（x1，x2，…，xn）=nx1+（n-1）x2+…+2xn-1+xn，則f：TZ為T到整數(shù)集的映射。

容易證明2n+1個數(shù)f（Lij）（j=？芄1，i=1，2，…，n），f（A）中恰有一個被2n+1整除.若令S={（x1，x2，…，xn）∈T|f（（x1，x2，…，xn）mod（）2n+1=0}則S滿足要求。

推廣3：T為n維空間中點的集合，如果兩個點（x1，x2，…，xn），（y1，y2，…，yn）滿足|x1-y1|+|x2-y2|+…+|xn-yn|中只有一個為1，其余都為0，則稱這兩個點為相鄰點.證明：存在集合S？哿T，使得每個點P∈T在P與P的相鄰點中恰好有一個屬于S。

證明：對n維空間中的點A（x1，x2，…，xn），令Li1=（x1，x2，…，xi-1，xi+1，xi+1，…xn），Li-1=（x1，x2，…，xi-1，xi-1，xi+1，…xn）.于是A的相鄰點為Lij（j=？芄1，i=1，2，…，n）。

對任意（x1，x2，…，xn）∈T，定義f（x1，x2，…，xn）=n[x1]+（n-1）[x2]+…+2[xn-1]+[xn]，則f：TZ為T到整數(shù)集的映射。

篇（4）

1.當前初高中數(shù)學銜接最常見的方式及存在的問題

如何做好初高中數(shù)學銜接，是高中數(shù)學教師、即將進入高中的學生及家長們都非常關心的問題.許多學生在初中畢業(yè)后的暑假參加各類銜接班，有的是復習初中數(shù)學知識，有的是講授競賽知識，更有的直接就開始講授高中數(shù)學內(nèi)容.

若把銜接課變成復習課，只是鞏固初中知識，雖然對基礎比較弱的學生鞏固初中知識是必要的，但對于相關基礎知識已經(jīng)掌握的學生，如果參加的銜接班上只復習不提高，這樣銜接課程也就毫無意義.

如果把銜接課變成競賽培訓課，對于大多數(shù)同學而言，過多過早參與數(shù)學競賽不僅不能真正提高能力，反而有可能害怕學習數(shù)學，加重學生學習數(shù)學的心理恐懼，更加不利于高中數(shù)學的學習.

而直接學習高中數(shù)學知識的，學生在這種補習班上學習，多數(shù)是一知半解，到了真正的高一課堂上學習該知識點時，覺得那是補習學過的，自己已經(jīng)會了，課上容易分心，不認真學習，這時的銜接課就做成了夾生飯.

筆者認為，現(xiàn)在各種暑期銜接班的主要目的是賺錢，對學生或多或少起到學習知識的作用，但從長遠來看，其效果微乎其微，真正在初高中數(shù)學銜接中起決定性作用的應該是高一的數(shù)學教師.作為高中數(shù)學教師，利用好現(xiàn)行高中數(shù)學教材，適時進行初高中數(shù)學銜接，是每一個高中數(shù)學教師都應該認真研究的問題.

篇（5）

在高中數(shù)學教學中，情境教學實際上就是把高中數(shù)學教學與學生的生活實際聯(lián)系在一起，增強學生對所學知識的理解和記憶，實踐教學也是數(shù)學課堂教學中必不可少的環(huán)節(jié)，學生可以在實踐中認識到數(shù)學學習的重要性，激發(fā)學生學習數(shù)學的熱情和積極性。

1情景教學在高中數(shù)學教學中應用的必要性

在傳統(tǒng)的高中數(shù)學教學模式下，教師過于注重理論知識的講解，忽略了實踐教學的重要性。情境教學模式下，數(shù)學教師需要把教材內(nèi)的知識具體化，形象化，培養(yǎng)學生獨立思考問題的能力。在新課標下，情景教學在高中數(shù)學教學中的應用是十分必要的。在情境教學中，教師需要多關注學生的情感變化，充分發(fā)揮出學生學習的主體性，加深學生對所學知識的記憶，進而提高學生的學習質(zhì)量。

2情景教學在高中數(shù)學教學中的應用對策

2．1創(chuàng)設生活情景：很多高中生都覺得數(shù)學是一門學習難度比較大的學科，甚至部分學生還出現(xiàn)了厭學的心理。事實上，數(shù)學教材內(nèi)教學體系比較復雜，而且大多數(shù)的知識點都比較抽象，需要學生具備較強的思維邏輯。情景教學在數(shù)學教學中的合理應用是新課標教學的必然需求和要求。但是，教師需要注意的是，在開展情景教學之前，高中數(shù)學教師必須充分了解每一位學生的特點，并結(jié)合學生的特點合理制定情景教學方案，實現(xiàn)有效教學。

2．2發(fā)揮出多媒體的作用：隨著社會的快速發(fā)展，多媒體技術也得到迅猛發(fā)展，多媒體技術已經(jīng)成為數(shù)學教學中離不開的教學技術，教師可以利用多媒體教學設備把教材內(nèi)枯燥的文字轉(zhuǎn)換成圖片或者影像的形式，為學生創(chuàng)設教學情景。在數(shù)學課堂教學中，教師要多為學生舉一些生活中的案例，完善教學體系。教師也可以讓學生利用多媒體平臺在課前搜集與教學內(nèi)容相關的資料和信息，并在課上與大家分享，進而提高學生學習數(shù)學的質(zhì)量。

2．3組織數(shù)學競賽活動：高中數(shù)學教師要想在課堂上實施情景教學，高中數(shù)學教師就需要多組織數(shù)學競賽活動，增強學生的競爭意識，并對數(shù)學競賽活動中表現(xiàn)較好的學生給予一定的物質(zhì)獎勵和精神獎勵，提高學生學習的熱情和積極性。

3情景教學對高中數(shù)學教學的積極影響

3．1教師的角度：高中數(shù)學教師是知識的傳授者，是教學活動的實施者，教師是以課堂為關鍵場所展開教學活動。在新課標下，數(shù)學教師的角色也發(fā)生了改變，教師從傳統(tǒng)教學模式下的主導者轉(zhuǎn)變?yōu)檎n堂教學的引導者。情景教學可以把數(shù)學教材內(nèi)比較抽象的知識具體化，降低學生學習數(shù)學知識的難度，滿足學生的學習需求。但是，教師需要注意的是只有學生真正融入到情景教學中，情景教學才能真正在數(shù)學教學中發(fā)揮作用。因此，情景教學的開展不能盲目，必須有計劃的開展，教師必須結(jié)合學生的實際情況合理制定情景教學方案。情景教學在高中數(shù)學教學中的應用對高中數(shù)學教師的專業(yè)水平和綜合素質(zhì)提出了較高的要求，高中數(shù)學教師必須定期參加專業(yè)化培訓，提高自身接受新知識和新事物的能力，熟練操作多媒體教學設備，豐富自身的知識儲備，優(yōu)化高中數(shù)學教學知識結(jié)構，滿足學生的學習需求，促進高中學生的成長和發(fā)展。

3．2學生的角度：在傳統(tǒng)的數(shù)學課堂教學模式下，學生被動的進行學習，學生無法積極參與到數(shù)學教學中，學生學習數(shù)學的熱情和積極性比較低，學習質(zhì)量也比較低。在情景教學模式下，教師需要合理的為學生創(chuàng)設教學情景，營造課堂氛圍，學生的學習質(zhì)量與學生本身的學習態(tài)度有很大關系，學生必須端正學習態(tài)度才能把全部精力投入到數(shù)學學習中，情景教學中比較關注學生的情感變化，這樣可以幫助學生端正學習態(tài)度，引導學生把全部的靜力投入到數(shù)學學習中。

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中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2015）19-0256-02

一、引言

人類文化離不開數(shù)學，它是其中極其重要的組成部分。數(shù)學素養(yǎng)是人類的一種基本素養(yǎng)，在現(xiàn)代社會，每個公民更應具備這種素養(yǎng)。因為這種重要性，數(shù)學教育成為了教育必不可少的組成部分。在當代社會，數(shù)學教育以是終身發(fā)展必不可少的一個方面，是每個公民更進一步學習和發(fā)展的需要，是（終身）教育發(fā)展不可缺少的基礎。為了使學生學會如何能夠數(shù)學地思維，數(shù)學地表達，就要求各級各類學校向?qū)W生提供數(shù)學的基礎知識、基本思想和技能，進而培養(yǎng)、提高學生自身的數(shù)學素養(yǎng)。伴隨計算機技術和網(wǎng)絡信息的迅猛發(fā)展，作為數(shù)學的一個分支的組合數(shù)學得到了迅速發(fā)展，也越來越受到重視。組合數(shù)學研究的主要內(nèi)容包含離散對象滿足一定條件的方案的存在性，以及這種方案的構造、枚舉計數(shù)及最優(yōu)化問題等內(nèi)容。它在密碼學、編碼和計算機科學、生物學等學科中有著重要應用。可以這樣認為：近代的工業(yè)革命的基礎是微積分學的發(fā)展，而現(xiàn)代計算機革命的基礎就是組合數(shù)學的發(fā)展。如今，普通高中數(shù)學課程中也包含計數(shù)問題組合計數(shù)這部分內(nèi)容。當然除了計數(shù)問題，組合數(shù)學還包含組合原理、組合設計、組合優(yōu)化等內(nèi)容。本文從中學課程內(nèi)容特點、數(shù)學競賽試題、數(shù)學教師專業(yè)素質(zhì)、數(shù)學文化的滲透、解題方法等不同角度研究組合數(shù)學與中學數(shù)學的聯(lián)系與影響。

二、數(shù)學知識方面的聯(lián)系

1.計數(shù)問題是組合數(shù)學中的重要組成部分，是中學數(shù)學課堂教學內(nèi)容之一。組合數(shù)學中研究和應用最多的是計數(shù)問題，加法計數(shù)原理和乘法計數(shù)原理是其中最基本、最重要的兩個基本原理。普通高中數(shù)學課程中含有計數(shù)基本原理、排列、組合、二項式定理及其應用這些組合數(shù)學的內(nèi)容，要求學生掌握這些基本知識，同時了解計數(shù)與實際生活的聯(lián)系，會處理實際應用中的計數(shù)問題。組合計數(shù)、組合思想除在組合恒等式的證明和應用之外，在接下來的高中數(shù)學課程如統(tǒng)計與概率等中有著重要應用，排列組合掌握的好與壞常常影響古典概型的求解。

例題1（古典概型問題）：3件產(chǎn)品中包含2件正品a，b和1件次品c，每次從中任意選取一件，連續(xù)選取兩次。在下列不同條件下，分別計算選出的兩件產(chǎn)品中恰好有1件為次品的概率。（1）每次選出后不放回;（2）每次選出后放回。注：這里的摸球后放回、不放回是概率問題中常見的條件，也是計數(shù)問題中常考慮的限制條件。無論哪一種情況下計算概率都要應用到排列組合知識點。

2.組合數(shù)學是數(shù)學建模中的重要工具。《普通高中數(shù)學新課程標準》中提出：數(shù)學建模是運用數(shù)學思想、方法和知識解決實際問題的過程，已經(jīng)成為不同層次數(shù)學教育重要和基本的內(nèi)容。據(jù)統(tǒng)計，組合優(yōu)化在歷年的數(shù)學建模比賽所占比例比較重，幾乎占百分之四十左右。配對問題模型、摸球問題模型、分配問題模型、組合優(yōu)化模型等都是組合數(shù)學在建模中的應用。

例題2：自動售貨機內(nèi)裝有“可樂”、“雪碧”、“健力寶”3種聽裝飲料，投幣后隨機自動滾出一聽，今有5個人若要喝同一品種的飲料，他們至多要投幣幾次？解：把飲料的品種看做“鴿籠”，飲料罐看做“鴿子”。根據(jù)抽屜原理，為了使5個人能喝上同一品種的飲料，至少有一個“籠子”內(nèi)要有5只“鴿子”。從最不利的情形考慮，投幣12次滾出3個品種各4=5-1聽，共12聽，所以這5個人需要至多投幣13次。這就是利用中學數(shù)學抽屜原理法建模，當然這類題難度可以再加深。

3.組合數(shù)學是數(shù)學競賽的重要內(nèi)容。中小學數(shù)學競賽中常考的知識點――抽屜原理和容斥原理是組合計數(shù)和組合分析常用的技巧和方法，不僅如此組合計數(shù)和組合分析中還有遞推（歸）原理、容斥原理、染色方法等常用方法。這些內(nèi)容看似簡單，但其中包含極強的技巧性，從小學到高中的數(shù)學競賽中常見這類問題。數(shù)學競賽題有一定的難度，往往不會輕易解決，對于這類問題一般通過構造的方法建立簡單的數(shù)學模型，繼而借助數(shù)學原理求解。

例題3（第6屆國際數(shù)學奧林匹克試題）：有17位科學家，其中每一個人和其他所有人通信，他們的通信中只討論3個題目。求證：至少有3個科學家相互之間討論同一個題目。注：用平面上任意三點不共線的17個點v■，v■，…，v■分別表示17位科學家。設a，b，c為他們討論的3個題目。兩位科學家討論a，則用黃線連接;討論b用紅線連接;討論z則用藍線連接，那么“以這17個點為頂點的三角形中必有一同色三角形”就是要證的結(jié)論。此題屬于組合學中Ramsey問題，其根本思想還是構造抽屜。將幾何圖形與染色問題相結(jié)合，再對已知邊按顏色進行分類（分抽屜），最后對幾個或某個抽屜進行分析，就可以解決問題。

三、滲透數(shù)學文化方面的聯(lián)系

數(shù)學文化的內(nèi)涵狹義上的理解就是數(shù)學的思想、精神、方法、觀點、語言，以及它們的形成和發(fā)展;廣義上的理解是除這些內(nèi)涵外，還包含數(shù)學家、數(shù)學史、數(shù)學美、數(shù)學教育、數(shù)學發(fā)展中的人文成分、數(shù)學與社會的聯(lián)系、數(shù)學與各種文化的關系等。“體現(xiàn)數(shù)學的文化價值”這是《普通高中數(shù)學新課程標準》基本理念之一，并且對數(shù)學文化有教學要求。中學期間，數(shù)學文化不會限定學時，不會專門設置幾堂課進行數(shù)學文化教學，而是將數(shù)學文化貫穿于整個高中數(shù)學課程中，滲透在每個模塊或?qū)ｎ}中，也是一部分重要內(nèi)容。

1.通過學習組合數(shù)學可以激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，體會數(shù)學的內(nèi)在美。組合數(shù)學源于數(shù)學游戲，許多問題看似簡單，卻蘊含很深數(shù)學原理。比如“柯克曼女生問題”、“幻方”等，這些數(shù)學游戲豐富了組合數(shù)學的研究方法與內(nèi)容。游戲往往比抽象的理論更有吸引力和挑戰(zhàn)性，通過數(shù)學游戲、趣味問題激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，讓學生感受到數(shù)學不僅是一種重要的“工具”也是一種思維模式，從而促進學生的數(shù)學學習以及數(shù)學觀的發(fā)展。

2.經(jīng)典歷史名題，讓學生領略數(shù)學文化。古老的數(shù)學游戲和經(jīng)典的數(shù)學名題是重要的數(shù)學史料，數(shù)學史料又是數(shù)學文化中的一個重要的組成部分，而歷史名題又是數(shù)學史料的一種很好的載體。教學中結(jié)合數(shù)學史的文化背景進行講解，可以使學生在感受趣味性同時，體會其中的文化性和思想性，領略數(shù)學文化。例如著名的Fibonacci兔子問題：把一對小兔子（雌、雄各一只）在某年的開始放到圍欄中，一個月后長成大兔子。之后每個月這對兔子都生出一對新兔子，其中雌、雄各一只。一個月后，每對新兔子每個月也生出一對新兔子，也是雌、雄各一只。問一年后圍欄中有多少對兔子？第n個月的兔子的對數(shù)用F■來表示，則它滿足帶初值的二階遞推關系式。法國的數(shù)學家Binet求出了數(shù)列{F■}■■的通項。而且由斐波那契數(shù)列中前一項與后一項的比值組成的分數(shù)列以■≈0.618為極限，這正是“黃金比”，由它產(chǎn)生的優(yōu)選法“0.618法”是運用離散的手段來處理最優(yōu)化問題。通過賞析名題，能夠使學生感受到數(shù)學不僅僅是一門科學，更是一種文化。

四、提高數(shù)學教師的專業(yè)素質(zhì)方面的聯(lián)系

1.組合數(shù)學能夠提高數(shù)學老師的數(shù)學修養(yǎng)，進而提高教學質(zhì)量。我們知道教師要上好一堂課，只了解和解決課本和參考書上的知識和問題是遠遠不夠的。教授必須具有與這堂課相關的許多直接或間接相關的知識，這就是對教師數(shù)學素養(yǎng)的要求。組合數(shù)學里包含的歷史典故及蘊含的組合思想，會讓數(shù)學教師了解和掌握更豐富的數(shù)學知識，從而提高數(shù)學教師的數(shù)學素質(zhì)，提高解決問題的能力。因為組合數(shù)學問題在高中數(shù)學課程的各個模塊都有不同程度的應用，而且在數(shù)學競賽中出現(xiàn)頻率較高，更加需要數(shù)學教師掌握一定的組合數(shù)學知識和組合思想。

2.掌握組合數(shù)學中的解題思想、解題方法，提高數(shù)學教師的業(yè)務水平和能力。組合問題求解方法層出不窮、千變?nèi)f化，通過解決組合問題可以發(fā)現(xiàn)、歸結(jié)出許多有用的解題方法：（1）從組合學基本概念、基本原理出發(fā)的解題方法：①利用容斥原理、遞推關系、母函數(shù)方法――解計數(shù)問題。②利用抽屜原理――解決存在性問題。（2）從組合思想出發(fā)的解題方法：如組合對應法（一一對應）、分類法、組合分析法、放球模型法等。（3）在解決組合數(shù)學問題時還經(jīng)常會用到數(shù)論方法：應用奇偶性、整除性等數(shù)論性質(zhì)解決存在性問題。以及反證法和數(shù)學歸納法等。

組合數(shù)學的解題方法技巧性很強，教師通過學習組合數(shù)學更進一步學會數(shù)學思維，理解和掌握不同的解題方法，也可以積累豐富的解題技巧、思想，有助于拓展分析問題的思路進而提高教師的解題能力，提升專業(yè)素質(zhì)。

參考文獻：

[1]許胤龍，孫淑玲.組合數(shù)學引論[M].合肥：中國科學技術大學出版社，2010.

[2]黃小龍，鄧勇，胡曉惠，袁茵.基于棋盤編碼粒子群算法的衛(wèi)星資源調(diào)度方法[J].計算機工程與設計，2013，（1）.

[3]戴朝壽，孫世良.數(shù)學建模簡明教程[M].上海：高等教育出版社，2007.

[4]馬洪炎，沈虎躍，許康華.高中數(shù)學競賽解題方法[M].浙江：浙江大學出版社，2006.

篇（7）

高中數(shù)學被很多學生認為是一門很難的學科，高中數(shù)學作為三大主課之一，所占的分量較大，很多學生也明白如果數(shù)學學不好的話想要考上理想的大學是天方夜譚，但是苦于無學習之法，那么高中數(shù)學都有哪些學習方法呢？數(shù)學是作為衡量一個人能力的一門重要學科，高中數(shù)學是初中數(shù)學的提高和深化，高中數(shù)學的特點是語言表達抽象，邏輯嚴密，思維嚴謹，知識連貫性和系統(tǒng)性強。

一、傳統(tǒng)的數(shù)學教學模式及其現(xiàn)狀

（一）傳統(tǒng)的數(shù)學教學模式是基本采用滿堂灌的方法，以教師、課堂、書本為中心的。課堂教學是一種固定不變的模式，即復習舊課，講授新課，練習鞏固。久而久之客觀上導致了學生思維的依賴性和惰性，談不上讓學生主動學習、主動探索，喪失了創(chuàng)造力。滿堂灌的方法，不管學生聽不聽得懂，課后大量作業(yè)做鞏固。

（二）教師以講為中心的陳舊教學方法。事實上有些學生根本不喜歡這種方式，不知道教師講了些什么，學生疲勞厭學。長此以往，學生一旦習慣了這種被動的學習，學習的主動性就會漸漸喪失。以講為中心的教學方法早已過時，從學生的潛能開發(fā)、思維拓展、身心發(fā)展、自主健全的角度來看，是非常不利的。

（三）傳統(tǒng)教學的不足。高中數(shù)學課程應提倡利用信息技術來呈現(xiàn)以往教學中難以呈現(xiàn)的課程內(nèi)容，鼓勵學生運用計算機、計算器等進行探索和發(fā)現(xiàn)。社會的進步對教學內(nèi)容提出了新的要求，同時也為教學提供新的技術手段，為學習提供新的學習方式。將信息技術運用于數(shù)學教學，彌補了傳統(tǒng)教學的不足，提高了教學效率，同時也培養(yǎng)了學生的信息技術技能和解決問題的能力。

（四）探究式教學的引進。一般來說高中學生要探究出某個數(shù)學問題或者定理，需要花費大量時間，而這絕不是能在短短的幾十分鐘內(nèi)就得到解決，高中學生的主要任務還是學習前人的知識與方法，任何脫離知識基礎的探究都是盲目的。應該承認，講授式教學不利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力，但是，它不能和填鴨式教學簡單地劃上等號。

（五）高中是最容易滑坡的階段，數(shù)學科目又是重點科目。許多小學、初中數(shù)學學科成績的佼佼者，進入高中階段，第一個跟頭就栽在數(shù)學上。高中數(shù)學學習是中學階段承前啟后的關鍵時期，不少學生升入高中后，能否適應高中數(shù)學的學習，是擺在高中新生面前的一個亟待解決的問題，老師要及時提醒同學們轉(zhuǎn)變觀念、提高認識和改進學法。

二、成績滑坡的主要原因探究

面對眾多初中學習的成功者淪為高中學習的失敗者，我對他們的學習狀態(tài)進行了研究，調(diào)查表明，造成成績滑坡的原因有以下幾個方面：

（一）學習的興趣。要在教學中真正做到學生愿意主動的學習知識， 激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，自此變得更加的重要。數(shù)學教學激發(fā)學生學習興趣是重要的一環(huán)，從教學心理學角度上講，如果抓住了學生的某些心理特征，對教學將有一個巨大的推動作用。興趣的培養(yǎng)就是一個重要的方面，興趣能激發(fā)大腦組織加工，有利于發(fā)現(xiàn)事物的新線索，并進行探索創(chuàng)造，興趣是學習的最佳營養(yǎng)劑和催化劑，學生對學習有興趣，對學習材料的反映也就是最清晰，思維活動是最積極最有效，學習就能取得事半功倍的效果。

（二）學生自身存在的問題：

1.學習不主動。許多同學進入高中后，還像初中那樣，有很強的依賴心理，跟隨老師慣性運轉(zhuǎn)，沒有掌握學習主動權。表現(xiàn)在不定計劃，坐等上課，課前沒有預習，對老師要上課的內(nèi)容不了解，上課忙于記筆記，沒聽到“門道”。

2.學法不得當。老師上課一般都要講清知識的來龍去脈，剖析概念的內(nèi)涵，分析重點難點，突出思想方法。而一部分同學上課沒能專心聽課，對要點沒聽到或聽不全，筆記記了一大本，問題也有一大堆，課后又不能及時鞏固、總結(jié)、尋找知識間的聯(lián)系，只是趕做作業(yè)，亂套題型，對概念、法則、公式、定理一知半解，機械模仿，死記硬背。

3.學生的創(chuàng)新意識。學生的創(chuàng)新意識主要是指對自然界和社會中的數(shù)學現(xiàn)象具有好奇心、探究心，不斷追求新知，獨立思考，會從數(shù)學的角度發(fā)現(xiàn)和提出問題，進行探索和研究。而現(xiàn)在的大部分學生都缺乏創(chuàng)新意識，照搬教科書和老師的方法學習，致使學習呆板，乏味。

三、創(chuàng)造性模仿，培養(yǎng)創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力

（一）教師應從數(shù)學創(chuàng)新意識的培養(yǎng)上入手，在平時的教學過程中真正把提高學生的數(shù)學創(chuàng)新意識落到實處，激發(fā)學生潛能。著名美籍華人學者楊振寧教授曾指出，中外學生的主要差距在于，中國學生缺乏創(chuàng)新意識，創(chuàng)新能力有待于加強；而具有創(chuàng)新能力的人才將是21世紀最具競爭力，最受歡迎的人才。提高學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力是我們面臨的重要課題。

（二）具體實踐方法。我有個學生，我注意到他每天都在學些新東西。沒過多久我就發(fā)現(xiàn)他在觀察我，之后我做什么他就會學著做什么。就用這種簡單的辦法他學會了預習、筆記、解題、小結(jié)。他做這些事情從不完全學我的樣子，而是加進自己創(chuàng)造的特色，我把他的這種學習方法稱作創(chuàng)造性模仿。創(chuàng)造性模仿讓他實現(xiàn)了參加數(shù)學競賽的目標。我用幾種方法創(chuàng)造性的模仿那些比賽的勝利者。他讀了在圖書館和書店里能找到的每一本有關數(shù)學競賽的書，仔細研究每一本過期的雜志，尋找各種關于技術的文章；在電視上觀看選手的比賽；把比賽實況進行錄像并反復播放，邊學邊觀察，將絕大部分心得寫在日記里。

（三）激發(fā)學生學習數(shù)學的熱情。新的數(shù)學課程強調(diào)，學生的數(shù)學學習內(nèi)容應當是現(xiàn)實的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的，要有利于學生主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數(shù)學活動。在教學過程中，堅持貫徹理論聯(lián)系實際的原則，創(chuàng)設生活情景，激發(fā)學生學習數(shù)學的熱情。

總之，高中數(shù)學教育要貫徹以人為本，學生中心，方法創(chuàng)新，提高教學效果。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程教學標準[S].人民教育出版社，2003.

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二、應用舉隅

例1 （2014浙江省高中數(shù)學競賽第12題）若平面上四點A，B，C，D，滿足任意三點不共線，且4AC+2AB=AD，則SABDSABC=.

評注 本題的解法多種多樣，但運用坐標式三角形面積公式解決，可使思路清晰，過程優(yōu)化.

例2 （2015山東省高中數(shù)學競賽第13題第（1）問）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1，不過原點的直線l和橢圓相交于兩點A，B，求三角形OAB面積的最大值.

解析 設A（x1，y1），B（x2，y2），若直線l的斜率存在，設l的方程為y=kx+m，

從而SOAB≤ab2，由此可得，對任意的k，SOAB≤ab2，等號成立當且僅當a2k2+b2=2m2.

若直線l的斜率不存在，設l的方程為x=m，則易證SOAB≤ab2，等號成立當且僅當a2=2m2.所以三角形ΔOAB面積的最大值為ab2.

評注 利用坐標式三角形面積公式求解關鍵在于確定三角形各點的坐標.對于求解方程比較困難（方程的根不是十分簡便）或含字母參數(shù)時可利用根與系數(shù)的關系進行合理轉(zhuǎn)化.

例3 （2015四川省高中數(shù)學競賽第15題）過雙曲線x2-y24=1的右支上任意一點P（x0，y0）作一直線l與兩條漸近線交于點A，B，若P是AB的中點.

（1）求證：直線l與雙曲線只有一個交點；

（2）求證：OAB的面積為定值.

解析 （1）略.

（2）雙曲線兩條漸近線方程為y=±2x.

u注 解析幾何問題的本質(zhì)是用代數(shù)方法解決幾何問題，坐標式三角形面積公式自然地提供了解決解析幾何中有關三角形面積問題的一條捷徑.

例4 （2011河南省數(shù)學競賽11題）在平面直角坐標系xOy中，以原點O為圓心，分別以a，b（a>b>0）為半徑作兩個圓.點Q是大圓半徑OP與小圓的交點，過點P作ANOx，垂足為N，過點Q作QMPN，垂足為M，記當半徑OP繞點O旋轉(zhuǎn)時點M的軌跡為曲線E.

（1）求曲線E的方程；

（2）設A，B，C為曲線E上的三點，且滿足OA+OB+OC=0，求ABC的面積.

解 （1）設M（x，y），取∠xOP為參數(shù)φ，則x=acosφy=bsinφ，消去參數(shù)φ，得x2a2+y2b2=1，即為曲線E的方程.（2）設A，B，C的坐標依次為（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），由上又可設A，B，C的坐標依次為（acosα，bsinα），（acosβ，bsinβ），（acosγ，bsinγ），

則由條件OA+OB+OC=0，得

acosα+acosβ+acosγ=0bsinα+bsinβ+bsinγ=0，進而可化為cosα+cosβ+cosγ=0sinα+sinβ+sinγ=0，消去γ，

得cos（β-α）=-12，所以sin（β-α）=-32或32，

由坐標式三角形面積公式SAOB=12x1y2-x2y1=12|abcosαsinβ-absinαcosβ|

=ab2sin（β-α）=3ab4.

同理，得SBOC=SCOA=3ab4，

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2.對傳授數(shù)學知識的認知和角色的突變表現(xiàn)出的不適應。師范生從大學到高中數(shù)學教師，從知識的接受者到知識的傳遞者，從受教育者到為人師表，面對這種角色的快速轉(zhuǎn)換，他們往往從生理和心理上都表現(xiàn)出了明顯的不適應，表現(xiàn)出了焦躁和不知所從。

3.對班級的組織管理能力欠缺。大學生活雖然對學生的組織才能有了一定的提升，但對從事教師職業(yè)所應具備的基本組織能力，與學生交流的能力，處理學生心理問題的能力都還在初級階段，在充分、全面了解高中生的生理和心理發(fā)展基礎上，如何有效地開展班務組織和管理工作，還需要進一步加強和研究。

二、高中數(shù)學教師專業(yè)發(fā)展的一般規(guī)律

剛剛經(jīng)過系統(tǒng)的師范教育與學習，初次登上講臺的數(shù)學教師即新手教師，在這個階段，他們需要了解與尋求的是與數(shù)學教學有關的具體教學情境，對于他們來說，實踐經(jīng)驗的積累比書本知識更為重要；大約經(jīng)過2~3年，隨著教學知識和實踐經(jīng)驗的積累，逐漸發(fā)展為熟練新手教師；再經(jīng)過5~6年，其中大部分熟練新手教師成為勝任型教師；此后大約還需要5年左右，有部分勝任型教師成為業(yè)務骨干型教師；再通過7~8年教學積累，其中少部分數(shù)學業(yè)務骨干型教師發(fā)展成為數(shù)學專家型教師。

三、完成高中數(shù)學教師角色轉(zhuǎn)化的途徑

根據(jù)高中數(shù)學教師專業(yè)發(fā)展規(guī)律，筆者結(jié)合自己的教學和管理經(jīng)驗，提出以下幾條途徑：

1.塑造自己的教師責任感和專業(yè)精神。教師要有強烈的責任感，要尊重和關心每一名學生，不只是關心他的學習成績，更要關注他這個人本身的發(fā)展。激發(fā)學生學習數(shù)學知識的興趣，以及對數(shù)學、對生活的熱愛。有“為學生的一生發(fā)展奠基，對學生終身發(fā)展負責”的意識。

2.始終保持高度的解題熱情，去解近三年的高考數(shù)學試題和高中數(shù)學競賽試題。作為數(shù)學教師時時刻刻都離不開解題，可以這么說，一個不會講題的數(shù)學教師是不合格的，一個不會解題的數(shù)學教師更不合格。可以設想，當學生問到的題目經(jīng)常不會解，不僅自己很尷尬，而且也會被學生瞧不起。

3.加強對中學數(shù)學思想體系的研究和學習，引導學生對數(shù)學精神的追求。數(shù)學思想是指現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系反映到人的意識之中，經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果。在一定的數(shù)學思想指導下，在課堂上與學生一同開展充滿數(shù)學美的邏輯推理活動，深入淺出的艱辛和喜悅，學習數(shù)學家們不屈不饒地探求科學真理的精神。

4.積極參加數(shù)學公開課比賽。如果說日常數(shù)學教學是完成教學任務、培養(yǎng)學生的主要活動，那么，公開課是教師自覺進行數(shù)學教學研究、促進自我發(fā)展的主要途徑。自己不僅可以執(zhí)教公開課，也可以觀摩同行們的公開課，在同事們的交流評價中會獲得很多有益和寶貴的實踐經(jīng)驗。

5.積極參與數(shù)學課題研究。問題即課題，把自己數(shù)學教學中的困惑和問題作為研究的課題，在研究小組成員的共同協(xié)作和努力下，解決數(shù)學教學實踐中的問題，這樣不但有效地提高了課堂教學效率，而且提升了自身數(shù)學教學的科學研究素養(yǎng)。

6.勇于承擔數(shù)學命題工作。教師在命題時不僅要準確把握好課表要求與對應數(shù)學知識點的關系、還要注意對知識重、難點的考查形式，最后還要控制和把握試題的合適難度系數(shù)和較好的區(qū)分度。

篇（10）

構造圓求最值

例1已知函數(shù)y=+的最大值為M，最小值為m，則的值為（）

A. B.

C. ?搖?搖?搖?搖 D.

（2008年高考數(shù)學重慶理科卷試題）

圖1

分析 設u=，v=，消去x得u2+v2=4（u≥0，v≥0），其圖象是圓u2+v2=4在第一象限的一部分，如圖1所示.

考慮直線系u+v=y中，與此圓相交的直線過點（0，2）或（2，0）時y取得最小值ymin=2.

當直線與圓相切時y取得最大值，易得切點為（，），

所以ymax=2，因此=.

故選C.

上述解法，巧妙地利用換元，將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，利用數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化為直線與圓之間的關系，迅速求出函數(shù)的最值. 作為一種解答思路，該題思路具有一定的借鑒價值.

構造拋物線求最值

例2 求函數(shù)f（x）=－的最大值. （2000年蘇州高中數(shù)學競賽題）

圖2

分析 函數(shù)結(jié)構復雜，無法用常規(guī)方法解，只有設法將其具體化. 由根式會聯(lián)想到距離，將給定的函數(shù)表達式變形為f（x）=－，問題轉(zhuǎn)化為求點P（x，x2）到點A（3，2）與點B（0，1）距離之差的最大值. 而P點的軌跡為拋物線y=x2，如圖2. 由A，B的位置知直線AB必交拋物線y=x2于第二象限的一點C，由三角形兩邊之差小于第三邊知，P位于C時，f（x）才能取到最大值，且最大值為AB==.

構造橢圓求最值

例3 已知+=20，則3x－4y－100的最值為__________.（第12屆2001年“希望杯”高二）

分析 滿足題設的點P（x，y）的軌跡是到定點O（0，0），B（8，6）的距離之和為定長20的橢圓，此橢圓的長半軸a滿足2a=20，即a=10. 線段OB的長為=10，即c=5，所以橢圓的短半軸長b=5. 又橢圓長軸所在直線方程為y=x，由圖3可知，使得橢圓與直線y=x+m有公共點的m的取值范圍是原點到直線y=x+m的距離不超過5. 即?搖≤5. 解得－≤m≤. 橢圓上任意一點P（x，y）均滿足－≤y－x≤，－100－25≤3x－4y－100≤25－100

故3x－4y－100的最大值為100+25，最小值為100－25.

構造雙曲線求最值

例4 求y=+的最大值和最小值. （第14屆2003年“希望杯”高二）

圖4

分析 令=u，=v（u≥0，v≥0），則v=－u+y，2u2－v2=2. 建立u－O－v坐標系，則原題轉(zhuǎn)化為求直線v=－u+y與雙曲線2u2－v2=2在第一象限（含坐標軸）內(nèi)有公共點時，直線在v軸上的截距.

如圖4，根據(jù)數(shù)形結(jié)合，不難看出y只有最小值，而無最大值，當直線過（1，0）時，ymin=1，

故y=+的最小值為1.

構造橢圓和圓求最值

例5 實數(shù)x，y滿足x2+4y2－4=0，則的最大值為___________. （第15屆2004年“希望杯”高二組）

原答案根據(jù)橢圓的參數(shù)方程，利用三角代換求解. 解法為常規(guī)解法，如果將數(shù)與形相結(jié)合，將會另辟蹊徑，請看下解.

分析 x2+4y2－4=0可化為+y2=1，所以（x，y）在橢圓+y2=1上，如圖5. 又x2+y2－2x+1=（x－1）2+y2.

設r2=（x－1）2+y2（r≥0），則r表示以點A（1，0）為圓心的圓的半徑，由圖可知rmax=3. 此時r2=9，所以原式的最大值為3.

構造拋物線和橢圓求最值

例6 求函數(shù)f（x）=x2－6x－的最大值和最小值. （2000年河北省高中數(shù)學競賽題）

分析 令f（x）=m，則有x2－6x－m=，令C1：y=x2－6x－m，C2：y=≥0，故C2兩邊平方后，化簡整理得+=1.

如圖6，C1表示對稱軸為x=3，開口向上的拋物線；C2表示橢圓在x軸上方的部分.

當C1過點（3，2）時m=－11；當C1過點（3－，0）和（3+，0）時，m=－7. 由于C1，C2有公共點，從而可知函數(shù)的最大值為－7，最小值為－11.

從以上幾個例題中很容易掌握解題要領：化無理為有理，化“數(shù)”成“形”，直觀、清晰、易行. 故我們在解題中要充分應用這種數(shù)學思想方法，培養(yǎng)學生的數(shù)學素質(zhì)，這對提高解題能力，發(fā)展思維會有很大的幫助.