七年級下冊數學總結匯總十篇

序論：好文章的創作是一個不斷探索和完善的過程，我們為您推薦十篇七年級下冊數學總結范例，希望它們能助您一臂之力，提升您的閱讀品質，帶來更深刻的閱讀感受。

篇（1）

（3分）

1、實數的分類

正有理數

有理數

零

有限小數和無限循環小數

實數

負有理數

正無理數

無理數

無限不循環小數

負無理數

整數包括正整數、零、負整數。

正整數又叫自然數。

正整數、零、負整數、正分數、負分數統稱為有理數。

2、無理數

在理解無理數時，要抓住“無限不循環”這一點，歸納起來有四類：

（1）開方開不盡的數，如等；

（2）有特定意義的數，如圓周率π，或化簡后含有π的數，如+8等；

（3）有特定結構的數，如0.1010010001…等；

（4）某些三角函數，如sin60o等（這類在初三會出現）

考點二、實數的倒數、相反數和絕對值

1、相反數

實數與它的相反數是一對數（只有符號不同的兩個數叫做互為相反數，零的相反數是零），從數軸上看，互為相反數的兩個數所對應的點關于原點對稱，如果a與b互為相反數，則有a+b=0，a=-b，反之亦成立。

2、絕對值

一個數的絕對值就是表示這個數的點與原點的距離，|a|≥0。零的絕對值是它本身，若|a|=a，則a≥0；若|a|=-a，則a≤0。正數大于零，負數小于零，正數大于一切負數，兩個負數，絕對值大的反而小。

3、倒數

如果a與b互為倒數，則有ab=1，反之亦成立。倒數等于本身的數是1和-1。零沒有倒數。

考點三、平方根、算數平方根和立方根

1、平方根

如果一個數的平方等于a，那么這個數就叫做a的平方根（或二次方跟）。

一個數有兩個平方根，它們互為相反數；零的平方根是零；負數沒有平方根。

正數a的平方根記做“”。

2、算術平方根

正數a的正的平方根叫做a的算術平方根，記作“”。

正數和零的算術平方根都只有一個，零的算術平方根是零。

（0）

；注意的雙重非負性：

-（

3、立方根

如果一個數的立方等于a，那么這個數就叫做a

的立方根（或a

的三次方根）。

一個正數有一個正的立方根；一個負數有一個負的立方根；零的立方根是零。

注意：，這說明三次根號內的負號可以移到根號外面。

考點四、科學記數法和近似數

1、有效數字

一個近似數四舍五入到哪一位，就說它精確到哪一位，這時，從左邊第一個不是零的數字起到右邊精確的數位止的所有數字，都叫做這個數的有效數字。

2、科學記數法

把一個數寫做的形式，其中，n是整數，這種記數法叫做科學記數法。

考點五、實數大小的比較

1、數軸

規定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸（畫數軸時，要注意上述規定的三要素缺一不可）。

解題時要真正掌握數形結合的思想，理解實數與數軸的點是一一對應的，并能靈活運用。

2、實數大小比較的幾種常用方法

（1）數軸比較：在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大。

（2）求差比較：設a、b是實數，

（3）求商比較法：設a、b是兩正實數，

（4）絕對值比較法：設a、b是兩負實數，則。

（5）平方法：設a、b是兩負實數，則。

考點六、實數的運算

（做題的基礎，分值相當大）

1、加法交換律

2、加法結合律

3、乘法交換律

4、乘法結合律

5、乘法對加法的分配律

6、實數混合運算時，對于運算順序有什么規定？

實數混合運算時，將運算分為三級，加減為一級運算，乘除為二級運算，乘方為三級運算。同級運算時，從左到右依次進行；不是同級的混合運算，先算乘方，再算乘除，而后才算加減；運算中如有括號時，先做括號內的運算，按小括號、中括號、大括號的順序進行。

7、有理數除法運算法則就什么？

有理數除法運算法則可用兩種方式來表述：第一，除以一個不等于零的數，等于乘以這個數的倒數；第二，兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。零除以任何一個不為零的數，商都是零。

8、什么叫有理數的乘方？冪？底數？指數？

相同因數相乘的積的運算叫乘方，乘方的結果叫冪，相同因數的個數叫指數，這個因數叫底數。記作:

an

9、有理數乘方運算的法則是什么？

負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數。正數的任何次冪都是正數。零的任何正整數冪都是零。

10、加括號和去括號時各項的符號的變化規律是什么？

去（加）括號時如果括號外的因數是正數，去（加）括號后式子各項的符號與原括號內的式子相應各項的符號相同；括號外的因數是負數去（加）括號后式子各項的符號與原括號內式子相應各項的符號相反。

不等式與不等式組知識點歸納

一、不等式的概念

1．不等式：用不等號表示不等關系的式子，叫做不等式。

2．不等式的解集：對于一個含有未知數的不等式，任何一個適合這個不等式的未知數的值，都叫做這個不等式的解。

3．不等式的解集：對于一個含有未知數的不等式，它的所有解的集合叫做這個不等式的解的集合，簡稱這個不等式的解集。

4．解不等式：求不等式的解集的過程，叫做解不等式。

5．用數軸表示不等式的解集。

二、不等式的基本性質

1．不等式兩邊都加上（或減去）同一個數或同一個整式，不等號的方向不變。

2．不等式兩邊都乘以（或除以）同一個正數，不等號的方向不變。

3．不等式兩邊都乘以（或除以）同一個負數，不等號的方向改變。

說明：

①在一元一次不等式中，不像等式那樣，等號是不變的，是隨著加或乘的運算改變。

②如果不等式乘以0，那么不等號改為等號所以在題目中，要求出乘以的數，那么就要看看題中是否出現一元一次不等式，如果出現了，那么不等式乘以的數就不等為0，否則不等式不成立。

例:

1．已知不等式3x-a≤0的正整數解恰是1，2，3，則a的取值范圍是

。

2．已知關于x的不等式組無解，則a的取值范圍是

。

3．不等式組的整數解為

。

4．如果關于x的不等式（a-1）x

。

5．已知關于x的不等式組的解集為，那么a的取值范圍是

。

6．當

時，代數式的值不大于零

7.若

0（用“>”“=”或“”號填空）

8.不等式>1，的正整數解是

9.　不等式>的解集為

10.若>>，則不等式組的解集是

11.若不等式組的解集是－1

12.有解集2

（寫出一個即可）

13.一罐飲料凈重約為300g，罐上注有“蛋白質含量”其中蛋白質

的含量為

_____

g

14.若不等式組的解集為>3，則的取值范圍是

三、一元一次不等式（重點）

1．一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一個未知數，未知數的次數是1，且不等式的兩邊都是整式，這樣的不等式叫做一元一次不等式。

2．解一元一次不等式的一般步驟：

（1）去分母

（2）去括號

（3）移項

（4）合并同類項

（5）將x項的系數化為1

例：

一、判斷題（每題1分，共6分）

1、a＞b，得a＋m＞b＋m

（

）

2、由a＞3，得a＞

（

）

3、x

=

2是不等式x＋3＞4的解

（

）

4、由－＞－1，得－＞－a

（

）

5、如果a＞b，c＜0，則ac2＞bc2

（

）

6、如果a＜b＜0，則＜1

（

）

二、填空題（每題2分，共34分）

1、若a＜b，用“＞”號或“＜”號填空：a－5

b－5；

－

－；－1＋2a

－1＋2b；6－a

6－b；

2、x與3的和不小于－6，用不等式表示為

；

3、當x

時，代數式2x－3的值是正數；

4、代數式＋2x的不大于8－的值，那么x的正整數解是

；

5、如果x－7＜－5，則x

；如果－＞0，那么x

；

6、不等式ax＞b的解集是x＜，則a的取值范圍是

；

7、一個長方形的長為x米，寬為50米，如果它的周長不小于280米，那么x應滿足的不等式為

；

8、點A（－5，y1）、B（－2，y2）都在直線y

=

－2x上，則y1與y2的關系是

；

9、如果一次函數y

=（2－m）x＋m的圖象經過第一、二、四象限，那么m的取值范圍是

；

四、一元一次不等式組

（難點）

1、一元一次不等式組的概念：

幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一個一元一次不等式組。

2、幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它們所組成的一元一次不等式組的解集。

3、求不等式組的解集的過程，叫做解不等式組。

4、當任何數x都不能使不等式同時成立，我們就說這個不等式組無解或其解為空集。

5、一元一次不等式組的解法

（1）分別求出不等式組中各個不等式的解集

（2）利用數軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個不等式組的解集。

例：

一、選擇題

1．下列不等式組中，是一元一次不等式組的是（

）

A．

B．

C．

D．

2．下列說法正確的是（

）

A．不等式組的解集是5

B．的解集是－3

C．的解集是x=2

D．的解集是x≠3

3．不等式組的最小整數解為（

）

A．－1

B．0

C．1

D．4

4．在平面直角坐標系中，點P（2x－6，x－5）在第四象限，則x的取值范圍是（

）

A．3

B．－3

C．－5

D．－5

5．不等式組的解集是（

）

A．x>2

B．x

C．2

D．無解

二、填空題

6．若不等式組有解，則m的取值范圍是______．

7．已知三角形三邊的長分別為2，3和a，則a的取值范圍是_____．

8．將一筐橘子分給若干個兒童，如果每人分4個橘子，則剩下9個橘子；如果每人分6個橘子，則最后一個兒童分得的橘子數將少于3個，由以上可推出，共有_____個兒童，分_____個橘子．

9．若不等式組的解集是－1

三、解答題

10．解不等式組

11．若不等式組無解，求m的取值范圍．

12．為節約用電，某學校于本學期初制定了詳細的用電計劃．如果實際每天比計劃多用2度電，那么本學期用電量將會超過2530度；如果實際每天比計劃節約了2度電，那么本學期用電量將會不超過2200度．若本學期的在校時間按110天計算，那么學校每天計劃用電量在什么范圍內？

易錯點分析：

易錯點1：誤認為一元一次不等式組的“公共部分”就是兩個數之間的部分．

例1

解不等式組

錯解：由①，得x＞1，由②，得x＜－2，所以不等式組的解集為－2＜x＜1．

錯因剖析：解一元一次不等式組的方法是先分別求出不等式組中各個不等式的解集，再利用數軸求出這些不等式解集的公共部分．此題錯在對“公共部分”的理解上，誤認為兩個數之間的部分為“公共部分”（即解集）．實際上，這兩部分沒有“公共部分”，也就是說此不等式組無解，而所謂“公共部分”的解是指“兩線重疊”的部分．此外，有些同學可能會受到解題順序的影響，把解集表示成1＜x＜－2或－2＜x＞1等，這些都是錯誤的．

正解：由①，得x＞1．由②，得x＜－2，所以此不等式組無解．

易錯點2：誤認為“同向解集哪個表示范圍大就取哪個”．

例2解不等式組

錯解：解不等式①，得x＞－．解不等式②，得x＞5．由于x＞－的范圍較大，所以不

等式組的解集為x＞－．

錯因剖析：本例錯解中，由于對不等式組的解集理解得不深刻，在根據兩個解集的范圍確定不等式組的解集時，形成錯誤的認識．其實在求兩個一元一次不等式組成的不等式組的解集時，可歸納為以下四種基本類型（設a＜b），

①

②

③

④

利用數可確定它們的解集分別為

①x＞b，②x＜a，③a＜x＜b，④空集．也可以用下面的口訣來幫助記憶，“同大取大，同小取小，大小小大中間取，大大小小取不了（空集）”．

正解：解不等式①，得x＞－．解不等式②，得x＞5．

所以不等式組的解集為x＞5．

易錯點3：混淆解一元一次不等式組和解二元一次方程組的方法．

例3

解不等式組

錯解：由①＋②，得2x≤14，即x≤7，所以不等式組的解集為x≤7．

錯因剖析：本例錯在將解一元一次不等式組和解二元一次方程組的方法混淆，誤將解二元一次方程組中的加減消元法用在解一元一次不等式組中．產生此類錯誤的根本原因是沒有正確區分解一元一次不等式組和解二元一次方程組的不同點，（1）解二元一次方程組時，兩個方程不是單獨存在的；（2）由兩個一元一次不等式組成的不等式組的解集，可歸納為“獨立解，集中到”，即獨立地解不等式組中的每一個不等式組中的每一個不等式，在解的過程中，各不等式彼此不發生關系，“組”的作用在最后，即每一個不等式的解集都要求出來后，再利用數軸從“公共部分”的角度去求“組”的解集．

正解：由不等式①，得x≥－17，即x≥－．

由不等式②，得x≤－3，即

x≤－．

所以原不等式組的解集為－≤x≤－．

易錯點4：在去分母時，漏乘常數項．

例4

解不等式組

錯解：由①，得x＜2．在x－21＋2≥－x的兩邊同乘2，得x－1＋2≥－2x．于是有x≥－，所以原不等式組的解集為2＞x≥－．

錯因剖析：解一元一次不等式組，需要先求出每一個不等式的解，最后找出它們的公共部分．對不等式進行變形時，一定要使用同解變形，不然就容易出錯．本例的解答過程中沒有掌握不等式的運算性質，在去分母時漏乘了中間的一項．此外，還要注意在表示“大小小大中間取”這類不等式的解集時應按一般順序，把小的那個數放在前面，大的那個數放在后面，用“＜”連接．

正解：由①，得x＜2．在＋2≥－x的兩邊同乘2，得x－1＋4≥－2x．于是有x≥－1，所以原不等式組的解集為－1≤x＜2．

易錯點5：忽視不等式兩邊同乘（或除以）的數的符號，導致不等式方向出錯．

例5

解關于x的不等式（－a）x＞1－2a．

錯解：去分母，得(1－2a)x＞2(1－2a)．將不等式兩邊同時除以（1－2a），得x＞2．

錯因剖析：在利用不等式的性質解不等式時，如果不等式兩邊同乘（或除以）的數是含字母的式子，應注意討論含字母的式子的符號．本例中不等式兩邊同乘(或除以)的(1－2a)，在不確定取值符號的情況下進行約分，所以出錯．

正解：將不等式變形，得(1－2a)x＞2(1－2a)．

（1）當1－2a＞0時，即a＜時，x＞2；

（2）當1－2a＝0時，即a＝時，不等式無解；

（3）當1－2a＜0時，即a＞時，x＜2．

例6

如果關于x的不等式(2a－b)x＋a－5b＞0的解集是x＜，則關于x的不等式ax＞b的解集是_________．

錯解：因為不等式（2a－b）x＋a－5b＞0的解集是x＜，所以＝，則有

解得從而知ax＞b的解集是x＞．

錯因剖析：本題錯因有兩個，一是忽視了原不等式的不等號方向與解集的不等號方向正好相反；二是對含有字母系數的不等式沒有根據解集的情況確定字母系數的取值范圍，所以在解題時錯誤得出解得從而錯誤得到ax＞b的解集是x＞．

正解：由不等式（2a－b）x＋a－5b＞0的解集是x＜，得解得所以ax＞b的解集是x＜．

易錯點6：尋找待定字母的取值范圍時易漏特殊情況．

例7

若關于x的不等式組無解，則a的取值范圍是________________．

錯解：由得又因為不等式組無解，所以a的取值范圍是a＞3．

錯因剖析：由已知不等式的解集確定不等式組的解集時，可按“同大取大，同小取小，大小小大中間取，大大小小取不了”的基本規律求解，但當已知不等式組的解集而求不等式的解集中待定字母取值范圍時則不能完全套用此規律，還應考慮特例，即a＝3，有x≤3及

x＞3，而此時不等式組也是無解的．因此，本題錯在沒有考慮待定字母的取值范圍的特殊情況．

正解：由得又因為不等式組無解，所以a的取值范圍是a≥3．

例8

已知關于x的不等式組的整數解共有5個，則

a的取值范圍是_________．

錯解：由解得又因為原不等式組的整數解共有5個，所以a≤x＜2，這

5個整數解為－3，－2，－1，0，1，從而有a≤－3(或a＝－3)．

錯因剖析：本題主要考查同學們是否會運用逆向思維解決含有待定字母的一元一次不等式組的特解．上述解法錯在忽視a≤x＜2中有5個整數解時，a雖不唯一，但也有一定的限制，a的取值范圍在－3與－4之間，其中包括－3，但不應包括－4，所以錯解在確定

a的取值范圍時擴大了解的范圍．

正解：由解得又因為原不等式組的整數解共有5個，所以a≤x＜2．又知這5個整數解為－3，－2，－1，0，1．故a的取值范圍是－4＜a≤－3．

總之，對于解一元一次不等式（組）問題，我們要深刻領會一元一次不等式（組）的基礎知識，熟悉這6個易錯點，牢固地掌握一元一次不等式（組）的解法和步驟，從而遠離解一元一次不等式（組）的錯誤深淵．

中考考點解讀：

1.

（2012山東濱州3分）不等式的解集是【

】

A．

B．

C．

D．空集

【答案】A。

【考點】解一元一次不等式組。

【分析】解一元一次不等式組，先求出不等式組中每一個不等式的解集，再利用口訣求出這些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小解不了（無解）。因此，

解得，解得。按同大取大，得不等式組的解集是：．故選A。

2.

（2012山東濱州3分）李明同學早上騎自行車上學，中途因道路施工步行一段路，到學校共用時15分鐘．他騎自行車的平均速度是250米/分鐘，步行的平均速度是80米/分鐘．他家離學校的距離是2900米．如

果他騎車和步行的時間分別為分鐘，列出的方程是【

】

A．

B．

C．

D．

【答案】D。

【考點】由實際問題抽象出二元一次方程組。

【分析】李明同學騎車和步行的時間分別為分鐘，由題意得：

李明同學到學校共用時15分鐘，所以得方程：。

李明同學騎自行車的平均速度是250米/分鐘，分鐘騎了250米；步行的平均速度是80米/分鐘，分鐘走了80米。他家離學校的距離是2900米，所以得方程：。

故選D。

3.

（2012山東德州3分）已知，則a+b等于【

】

A．3

B．

C．2

D．1

【答案】A。

【考點】解二元一次方程組。

【分析】兩式相加即可得出4a+4b=12，方程的兩邊都除以4即可得出答案：a+b=3。故選A。

4.

（2012山東東營3分）方程有兩個實數根，則k的取值范圍是【

】．

A．

k≥1

B．

k≤1

C．

k>1

D．

k

【答案】D。

【考點】一元二次方程的意義和根的判別式。

【分析】當k=1時，原方程不成立，故k≠1，

當k≠1時，方程為一元二次方程。

此方程有兩個實數根，

，解得：k≤1。

綜上k的取值范圍是k＜1。故選D。

5.

（2012山東菏澤3分）已知是二元一次方程組的解，則的算術平方根為【

】

A．±2

B．

C．2

D．

4

【答案】C。

【考點】二元一次方程組的解和解二元一次方程組，求代數式的值，算術平方根。

【分析】是二元一次方程組的解，，解得。

。即的算術平方根為2。故選C。

6.

（2012山東萊蕪3分）對于非零的實數a、b，規定ab＝－．若2(2x－1)＝1，則x＝【

】

A．

B．

C．

D．－

【答案】A。

【考點】新定義，解分式方程。

【分析】ab＝－，2(2x－1)＝1，2(2x－1)＝。

。

檢驗，合適。故選A。

7.

（2012山東萊蕪3分）已知m、n是方程x2＋2x＋1＝0的兩根，則代數式的值為【

】

A．9

B．±3

C．3

D．5

【答案】C。

【考點】一元二次方程根與系數的關系，求代數式的值。

【分析】m、n是方程x2＋2x＋1＝0的兩根，m＋n=，mn=1。

。故選C。

8.

（2012山東臨沂3分）用配方法解一元二次方程時，此方程可變形為【

】

A．

B．

C．

D．

【答案】D。

【考點】配方法解一元二次方程。

【分析】。故選D。

9.

（2012山東臨沂3分）不等式組的解集在數軸上表示正確的是【

】

A．

B．

C．

D．

【答案】A。

【考點】解一元一次不等式組，在數軸上表示不等式的解集。

【分析】解一元一次不等式組，先求出不等式組中每一個不等式的解集，再利用口訣求出這些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小解不了（無解）。因此，。

不等式組的解集在數軸上表示的方法：把每個不等式的解集在數軸上表示出來（＞，≥向右畫；＜，≤向左畫），數軸上的點把數軸分成若干段，如果數軸的某一段上面表示解集的線的條數與不等式的個數一樣，那么這段就是不等式組的解集．有幾個就要幾個。在表示解集時“≥”，“≤”要用實心圓點表示；“＜”，“＞”要用空心圓點表示。因此，在數軸上表示為：

故選A。

10.

（2012山東臨沂3分）關于x、y的方程組的解是

，則的值是【

】

A．5

B．3

C．2

D．1

【答案】D。

【考點】二元一次方程組的解和解二元一次方程組，求代數式的值。

【分析】方程組的解是，。

。故選D。

11.

（2012山東日照4分）已知關于x的一元二次方程(k－2)2x2＋(2k＋1)x＋1=0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是【

】

(A)

k>且k≠2

(B)k≥且k≠2

(C)

k

>且k≠2

(D)k≥且k≠2

【答案】C。

【考點】一元二次方程根的判別式，一元二次方程的定義。

【分析】方程為一元二次方程，k－2≠0，即k≠2。

方程有兩個不相等的實數根，＞0，

（2k＋1）2－4（k－2）2＞0，即（2k＋1－2k＋4）（2k＋1＋2k－4）＞0，

5（4k－3）＞0，k＞。

k的取值范圍是k＞且k≠2。故選C。

12.

（2012山東日照4分）某校學生志愿服務小組在“學雷鋒”活動中購買了一批牛奶到敬老院慰問老人.如果分給每位老人4盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分給每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒.則這個敬老院的老人最少有【

】

（A）29人

（B）30人

（C）31人

（D）32人

【答案】B。

【考點】一元一次不等式組的應用。

【分析】設這個敬老院的老人有x人，則有牛奶（4x＋28）盒，根據關鍵語句“如果分給每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒”可得不等式組：

，

解得：29＜x≤32。

x為整數，x最少為30。故選B。

13.

（2012山東泰安3分）將不等式組的解集在數軸上表示出來，正確的是【

】

A．

B．

C．

D．

【答案】C。

【考點】解一元一次不等式組，在數軸上表示不等式的解集。

【分析】解一元一次不等式組，先求出不等式組中每一個不等式的解集，再利用口訣求出這些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小解不了（無解）。因此，

，由①得，＞3；由②得，≤4。

其解集為：3＜≤4。

不等式組的解集在數軸上表示的方法：把每個不等式的解集在數軸上表示出來（＞，≥向右畫；＜，≤向左畫），數軸上的點把數軸分成若干段，如果數軸的某一段上面表示解集的線的條數與不等式的個數一樣，那么這段就是不等式組的解集．有幾個就要幾個。在表示解集時“≥”，“≤”要用實心圓點表示；“＜”，“＞”要用空心圓點表示。因此，

3＜≤4在數軸上表示為：

故選C。

14.

（2012山東濰坊3分）不等式組的解等于【

】．

A．

1

B．

x>1

C．

x

D．

x2

【答案】A。

【考點】解一元一次不等式組。

【分析】解一元一次不等式組，先求出不等式組中每一個不等式的解集，再利用口訣求出這些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小解不了（無解）。因此，

解2x＋3＞5得，x＞1；解3x－2＜4得，x＜2，此不等式組的解集為：1＜x＜2。故選A。

15.

（2012山東濰坊3分）下圖是某月的日歷表，在此日歷表上可以用一個矩形圈出3×3個位置相鄰的9個數(如6，7，8，l3，14，l5，20，21，22)．若圈出的9個數中，最大數與最小數的積為192，則這9個數的和為【

】．

A．32

B．126

C．135

D．144

【答案】D。

【考點】分類歸納（數字的變化類），一元二次方程的應用。

【分析】由日歷表可知，圈出的9個數中，最大數與最小數的差總為16，又已知最大數與最小數的積為192，所以設最大數為x，則最小數為x－16。

x（x－16）=192，解得x=24或x=－8（負數舍去）。

最大數為24，最小數為8。

圈出的9個數為8，9，10，15，16，17，22，23，24。和為144。故選D。

第8章

整式的乘法與因式分解

整式的乘法

同底數冪的乘法：

am

·

an

=

a

m

+

n（m、n都是正整數）

冪的乘方：

(am)n

=

a

m

n（m、n都是正整數）

積的乘方：(ab)n

=

a

n

b

n（n為正整數）

同底數冪的除法：

a

m

÷

a

n

=

a

m

-

n（a

≠

，m、n都是正整數，并且m＞n）

零指數冪：a0

=

1（a

≠

）

單項式與單項式相乘，

單項式與多項式相乘，

多項式與多項式相乘。（利用運算律和上面的運算性質解答）

乘法公式

平方差公式：（a+b）（a-b）=

a2

-

b2

完全平方公式：（a+b）2

=

a2

+

2ab

+

b2

（a-b）2

=

a2

-

2ab

+

b2

添括號法則：a+b+c

=

a+(b+c)

a-b-c

=

a

-

(b+c)

舉例：a-b+c

=

a

-

(b-c)

因式分解（幾個整式乘積的形式）

式子的變形：這個多項式的因式分解

=

把這個多項式因式分解。

1、提公因式法（多項式各項有公因式）

2、公式法（3個乘法公式左右互換）

3、十字相乘法（補充）

分式

9.1

分式：A/B。（A、B表示兩個整式，并且B中含有字母。B

≠

0分式才有意義。）

分式的性質：分式的分子與分母乘（或除以）同一個不等于0的整式，分式的值不變。

約分、最簡分式、通分、最簡公分母。

9.2

分式的運算

乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。

除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。

加減法法則：同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減；

異分母分式相加減，先通分，變為同分母的分式，再加減。

分式的乘方：要把分子、分母分別乘方。

整數指數冪：正整數指數冪，零指數冪，負整數指數冪（a-n

=

1/an

,

a≠0）。

歸結：

am

·

an

=

a

m

+

n（m、n是整數）

(am)n

=

a

m

n（m、n是整數）

(ab)n

=

a

n

b

n（n是整數）

備注：分子、分母是多項式時，通常先分解因式，再約分。

9.3

分式方程

概念：分母中含未知數的方程。

最簡公分母不為0是分式方程的解；

步驟：分式方程

整式方程

X

=

a

最簡公分母為0

不是分式方程的解。

去分母

解整式方程

檢驗

相交線與平行線知識點精講

1.

相交線

同一平面中，兩條直線的位置有兩種情況：

相交：如圖所示，直線AB與直線CD相交于點O，其中以O為頂點共有4個角：

1，2，3，4；

鄰補角：其中1和2有一條公共邊，且他們的另一邊互為反向延長線。像1和2這樣的角我們稱他們互為鄰補角；

對頂角：1和3有一個公共的頂點O，并且1的兩邊分別是3兩邊的反向延長線，具有這種位置關系的兩個角，互為對頂角；

1和2互補，2和3互補，因為同角的補角相等，所以1＝3。

所以，對頂角相等

例題：

1.如圖，31＝23，求1，2，3，4的度數。

2.如圖，直線AB、CD、EF相交于O，且，，則_______，__________。

垂直：垂直是相交的一種特殊情況兩條直線相互垂直，其中一條叫做另一條的垂線，它們的交點叫做垂足。如圖所示，圖中ABCD，垂足為O。垂直的兩條直線共形成四個直角，每個直角都是90。

例題：

如圖，ABCD，垂足為O，EF經過點O，1＝26，求EOD，2，3的度數。

垂線相關的基本性質：

（1）

經過一點有且只有一條直線垂直于已知直線；

（2）

連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短；

（3）

從直線外一點到直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離。

例題：假設你在游泳池中的P點游泳，AC是泳池的岸，如果此時你的腿抽筋了，你會選擇那條路線游向岸邊？為什么？

2.平行線：在同一個平面內永不相交的兩條直線叫做平行線。

平行線公理：經過直線外一點，有且只有一條直線和已知直線平行。

如上圖，直線a與直線b平行，記作a//b

3.同一個平面中的三條直線關系：

三條直線在一個平面中的位置關系有4中情況：有一個交點，有兩個交點，有三個交點，沒有交點。

（1）有一個交點：三條直線相交于同一個點，如圖所示，以交點為頂點形成各個角，可以用角的相關知識解決；

例題：

如圖，直線AB,CD,EF相交于O點，DOB是它的余角的兩倍，AOE＝2DOF,且有OGOA，求EOG的度數。

（2）有兩個交點:（這種情況必然是兩條直線平行，被第三條直線所截。）如圖所示，直線AB，CD平行，被第三條直線EF所截。這三條直線形成了兩個頂點，圍繞兩個頂點的8個角之間有三種特殊關系：

*同位角：沒有公共頂點的兩個角，它們在直線AB,CD的同側，在第三條直線EF的同旁（即位置相同），這樣的一對角叫做同位角；

*內錯角：沒有公共頂點的兩個角，它們在直線AB,CD之間，在第三條直線EF的兩旁（即位置交錯），這樣的一對角叫做內錯角；

*同旁內角：沒有公共頂點的兩個角，它們在直線AB,CD之間，在第三條直線EF的同旁，這樣的一對角叫做同旁內角；

指出上圖中的同位角，內錯角，同旁內角。

兩條直線平行，被第三條直線所截，其同位角，內錯角，同旁內角有如下關系：

兩直線平行，被第三條直線所截，同位角相等；

兩直線平行，被第三條直線所截，內錯角相等

兩直線平行，被第三條直線所截，同旁內角互補。

如上圖，指出相等的各角和互補的角。

例題：

1.如圖，已知1＋2＝180，3＝180，求4的度數。

2.如圖所示，AB//CD，A＝135，E＝80。求CDE的度數。

平行線判定定理：

兩條直線平行，被第三條直線所截，形成的角有如上所說的性質；那么反過來，如果兩條直線被第三條直線所截，形成的同位角相等，內錯角相等，同旁內角互補，是否能證明這兩條直線平行呢？答案是可以的。

兩條直線被第三條直線所截，以下幾種情況可以判定這兩條直線平行：

平行線判定定理1：同位角相等，兩直線平行

如圖所示，只要滿足1＝2（或者3＝4；5＝7；6＝8），就可以說AB//CD

平行線判定定理2：內錯角相等，兩直線平行

如圖所示，只要滿足6＝2（或者5＝4），就可以說AB//CD

平行線判定定理3：同旁內角互補，兩直線平行

如圖所示，只要滿足5+2＝180（或者6+4＝180），就可以說AB//CD

平行線判定定理4：兩條直線同時垂直于第三條直線，兩條直線平行

這是兩直線與第三條直線相交時的一種特殊情況，由上圖中1＝2＝90就可以得到。

平行線判定定理5：兩條直線同時平行于第三條直線，兩條直線平行

例題：

1.已知：AB//CD，BD平分，DB平分，求證：DA//BC

2.已知：AF、BD、CE都為直線，B在直線AC上，E在直線DF上，且，，求證：。

（3）有三個交點

當三條直線兩兩相交時，共形成三個交點，12個角，這是三條直線相交的一般情況。如下圖所示：

你能指出其中的同位角，內錯角和同旁內角嗎？

三個交點可以看成一個三角形的三個頂點，三個交點直線的線段可以看成是三角形的三條邊。

（4）沒有交點：

這種情況下，三條直線都平行，如下圖所示：

即a//b//c。這也是同一平面內三條直線位置關系的一種特殊情況。

例題：

如圖，CD∥AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，問直線EF與CD有怎樣的位置關系，為什么？

一．選擇題：

1.

如圖，下面結論正確的是（

）

A.

是同位角

B.

是內錯角

C.

是同旁內角

D.

是內錯角

2.

如圖，圖中同旁內角的對數是（

）

A.

2對

B.

3對

C.

4對

D.

5對

3.

如圖，能與構成同位角的有（

）

A.

1個

B.

2個

C.

3個

D.

4個

4.

如圖，圖中的內錯角的對數是（

）

A.

2對

B.

3對

C.

4對

D.

5對

5．如果兩個角的兩邊分別平行，而其中一個角比另一個角的4倍少，那么這兩個角是（

）

A.

B.

都是

C.

或

D.

以上都不對

二．填空

1．

已知：如圖，。求證：。

證明：（

）

（

）

（

）

（

）

2．

已知：如圖，COD是直線，。求證：A、O、B三點在同一條直線上。

證明：COD是一條直線（

）

___________（

）

（

）

____________________

_______________（

）

三．解答題

1．如圖，已知：AB//CD，求證：B+D+BED=（至少用三種方法）

2．已知：如圖，E、F分別是AB和CD上的點，DE、AF分別交BC于G、H，A=D，1=2，求證：B=C。

3．已知：如圖，，且B、C、D在一條直線求證：

4．已知：如圖，，DE平分，BF平分，且。

求證：

5．已知：如圖，。

求證：

6．已知：如圖，。

求證：

相交線與平行線

10.1

相交線

鄰補角、對頂角

對頂角相等

直線與直線互相垂直，記作。

垂直是相交的一種特殊情形，兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足。

在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。

連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。

垂線段最短。

直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離。

同位角、內錯角、同旁內角

10.2

平行線及其判定

10.2.1

平行線

在同一平面內，當直線與直線不相交時，我們就說直線與直線互相平行，記作.

平行公理：

經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。

如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。

即如果，，那么.

10.2.2

平行線的判定

判定方法1

兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。

同位角相等，兩直線平行。

判定方法2

兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那么這兩條直線平行。

內錯角相等，兩直線平行。

判定方法3

兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行。

同旁內角互補，兩直線平行。

10.3

平行線的性質

性質1

兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。

兩直線平行，同位角相等。

性質2

兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等。

兩直線平行，內錯角相等。

性質3

兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補。兩直線平行，同旁內角互補。

10.4

平移

相

交

線

平行公理

同位角、內錯角、同旁內角

兩條直線被第三條直線所截

兩條直線

相交

垂線及其性質

鄰補角、

對頂角

點到直線的距離

對頂角相等

平移

判定

性質

篇（2）

新課改的精神要求教師引導學生自主的學習，而研究性的學習方法是引導學生自主學習的一個常見方式。初中數學教學中研究性的學習模式是指教師引導學生去研究一個課題項目，學生圍繞這個項目自己去搜集資料、自己去找解決問題的方法、自己去驗證答案，當學生研究完一個項目之后，自己就能理解與這個項目相關的一系列知識。研究性的學習模式可以由學生一個人完成，也可以由幾個人組成團體共同完成。

一、讓學生掌握科學的思維方法

在傳統的教學方法中，教師是學習的主導，教師給學生指定學習的目標，學生是被動的學習、被動的接受教師傳授的知識。初中數學的教學有一些需要抽象的思維能力、要求邏輯思維能力強的知識。比如一元一次方程式、二元一次方程式等。初中學生的心理特點是形象思維能力很強，抽象的思維能力較弱，如果讓學生去學習直觀的、容易理解的知識，學生會感覺很有興趣，而如果讓學生去學習抽象的、需要邏輯思維能力強的知識，學生往往感覺枯燥乏味又很困難。因為學生是被動的學習，如果要求學生去學習太困難的知識，學生就要求教師解決自己學習困難的問題，如果教師不能讓自己輕松學會知識，學生就不主動學習這些知識。

而研究性的學習模式則是教師給予學生一個課題，學生要圍繞這個課題自己找到解決問題的方法，這樣傳統被動的“等飯吃”的方法不能讓學生解決課題，學生得自己去找解決問題的辦法，學生在自己思考和實踐中，思維能力就會被培養起來。比如教師在引導學生學習初中數學蘇教版七年級下冊二元一次方程式時，由于方程式的變量增加為兩個，學生學習就感覺有些困難，這時教師可以突破常規方式，從讓學生大量解題轉為讓學生自己去找解題規律當作課后習題，學生就先自己去尋找方程應用的范圍、尋找方程解題的一般規律、自己總結得到答案的方法。學生在篩選范圍、分析比較、觀察總結中自己就培養出科學的思維方法，而這套方法是學習數學的基礎。當學生自己掌握到科學的思維方法時，面對數學難題時他們就會有一套科學的方法去解答。

二、讓學生增加生活實踐的能力

數學這門科學的建立是來源于生活。比如人們在算帳的時候找出一套算帳的方法，人們在計算一塊土地長寬的時候找到計算的方法，人們把這些計算的方法和規律總結出來，得到一套系統的知識就是數學知識。數學知識是一門應用性很強的科學，然而傳統的數學教學方法重視讓學生掌握數學的概念和規則卻忽視學生在實踐中的應用能力，久而久之學生對數學產生誤解，認為數學知識和生活沒有多大關系，只是因為自己必須要掌握這門知識所以才去學習，因此學生學習數學的積極性不高。

使用研究式的學習模式能把數學教學與學生的日常生活聯系起來，讓學生明白數學來源于生活，自己學習的知識要應用到生活中的意義。比如在教學初中數學蘇教版七年級下冊數據在我們周圍時，教師可以布置學生完成的課題如下：給5000元錢，去哪家銀行，用怎樣的方式存款收益最高。學生通過自己去調查各家銀行的利率、自己分析比較各種存款的方法，就知道學習數學知識在日常生活中應用有怎樣的意義。通過研究性的學習，學生不僅對學習數學有更大的興趣，而且掌握更多生活知識他們變得更加愛生活。

三、讓學生融入團隊合作中

在數學的學習中，有些問題需要大家一起共同研究、互相啟發、共同解決。但是目前的學生絕大多數都是獨生子女，他們不懂得與人相處和溝通，也不能理解什么是團隊精神。但是這并不代表學生們永遠不能學會團隊合作的精神，他們只是缺少很多機會。研究性的教學模式能夠提供給學生機會，在研究式學習的模式下，學生因為同一個目標聚集在一起，在合作的過程中，學生可以慢慢學會傾聽別人的意見、學會取長補短、學會大局為重，慢慢學生就能融入到團隊的合作中，這種團隊合作精神是學生未來學習和研究數學課題的關鍵能力，它決定學生是否有持續發展的可能。

比如在教學初中數學蘇教版八年級上冊第二章勾股定理和平方根時，教師可以讓學生組成團隊共同研究勾股定律的論證方法，并要詳細記錄論證的過程。學生在共同研究中，他們一起測量數據、一起用各種方法拼接圖形、一起計算數據。在這個過程中，有些學生腦子靈活，總能想出更多的圖形拼湊方法；有的學生很擅長整理記錄，他們能把求證的過程整理得很有條理。在共同研究的過程中，學生們把精神集中到共同研究課題上而放下過去彼此的成見，等到研究課題完成時，他們通過相處不僅加深感情，而且同學之間能彼此欣賞。

傳統的灌輸式教學方法，讓學生學習初中數學時，不僅學習態度被動，而且思維方式呆板，同時他們掌握的能力極其單一，因為傳統灌輸式教學方法的弊端，學生往往都成為只會做題的“書呆子”。而采用研究式的學習模式能讓學生自主的學習數學知識，在研究數學項目的過程中，學生不僅能深入的理解課本中的概念知識，而且能全方位的提高自己各方面的能力。

在使用研究式的教學方法時，教師要注意到給學生研究的項目課題必須是學生結合舊的知識和現在學習的新的知識，經過努力研究就能得到成果的難易適度的課題，如果難易度不合適，學生可能會覺得項目太簡單而不必深入思考，或者覺得怎樣研究也得不到成果索性消極對待。

【參考文獻】

[1]呂林海，王智明.數學研究性學習的三種實施模式初探[J].數學教育學報.2004（02）

[2]張雄.中國數學教育改革的趨勢[J].中學數學教學參考.2004（03）

[3]何華興.把握數學發現方法 提高數學創新能力[J]. 宿州教育學院學報.2003（04）

篇（3）

初一下冊數學《三角形》知識點一、目標與要求

1.認識三角形，了解三角形的意義，認識三角形的邊、內角、頂點，能用符號語言表示三角形。

2.經歷度量三角形邊長的實踐活動中，理解三角形三邊不等的關系。

3.懂得判斷三條線段可否構成一個三角形的方法，并能運用它解決有關的問題。

4.三角形的內角和定理，能用平行線的性質推出這一定理。

5.能應用三角形內角和定理解決一些簡單的實際問題。

二、重點

三角形內角和定理;

對三角形有關概念的了解，能用符號語言表示三條形。

三、難點

三角形內角和定理的推理的過程;

在具體的圖形中不重復，且不遺漏地識別所有三角形;

用三角形三邊不等關系判定三條線段可否組成三角形。

四、知識框架

五、知識點、概念總結

1.三角形：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。

2.三角形的分類

3.三角形的三邊關系：三角形任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊的差小于第三邊。

4.高：從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足間的線段叫做三角形的高。

5.中線：在三角形中，連接一個頂點和它的對邊中點的線段叫做三角形的中線。

6.角平分線：三角形的一個內角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線。

7.高線、中線、角平分線的意義和做法

8.三角形的穩定性：三角形的形狀是固定的，三角形的這個性質叫三角形的穩定性。

9.三角形內角和定理：三角形三個內角的和等于180°

推論1直角三角形的兩個銳角互余;

推論2三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角和;

推論3三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角;

三角形的內角和是外角和的一半。

10.三角形的外角：三角形的一條邊與另一條邊延長線的夾角，叫做三角形的外角。

11.三角形外角的性質

(1)頂點是三角形的一個頂點，一邊是三角形的一邊，另一邊是三角形的一邊的延長線;

(2)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角和;

(3)三角形的一個外角大于與它不相鄰的任一內角;

(4)三角形的外角和是360°。

12.多邊形：在平面內，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形。

13.多邊形的內角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內角。

14.多邊形的外角：多邊形的一邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角。

15.多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線。

16.多邊形的分類：分為凸多邊形及凹多邊形，凸多邊形又可稱為平面多邊形，凹多邊形又稱空間多邊形。

多邊形還可以分為正多邊形和非正多邊形。正多邊形各邊相等且各內角相等。

17.正多邊形：在平面內，各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形。

18.平面鑲嵌：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，叫做用多邊形覆蓋平面。

七年級下冊數學輔導復習資料1.幾何圖形：點、線、面、體這些可幫助人們有效的刻畫錯綜復雜的世界，它們都稱為幾何圖形。

從實物中抽象出的各種圖形統稱為幾何圖形。有些幾何圖形的各部分不在同一平面內，叫做立體圖形。有些幾何圖形的各部分都在同一平面內，叫做平面圖形。雖然立體圖形與平面圖形是兩類不同的幾何圖形，但它們是互相聯系的。

2.幾何圖形的分類：幾何圖形一般分為立體圖形和平面圖形。

3.直線：幾何學基本概念，是點在空間內沿相同或相反方向運動的軌跡。

從平面解析幾何的角度來看，平面上的直線就是由平面直角坐標系中的一個二元一次方程所表示的圖形。求兩條直線的交點，只需把這兩個二元一次方程聯立求解，當這個聯立方程組無解時，二直線平行;有無窮多解時，二直線重合;只有一解時，二直線相交于一點。常用直線與X軸正向的夾角(叫直線的傾斜角)或該角的正切(稱直線的斜率)來表示平面上直線(對于X軸)的傾斜程度。

4.射線：在歐幾里德幾何學中，直線上的一點和它一旁的部分所組成的圖形稱為射線或半直線。

5.線段：指一個或一個以上不同線素組成一段連續的或不連續的圖線，如實線的線段或由“長劃、短間隔、點、短間隔、點、短間隔”組成的雙點長劃線的線段。

線段有如下性質：兩點之間線段最短。

6.兩點間的距離：連接兩點間線段的長度叫做這兩點間的距離。

7.端點：直線上兩個點和它們之間的部分叫做線段，這兩個點叫做線段的端點。

線段用表示它兩個端點的字母或一個小寫字母表示，有時這些字母也表示線段長度，記作線段AB或線段BA，線段a。其中AB表示直線上的任意兩點。

8.直線、射線、線段區別：直線沒有距離。

射線也沒有距離。因為直線沒有端點，射線只有一個端點，可以無限延長。

9.角：具有公共端點的兩條不重合的射線組成的圖形叫做角。

這個公共端點叫做角的頂點，這兩條射線叫做角的兩條邊。

一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形叫做角。所旋轉射線的端點叫做角的頂點，開始位置的射線叫做角的始邊，終止位置的射線叫做角的終邊。

10.角的靜態定義：具有公共端點的兩條不重合的射線組成的圖形叫做角。

這個公共端點叫做角的頂點，這兩條射線叫做角的兩條邊。

七年級數學絕對值教案教學內容

七年級上冊課本11----12頁1.2.4絕對值

教學目標

1.知識與能力目標：借助于數軸，初步理解絕對值的概念，能求一個數的絕對值，初步學會求絕對值等于某一個正數的有理數。

2.過程與方法目標：通過從數形兩個側面理解絕對值的意義，初步了解數形結合的思想方法。

通過應用絕對值解決實際問題，體會絕對值的意義。

3.情感態度與價值觀：通過應用絕對值解決實際問題，培養學生濃厚的學習興趣，使學生能積極參與數學學習活動，對數學有好奇心與求知欲。

教學重點與難點

教學重點：絕對值的幾何意義和代數意義，以及求一個數的絕對值。

教學難點：絕對值定義的得出、意義的理解，以及求絕對值等于某一個正數的有理數。

教學準備

多媒體課件

教學過程

一、創設問題情境

1、兩只小狗從同一點O出發，在一條筆直的街上跑，一只向右跑10米到達A點，另一只向左跑10米到達B點。

若規定向右為正，則A處記作?__________，B處記作__________。

以O為原點，取適當的單位長度畫數軸，并標出A、B的位置。

(用生動有趣的引例吸引學生，即復習了數軸和相反數，又為下文作準備)。

2、這兩只小狗在跑的過程中，有沒有共同的地方?在數軸上的A、B兩點又有什么特征?(從形和數兩個角度去感受絕對值)。

3、在數軸上找到-5和5的點，它們到原點的距離分別是多少?表示-和的點呢?

小結：在實際生活中，有時存在這樣的情況，無需考慮數的正負性質，比如：在計算小狗所跑的路程中，與小狗跑的方向無關，這時所走的路程只需用正數，這樣就必須引進一個新的概念?———絕對值。

二、建立數學模型

1、絕對值的概念

(借助于數軸這一工具，師生共同討論，引出絕對值的概念)

絕對值的幾何定義：一個數在數軸上對應的點到原點的距離叫做這個數的絕對值。比如：-5到原點的距離是5，所以-5的絕對值是5，記|-5|=5;5的絕對值是5，記做|5|=5。

注意：①與原點的關系 ②是個距離的概念

2..練習1：請學生舉一個生活中的實際例子，說明解決有的問題只需考慮的數絕對值。

篇（4）

二、工作目標：

1. 夯實并細化教學常規管理——備、教、批、考等教學工作的環節，尤其是集體備課環節，設立學科單周備課日，提高教學管理的質量、效益和檔次。

2. 夯實并細化教、科研工作，尤其要改變教與學的方式，設立雙周教研日，從而拉動科研的方向。

3.全面深入課堂，加強九年級平行推進的監控與管理。

4.改進八年級兩級分化現象。

5.加強七年級學科的銜接和各班級均衡發展的管理。

6. 加強學籍和檔案的規范、科學管理。

7. 科研工作和師資培訓工作要加強計劃性和有效性。

8. 加強新、老三室的利用率與規范管理。

三、重點工作及措施：

（一）、夯實并細化教學常規管理——備、教、批、考等教學工作的環節，尤其是集體備課環節，設立學科單周備課日，提高教學管理的質量、效益和檔次。

1、加大上學期修訂的有關《備、教、批、考等常規教學制度》的執行力度，將這些制度的執行落到實處。

2、夯實并加強集體備課的細化管理。

為了更好地發揮教師集體的智慧，促進教師業務水平提高，提高學校教學質量的整體水平。集體備課可以將集體的智慧與個人的特長有機地結合起來，取長補短，共同提高。集體備課是課堂教學的準備環節，是課堂教學取得成功的重要保證，是教師專業化成長的平臺。

本學期設立單周集體備課日，并對集體備課制定出相應的《集體備課制度》加以具體的約束和獎懲要求。集體備課日的具體設置為：

每月單周周二至周五為集體備課日，備課的時間為兩節課。

周二下午是語文組，負責人為陳平、趙光榮。

周三下午是數學組，負責人為王永發主任。

周四下午是英語組，負責人是單麗華主任。

周五下午是理化生?，負責人是王霞主任。

周二上午政史地?，負責人是楊福榮主任。

周三上午是體音美?，負責人是姜秀敏主任。

上午的備課時間是三四節課，下午的備課時間是七八節課。

（二）、加強學科教學的階段性和終結性的質量監控與分析。

1、各級教學管理人員本學期仍然要不斷加強對課堂教學環節的監控與調研，與教師一道深入課堂，研究教學過程設計、實施、反思、效率的“分子”的提高策略，使課堂教學向著集約、創新、高效的軌道不斷運轉。

教學校長每學期聽課不少于60節，教導主任聽課不少于80節（含上課節數）。

2、為確保學生基礎知識的掌握和學習能力等的提高。各年級主任要調動教研組長、年級組長參與教學管理的微觀管理，把單元過關、章節檢測工作落到實處。組織好月考工作。

七、八年級本學期搞好兩次月考一次期末教學質量檢測工作，九年級搞好3次月考工作。具體為：

七、八年級：第一次 9月26、27日；第二次11月14、15日。

九年級三次月考：第一次 9月27日；第二次 11月15日；第三次 12月27日。

七八年級思品、歷史、地理、生物同時納入月考檢測，為學生的進一步學習奠定可持續發展的基礎。

教務處要組織好每次的檢測工作，并做好相應的質量分析，總結經驗，改善不足，促進提高。

（三）、突出抓好九年級畢業班的平行推進工作，加強課堂教學的監控力度，確保在11年的基礎上有所提高，從而提升我校在河口片的辦學聲譽。具體措施如下：

1.加強課堂授課質量的監控。

主管教學領導和主管九年級領導在現今上級部門對延長課時時間來達到提高教學效果的嚴控情況下，我校應挖掘課堂教學潛力，加大深入九年級課堂教學的監控力度，與教師一道研究九年級課堂教學效率的提高問題。教學校長本學期九年級聽、評課不少于30節；負責年部教學的主任聽、評課不少于40節；教導主任聽、評課不少于40節。

2.加強邊緣生的潛力挖掘。

①樹立邊緣生的信心；②加強對邊緣生的學法指導；③挖掘邊緣生的非智力因素；④加強邊緣生的個別輔導；⑤抓家校結合。總之挖掘各種潛力提高邊緣生的成績。

3.加練習題的精選控制。練習要有目的性、針對性、實效性。教師對習題要精心篩選或設計，力爭同學科的練習題是學科教師共同協商的成果。

4.九年級本學期進行三次月考：第一次 9月27日；第二次 11月15日；第三次 12月27日。

每次月考要及時進行質量分析與總結，為下段的教學提供經驗和改進措施。

（四）、深入開展校本教研活動，不斷深化片區聯研活動。

本著“全面促進教師的專業成長，促進教學方法的改進，促進課堂教學效果的提升，促進教學質量的提高。”“四個促進”的原則，開展各級各類的的教研活動。在活動中，轉變教與學的角色理念，深化我校“問題教學”的教學研究的進程，力圖在各學科教學研究中，①做小做細學科教研主題；②做活做新教研模式。從而推進科研進程。 [1]   

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本學期繼續開展“追求過程體驗，提高課堂效率”的主題教活動，活動的具體安排：

1.每月的雙周周二為教研日，是各教研組通過課例研討講評交流和提升的時間，具體科目每月順序排出來。

9月份是語文?和數學?的展示課，10月份是英語組和體音美組的展示課，11月份是理化生?的展示課，12月份是政史地?的展示課。

2.抓好各學科確立的課堂教學模式的實施工作。

本學期各教研組的老師要在教研組長的帶領下積極實踐本教研組確立的課堂教學模式，在實際的教學中實驗、探討、修正、完善。

3.為促進七年級新生在思維習慣、學習習慣等方面的迅速過度，9月初將召開一次小學與初中教育教學銜接專題研討活動。在可能的情況下邀請河口小學參與研討活動。

4.開展好片區教研活動。

擬在11月份中旬開展一次片區教研活動，初步擬定活動形式為“同上一節課”。

（五）加強科研陣地建設。

1.每月出一期《教學反思》和《精華日志》，將教師的教育教學經驗、論文、教育故事等收集整理，作為我校宣傳教改、科研的窗口。

2.組織各級各類的論文征集、評比活動，認真篩選，擇優選送。希望老師們投身教科研實踐，爭取使論文等科研成果再上一個臺階，逐漸使教科研工作成為我校的一個特色。

3.以教師博客為平臺，積極開展網絡研修，走教師專業化道路，實現自我教育自我提升。

（六）、加強校本培訓和上級培訓的二級培訓。

1.加強校本培訓，制定學習日制度。

①兩周一次對全體教師進行有關科研和教學知識的理論培訓，提升全體教師的科研意識，認識到科研對實際教學所起的巨大作用，從而激發老師們積極投入到教育科研的研究當中，聘請專家或充分利用本校資源------有豐富經驗的骨干老師進行專題講座，開闊教師視野，豐富教師教科研思路。

②重視現代教育技術的應用，拓寬途徑、優化教研手段。組織教師學習學科教學和信息技術與課程整合知識，積極開展網絡教學研究活動，拓寬校本教研時空，為教師搭建釋疑解惑、交流互動的平臺，提高廣大教師的信息素養，改變教師的學習、工作狀態，提升學校的教研文化。

③觀看國家和省級課堂教學光碟，從中領悟、學習、把握教學前沿教師的教學理念與教學方式。

2.加強上級培訓的二級培訓的力度。

外出學習的教師：①要寫出外出培訓的學習心得等；②要在外出培訓的基礎上進行二次培訓，與大家一起共享學習成果。

其它工作是具體情況和上級主管部門通知另行安排。

(2)   第四冊小學語文教學計劃

學校體育衛生學年工作計劃

2011年小學教學工作計劃

2011年小學教研工作計劃

中學部教學工作計劃

五年級上冊數學教學計劃

篇（5）

“分類教學法”是不同于“分層次教學法”的一種教學方式，分類教學是在新課標下，在熟練教材的基礎上對課件、知識點、練習等進行分類，面向全體教學，讓學生掌握基本知識、基本技能；分層次教學主要是備好學生，根據學生的特點進行分層次教學。高效課堂是指在教學過程中調動了學習興趣，培養了學習能力，讓學生愛上課堂，真正達到高效的目的。在教育教學過程中，如何進行分類教學，構建高效課堂，讓學生掌握知識點，培養學生學習的興趣，特從以下五個方面做了闡述：

一、分類教學在于對課件的分類，能充分調動學生的學習興趣

課件的內容分引入、復習、新授、練習、總結、作業等環節。課件的引入很關鍵，可以通過故事形式或動畫形式出現，既貼近于生活，又能大大培養學生的興趣。復習內容是相對應的主要知識點，主要以填空題的形式出現。如在授九年級數學一元二次方程的定義時，復習練習布置的內容主要是一元一次方程的定義、二元一次方程的定義、分式方程的定義等內容，通過對比更鮮明地達到新授課的目的。新授課內容在熟悉教材的前提下，對課件進行分類教學。如在授八年級上冊三角形內角和內容時，可通過一副三角板入手，讓分類貼近于生活。在安排練習方面，分類題可以照顧不同層次的學生。總結和作業要有針對性，把主要內容和經典練習進行分類，讓學生對一節課的主要內容留下良好的記憶。課件的分類，有利于提高學生的學習能力，調動學生的學習興趣。

二、分類教學在于對知識點的分類，能充分提高學生的學習能力

知識點的分類更有利于面向全體，讓全體學生掌握基礎知識和基本技能。知識點的分類更形象、更直接，讓學生更明白地掌握新的知識點。在授七年級上冊數學有理數加法內容時，將有理數加法內容進行分類，分成同時是正數，同時是負數，一正一負，互為相反數的數，和零相加的數共五類。通過分類，學生更好地掌握不同的計算，提高了學生的計算能力，也培養了學生的學習興趣。又如，在授同類項這個內容時，分同類項、可以合并、和仍是單項式幾種不同形式，舉一反三，讓學生掌握了知識點，提高了學習能力。

三、分類教學在于對練習的分類，充分提高學生的解題能力

一節課的知識點很多，但如果重點不分，學習將會事倍功半；但如果把握了重點，學習就會事半功倍。對練習的分類能有效地體現重點，提高解題能力。在授八年級上冊《整式的乘法》這一章時，布置練習分填空題、計算題和求值題三類。填空題主要是填一些乘法公式和知識點，計算題主要分有同底數冪的乘法、冪的乘方、積的乘法、單項式乘單項式、單項式乘多項式、單項式除單項式、多項式除單項式等形式，具體又全面。這一章的重難點在于求值題，所以對求值題的分類至關重要，可以分為平方差公式和完全平方公式的求值題。通過對練習的分類，學生較好地掌握計算和求值，提高學生的解題能力。

四、分類教學與分層次教學的有機結合，有利于面向全體

在認真備好教材的前提下認真備好學生對提高課堂效率起到舉足輕重的作用。不同層次的學生要因材施教，在教學過程和布置練習等方面也要分類教學。在授九年級下冊“反比例函數的解析式”這一節時，根據不同層次的學生，在教學中分為直接根據文字求解析式和結合圖形、一次函數的綜合求解析式兩種，這樣做既照顧了中下層的學生，又培養了優生。通過求解析式進一步加強學生對函數的認識，又提高了學生的解題能力。又如，在教九年級上冊一元二次方程的實際應用時，通過不同層次的學生訓練不同類型的應用題。在應用題分類時，基礎和重點的分類是增長率問題；其他類型的應用題重點是利潤問題和面e問題等。分類教學與分層次教學的有機結合，有利于面向全體，也有利于提高學生的學習能力。

五、分類教學與構建高效課堂的有機結合，建設幸福人生

向40分鐘的課堂要效率，培養學生的學習興趣和能力一直是所有教育工作者的追求。分類教學在于根據學生的特點進行教學，備課是關鍵。在備課中備教材的重點去講，備學生感興趣的知識點去講，讓學生在課堂上既“吃得飽”，又“吃得好”。在課堂之外對題目進行分類，讓學生加強訓練和鞏固，讓學生愛上練習，真正愛上數學。只有對知識點恰當分類，才能促進課堂高效，讓學生在學習中更有幸福感。

總之，“分類教學法”是一種教學方法或一種教學手段，要運用好它，既要充分備好教材，也要充分備好學生。在教育教學過程中，要合理對課件、知識點和練習進行分類，根據不同層次的學生，因材施教，與分層次教學和構建高效課堂有機結合起來，努力培養學生的學習興趣，提高學生的學習能力，從而穩步提高教育教學質量。

參考文獻：

1.徐紀才.中國校外教育理論，2007.10.

篇（6）

七年級數學知識點三角形

1、三角形由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形。

2、判斷三條線段能否組成三角形。

①a+b>c(ab為最短的兩條線段)

②a-b

3、第三邊取值范圍：a-b

4、對應周長取值范圍

若兩邊分別為a,b則周長的取值范圍是2a

如兩邊分別為5和7則周長的取值范圍是14

5、三角形中三角的關系

(1)、三角形內角和定理：三角形的三個內角的和等于1800。

n邊行內角和公式(n-2)

(2)、三角形按內角的大小可分為三類：

(1)銳角三角形，即三角形的三個內角都是銳角的三角形;

(2)直角三角形，即有一個內角是直角的三角形，我們通常用“RtΔ”表示“直角三角形”,其中直角∠C所對的邊AB稱為直角三角表的斜邊，夾直角的兩邊稱為直角三角形的直角邊。

注：直角三角形的性質：直角三角形的兩個銳角互余。

(3)鈍角三角形，即有一個內角是鈍角的三角形。

(3)、判定一個三角形的形狀主要看三角形中角的度數。

(4)、直角三角形的面積等于兩直角邊乘積的一半。

6、三角形的三條重要線段

(1)、三角形的角平分線：

1、三角形的一個內角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線。

2、任意三角形都有三條角平分線，并且它們相交于三角形內一點。

(內心)

(2)、三角形的中線：

1、在三角形中，連接一個頂點與它對邊中點的線段，叫做這個三角形的中線。

2、三角形有三條中線，它們相交于三角形內一點。

(重心)

3、三角形的中線把這個三角形分成面積相等的兩個三角形

(3)、三角形的高線：

1、從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線做垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱為三角形的高。

2、任意三角形都有三條高線，它們所在的直線相交于一點。

(垂心)

3、注意等底等高知識的考試

7、相關命題：

1)三角形中最多有1個直角或鈍角，最多有3個銳角，最少有2個銳角。

2)銳角三角形中的銳角的取值范圍是60≤X

3)任意一個三角形兩角平分線的夾角=90+第三角的一半。

初一下冊數學《三角形》知識點一、目標與要求

1.認識三角形，了解三角形的意義，認識三角形的邊、內角、頂點，能用符號語言表示三角形。

2.經歷度量三角形邊長的實踐活動中，理解三角形三邊不等的關系。

3.懂得判斷三條線段可否構成一個三角形的方法，并能運用它解決有關的問題。

4.三角形的內角和定理，能用平行線的性質推出這一定理。

5.能應用三角形內角和定理解決一些簡單的實際問題。

二、重點

三角形內角和定理;

對三角形有關概念的了解，能用符號語言表示三條形。

三、難點

三角形內角和定理的推理的過程;

在具體的圖形中不重復，且不遺漏地識別所有三角形;

用三角形三邊不等關系判定三條線段可否組成三角形。

四、知識框架

五、知識點、概念總結

1.三角形：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。

2.三角形的分類

3.三角形的三邊關系：三角形任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊的差小于第三邊。

4.高：從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足間的線段叫做三角形的高。

5.中線：在三角形中，連接一個頂點和它的對邊中點的線段叫做三角形的中線。

6.角平分線：三角形的一個內角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線。

7.高線、中線、角平分線的意義和做法

8.三角形的穩定性：三角形的形狀是固定的，三角形的這個性質叫三角形的穩定性。

9.三角形內角和定理：三角形三個內角的和等于180°

推論1直角三角形的兩個銳角互余;

推論2三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角和;

推論3三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角;

三角形的內角和是外角和的一半。

初一數學學習方法一預習

對于理科學習，預習是必不可少的。我們在預習中,應該把書上的內容看一遍，盡力去理解，對解決不了的問題適當作出標記，請教老師或課上聽講解決，并試著做一做書后的習題檢驗預習效果。

二聽講

這一環節最為重要，因為老師把知識的精華都濃縮在課堂上，聽數學課時應做到抓住老師講題的思路，方法。有問題記下來，課下整理，解決，數學課上一定要積極思考，跟著老師的思路走。

三復習

體會老師課上的例題，整理思維，想想自己是怎么想的，與老師的思路有何異同，想想每一道題的考點，并試著一題多解，做到舉一反三。

四作業

認真完成老師留的習題，適當挑選一些課外習題作為練習，但切忌一味追求偏題，怪題，更不要打“題海戰術”。

篇（7）

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2016）06-0048

近年來對學生減負政策的實施，除了課間學生休息之外，那么，學生在校只有上課時間與任課教師接觸。面對學生的有效時間，又加上學生年齡低齡化、學生學習自主能力差，而且與小學數學相比較，初中數學概念比較抽象、知識系統性強，學生學習起來難度大等問題。那么，怎樣提高數學課堂教學效率，培養學生的創新精神和實踐能力呢？這個問題成了初中數學教師面臨的難題。

一、傳統初中數學教育所面臨的困境

著名物理學家錢學森先生那句振聾發聵的疑問――“為什么我們的學校總是培養不出杰出人才？”面對錢學森之問，面對傳統初中數學教學活動中學生的學習被動、學生發展問題得不到解決，不得不讓處在一線教學活動崗位的我們反思：傳統的數學教學到底怎么了？

在傳統的數學教學活動中，教學模式單一化、缺乏靈活性和針對性。在課堂教學中，教師講解學生聽，教師在黑板上大量地板書，學生做筆記。此外，在課堂教學中，教師很少給學生自主探究的時間，學生只能被動地接受，學生的思維失去了自由發展的空間，而且教師不鼓勵也不允許學生有其他不遵循教學活動的行為。傳統的數學教育雖然效率高但是教學效果非常差。義務教育階段的數學課程應突出體現基礎性、普及性和發展性，使數學教育面向全體學生，實現人人學有價值的數學。然而，這種高強度的講解和反復的訓練，導致許多初中學生對數學產生了畏懼。顯然，這種教學活動模式已經不適應義務教育階段教育。可以說，在這種傳統的數學教學活動中，教師不重視學生對問題的提出，使得學生缺乏問題意識，創新能力和自主學習能力也嚴重下降。這種功利化、模式化的教學活動方式與我國現代化發展不能同步。

二、高效課堂的教學實踐

老子曾經說過：“授人魚不如授人漁”。傳統的初中數學教育雖然能使學生基礎知識和基本技能扎實，但不利于培養學生的創新精神和實踐能力，這種教育只能授學生魚。怎樣授學生漁？高效課堂的教學能授學生漁！具體怎樣在課堂上實踐呢？筆者也在改革中摸索前進。

1. 課前準備

由于課堂時間只有四十五分鐘，在這有限的時間里，課前準備是必須的。由于初中教育屬于義務教育階段，為了減負，教師不能給學生布置太多的作業，同時教師也不能對學生課外要求的太多。因此，為了達到高效，只有教師課前精心準備了。

備課的三要素，即備教材、備學生、備教法等三個方面。第一，備教材。教師在課前要充分吃透教材，精心設計好教案。此外，教師也要閱讀大量的相關學科教學書籍并整理。可以說，任課教師對教材教法及其相關知識應該了如指掌，方能優化自己的課堂教學。第二，備學生。教師在課前要經常利用課間下班，到班級中充分了解學生的現狀。比如，教師精心安排學生課前如何準備，準備的如何以及學生課外自主合作探究情況等信息。第三，備教法。教師要深入研讀教材，整體把握教材布局，并根據各個章節的特點，弄清哪些章節適合學生去自主合作探究，哪些章節教師必須適當地指點，只有這樣才能有的放矢。可以說，高效的課堂教學必須課前準備。

2. 教學過程

高效課堂教學過程是教師出示這堂課的學習目標和要求，學生根據要求進行自學，然后與小組內成員進行合作探究，在這個過程中，教師巡視并指導各個小組，通過小組討論后由小組代表展示結果，最后教師總結。我們知道教學過程是一個促進學生身心發展的過程，也是一種特殊的認識過程。例如，滬科版八年級上冊數學第十一章平面直角坐標系。這一章的教學目標是通過本章的教學，使學生認識平面直角坐標系，理解坐標平面內的點與有序實數對的一一對應關系，并能夠寫出給定的平面直角坐標系中某一點的坐標，已知點的坐標能在平面直角坐標系中描出點；在方格紙中能建立適當的平面直角坐標系，描出圖形的位置，掌握圖形的平移與坐標變換之間的關系。這一章很適合學生自主探究，教師可以采用高效課堂教學模式，教師引導小組之間進行討論交流。通過學生自主探究，學生能夠很好地了解怎樣建立平面直角坐標系、點在坐標中的表示以及平移時坐標的變化情況，從而培養了學生自主探究能力、學生之間的合作能力、學生之間梳理知識能力以及學生的創新精神和實踐能力。如果這章采用傳統的數學教學模式，教師通過反復的講解和訓練學生做大量習題。雖然學生做題能力提高了，但是學生的探究、自主與合作學習無法保證，從而導致學生創新精神和實踐能力完全喪失。

在這個特殊的過程中，教師可以把傳統的數學教學過程中的優點與高效課堂教學過程的優點相互結合，去短補長。因此，在教學過程中，教師要根據不同的教學內容與任務確定不同類型課的教學過程，從而優化課堂教學。

例如，滬科版七年級下冊第六章實數中的第一小節平方根、立方根。這節課的教學目標是了解算術平方根、平方根和立方根的概念，會用根號表示且會求一個數的算術平方根、平方根和立方根，并了解算術平方根的性質。教學重點是算術平方根、平方根和立方根的概念、性質，會用根號表示。教學難點是平方根和算術平方根的區別，立方根與平方根的區別。這節課數學概念和性質比較強，學生從沒有接觸過太多相關知識，由于課時和教學任務的要求，加上學生去自主探究平方根和立方根困難比較大。因此，教師在設計教學過程時就可以把傳統的數學教學過程中的優點與高效課堂教學過程的優點相互結合，去短補長。這節課教師在講解新知識時采用傳統的數學教學過程；在鞏固新知識時，教師采用高效課堂的小組合作，讓小組代表展示探究的結果。這樣，學生既能扎實地把平方根和立方根的概念和性質掌握了，又能通過小組探究與合作去實踐。這樣既鞏固了學生的基礎知識，又培養了學生合作探究的能力。

3. 建立班級數學園

初中數學新課標明確指出，義務教育階段的數學課程應突出體現基礎性、普及性和發展性，使數學教育面向全體學生。面對實際初中學校資源匱乏的現狀，為了使數學水平能力強且愛好數學的學生在能力上得到更好的發展，教師可以在班級建立數學園，并在數學園貼上由教師精心設計的習題。在設計習題時，教師盡力使這些習題不重復、不機械，且使習題具有針對性、層次性、選擇性、實踐性和開放性。同時，教師積極鼓勵學生憑著自己的能力去解決問題。如果學生解決不了的，可以由小組合作解決或與教師討論。通過建立班級數學園，可以營造自主學習、合作探究的氣氛，既能培養學生的主動思維能力又能培養學生的小組合作能力，還豐富了農村學生的課外學習生活。

4. 課后輔導

教師要經常利用課間時間到班級中，多與各個學習小組面對面的交流。只有這樣，教師才能及時地了解學生學習效果如何，及時地指導學生課后學習。

篇（8）

課時安排

7課時

第一課時

課題

§2.1余角與補角

教學目標

(一)教學知識點

1.余角、補角及對頂角的定義.

2.余角、補角及對頂角的性質.

(二)能力訓練要求

1.經歷觀察、操作、推理、交流等過程，進一步發展空間觀念、推理能力和有條理表達的能力.

2.在具體情境中了解補角、余角、對頂角，知道等角的余角相等、等角的補角相等、對頂角相等，并能解決一些實際問題.

(三)情感與價值觀要求

通過在具體情境下的討論，讓學生理解基礎知識的同時，提高他們理論聯系實際的觀念.

教學重點

1.互為余角、互為補角的定義及其性質.

2.對頂角的定義及性質.

教學難點

互為余角、互為補角、對頂角的定義的理解.

教學方法

講練結合法

教師在充分發揮學生的主觀能動性的同時，來與學生進行交流、討論，使之能運用本節內容解決一些實際問題.

教學過程

Ⅰ.創設現實情景，引入新課

［師］在上冊第四章“平面圖形及其位置關系”中，我們學習了“平行”與“垂直”，大家想一想：什么是平行線？

［生］在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線.

［師］很好，在日常生活中，我們隨處可見道路、房屋、山川、橋梁……等這些大自然的杰作和人類的創造物.這其中蘊涵著大量的平行線和相交線.

下面大家來看幾幅圖片：(出示投影片：P49的橋的圖片，宮殿、建筑物、門等的圖片)

你能從這些圖案中找出平行線和相交線嗎？

(同學們踴躍發言，都能準確地找出其中的平行線和相交線)

［師］同學們找得都對，說明大家掌握了所學內容.從今天開始，我們將深入學習這方面的內容：第二章平行線與相交線.

在這一章里，我們將發現平行線和相交線的一些特征，并探索兩條直線平行的條件，我們還將利用圓規和沒有刻度的直尺，嘗試著作一些美麗的圖案.

相信大家，一定會學得很好.

圖2－1

Ⅱ．講授新課

［師］我們知道，光的反射是一種常見的物理現象，通過如圖的實驗裝置我們可以驗

證光的反謝定律：

活動內容：參照教材p59光的反射實驗提出下列問題：

（1） 模擬試驗：通過模擬光的反射的試驗，為學生提供生動有趣的問題情景，將其抽象為幾何圖形，為下面的探索做好準備。

（2）利用抽象出的幾何圖形分三個層次提出問題，進行探究。

i說出圖中各角與∠3的關系。將學生的回答分類總結，從而得到余角、補角的定義。

ii圖中還有哪些角互補？哪些角互余？在鞏固剛剛得到的概念的同時，為下一個問題作好鋪墊。

iii圖中都有哪些角相等？由此你能夠得到什么樣的結論？在學生充分探究、交流后，得到余角、補角的性質。

由此，我們得到了一個新的概念：互為余角.即：如果兩個角的和是直角，那么稱這兩個角互為余角(complementary angle),也就是說其中一個角是另一個角的余角.

只要有∠BDC+∠1=90°，就可知道∠1與∠BDC互為余角，反過來知道∠1與∠BDC是互為余角，就一定知道∠1與∠BDC的和為直角.

再之：∠1與∠BDC是互為余角就是說：∠1是∠BDC的余角，∠BDC也是∠1的余角.

大家看老師手里拿兩個三角板(一邊演示，一邊敘述)：這一個三角板的60°的角與另一個三角板的30°的角加起來正好是90°，那么我們說這兩個角是互為余角.

同學們應注意：(強調)

(1)互為余角是對兩個角而言的.

(2)互為余角僅僅表明了兩個角的數量關系，而沒有限制角的位置關系.

［生］老師，我們知道了：兩個角的和是直角，則這兩個角是互為余角.剛才我們還討論了：∠1+∠ADF=180°,∠EDB+∠1=180°.

那么這樣的兩個角又叫什么呢？

［師］這位同學問得好，這就是我們要學習的另一個概念：互為補角.即：如果兩個角的和是平角，那么稱這兩個角互為補角(supplementary angle).

互為補角的概念的理解與互為余角的理解基本一樣.哪些同學能嘗試的說一下呢？

［生甲］只要滿足∠1+∠ADF=180°，就可知道∠1與∠ADF是互為補角.反之知道∠1與∠ADF是互為補角，就一定可知道∠1與∠ADF的和是平角.

［生乙］∠1與∠ADF是互為補角，就是說：∠1是∠ADF的補角，∠ADF也是∠1的補角.

［生丙］互為補角也是對兩個角而言的.與角的大小有關，而與位置無關.

［生丁］∠EDB與∠1也是互為補角.

［師］同學們回答得真棒.互為余角、互為補角都是針對兩個角而言的，僅僅表示了兩個角之間的數量關系，并沒有限制角的位置關系.

好，下面大家來想一想.(出示投影片§2.1 A)

在下圖中，CD與EF垂直，∠1=∠2.

(1)哪些角互為余角？哪些角互為補角？

(2)∠ADC與∠BDC有什么關系？為什么？

(3)∠ADF與∠BDE有什么關系？為什么？

圖2－2

(同學們分組討論，得結論)

［生甲］在圖中：∠1與∠ADC、∠2與∠ADC、∠BDC與∠1、∠BDC與∠2都是互為余角.

∠1與∠ADF、∠EDB與∠1、∠ADF與∠2、∠EDB與∠2都是互為補角.

［生乙］∠ADC與∠BDC相等，因為：

∠ADC+∠1=90°，∠BDC+∠1=90°

所以：∠ADC=90°－∠1=∠BDC.

［生丙］∠ADC與∠BDC相等的理由還可以這樣說：因為∠ADC+∠1=90°，∠BDC+∠2=90°，所以∠ADC=90°－∠1，∠BDC=90°－∠2，又因為∠1=∠2，所以∠ADC=∠BDC.

［生丁］老師，是不是這樣：∠ADC是∠1的余角，∠BDC也是∠1的余角，所以∠ADC與∠BDC就相等.因此可以說：同一個角的余角相等.∠ADC是∠1的余角，∠BDC是∠2的余角，而∠1與∠2相等.所以∠ADC與∠BDC相等.因此可以說：相等的角的余角相等.

［師］丁同學總結得很好.大家的意見怎么樣？

［生齊聲］丁同學總結得對.

［師］很好，這就得出互為余角的性質：

同角或等角的余角相等.

接下來看第三個問題:

(同學們踴躍發言，得出結論)

［生］∠ADF與∠BDE相等.因為∠1+∠ADF=180°，∠1+∠BDE=180°，所以，∠ADF=180°－∠1=∠BDE.還可以這樣說：

因為∠1+∠ADF=180°，∠2+∠BDE=180°，所以∠ADF=180°－∠1，∠BDE=180°－∠2，又因為∠1=∠2，所以∠ADF=∠EDB.

因此得出結論：

同角或等角的補角相等.

［師］同學們表現得很好，通過討論，得出互為余角、互為補角的性質：

同角或等角的余角相等.

同角或等角的補角相等.

接下來，我們議一議.

(可用電腦演示，也可用實物剪刀實際操作，然后提問.)(出示投影片§2.1 B)

(1)用剪刀剪東西時，哪對角同時變大或變小？

(2)如果將剪刀的圖形簡單表示為下圖，請問：∠1與∠2的位置有什么關系？它們的大小有什么關系？為什么？

圖2－3

［生甲］(1)用剪刀剪東西時，相對的角同時變大或變小.

［生乙］圖中的∠1與∠2有公共的頂點O，且角的兩邊互為反向延長線.

∠1與∠2相等，因為∠1是∠BOC的補角，∠2也是∠BOC的補角.由同角的補角相等，可得∠1與∠2相等.

［師］很好，像這樣，直線AB與直線CD相交于點O，∠1與∠2有公共頂點，它們的兩邊互為反向延長線，這樣的兩個角叫對頂角.

如圖中的∠AOD與∠BOC也是對頂角.

由對頂角的概念可知,對頂角的本質特征是：兩個角有公共頂點，兩個角的兩邊互為反向延長線.

所以要在圖形中準確地找出對頂角，需兩看：

(1)看是不是兩條直線相交所得的角;

(2)看是不是有公共頂點而沒有公共邊(或不相鄰)的兩個角.

另外，從對頂角的定義還可知：對頂角總是成對出現的，它們是互為對頂角；一個角的對頂角只有一個.

接下來大家想一想：對頂角有什么性質？

［生齊聲］對頂角相等.

［師］好，“對頂角相等”是對頂角的重要性質.

下面大家來議一議(出示投影片§2.1 C)

如圖(P52的上圖)所示，有一個破損的扇形零件，利用圖中的量角器可以量出這個扇形零件的圓心角的度數，你能說出所量角是多少度嗎？你的根據是什么？

［生甲］根據對頂角相等，可以得出所量角的度數是40°.

［生乙］我利用補角可得出所量角的度數是180°－140°=40°.

［師］同學們能利用學過的有關事實解決實際問題，這很好.

下面我們來做一練習，以鞏固所學內容.

Ⅲ.課堂練習

1.下圖中有對頂角嗎？若有，請指出，若沒有，請說明理由.

圖2－4

答案：圖(1)、(2)、(3)中沒有對頂角，因為這三個圖形中的∠1、∠2不是兩條直線相交所形成的.圖(4)中有對頂角，分別是∠1與∠3；∠2與∠4.

2.判斷對錯

(1)頂點相對的角是對頂角.( )

(2)有公共頂點，并且相等的角是對頂角.( )

(3)兩條直線相交，有公共頂點的角是對頂角.( )

(4)兩條直線相交，有公共頂點，沒有公共邊的兩個角是對頂角.( )

答案：××× √

(舉反例說明)

Ⅳ.課時小結

這節課我們學習了三個定義、三個性質，現在來總結一下：

定義：

互為余角：如果兩個角的和是直角，則這兩個角互為余角.

互為補角：如果兩個角的和是平角，則這兩個角互為補角.

對頂角：像這樣直線AB與直線CD相交于O，∠1與∠2有公共頂點，它們的兩邊互為反向延長線，這樣的兩個角叫做對頂角.

注意：

(1)互為余角、互為補角只與角的度數有關，與角的位置無關.

(2)對頂角的判斷條件：

性質：

同角或等角的余角相等，同角或等角的補角相等.

對頂角相等.

Ⅴ．課后作業

(一)課本P52習題2.11、2、3

(二)1.預習內容：P53~54

2.預習提綱

(1)直線平行的條件是什么？

(2)同位角的概念.

(3)會用三角尺過已知直線外一點畫這條直線的平行線.

板書設計

§2.1臺球桌面上的角

一、臺球桌面上紅球滑過的痕跡

圖2－5

∠1+∠ADC=90°

∠1+∠BDC=90°

∠1+∠ADF=180°

∠1+∠BDE=180°

二、互為余角、互為補角的定義

三、互為補角、互為余角的性質

同角或等角的余角相等.

同角或等角的補角相等.

四、對頂角的定義

五、對頂角的性質：

對頂角相等.

六、練習