數學思想匯總十篇

序論：好文章的創作是一個不斷探索和完善的過程，我們為您推薦十篇數學思想范例，希望它們能助您一臂之力，提升您的閱讀品質，帶來更深刻的閱讀感受。

篇（1）

基地

在整個小學階段的數學學習中，凡是有“變化”的地方就蘊涵著函數思想，它是學生獲得數學知識、發展思維能力的動力和工具;是我們進行教學設計和教材重組的指導思想，對于培養學生分析問題和解決問題的能力都有極其重要的意義. 在教材的每個領域，只要你細細研磨就會發現，到處都有函數思想的影子.

1. 在“數與代數”中滲透函數思想

在小學數學“數與代數”領域中，運算是主要的內容之一，且各種運算性質中都滲透了函數思想. 低年級主要借助計算表讓學生發現加法、減法、乘法口訣中的規律;高年級則讓學生自己探索小數乘、除法的運算規律.

如四年級上冊第5頁第6題：先填表，再在小組里說說你的發現.

教師出示表格，觀察被除數和除數，你能發現什么？猜想商會有什么變化？然后，學生進行計算、驗證. 最后，引導學生發現并用自己的話口述規律. 雖然這里并不要求學生能用規范的語言敘述商不變的規律，但變與不變的函數思想已以潤物細無聲的方式悄然滲透.

2. 在“圖形與幾何”中滲透函數思想

教學完“長方形和正方形的周長與面積計算”以后，可以安排這樣一組題：

（1）你能設計周長為18 m的花圃嗎？它的面積最大是多少？并填寫如下表格，比一比誰的方法多，誰填得有序.

學生經過研究可以得到，長方形的長和寬分別可以為：8和1、7和2、6和3、5和4.

（2）用18個邊長為1 cm的正方形拼成長方形，比一比誰的方法多，誰填得有序.（表格略）

學生經過研究得到，長方形的長和寬可分別為18和1、9和2、6和3.

在此基礎上引導學生觀察、比較這兩道習題在解答時有什么不同的地方. 學生經歷了真正的探索，于是不難發現：第（1）題是在周長不變的情況下，改變長和寬;第（2）題是在面積不變的情況下，改變長和寬. 第（1）題不變的是長和寬的和，第（2）題不變的是長和寬的積. 教師接著又提出：這兩道習題在解答的時候有什么相同的地方？（都是把可能出現的情況一個一個地列舉出來，并從寬是1想起. 在列舉的過程中，還應注意有序性）解決一道題不是目的，由一道題的解答可以收獲一類題的經驗才是教師和學生共同的追求. 以上環節中，求異活動有效地滲透了函數思想，求同活動更為學生今后的學習提煉了數學活動的經驗. 這樣就把“靜態”的學習變成了“動態”的研究，而這種由“靜”到“動”本身就是函數的本質. 所以，函數思想使學生學習的過程“動”了起來，使學生的學習“主動”起來，這樣也更有利于滲透函數域的概念和極值的概念.

3. 在“統計與概率”中滲透函數思想

函數就像一座橋梁，建立起兩個集合之間的“關系”. 由于統計與概率的內容往往通過表格和圖象來描述數據，所以統計與概率中也可以滲透函數思想，如折線統計圖就可以滲透函數思想：學生學習了折線統計圖后就可以從圖中得到豐富的信息，如一天中駱駝的體溫最高是多少？最低是多少？一天中，在什么時間范圍內駱駝的體溫在上升？什么時間范圍內駱駝的體溫在下降？第二天8時的體溫與前一天駱駝的體溫有什么關系？……從圖象中可以自然地向學生滲透變化的量等函數思想. 教師還可出示駱駝體溫隨外界溫度發生變化的折線統計圖，引導學生對比、分析兩幅圖的相同點、不同點，及其成因，討論溫度變化的周期.

在課堂的不同環節孕育函數

之苗

我們的數學課堂一般分為復習導入、新知教學、練習鞏固、總結反思等幾個環節，在不同的教學環節，我們都可以適時、適度地滲透函數思想.

1. 豐厚新知教學，體驗函數思想

如二年級上冊“7的乘法口訣”教學：如圖1所示，擺1只小船用7個，擺2只這樣的小船要用幾個？擺3只、4只……7只呢？

結合教材數帆船中三角形個數的活動，引導學生在數的基礎上列出乘法算式，并編制出相應的口訣后――

師：觀察這7個算式，你能找一找其中的規律嗎？

生1：都是乘7.

師：恩，這是相同的地方，還有嗎？

生2：開始是1×7等于7，2×7等于14，3×7就等于21……（未等該生說完，另一生便喊出“越乘越多！”）

師（沉默，故作不解）：怎么會越乘越多呢？

生3：就是積越來越大了.

師（還是故作不解）：為什么積會越來越大呢？

生4（激動地）：就是前面和7乘的數越來越大了啊，比如1×7=7，就是1個7;2×7=14，就是2個7，答案是14;3×7就是有3個7，就是21. 越來越多個7，結果也就越來越大了啊. （其余學生紛紛點頭認可）

師（也微笑點頭）：明白你的意思了，你結合乘法的意義來解釋了這種變化，對嗎？還有什么不變嗎？

生：乘法算式中的一個乘數總是7，而且得數每次都增加一個7.

函數是研究變量和變量之間關系的重要數學模型，在以上判斷中，這些學生感受到了積越來越大是因為前面和7相乘的數越來越大，積隨著和7相乘的那個乘數變化而變化，也隨著它的確定而確定. 這種對應關系正是函數思想的核心. 7的乘法口訣只是口訣教學中的1個課時，如果在整個乘法口訣的教學過程中，教師既關注口訣，又關注其背后的函數思想，站在函數思想的高度審視教材、設計教學，不僅能使學生乘法口訣的學習之旅更加有趣、更加深刻，也能使學生意識到一切事物都在不斷變化，而且相互聯系、相互制約，從而主動地去了解事物的變化趨勢及其運動規律.

2. 優化課本習題，浸潤函數思想

如四年級下冊“三角形的內角和”課后習題教學：圖2中的三角形都被一張紙遮住了一部分，只看露著的一個角，你能確定它們各是什么三角形嗎？

筆者進行了拓展練習，不僅完成了書本要求，更增添了自主設計不同三角形的環節.

師：知道三角形中已知一個角是銳角，不能確定它是什么三角形（指著圖2）. 如果這個角是50°，你能設計出不同的三角形嗎？看不見的兩個角分別是多少度呢？可以分類設計，大家嘗試在表格中填一填.

以上練習中，教師給予學生自主創新設計的空間，啟發學生先設計直角三角形，再分別設計鈍角三角形和銳角三角形. 學生踴躍交流后，教師不失時機地提問：觀察表格，你有什么發現嗎？學生發現，如果設計的是直角三角形，另一個銳角的度數是確定的;如果設計的是鈍角三角形或銳角三角形，∠2和∠3的大小是變化的，一個角變大了，另一個角就會變小，但是兩個角的大小無論怎么變化，它們的度數和始終是130°. 學生在此過程中不僅加深了對“三角形的內角和是180°”這一規律的理解，而且培養了靈活解決問題的能力，更發現了三角形中三個內角的大小變化規律以及內在聯系，感受到了確定與不確定現象的本質，函數思想又悄然滲透了.

3. 增設課末反思，回味函數思想

好的課末反思總結，可以使一節課甚至幾節課的諸多內容濃縮成“板塊”，得以系統概括、深化，以便學生理解;可以使課堂教學結構嚴密緊湊、融為一體，顯現出課堂教學的和諧與完美;還可以提煉方法、總結規律，幫助學生更好地理解數學思想方法.

如三年級下冊“除法”單元復習第2題：

369÷3？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖423÷3？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖672÷6

360÷3？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖423÷4？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖620÷6

306÷3？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖423÷6？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖602÷6

師：學習了這節課，你們有什么收獲？

生1：（手指黑板上的習題：369÷3，360÷3，306÷3）我發現除數不變，被除數越大，商也越大.

師（欣喜）：離開了黑板，也許有些小朋友就會忘記這樣的規律，你有辦法讓大家深刻地記住它嗎？

生2：我們可以舉例，每天都是吃兩個雞蛋，媽媽買的雞蛋越多，吃的天數就越多.

生3：給我們6個優秀少先隊員發獎品，獎品越多，每人發到的就越多.

師：在這道題里，你還能發現什么？

生4：（手指423÷3，423÷4，423÷6）被除數不變，除數越大，商越小.

生5：同樣也可以舉例記住這樣的規律！12粒糖，分給2個人吃和分給3個人吃相比，當然是選分給2人吃，因為每個人分到的糖多.

生6：一本書，看的總頁數一定，每天看得越多，需要的天數就越少.

……

師：小朋友們真厲害，舉出了發生在小朋友身邊的例子，輕松而深刻地記住了這些規律.

函數思想本身比較抽象，如果讓學生光憑幾道算式記住其中的變化規律，可能比較困難，但以上片段中教師進行了巧妙地引導，讓小朋友們想想有什么好辦法方便地記住這些規律，大家很快就把枯燥的思想與豐潤的生活聯系了起來，舉出了許多耳濡目染有切身體會的例子.

有了這些來自學生自己生活的實例支撐，學生的理解變得輕松起來. 學生在舉例的過程中不僅記住了這些規律，更理解了規律之中所蘊涵的函數思想.

用不同的學習方式綻放函數

之花

1. 在合作交流中體驗函數思想的美妙

蕭伯納曾經說過：你有一個蘋果，我有一個蘋果，交換后還是一個蘋果，但如果你有一個思想，我有一個思想，交換后就有兩種思想. 合作交流為學生的思維碰撞搭建了平臺，學生在互動交流中發展思維、積累思想.

如三年級下冊“認識分數”的教學：一堆小棒有12根，分別拿出這堆小棒的和，你還能拿出這堆小棒的幾分之一？

經過改編，有以下教學活動――

師：把同桌兩人的小棒合起來是多少？（12根）想想你們能拿出這12根小棒的幾分之一. 同桌討論討論，可以拿筆分一分，也可以在圖上畫一畫，如果能直接填表那是最棒的，不過要比一比誰的方法最多，填寫得最有順序！

收集學生的作業紙，展示兩種表格，一種是無序的，一種是有序的.

師：觀察這兩張表格，你更喜歡哪一張？說說你的理由.

生1：喜歡第2種，因為第2張表格有順序，這樣就不會漏掉，也不會重復.

師：在這樣有序的表格中，你能發現什么？

生2：分母越來越大，每份的數量就越來越少.

生3：也就是平均分的份數越多，每份就越少！

師：是啊，在分的總數不變的情況下，分母越大（平均分的份數越多），每份就越少！

以上片段中，教師改編了書本上的習題，作了更高層次的要求：“比一比誰的方法最多，填寫得最有順序”，在教師充滿啟發的語言誘導下、在合作伙伴的相互啟發下，學生能很快地想到解決方法. 教師讓學生填表后還別巨匠心地設計了比較活動，看似不經意的比較，卻讓學生感受到了有序整理的好處――不重復、不遺漏. 在這樣的表格中，學生能很快發現其中隱藏的平均分的份數與每份數的變化規律.

2. 在動手操作中領略函數思想的神奇

兒童的指揮凝結在手指尖上，動手操作能調動學生的多種感官參與學習，能使學生積累一定的操作經驗、思維經驗，并有效促進函數思想的滲透.

如三年級上冊“長方形和正方形的特征”的練習教學：先自己拼一拼，再與同桌交流一下. （1）用6個一樣的小正方形，拼成一個長方形. （2）用16個一樣的小正方形，拼成一個大正方形. 用16個小正方形能拼成不同的長方形嗎？

筆者改編為四人小組合作，用12個小正方形拼出大長方形，并記錄拼成的大長方形的長和寬. 通過這一動手操作活動，不僅及時鞏固了剛剛學習的長方形與正方形的特征，使學生發現由12個小正方形能拼成的不同的長方形，而且培養了學生思維的發散性. 觀察表格時發現，長和寬的乘積不變，長越大，寬就越小，這為今后學習長方形的面積計算奠定了基礎.

3. 在自主探究中欣賞函數思想的魅力

篇（2）

數學課堂教學是教師“主體表演”的過程，是語言、動作、板書演示、語言交流、情感交流等融于一體的過程。在這種過程中，往往既能反映出教師專業基礎知識的情況，又能反映出教師對教學理論的掌握情況，同時還可反映出教師的數學思想的有關情況。實踐證明，在數學教學中，數學思想、方法已經越來越多地得到人們的重視，特別是在數學教學中，如何使學生較快地理解和掌握數學思想、方法，更是我們廣大中學數學教師所關心的問題。

一、對中學數學思想的基本認識

“數學思想”作為數學課程論的一個重要概念，我們完全有必要對它的內涵與外延形成較為明確的認識。關于這個概念的內涵，我們認為：數學思想是人們對數學科學研究的本質及規律的理性認識。這種認識的主體是人類歷史上過去、現在以及將來有名與無名的數學家；而認識的客體，則包括數學科學的對象及其特性，研究途徑與方法的特點，研究成就的精神文化價值及對物質世界的實際作用，內部各種成果或結論之間的互相關聯和相互支持的關系等。可見，這些思想是歷代與當代數學家研究成果的結晶，它們蘊涵于數學材料之中，有著豐富的內容。

通常認為數學思想包括方程思想、函數思想、數形結合思想、轉化思想、分類討論思想和公理化思想等。這些都是對數學活動經驗通過概括而獲得的認識成果。既然是認識就會有不同的見解，不同的看法。實際上也確實如此，例如，有人認為中學數學教材可以用集合思想作主線來編寫，有人認為以函數思想貫穿中學數學內容更有利于提高數學教學效果，還有人認為中學數學內容應運用數學結構思想來處理等等。盡管看法各異，但筆者認為，只要是在充分分析、歸納概括數學材料的基礎上來論述數學思想，那么所得的結論總是可能做到并行不悖、互為補充的，總是能在中學數學教材中起到積極的促進作用的。

關于這個概念的外延，從量的方面講有宏觀、中觀和微觀之分。屬于宏觀的，有數學觀(數學的起源與發展、數學的本能和特征、數學與現實世界的關系)，數學在科學中的文化地位，數學方法的認識論、方法論價值等；屬于中觀的，有關于數學內部各個部門之間的分流的原因與結果，各個分支發展過程中積淀下來的內容上的對立與統一的相克相生的關系等；屬于微觀結構的，則包含著對各個分支及各種體系結構定內容和方法的認識，包括對所創立的新概念、新模型、新方法和新理論的認識。

二、數學思想的特性和作用

1、數學思想凝聚成數學概念和命題，原則和方法

我們知道，不同層次的思想，凝聚成不同層次的數學模型和數學結構，從而構成數學的知識系統與結構。在這個系統與結構中，數學思想起著統帥的作用。

2、數學思想深刻而概括，富有哲理性

各種各樣的具體的數學思想，是從眾多的具體的個性中抽取出來且對個性具有普遍指導意義的共性。它比某個具體的數學問題(定理法則等)更具有一般性，其概括程度相對較高。現實生活中普遍存在的運動和變化、相輔相成、對立統一等“事實”，都可作為數學思想進行哲學概括的材料，這樣的概括能促使人們形成科學的世界觀和方法論。

3、數學思想富有創造性

借助于分析與歸納、類比與聯想、猜想與驗證等手段，可以使本來較抽象的結構獲得相對直觀的形象的解釋，能使一些看似無處著手的問題轉化成極具規律的數學模型。從而將一種關系結構變成或映射成另一種關系結構，又可反演回來，于是復雜問題被簡單化了，不能解的問題的解找到了。如將著名的哥尼斯堡七橋問題轉化成一筆畫問題，便是典型的一例。

三、數學思想的教學功能

1、數學思想是教材體系的靈魂

從教材的構成體系來看，整個初中數學教材所涉及的數學知識點匯成了數學結構系統的兩條“河流”。一條是由具體的知識點構成的易于被發現的“明河流”，它是構成數學教材的“骨架”；另一條是由數學思想方法構成的具有潛在價值的“暗河流”，它是構成數學教材的“血脈”靈魂。有了這樣的數學思想作靈魂，各種具體的數學知識點才不再成為孤立的、零散的東西。因為數學思想能將“游離”狀態的知識點(塊)凝結成優化的知識結構，有了它，數學概念和命題才能活起來，做到相互緊扣，相互支持，以組成一個有機的整體。可見，數學思想是數學的內在形式，是學生獲得數學知識、發展思維能力的動力和工具。教師在教學中如能抓住數學思想這一主線，便能高屋建瓴，提挈教材進行再創造，才能使教學見效快，收益大。

篇（3）

(2)進行分類類比的思想方法。“分類”就是把具有相同屬性的事物歸納在一起。教學中通過實物演示,使學生認識分類的意義,體會分類思想的實質。例如教學用“7、8、9”三個數字卡片可以排成幾個三位數,讓學生做一做,排一排。有的學生很快排出來了,但有些學生卻排不完整。這時教師要指導學生分類討論。首先確定百位上的數字是7時,有哪幾個三位數?(789、798);百位上的數字是8時,有哪幾個三位數?(879、897);百位上的數字是9時,有哪幾個三位數?(987、978)可見以百位上的數字為準,進行分類,能有效糾正學生的無序性甚至盲目拼湊的毛病,有利于培養學生的邏輯思維能力。數學上的類比思想方法是指依據兩類數學對象的相似性,有可能將已知的一類數學對象的性質遷移到另一類數學對象上去的思想。它能夠解決一些表面上看似復雜困難的問題。如把加法交換律a+b=b+a的學習遷移到乘法交換律a×b=b×a的學習上去。

(3)運用化歸與歸納的思想方法。化歸,是指將有待解決或未解決的問題,通過轉化過程,歸結為一類放入已經解決或較易解決的問題中去,以求得解決。如:小數除法通過“商不變性質”劃歸為除數是整數的除法;異分母分數加減法劃歸為同分母分數加減法;異分母分數比較大小通過“通分”劃歸為同分母分數比較大小等。在教學平面圖形求積公式中,就以化歸思想、轉化思想等為理論武器,實現長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形和圓形的面積計算公式間的“同化”,從而構建和完善了學生的認知結構。在研究一般性問題之前,先研究幾個簡單的、個別的、特殊的情況,從而歸納出一般的規律和性質,這種從特殊到一般的思維方式稱為歸納思想。如:在教學“三角形內角和”時,先由直角三角形、等邊三角形算出其內角和度數,再用猜測、操作、驗證等方法推導一般三角形的內角和,最后歸納得出所有三角形的內角和為180度。這就是運用歸納的思想方法。

篇（4）

中圖分類號：G424 文獻標識碼：A DOI：10.16400/ki.kjdkx.2017.04.052

An Analysis of the Thought of Mathematical Function in Middle School

ZHAO Sheng

（Zhanyi Area No.3 Middle School， Qujing， Yunnan 655331）

Abstract Function thought is one of the most basic mathematical ideas， function is the core content of middle school mathematics， it runs through the entire secondary school. Understanding and mastering the function thought can help the learners to understand the true meaning of mathematics， enhance the enthusiasm of the students to learn mathematics， and help mathematics learning. This paper analyzes the importance of the function of thought， from the application and function thought in mathematics teaching in high school mathematics teaching how to penetrate the function of thought were discussed， so as to achieve the function of ideological understanding in middle school mathematics.

Key words middle school mathematics； function； function thought

函鄧枷朧竊謔學的發展史中形成的，它是人們對函數知識的本質性認識，來源于函數的基礎知識，它在中學數學教學中起著重要的作用，是教材體系的靈魂。在中學數學函數教學中，加強函數思想教學可以幫助學生更好地理解函數知識、形成正確的教學觀念和優秀的數學精神；它是落實素質教育的有效途徑和重要手段；還可以提高教學質量與教學水平；有利于培養學生的辯證唯物主義能力與函數應用能力。隨著數學教育的改革與發展，中學數學函數思想日趨凸顯，從事數學教育以及一些數學學習者越來越認識到函數思想的重要性。函數是支撐中學數學的骨架，是中學數學最重要的內容之一，貫穿整個中學階段。從歷年中考、高考的情況來看，以函數為核心編制的題目立意新穎，知識覆蓋面廣，靈活性較強，有比較理想的選拔功能。所以函數思想有極高的研究價值。作為數學教育工作者了解函數思想的產生、發展和特點，掌握函數運動的發展規律，形成正確的教學觀，從而提高對數學知識的駕馭能力。本文通過對中學數學函數思想的研究來指導教育工作者更加有效地進行教學，同時也為新課改提供有力依據，給學生的學習指引正確的方向。

1 函數思想在中學數學中的應用

函數是數集之間的特殊映射，反映事物的內部聯系，縱觀整個中學階段，函數將大部分數學知識緊扣在一起，形成一個以函數為中心向四周擴散的知識網絡，而函數思想則是形成這個知識網絡的靈魂。函數思想的應用就是對于一些實際問題、數學問題構建一個函數模型，應用函數的基本性質更快更好地解決問題，而構造函數模型是函數思想的重要體現。接下來筆者將從以下幾個方面闡述函數思想在中學數學中的應用。

1.1 函數思想在中學數學中的宏觀應用

函數思想的宏觀應用也就是函數性質的直接應用，即應用初等函數的基本性質（定義域、值領、單調性、奇偶性、周期性、有界性、連續性、對稱性、圖像等）求解有關的值、討論參數的取值等問題，只要掌握函數的基本概念與性質，直接對其加以簡單應用就行，直觀明了，同樣也是函數思想的簡單體現。

例1 函數 （） = + 3 + 有極值，又在其曲線上極大和極小的點分別為、，若線段（不含端點）與曲線交于點（1，0），求的值。

分析：首先弄清已知條件，已知①一個含參數的三次函數；②函數有極值；③有極大和極小點，；④線段（不含端點）與曲線交于點（1，0）。解題目標是求的值。

由 '（） = 3 + 6 = 0得 = 0， = 。

（0，），（， + ）

再由點（1，0）在曲線上以及三點共線，解得

這個結果是否正確？還是要注意題目的條件，即條件④中有一點容易被忽略，這就是點應在線段的內部，因此應滿足0

1.2 函數思想在中學數學中的微觀應用

函數與方程、不等式、角、數列等均有不同程度的內在聯系，將一些非函數問題轉化成函數問題、構建函數模型就是函數思想的微觀應用，也就是函數的間接應用，此類題型可以鍛煉學習者的發散思維和邏輯推理能力。接下來將以幾個實例加以說明。

1.2.1 活躍在方程、不等式中的函數思想

函數與方程、不等式有著千絲萬縷的關系，絕大多數方程與不等式的研究需要依靠函數來實現，而函數性質的研究則又需要依賴方程與不等式來完成，所以他們是相輔相成的。比若說求定義域、函數單調性證明都需要借助不等式來完成；而解方程又是求函數的零點。所以在解關于方程與不等式這類題的過程中應該考慮以函數為工具，加強函數、方程、不等式的綜合應用能力，系統掌握數學各個模塊的知識。

例2 證明不等式0）。

分析：證明不等式有很多種方法，可以通過作差、作商、反證、放縮、構造等不同方法來實現，根據不同題目選擇合理方法可以達到事半功倍的效果。通過觀察，本題通過構造函數的方法來證明，再根據函數單調性來實現不等式大小，既方便又快捷。

證明：要證0），即證

令 = ，（>0）

當>0時， = 1 / （1 + ）即

= 在（0，）上為單調遞減函數

那么就有0）

即 =

小結：本題通過構造函數證明該不等式，是應用函數單調性求解問題的典型例題，通過導函數來確定函數的單調性，進而證明不等式，思路清楚，方法簡單易懂。

1.2.2 三角函數思想的呈現

例3 已知為銳角，且，求的值。

分析：由的構成特點，本題的化簡變形，不宜按常規對的三角函數都采用降次的作法，而需把已知表達式中的含的三角函數升次，含的三角函數降次，即湊出和的表達式出來。

解：由（1），得3 = 2 （3）

由（2），得3 = 2 （4）

（3）鰨？），得 = （） = 0，

因為為銳角，所以0

1.2.3 實際問題中的函數模型

在數學學習中，我們會遇到很多抽象的數學問題，如果直接求解會非常困難或者是直接解不出來，這是我們應該充分應用所學知識，試著應用函數的思想去考慮，試著建立函數關系式，讓抽象、復雜的實際問題轉化為簡單的函數問題，再應用函數的基本性質將它求解出來，這就是應用函數思想求解數學實際問題的基本套路。

例4 （2012浙江省嘉興市）某汽車租賃公司擁有20輛汽車。據統計，當每輛車的日租金為400元時，可全部租出；當每輛車的日租金每增加50元，未租出的車將增加1輛；公司平均每日的各項支出共4800元。設公司每日租出輛車時，日收益為元。（日收益=日租金收入平均每日各項支出）

（1）公司每日租出輛車時，每輛車的日租金為_______元（用含的代數式表示）；

分析：本題為綜合性題目，主要考查二次函數實際問題，怎樣建立函數關系式與找等量關系，函數關系建立好之后結合實際函數圖像做出解答。

解析：單輛車日租金為：50（20）+400 = 140050

2 中學數學教學中滲透函數思想的途徑

中W數學函數教學最重要的目的就是打開學生的函數思維，提升學生們的函數素養，新一輪課程改革中，將函數思想作為必須掌握的教學要求，所以函數教學過程中不再一味地讓學生吸收理論知識與概念性內容，而是讓學生獨立思考，老師引導，建立一定的函數思想基礎，從根本上提升自己的函數應用能力。教學過程中滲透函數思想的途徑很多，接下來介紹三種滲透方式。

2.1 應用函數思想探究數學知識

新的教育背景下，數學教學過程中應該注重對學生培養知識形成的過程，在數學知識的探索過程中（比如說一些公式、定理、性質的推導過程）就是數學思想方法的最佳體現時刻，因此教師在教學中，要重視公式、定理、性質的推導過程，盡量凸顯其相關的數學思想，讓學生掌握基本知識的同時，領悟數學真諦。下面我們以函數思想為實例，演示探究數學知識的過程中滲透函數思想。

2.2 在數學解題中滲透函數思想

在數學教學過程中，經常出現課堂上學生聽懂了，但是課后做同類型的題目是就無從下手，其原因就是在教學過程中，教師就題論題，拿到題目就草率地解答出來，遇到此類題時照葫蘆畫瓢，機械操作，學生感到厭煩，學生沒有真正認識到題目的出處，沒有領略到數學思想方法。在數學解題過程中滲透函數思想也就是在數學解題過程中應用函數的思想方法去求解繁瑣的數學問題，比如說用函數的單調性、奇偶性、最值等等基本性質將其復雜問題簡單化。

例5 設不等式 + 2 + >0的解集為全體實數，求的取值范圍。

分析：題設不等式的系數比較復雜，可通過另設變元的方法，使此題解題過程簡化。

解：設 = ，則 = ， = ，

而原不等式化成（） + 2>0

由題意知，

篇（5）

所謂數學思想，就是對數學知識和方法的本質認識，是對數學規律的理性認識。所謂數學方法，就是解決數學問題的根本程序，是數學思想的具體反映。數學思想是數學的靈魂，數學方法是數學的行為。運用數學方法解決問題的過程就是感性認識不斷積累的過程，當這種量的積累達到一定程序時就產生了質的飛躍，從而上升為數學思想。若把數學知識看作一幅構思巧妙的藍圖而建筑起來的一座宏偉大廈，那么數學方法相當于建筑施工的手段，而這張藍圖就相當于數學思想。

1、明確基本要求，滲透“層次”教學。《數學大綱》對初中數學中滲透的數學思想、方法劃分為三個層次，即“了解”、“理解”和“會應用”。在教學中，要求學生“了解”數學思想有：數形結合的思想、分類的思想、化歸的思想、類比的思想和函數的思想等。這里需要說明的是，有些數學思想在教學大綱中并沒有明確提出來，比如：化歸思想是滲透在學習新知識和運用新知識解決問題的過程中的，方程（組）的解法中，就貫穿了由“一般化”向“特殊化”轉化的思想方法。

教師在整個教學過程中，不僅應該使學生能夠領悟到這些數學思想的應用，而且要激發學生學習數學思想的好奇心和求知欲，通過獨立思考，不斷追求新知，發現、提出、分析并創造性地解決問題。在《教學大綱》中要求“了解”的方法有：分類法、類經法、反證法等。要求“理解”的或“會應用”的方法有：待定系數法、消元法、降次法、配方法、換元法、圖象法等。在教學中，要認真把握好“了解”、“理解”、“會應用”這三個層次。不能隨意將“了解”的層次提高到“理解”的層次，把“理解”的層次提高到“會應用”的層次，不然的話，學生初次接觸就會感到數學思想、方法抽象難懂，高深莫測，從而導致他們推動信心。如初中幾何第三冊中明確提出“反證法”的教學思想，且揭示了運用“反證法”的一般步驟，但《教學大綱》只是把“反證法”定位在“了解”的層次上，我們在教學中，應牢牢地把握住這個“度”，千萬不能隨意拔高、加深。否則，教學效果將是得不償失。

2、從“方法”了解“思想”，用“思想”指導“方法”。關于初中數學中的數學思想和方法內涵與外延，目前尚無公認的定義。其實，在初中數學中，許多數學思想和方法是一致的，兩者之間很難分割。它們既相輔相成，又相互蘊含。只是方法較具體，是實施有關思想的技術手段，而思想是屬于數學觀念一類的東西，比較抽象。因此，在初中數學教學中，加強學生對數學方法的理解和應用，以達到對數學思想的了解，是使數學思想與方法得到交融的有效方法。比如化歸思想，可以說是貫穿于整個初中階段的數學，具體表現為從未知到已知的轉化、一般到特殊的轉化、局部與整體的轉化，課本引入了許多數學方法，比如換元法，消元降次法、圖象法、待定系數法、配方法等。在教學中，通過對具體數學方法的學習，使學生逐步領略內含于方法的數學思想；同時，數學思想的指導，又深化了數學方法的運用。這樣處置，使“方法”與“思想”珠聯璧合，將創新思維和創新精神寓于教學之中，教學才能卓有成效。

二、遵循認識規律，把握教學原則，實施創新教育

要達到《教學大綱》的基本要求，教學中應遵循以下幾項原則：

1、滲透“方法”，了解“思想”。由于初中學生數學知識比較貧乏，抽象思想能力也較為薄弱，把數學思想、方法作為一門獨立的課程還缺乏應有的基礎。因而只能將數學知識作為載體，把數學思想和方法的教學滲透到數學知識的教學中。教師要把握好滲透的契機，重視數學概念、公式、定理、法則的提出過程，知識的形成、發展過程，解決問題和規律的概括過程，使學生在這些過程中展開思維，從而發展他們的科學精神和創新意識，形成獲取、發展新知識，運用新知識解決問題。忽視或壓縮這些過程，一味灌輸知識的結論，就必然失去滲透數學思想、方法的一次次良機。如初中代數課本第一冊《有理數》這一章，與原來部編教材相比，它少了一節——“有理數大小的比較”，而它的要求則貫穿在整章之中。在數軸教學之后，就引出了“在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大”，“正數都大于0，負數都小于0，正數大于一切負數”。而兩個負數比大小的全過程單獨地放在絕對值教學之后解決。教師在教學中應把握住這個逐級滲透的原則，既使這一章節的重點突出，難點分散；又向學生滲透了形數結合的思想，學生易于接受。

在滲透數學思想、方法的過程中，教師要精心設計、有機結合，要有意識地潛移默化地啟發學生領悟蘊含于數學之中的種種數學思想方法，切忌生搬硬套，和盤托出，脫離實際等錯誤做法。比如，教學二次不等式解集時結合二次函數圖象來理解和記憶，總結歸納出解集在“兩根之間”、“兩根之外”，利用形數結合方法，從而比較順利地完成新舊知識的過渡。

篇（6）

第一，在學習新內容時要滲透數學思想。在設計教案時教師要有意識地增加數學思想的啟發，將數學思想與新的數學知識結合起來，避免只講知識表面不講數學原理，只講習題不講思想。在講授新內容時，不能直接將相關概念和定理告訴學生，而是通過一定的方法引導和啟發學生逐步探索、猜測，慢慢接近，掌握知識形成過程中的相關思想，鍛煉學生的數學思維。這樣學生可以發揮數學思維能力去推理，對所學知識理解得更加透徹，記憶也更加深刻。

第二，在解題中滲透數學思想。數學離不開解題，但是解題的方法不止一種，多一種方法就可能多一種數學思想。如蘇教版的練習冊中有這樣一道題：1998×3.14＋199.8×31.4＋19.98×314。先讓學生觀察數字的關聯性，學生會很容易看出數值1998小數點在往左移動，3.14的小數點在往右移動，兩個數值相乘，根據小數點移動的知識，學生能夠推斷出三個乘積是相等的，無論它們怎么變動，小數點后面一共是兩位，只要算出1998×3.14再乘以3就可以了。這個解題思路實際上滲透了劃歸的數學思想。教師要在解題之前就開始向學生滲透，解題之后還要進行深化點睛，久而久之，學生就掌握了這種方法。

第三，經常講，反復講。數學思想滲透是需要潛移默化的，教師要堅持這一過程，在講課時不斷舉一反三，幫助學生深刻領會。

第四，要引導學生從生活中發現數學思想，鼓勵學生將課堂中學到的思想運用到生活中，將生活中的問題帶到課堂上。

篇（7）

【案例1】挖掘“圓的面積公式”推導新途徑。

“圓的面積”教學是在學生已經學習了長方形、正方形、平行四邊形、三角形和梯形的面積計算的基礎上進行的。傳統教材總是把一個圓若干等分后拼成一個與原來那個圓面積相等的近似長方形的圖形，然后讓學生觀察后發現拼成的“長方形”的長是原來的圓周長的一半，寬是原來圓的半徑，進而推導出圓的面積公式。這種推導方法雖然也能滲透數學思想方法，得出正確的結論，卻很難使拼成的圖形成為一個規范的長方形，如何尋找更加合理有效的教學方法呢？

大家都有這樣的感覺，當圓足夠大且圓周上的曲線又足夠短時，這一小段弧幾乎可以看作一條線段，這時由這一小段弧和兩條半徑圍成的圖形就近似一個三角形了。這條弧就是這個“三角形”的底，圓的半徑就是這個“三角形”的高，原來的圓可以分割成若干個這樣的三角形，這些三角形的高都等于圓的半徑，它們底的總和剛好等于圓的周長，三角形面積之和就是原來那個圓的面積，三角形的面積之和=底的和×高÷2=圓的周長×半徑÷2=2πr÷2×r=πr2=圓的面積。

通過上述教學活動，學生從已有的知識與經驗出發，運用轉化和極限數學思想進行操作，不知不覺中化新知識為舊知識，發現圓的面積與三角形面積之間的聯系，很快推導出圓的面積公式，體驗學習的樂趣。

二、在知識形成中體驗數學思想

富有生命力的知識是由學習者自我建構的，就像蘋果長在蘋果樹的枝頭上一樣，新知識是根植于學生大腦的某一區域并且與原有的知識形成有機的鏈接。這種鏈接必須以學生原有的知識與生活經驗為基礎，以基本數學思想方法作為智力支撐。

【案例2】“分數的產生”教學片段。

師：出示4個同樣大的蘋果，取出其中的一半。

師：像這樣不斷地分下去，蘋果最終能分得完嗎？利用蘋果圖片動手分一分。

生：在我們的想象中，一個蘋果一半一半地分可以無窮無盡地分下去的，可是在實際分的過程中，當分到很小的時候就很難再分下去了。

通過上述教學活動，學生自覺地運用了分類、極限的數學思想進行操作，發現當物體數量不足“1”時，人們可以用一種新的數，即分數來表示，分數便應運而生了。

三、在問題解決中運用數學思想

問題是事物之間矛盾的反映，而矛盾是推動事物發展的動力。教學中沒有問題才是最大的問題。教學中教師應該怎樣引導學生分析問題、解決問題呢？

【案例3】“解決植樹中的數學問題”教學片段。

課件展示在長為1000米的公路一側植樹的現實問題情境。

教師出示例題：在1000米長的公路兩旁，每隔5米種一棵樹（首尾都要種），一共要種多少棵樹？

學生自行解答后反饋：200棵，400棵，201棵，402棵等。

師：到底多少棵呢？請說出你的道理。（提示：平時我們遇到復雜的問題可以怎么辦？）

生：可以從簡單的問題入手找規律解決。

師：這是一種好辦法。

課件分階段展示植樹情況：在5米的公路一旁種樹，每隔5米種一棵，需要種2棵。在10米的公路一旁種樹，每隔5米種一棵，需要種3棵。在15米的公路一旁種樹，每隔5米種一棵，需要種4棵……

師：同學們有什么想說的呢？

生：這里面有規律。

生：把公路的長除以5再加1就是一邊樹的數量了。

生：路的長度除以兩棵樹之間的間隔長度加1就是種樹的棵數。

師：這里為什么要加1呢？請在小組中交流一下。

生：路長除以樹的間隔長等于間隔數，因為起點就要種樹，等于0米就種了一棵，所以要加1。

師：通過剛才的學習活動，你們獲得了什么經驗？誰能有順序且完整地說一說。

生：遇到復雜的問題我們可以從類似的簡單問題入手，通過有順序的練習發現規律，有了規律我們就能解決比較難的問題了。

師：說得好！現在請大家解決例題。（板書：化繁為簡 倍數關系 找規律）

數學思想為學生解決問題明確了方向，數學方法為學生解決問題提供了途徑，數學活動為學生積累了學習經驗，探究的結論――新知識是在學生的探究過程中生成的。這樣的學習讓學生長知識、長智慧、育情感，是一種快樂的學習。這樣的問題解決活動，凸顯了數學建模的思想，又讓學生在探索中領悟到數學思想對于問題解決的重要性。

四、在練習鞏固中整合數學思想

數學思想是數學的靈魂，要讓學生在經歷中體驗，在體驗中提升，在提升中感悟。更要讓學生意會、踐行，讓數學思想成為開啟他們社會生活的金鑰匙。在數學課堂上，每一次練習都是學生發展的生長點，每一次對知識的體會都是學生成長的提升點。在數學知識的運用中，在知識與能力的互動中，學生的情感、態度、價值觀得到不斷提升。

【案例4】“角的認識”教學片段。

師：只要有一個頂點、兩條邊，那這個圖形就是角了。學到這，你認識角了嗎？

生：三角形上有角。

師：三角形上藏著角，但不是只有三角形上才有角。

猜一猜：這個是角嗎？（圖1）

學生們一致認為背后藏著的圖形是角。

教師切換展示圖2。

學生對結果感到驚訝。

師：再來猜一猜！（出示圖3）

師：背后藏著角嗎？

課堂上非常安靜，學生都在思考著。

生：應該連起來。

師：如你所愿。

師：想一想，什么情況下是角？什么情況下不是角？

生：兩條線連起來的時候是角。

生：兩條線沒有連起來的時候不是角。

師：現在你們都是辨角高手了，如果再玩這個游戲，你有什么溫馨提示？

生：不能太早下結論，要全面考慮，才會正確。

篇（8）

一、當前小學數學教學發展面臨的困境

數學是一門邏輯性很的學科，具有較高的抽象性與嚴密性。而小學生由于年齡的限制，其自主學生能力和邏輯思維能力較差，對復雜的數學符號和圖形容易感到枯燥和厭倦，使得小學生在數學學習過程中感到困難與畏懼，成為小學數學的“學困生”。對于這種現象如果不進行正確的引導與教育，將不利于學生以后數學能力的發展，制約了學生思維能力的提高。

此外，隨著科學技術的進步，新型教學輔助手段變得多元化。通過多媒體方式、白板等進行數學教學，提高學生的學習興趣已成為當前教育的趨勢。但是，很多小學教師在數學課堂教學中，仍然采用傳統的教學方式，沒有充分發揮學生的思維能力和個性特征，一味地按照課程標準進行教學，忽視對學生自主探究能力與合作交流能力的培養，這不但阻礙了學生綜合能力的全面發展，也給小學數學高效教學、活力課堂的實現帶來了困難。

二、優化小學數學課程教學的具體方法――以“小數的意義”課程教學為例

1.滲透數學思想――課程導入、內容展開

小學數學教師在每堂數學課伊始，都要注重讓學生充分了解小學數學的概念，加深學生對概念的理解和領悟，從“小數的意義”出發來進行課堂內容的導入與開展，使得小學生對所要學習的小數知識形成一個概念性的框架，從而有利于教師在教學過程中滲透數學思想，逐步發展學生的數學抽象思維。

教師可以通過課堂提問的方式開展對小數課堂的導入，例如，讓學生思考“小數是什么？小數應該是什么樣子？如何讀小數？”等問題，引導學生進行自主思考，讓學生明確小數課堂的學習內容，保持學習的興趣。之后，教師可以依據課堂導入的知識點進行內容的展開，讓學生充分認識到小數的意義。例如，教師可以通過分類數學思想的方式進行內容的展開，讓學生對無序排列的10個二位數以內的小數進行分類，使得小學生充分掌握一位小數與二位小數之間的不同。

2.發散數學思維――課程遷移、知識推理

在小學數學的教學過程中，引導學生對課堂知識進行遷移推理，是發散學生數學思維的重要方式。因此，教師在小數的課堂教學中要善于利用這種教學方式推進課堂內容的教學，幫助學生把以往學過的數學知識中潛在的數學規律進行歸納和推理，有效運用到新的數學內容的學習中，在新舊知識之間建立聯系，從而增強學生數學學習的信心，提高數學學習的能力。

通過數學遷移的方式，可以實現對復雜數學問題的簡化處

理，降低數學學習的難度。例如，在“小數的意義”的課堂教學中，教師首先要對課程基礎內容進行講解，讓學生明確小數的概念，之后通過合理的引導，讓學生自主進行二位小數與三位小數的遷移學習，鼓勵學生通過已掌握的一位小數的概念，推理出二位小數與三位小數，乃至四位小數的意義。通過這種分層次的數學教學方式，貫徹“先易后難”的數學理念，從而提高小學數學教學的效果。

3.鞏固數學能力――課程梳理、歸納總結

鞏固學生的數學能力對于小學數學教師來說尤為重要。經過數學思想的滲透以及數學思維的發散，幫助學生鞏固學過的課堂知識，通過梳理與歸納課堂內容，使得學生在總結與反思中形成自己的知識體系，切實提高學生的思維能力。在此過程中，教師要注意有條不紊地開展課堂收尾工作，盡量避免拖堂、拖課等占用學生課外時間的不良現象。

在“小數的意義”的課堂教學中，教師可以通過播放多媒體課件的方式，吸引學生的學習興趣。結合數形結合思想的引入，進行“看圖說小數”的課程訓練。例如，通過課程PPT動態演示把一個長方形平均分成十份，讓學生用小數表達出其中一份、兩份、三份、四份等所代表的意義。在此過程中，教師可以通過點名問答的方法，提問學生如，0.4的計數單位是什么？1里面包含有幾個0.1？等加深學生對小數意義的理解，促進學生運用小數的能力的提高，以課程訓練的方式來完成對課程的梳理與總結。

小學數學作為開發學生思維能力，奠定數學學習基礎的重要階段，對教師的教學能力提出了更高的要求。小學教師在進行教學時，要積極探索有效的教學手段創新與完善課堂教學，從而實現小學數學開發學生智力的作用，為學生的成長奠定堅實的基礎。

參考文獻：

篇（9）

一、滲透數學思想，首要培養自主學習的目標

由于數學思想的存在，使得數學知識不是孤立的學術知識點，不能用刻板的套路解決各種不同的數學問題，只有充分理解掌握數學思想在各種問題上的運用，才能更有效地把知識運用得靈活。由此可見，要培養學生的數學能力，就必須重視數學思想和方法的訓練培養自主學習的能力，使得學生更容易理解和更容易記憶數學知識，讓學生領會特定的事物本質屬性，借助于基本的數學思想和方法理解可能遇到的其他類似問題，有效促進學生數學思維能力的發展。

現代數學教育理論認為，數學不是教出來的，更不是簡單地模仿出來的，而是靠學生自主探索研究出來的。要讓學生掌握數學思想和方法，應將數學思想和方法的訓練視作教學內容的一個有機組成部分，而且不能脫離內容形式去進行孤立地傳授。在數學課上要充分發揮學生的主體作用，讓學生自己主動地去建構數學知識。初中數學教學的目的不僅要求學生掌握數學的基礎知識和基本技能，更重要的是發展學生的能力，使學生形成優良思維素質。這對激發學生的創造思維，形成數學思想，掌握數學方法的作用是不可低估的。

二、函數思想的應用

古典函數概念的定義由德國數學家迪里赫勒1873 年提出。函數就是一門研究兩個變量之間相互依賴、相互制約的規律。在初中數學教學中，函數的思想是數學中處理常量與變量的最常見也是最重要的思想之一，可以說是一項極為重要的內容。

對―個較為復雜的問題，常常只需尋找等量關系，列出―個或幾個函數關系式，就能很好地得到解決。例如，當矩形周長為20cm 時，長和寬可以如何取值?面積各是多少?其中哪個面積最大?可以設矩形的長為x，寬為y。面積為S，然后慢慢尋找規律。得出矩形周長一定時，矩形的長是寬的一次函數，面積是長的二次函數，當長與寬相等時矩形就變成了正方形，而此時面積最大為16cm2。三、數形結合思想的應用

數形結合不僅使幾何問題獲得了有力的代數工具，同時也使許多代數問題具有了顯明的直觀性。把代數式的精確刻畫與幾何圖形的直觀描述相結合，使代數與幾何問題相互轉化，使抽象思維和形象思維有機結合，是初中數學中十分重要的思想。應用數形結合思想，就是將數量關系和空間形式巧妙結合在數學問題的解決中，具有數學獨特的策略指導與調節作用。數是形的抽象概括，形是數的幾何表現，兩者其實緊密結合，以此來尋找解題思路，可以使問題得到更完善的解決。

例如，二元一次方程組的圖像解法，把數量關系問題轉化為圖形性質：A，B 兩地之間修建一條l 千米長的公路，C 處是以C點為中心，方圓50 千米的自然保護區，A 在C 西南方向，B在C的南偏東30 度方向，問公路AB 是否會經過自然保護區?

三、化歸轉換思想的應用

篇（10）

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2015）08-008

數學思想是蘊涵于數學知識和內容之中，又高于具體知識和內容的一種理性認識，是對數學對象本質屬性及其聯系的深刻揭示。如果說書本中的數學知識是一種能夠用語言表達的顯性知識，那么數學思想及其方法就是一種隱性知識，其指導作用的發揮需要結合具體的發現和提出問題以及分析和解決問題的過程。小學生學習數學，不同于專業的數學研究，其重點落在對數學思想方法的感受、領悟和初步的運用，而感受、領悟和初步的運用過程，就是一種意識、觀念、素質的萌芽和發展過程，從這一點來看，感悟數學思想方法和培育思維品質具有內在的統一性。

一、抓數學思想方法，促思路多向開放

在數學學習中，很多時候要改變已習慣了的思維定式，從新的思維角度去思考問題，以求得問題的解決。從認知心理學的角度來看，小學生在進行抽象的思維活動過程中由于年齡的特征，往往難以擺脫已有的思維方向，也就是說學生個體（乃至于群體）的思維定式往往影響了對新問題的解決，以至于產生錯覺。解決這樣的問題，可以將學習置于“數學思想方法”的角度來展開，可以讓學生的思維變得更加清晰、有序、優化。

比如，在教學2、5、3的倍數的特征時，第一節課先講了2的倍數的數的特征是“個位上是0、2、4、6、8的數，都是2的倍數”。5的倍數的數的特征是“個位上是0或5的數，都是5的倍數”。接下的第二節課要講3的倍數的數的特征是“一個數的各位上的數的和是3的倍數，這個數就是3的倍數”。顯然，這兩類特征在思維上具有跳躍性――“個位上的數字”與“各位上的數字的和”。受負遷移的影響，研究3的倍數特征時，學生很容易想到“一個數的個位上是0、3、6、9的數是否也是3的倍數呢？”有學生會想到33、36、60、99等一些數，還有學生自然想到了40、13、26、59等另一些數，并得出結論：一個數個位上是0、3、6、9的數不一定是3的倍數。

上述學習過程，知識層面的東西學生很容易掌握，但是，蘊含其中的更為重要的是“反證”的論證方法。因此，教師應該及時讓學生對這種方法進行適度的概括提煉，產生“要證明一個結論不成立，只要找出一個反例即可”的判斷思維。

繼續延伸下去：在4、6、8、10、15、18、25、26、30這些數中，哪些數是2的倍數？哪些數是5倍數？哪些數既是2的倍數又是5的倍數？學生在思考后，嘗試將相應的數填入圈中（圖1，左邊的圈里填2的倍數，右邊的圈里填5的倍數），那兩個圈相交的部分填哪些數呢？學生會發現這一部分填的既是2的倍數，又是5的倍數，就形成了圖2。這里滲透的是數學中的集合思想，尤其是交集――相交的部分同時要具有兩個集合的特征的集合思想。讓學生進一步在研究特征的基礎上進行更有深度的思考，從而得到：同時滿足兩個要求的元素，才可以成為共同元素。

二、抓數學思想方法，促思維靈活變通

小學數學是一個多層次、多方面的知識體系。讓零散的知識串聯成體系的大多是數學的思想和方法。以幾何圖形的教學為例。教學“平行四邊形的面積”時，我們啟發學生運用割補的方法，把計算平行四邊形的面積轉化為學過的計算長方形的面積，這是滲透數學思想方法――“轉化思想”的大好時機。實際上在小學課本中，除了長方形的面積計算公式之外，其他平面圖形的面積計算公式都是通過原來的圖形轉化得到的。

延伸開來：如圖3，大正三角形的面積是28平方厘米，求小正三角形的面積。

圖3中大、小正三角形的面積關系很難看出，若將大正三角形“旋轉”一下，就變成圖4的模樣，出現了四個全等的小正三角形，答案也就唾手可得：小正三角形的面積是：28÷4=7（平方厘米）。緊接著告訴學生：“通過旋轉，我們把復雜圖形變個形轉化成簡單圖形，原來的問題就能解決了，變形是轉化的一種方法。”

轉化的思想在小學數學教學中有廣泛的應用，將原圖形通過旋轉、平移、翻折、割補等途徑加以“變形”，可使題目變難為易，求解也水到渠成。滲透轉化思想，打破思維定式，對提高學生能力大有好處。

三、抓數學思想方法，促思考優化深刻

新課程把“解題策略”作為教學的一個重要部分，即通過作一些如線段圖、樹形圖、長方形面積圖或集合圖來幫助學生正確理解數量關系，使問題簡明直觀。充分利用“形”把一定的數量關系形象地表示出來，這是數形結合思想在小學數學中的體現。

例如，一杯牛奶，甲第一次喝了半杯，第二次又喝了剩下的一半，就這樣每次都喝了上一次剩下的一半。甲五次一共喝了多少牛奶？

此題若把五次所喝的牛奶加起來，即“1 / 2+1 / 4+1 / 8+1 / 16+1 / 32”就為所求，但這不是最好的解題策略。此時點撥學生：“把復雜問題變成簡單問題有時還需要我們畫個圖，換個角度，從反面思考。我們先畫一個正方形（如圖5），并假設它的面積為單位“1”，由圖可知，1-1 / 32就為所求。”這里不但向學生滲透了數形結合思想，還向學生滲透了類比的思想。

繼續延伸：1 / 2+1 / 4+1 / 8+1 / 16+1 / 32+1 / 64=1-

1 / 64=63 / 64;1 / 2+1 / 4+1 / 8+1 / 16+1 / 32+1 / 64+1 / 128=1-1 / 128=127 / 128。

這時，再繼續讓學生計算“1 / 2+1 / 4+1 / 8+1 / 16+

1 / 32+1 / 64+1 / 128+1 / 256+1 / 512”，如果學生能很快得出結果是“1-1 / 512=511 / 512”，這就說明了在學生的頭腦中已經初步形成了這種數列的概念。如果再繼續加下去，結果會怎樣？學生很容易得出：如果以分子是1，分母是前一個加數的分母的2倍的規律，再繼續加下去，不論再加什么數，結果總是“1減最后一個加數”，并且其結果總是不超過1。