反比例函數的應用匯總十篇

序論：好文章的創作是一個不斷探索和完善的過程，我們為您推薦十篇反比例函數的應用范例，希望它們能助您一臂之力，提升您的閱讀品質，帶來更深刻的閱讀感受。

篇（1）

當 k1k2＞0 時直線與雙曲線一定相交.

證明(略)

性質2 直線與雙曲線只有一個交點時,兩線相切,并且切點是直線被兩坐標軸所截線段的中點；反之,如果雙曲線經過直線被兩坐標軸所截線段的中點,則兩線一定相切.

因為Δ=(-2k2[]m)2-4•k2[]m2•k2=4k22[]m2-4k22[]m2=0 .所以兩線只有一個交點,兩線相切.

性質3 直線與雙曲線相交時,直線被雙曲線和兩坐標軸截得的線段相等.

證明 如圖1(2),過點C作CEy軸,過點D作DFx軸,

連接E、F.由CE∥y軸,DF∥x軸,可知SECF=SECO=1[]2k2,SDFE=SDFO=1[]2k2, 所以SECF=SDFE.

又因為兩三角形底相等,所以高也相等,所以EF∥AB,則四邊形AEFD、ECBF都是平行四邊形,

所以EC=BF,AE=DF.可判斷RtAEC≌RtDFB,所以AC=BD.

通過上述證明過程又可得到以下性質：

性質4 當直線與雙曲線有兩個交點時,過其中一個點向x軸引垂線,y軸引垂線,兩垂足連線一定與該直線平行.

由圖2,圖2(1)都可證明性質3與性質4(證明過程同上).并且由圖2還可以得到

性質5 過原點的直線與雙曲線相交時,兩交點關于原點對稱.

證明 如圖2,由性質4知EF∥AB,因此四邊形AEFO、BOEF都是平行四邊形,所以AE=OF,OE=BF,EF=OA=OB,又A、B分別在二、四象限,因此A、B兩點關于原點對稱.

另外由圖3,還可以發現,設點P(x,y)是線段AB上一個動點,

當點P與C、D重合時,S矩形EOFC=S矩形DNOM=k2,

當點P在CD段時,易得S矩形PROH＞S矩形EOFC=k2,

當點P在AC段或BD段時,易得矩形面積都小于k2,因此又得到

性質6 如圖3,當點P在線段AB上運動時,過點P與x軸、

y軸圍成的矩形面積S有如下三種情況：設點p、C、D的橫坐標分別為x、x1 、x2,

則 當x1＜x＜x2時,S矩形＞k2,

當0＜x＜x1或當x2＜x＜-b[]k1時,S矩形＜k2,

當x=x1、x2時,S矩形=k2.

2 性質應用

例1 (2010湖北咸寧)如圖4,一次函數y=ax+b的圖象與x軸,y軸交于A,B兩點,與反比例函數y=k[]x的圖象相交于C,D兩點,分別過C,D兩點作y軸,x軸的垂線,垂足為E,F,連接CF,DE．

有下列四個結論：

①CEF與DEF的面積相等；②AOB∽FOE；

③DCE≌CDF；④AC=BD．

其中正確的結論是_________(把你認為正確結論的序號都填上)

解 由上述性質3、4得到①②④正確

例2 (2010寧夏)如圖5,已知：一次函數：y=-x+4的圖像與反比例函數：

y=2[]x(x>0)的圖像分別交于A、B兩點,點M是一次函數圖像在第一象限部分上的任意一點,過M分別向x軸、y軸作垂線,垂足分別為M1、M2,設矩形MM1OM2的面積為S1；點N為反比例函數圖像上任意一點,過N分別向x軸、y軸作垂線,垂足分別為N1、N2,設矩形NN1ON2的面積為S2；

(1)若設點M的坐標為(x,y),請寫出S1關于x的函數表達式,并求x取何值時,S1的最大值；

(2)觀察圖形,通過確定x的取值,試比較S1、S2的大小．

解 (1)S1=x(-x+4)=-x2+4x=-(x-2)2+4

當x=2時,S1最大值=4 .

(2)因為S2=2[CS0,0,0,0]［,］[CS]由S1=S2可得：-x2+4x=2,

x2-4x-2=0,所以x=2±2.由性質6可得：

當x=2±2時,S1=S2,

當0

當2-2

例3 (2010泰安)如圖6,一次函數y=ax(a為常數)與

反比例函數y=k[]x(k為常數)的圖象相交于A、B兩點,若A點的坐標為

(－2,3),則B點的坐標_________.

解 由性質3知B點與A點關于原點對稱,因此B點的坐標為(2,-3).

例4 (2009溫州)如圖7,在平面直角坐標系中,

直線AB與y軸和x軸分別交于點A、點B,

與反比例函數y=m[]x在第一象限的圖象交于點C(1,6)、點D(3,n)．

過點C作CEy軸于E,過點D作DFx軸于F．

(1)求m,n的值；

(2)求直線AB的函數解析式；

(3)求證：AEC≌DFB．

解 如圖7.(1)m=6,n=2

篇（2）

教師不是簡單地將概念“拋”給學生，而要引導學生在積極思維討論、主動合作探究的基礎上通過歸納形成概念，并通過簡單的習題訓練不斷拓展，引導學生抓住概念的本質。筆者在反比函數教學中引入定義時，向學生介紹其基本形式為：y=■（k≠0），或y=kx-1（k≠0），但學生對反比例函數概念的認識尚處于表象，教師適時將定義變式，設計幾個變式題目來強化概念。

變式1：若函數y=（m-2）x|m|-3是反比例函數，則m的值為（ ）

A、m=-2 B、m=2 C、m=2或-2 D、m=3或-3

本題變式旨在讓學生由反比例函數定義，一個函數滿足是反比例函數的必備要件分別是k≠0、x的指數為-1。

變式2：如果函數y=kxk■-10是一個反比例函數，求k的值和反比例函數的表達式。

二、 數形結合，化繁為簡

反函數教學要改變數、形彼此“兩邊飛”的現狀，要將數與形完美結合，從而兼具“數”的關系和“形”的直觀，在面積計算、比例大小等內容教學中要利用其圖象特點，將復雜的問題簡單化。

題源：若函數y=■的圖象經過點（-2，6），則下列各點中不在y=■圖象上的是（ ）。

A、（3，4） B、（2，-6）

C、（3，-4） D、（-3，4）

變式1：如右圖所示，點A是反比例函數圖象上一點，過A作ABx軸于B，若SAOB=5，則解析式為 。

通過觀察圖象可知，雙曲線上任一點引x軸（或y軸垂線），該點與垂足、原點所構成的三角形面積是定值，

即SAOB=■k。

變式2：已知一次函數y=ax+b與反比例函數y=■的圖象交于點A與B。（1）請利用給定的條件，求一次函數與反比例函數的解析式；（2）根據圖象寫出ax+b>■時x的取值范圍。

本題旨在要求學生利用反比例函數與一次函數的交點來求不等式的解集。通過觀察不難發現，一次函數圖象在反比例函數上方時，一次函數值大于反比例函數值，即x

三、挖掘性質，探索規律

函數作為初中代數教學的重點內容，學生往往被其若干個性質搞得頭昏腦脹。教師要通過變式練習，引領學生深入挖掘函數的性質，探索其內在的規律，才能使學生在解決問題時應對自如。

題源：若點A（x1，y1）和B（x2，y2）在反比例函數圖象上，且x1

學生根據k>0確定反比例函數圖象分布在一、三象限，在同一象限內，y隨x的增大而減少，容易得出結論y1

變式：若點（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）分別在反比例函數的圖象上，且x1

四、關注社會，聯系生活

數學源于生活，服務于生活。數學教學應根植于社會生活實際，從生活中搜索數學素材，精心編制習題，提高學生運用數學知識解決實際問題的能力，培養學生的數學應用意識。

題源：已知點M（-1，4）在反比例函數y=kx-1（k≠0）圖象上，則k的值是 。

變式1：在溫度不變的條件下，一定質量的氣體的壓強p與它的體積V成反比例。當p=50時，V=600，則當p=40時，V= 。

變式2：某學校為響應政府發出的全民健身的號召，打算在長24m、寬12m的矩形大禮堂內修建一個60m2的矩形健身房ABCD，該健身房的四面墻壁有兩側沿用大廳的舊墻壁。已知裝修舊墻壁的費用為60元/平方米，新建（含裝修）的費用為240元/平方米。設健身房的高為3米，一面舊壁AB的長為x米，修建健身房的總投入為y元。

（1）求y與x的函數關系式；

篇（3）

恩格斯曾說過：“數學是研究現實世界的量的關系與空間形式的科學。”數形結合從某種意義上說，就是將數學問題之間的條件與結論進行一定的聯系，將數學問題中的代數知識和幾何知識運用、體現出來，將代數的準確性以及幾何的直觀性都充分地表現出來，將這些考慮問題的手段有效地結合在一起，從而促進數學解題思路的拓展與提升，從而將數學問題的難度降低，幫助學生更輕松、更直觀地進行解題。反比例函數自身就是一種幾何與代數知識的結合，因而在進行反比例函數解題的時候，我們應當盡量多地利用數形結合思想，將初中數學反比例函數中的問題更好地解決。

例1.已知圓柱的側面積是20π cm2，若圓柱底面半徑為r cm，高為h cm，則h關于r的函數圖像大致是（ ）。

我們根據已知數據并且結合圓柱的側面積表達公式即：s=2πrh，并且2πrh=20，那么我們就可以得到h=10/πr，因此我們可以知道π與r之間是反比例關系，在解決實際問題的時候，我們還應當關注題目的實際應用，即r作為半徑應當有一個潛在的取值范圍即r>0，那么我們就可以知道h與r之間的反比例函數關系圖象一定是在第一象限，通過已有知識的掌握，聯系現實實際，我們可以將問題答案成功地求出來。在這里，我們應用到的知識主要是反比例函數的定義，即，一般地，如果兩個變量x、y之間的關系可以表示成y=k/x（k為常數，k≠0）的形式，那么稱y是x的反比例函數。我們通過圓柱側面積的表達公式，并將題目中已經掌握的信息利用起來，求出h與r之間的關系，發現與反比例函數的定義相符，那么我們就可以判定這肯定是一個反比例函數圖象，接著，我們就可以確定答案為A。當然，這道題目中的解題思考進行概括和升華之后可以是這樣的：我們在進行解題時，應當先找出兩個變量之間的關系，根據這個關系式我們可以畫出相應的函數圖象，從而能夠歸納出相應的圖象特征，并找到相應的函數圖像。

例2.如圖：A、B是雙曲線一個分支上的兩點，且B（a，b）在點A的右側，則b的取值范圍是―（ ）。

根據題目中的圖像所示，我們可以得出A點的坐標為（1，2），同時我們知道B點也是這個雙曲線一個分支上的一點，因此點B的坐標可以利用雙曲線的函數關系式表達成為（a，2a），又因為點B位于點A的右側，那么我們可以根據反比例函數圖象在第一象限中的變化規律得出y隨著x的增大而減少的結果，因此我們可以得出a一定大于1，且b一定小于2，b一定大于0，也就是b大于0且b小于2。在這道題目的解題過程中，我們主要運用的解題思路是結合我們已知的條件，從圖象中尋找有用的相關信息，從而能夠將已知條件轉化為要求的目標，只有充分地結合圖像，我們才能將所有的條件都考慮完整，不會將“b在第一象限，所以一定大于0”的信息給忽略掉，從而得出更為準確的答案。

總而言之，反比例函數作為一種重要且有效的數學解題手段，我們應當幫助學生在數學思維養成的過程中逐步學會這種思維手段，并將其熟練地運用到數學解題過程中去。對于反比例函數中比較突出的問題，包括比較大小、通過應用題目確定數值關系式等，我們應當運用數形結合的解題思想進行解題，從而達到事半功倍的解題效果，實現反比例函數的優質解題。

篇（4）

一、反比例函數教學內容

函數在初中數學教學活動中使學生較為頭疼的內容，學生難以有效地理解與掌握其概念。函數涉及變量的關系，函數的實質是一個變數，它隨另一個變量的變化而變化，并且特別強調對于變量x的每一個值，y都有唯一的值與它對應，即突出了自變量與函數之間單向一對一的關系，一個x的值只對應唯一y的值。而這種不斷變化的函數的學習對于初中生而言存在著一定的困難。初中生難以有效地掌握反比例函數，對于學生中考的數學成績也有著較為不利的影響，故而作為九年級的數學教師，對于如何有效強化學生反比例函數的學習能力，提升反比例函數教學效果，是較為主要的任務。對此筆者認為，教師可以通過對反比例函數的教學內容進行探究，對其知識內容及圖象進行歸類，促使學生更好的學習，其知識結構如下所示。

二、九年級反比例函數有效教學

1.利用創設問題情境，提出問題

在進行反比例函數教學活動中，對反比例函數教學引入過程，教師就可以通過課本中的題目，進行情景創設，讓學生切實感受到反比例函數在生活中的應用。如，利用彈簧掛上物體后會拉長這一現象，教師就可以在課堂上將彈簧作為教學工具讓學生進行實踐，然后提出問題：這是什么樣的現象？促使學生能夠獨立思考完成教師所提出問題，從而有效引發學生學習反比例函數的

興趣。

2.循序漸進，學習反比例函數

（1）利用合作學習，促進學生對反比例函數概念的了解。在進行教學引入活動之后，教師就可以通過小組合作學習的方式讓學生對反比例函數的概念進行分析與掌握。對此，教師可以設計關于反比例函數概念的題目，讓學生通過小組的形式進行探索，通過交流對反比例函數的共同特點進行歸納與總結。

（2）挖掘內涵，強化學生對反比例函數的理解。學生對反比例函數的共同特點進行總結之后，已經初步了解了反比例函數的概念，教師還可以通過對反比例函數的內涵進行有效的挖掘，從而強化學生對概念的理解。對此，筆者認為，教師可以讓學生對反比例函數的概念先進行獨立思考，再讓學生在小組中相互交流，對于較難理解概念進行探討，教師從旁指導，由此強化學生對反比例函數概念的理解。

（3）及時訓練，加強學生對反比例函數的運用。完成了對反比例函數講解之后，教師應讓學生將自己所學生的知識進行運用，及時訓練，促使學生對反比例函數知識內化。

篇（5）

反比例函數是近年來考試的重點，無論是教學時的難度，還是本身所包含的知識，都會成為考試中的熱點。課程標準對反比例函數的掌握程度提出了更多的要求，考試的題型也呈現多種變化。如，選擇題、填空題、解答題，考點涉及反比例函數的概念、解析式、圖象及性質、實際問題等，特別是涉及反比例函數的綜合題型等。那么，我們在復習中如何能使學生掌握基礎、形成知識網絡，并能利用基本的概念、性質和方法通過觀察和歸納分析解決難度較大的綜合題型呢？下面我們就通過一些環節，讓學生通過“解決問題―歸納知識―構建系統”的模式，力求讓學生通過自主探究的方式達到對知識的深層理解，形成解決問題的能力。

一、概念梳理，抓好基礎

這道試題是最簡單的反比例函數概念題，學生將A點代入解析式即能得解，使學生初步理解反比例函數的概念，并知道這樣的方式叫待定系數法求解析式。

例2.近視眼鏡的度數y（度）與鏡片焦距x（米）成反比例，已知400度近視眼鏡鏡片的焦距為0.25米，則眼鏡度數y與鏡片焦距x之間的函數關系式為________。

這道試題是有關函數實際應用問題的，是要學生加深理解函數概念的。也就是通過對實際問題的理解轉化成數學問題，即得出反比例函數解析式。這樣的探究一方面可以加深學生對反比例函數實際意義的理解，對實際應用問題中自變量取值范圍的理解；另一方面也為學生后面解答的實際應用綜合問題降低思考難度。

二、掌握圖象性質，加深學生理解

這道例題是考查反比例函數的性質，從題中“y都隨x的增大而減小”，則k-3>0，從而得出k>3。這類試題在復習中是最簡單的變形考查，可以讓學生在識記基礎上理解函數性質。

三、探究k值的幾何意義

這一環節重點解決反比例函數的概念、性質、k值的幾何意義，由學生在課前完成。采取“練習―梳理”的形式，讓學生自覺感受和發現題中所考查的基礎知識點，產生自覺歸納基礎知識點的欲望，從而主動歸納知識，初步形成知識網絡。教法上在學生課前自主完成的基礎上，先讓學生小組核對、討論，之后由學生講解、展示問題的解答和歸納的基礎知識點。最后，教師對于學生講解和理解不透徹之處再和全體學生一起進行深入辯解，形成正確、簡潔的結論。

四、聯系實際，綜合練習

在反比例函數的考查中，不可能是單一的出現，它往往同一次函數，三角形等相結合，并且具有一些實際的問題。所以，我們在復習時應該聯系生活實際問題，教學學生如何將實際問題轉化為數學問題，在聯系中加強綜合性。

（1）求反比例函數和一次函數的關系式；

（2）求AOC的面積；

本例題比較復雜，教師期待學生歸納總結的內容比較多，大部分學生可能能夠求解其中的問題，但不易理清思路，特別是部分基礎知識和思維能力稍弱的學生會更加困難。教師應該教會學生怎樣對問題設計的知識點形成比較清晰的歸納和認識。

在第一問中教師引導學生明了先求哪一個函數，為什么，即已知一點可求反比例函數，已知兩點才能求一次函數，教師還可引申到已知幾點才能求二次函數。這一問的解決和引申達到了對比分析反比例函數、一次函數、二次函數在解析式求法上的區別，能夠形成較好的對比效應。

第二問的設置目的在于對比k值的幾何意義所產生的三角形面積不變性問題。使學生明了反比例函數圖象中哪些三角形才具有面積不變性，這些三角形各自的特征是怎樣的。

第三問所要求解的不等式實際上可轉化為比較一次函數y1與反比例函數y2的大小，這樣思路就會清楚一些。

綜上所述，問題分析是關鍵。學生應該在教師的適時、適當點撥下一步一步突破，理清問題的脈絡，對問題解決形成比較明晰的思路。這時教師才能放手讓學生去解答問題、歸納知識、總結經驗，并選一名學生上臺展示解題過程，大部分學生都完成之后由學生評點，使學生進一步完善解題過程，使全體學生能夠對問題理解透徹，然后教師引導學生分析提煉這一題中可以歸納總結、形成經驗的內容。

參考文獻：

[1]金秋.學習“反比例函數”應注意的幾個問題.時代數學學習：九年級，2006（11）.

篇（6）

1、理解反比例函數，并能從實際問題中抽象出反比例關系的函數解析式；

2、會畫出反比例函數的圖象，并結合圖象分析總結出反比例函數的性質；

3、滲透數形結合的數學思想及普遍聯系的辨證唯物主義思想；

4、體會數學從實踐中來又到實際中去的研究、應用過程；

5、培養學生的觀察能力，及數學地發現問題，解決問題的能力.

教學重點：

結合圖象分析總結出反比例函數的性質；

教學難點：描點畫出反比例函數的圖象

教學用具：直尺

教學方法：小組合作、探究式

教學過程：

1、從實際引出反比例函數的概念

我們在小學學過反比例關系.例如：當路程S一定時，時間t與速度v成反比例

即vt=S（S是常數）；

當矩形面積S一定時，長a與寬b成反比例，即ab=S（S是常數）

從函數的觀點看，在運動變化的過程中，有兩個變量可以分別看成自變量與函數，寫成：

（S是常數）

（S是常數）

一般地，函數（k是常數，）叫做反比例函數．

如上例，當路程S是常數時，時間t就是v的反比例函數．當矩形面積S是常數時，長a是寬b的反比例函數．

在現實生活中，也有許多反比例關系的例子．可以組織學生進行討論．下面的例子僅供

2、列表、描點畫出反比例函數的圖象

例1、畫出反比例函數與的圖象

解：列表

x

-6

-5

-4

-3

1

2

3

4

5

6

-1

-1.2

-1.5

-2

6

3

2

1.5

1.2

1

1

1.2

1.5

2

-6

-3

-2

-1.5

-1.2

1

說明：由于學生第一次接觸反比例函數，無法推測出它的大致圖象.取點的時候最好多取幾個，正負可以對稱著取分別畫點描圖

一般地反比例函數（k是常數，）的圖象由兩條曲線組成，叫做雙曲線.

3、觀察圖象，歸納、總結出反比例函數的性質

前面學習了三類基本的初等函數，有了一定的基礎，這里可視學生的程度或展開全面的討論，或在老師的引導下完成知識的學習.

顯示這兩個函數的圖象，提出問題：你能從圖象上發現什么有關反比例函數的性質呢？并能從解析式或列表中得到論證.（下列答案僅供參考）

（1）的圖象在第一、三象限.可以擴展到k>0時的情形，即k>0時，雙曲線兩支各在第一和第三象限.從解析式中，也可以得出這個結論：xy=k，即x與y同號，因此，圖象在第一、三象限.

的討論與此類似.

抓住機會，說明數與形的統一，也滲透了數形結合的數學思想方法.體現了由特殊到一般的研究過程.

（2）函數的圖象，在每一個象限內，y隨x的增大而減小；

從圖象中可以看出，當x從左向右變化時，圖象呈下坡趨勢.從列表中也可以看出這樣的變化趨勢.有理數除法說明了同樣的道理，被除數一定時，若除數大于零，除數越大，商越小；若除數小于零，同樣是除數越大，商越小.由此可歸納出，當k>0時，函數的圖象，在每一個象限內，y隨x的增大而減小.

同樣可以推出的圖象的性質.

（3）函數的圖象不經過原點，且不與x軸、y軸交.從解析式中也可以看出，.如果x取值越來越大時，y的值越來越小，趨近于零；如果x取負值且越來越小時，y的值也越來越趨近于零.因此，呈現的是雙曲線的樣子.同理，抽象出圖象的性質.

函數的圖象性質的討論與次類似.

4、小結：

本節課我們學習了反比例函數的概念及其圖象的性質.大家展開了充分的討論，對函數的概念，函數的圖象的性質有了進一步的認識.數學學習要求我們要深刻地理解，找出事物間的普遍聯系和發展規律，能數學地發現問題，并能運用已有的數學知識，給以一定的解釋.即數學是世界的一個部分，同時又隱藏在世界中.

5、布置作業習題13.81-4

教學設計示例2

反比例函數及其圖像

一、素質教育目標

（一）知識教學點

1．使學生了解反比例函數的概念；

2．使學生能夠根據問題中的條件確定反比例函數的解析式；

3．使學生理解反比例函數的性質，會畫出它們的圖像，以及根據圖像指出函數值隨自變量的增加或減小而變化的情況；

4．會用待定系數法確定反比例函數的解析式.

（二）能力訓練點

1．培養學生的作圖、觀察、分析、總結的能力；

2．向學生滲透數形結合的教學思想方法.

（三）德育滲透點

1．向學生滲透數學來源于實踐又反過來作用于實踐的觀點；

2．使學生體會事物是有規律地變化著的觀點.

（四）美育滲透點

通過反比例函數圖像的研究，滲透反映其性質的圖像的直觀形象美，激發學生的興趣，也培養學生積極探求知識的能力.

二、學法引導

教師采用類比法、觀察法、練習法

學生學習反比例函數要與學習其他函數一樣，要善于數形結合，由解析式聯想到圖像的位置及其性質，由圖像和性質聯想比例系數k的符號.

三、重點·難點·疑點及解決辦法

1．教學重點：反比例的概念、圖像、性質以及用待定系數法確定反比例函數的解析式.因為要研究反比例函數就必須明確反比例函數的上述問題.

2．教學難點：畫反比例函數的圖像.因為反比例函數的圖像有兩個分支，而且這兩個分支的變化趨勢又不同，學生初次接觸，一定會感到困難.

3．教學疑點：（1）反比例函數為何與x軸，y軸無交點；（2）反比例函數的圖像只能說在第一、三象限或第二、四象限，而不能說經過第幾象限，增減性也要說明在第幾象限（或說在它的每一個象限內）.

4．解決辦法：（1）中隱含條件是或；（2）雙曲線的兩個分支是斷開的，研究函數的增減性時，要將兩個分支分別討論，不能一概而論.

四、教學步驟

（一）教學過程

提問：小學是否學過反比例關系？是如何敘述的？

由學生先考慮及討論一下.

答：小學學過：兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的積一定，這兩種量就叫做反比例的量，它們的關系叫做反比例關系.

看下面的實例：（出示幻燈）

1．當路程s一定時，時間t與速度v成反比例；

2．當矩形面積S一定時，長a與寬b成反比例；

它們分別可以寫成（s是常數），（S是常數）寫在黑板上，用以得出反比例函數的概念：（板書）

一般地，函數（k是常數，）叫做反比例函數.

即在上面的例子中，當路程s是常數時，時間t就是速度v的反比例函數，能否說：速度v是時間t的反比例函數呢？

通過這個問題，使學生進一步理解反比例函數的概念，只要滿足（k是常數，）就可以．因此可以說速度v是時間t的反比例函數，因為（s是常量）．對第2個實例也一樣．

練習一：教材P129中1口答．P1301

根據前面學習特殊函數的經驗，研究完函數的概念，跟著要研究的是什么？

答：圖像和性質．

通過這個問題，使學生對課本上給出的知識的發生、發展過程有一個明確的認識，以后

學生要研究其他函數，也可以按照這種方式來研究．

下面，我們就來看一個例題：（出示幻燈）

例1畫出反比例函數與的圖像．

提問：1．畫函數圖像的關鍵問題是什么？

答：合理、正確地選值列表．

2．在選值時，你認為要注意什么問題？

答：（1）由于函數圖像的特點還不清楚，多選幾個點較好；

（2）不能選，因為時函數無意義；

（3）選整數較好計算和描點．

這個問題中最核心的一點是關于

的問題，提醒學生注意．

3．你能不能自己完成這道題呢？

學生在練習本上列表、描點、連線，教師在黑板上板演，到連線時可暫停，讓學生先連完線之后，找一名同學上黑板連線，然后就這名同學的連線加以評價、總結：

注意：（1）一般地，反比例函數的圖像由兩條曲線組成，叫做雙曲線；

（2）這兩條曲線不相交；

（3）這兩條曲線無限延伸，無限靠近x軸和y軸，但永不會與x軸和y軸相交．

關于注意（3）可問學生：為什么圖像與x和y軸不相交？

通過這個問題既可加深學生對反比例函數圖像的記憶，又可培養學生思維的靈活性和深刻性．

再讓學生觀察黑板上的圖，提問：

1．當時，雙曲線的兩個分支各在哪個象限？在每個象限內，y隨x的增大怎樣變化？

2．當時，雙曲線的兩個分支各在哪個象限？在每個象限內，y隨x的增大怎樣變化？

這兩個問題由學生討論總結之后回答，教師板書：

對于雙曲線（1）當：（1）當時，雙曲線的兩分支位于一、三象限，y隨x的增大而減少；（2）當時，雙曲線的兩分支位于二、四象限，y隨x的增大而增大．

3．反比例函數的這一性質與正比例函數的性質有何異同？

通過這個問題使學生能把學過的相關知識有機地串聯起來，便于記憶和應用．

練：教材P129中2由學生在練習本上完成，教師巡回指導.P130中2、3填在書上

上面，我們討論了反比例函數的概念、圖像和性質，下面我們再來看一個不同類型的例題：（出示幻燈）

例2已知y與成反比例，并且當時，，求時，y的值.

用提問的方式對此題加以分析：

（1）y與成反比例是什么含義？

由學生討論這一問題，最后歸結為根據反比例函數的概念，這句話說明了：.

（2）根據這個式子，能否求出當時，y的值？

（3）要想求出y的值，必須先知道哪個量呢？

（4）怎樣才能確定k的值？用什么條件？

答：用待定系數法，把時代入，求出k的值.

（5）你能否自己完成這道例題：

由一名同學板演，其他同學在練習本上完成.

例3已知：，與x成正比例，與x成反比例，當時，時，，求y與x的解析式.

分析：一定要先寫出y與x的函數表達式，

要用x分別把，表示出來得，

要注意不能寫成k，

解：設，

.

由題意得

.

（二）總結、擴展

教師提問，學生思考回答：

1．什么是反比例函數？

2．反比例函數的圖像是什么樣的？

3．反比例函數的性質是什么？

4．命題方向及題型設置，反比例函數也是中考命題的主要考點，其圖像和性質，以及其函數解析式的確定，常以填空題、選擇題出現，在低檔題中，近兩年各省、市的中考試卷中出現不少將反比例函數與一次函數、幾何知識、三角知識等綜合編擬的解答題，豐富了壓軸題的形式和內容.

五、布置作業

1．教材P130中4，5，6

2．選做：P130中B1，2

六、板書設計

13．8反比例函數及其圖像

引例：（1）例1：例2：例3：

（2）

1．反比例函數：

2．反比例函數的性質

探究活動

已知：如圖，一次函數的圖像經過第一、二、三象限，且與反比例函數的圖像交于A、B兩點，與y軸交于點C，與x軸交于點D。。

（1）求反比例函數的解析式；

（2）設點A的橫坐標為m，的面積為S，求S與m的函數關系式，并寫出自變量m的取值范圍；

（3）當的面積等于時，試判斷過A、B兩點的拋物線在x軸上截得的線段長能否等于3。如果能，求此時拋物線的解析式；如果不能，請說明理由。

解：（1）過點B作軸于點H。

在Rt中，

由勾股定理，得

又，

點B（－3，－1）。

設反比例函數的解析式為

。

點B在反比例函數的圖像上，

。

反比例函數的解析式為。

（2）設直線AB的解析式為。

由點A在第一象限，得。

又由點A在函數的圖像上，可求得點A的縱坐標為。

點B（－3，－1），點，

解關于、的方程組，得

直線AB的解析式為。

令。

求得點D的橫坐標為。

過點A作軸于點G

由已知，直線經過第一、二、三象限，

，即。

由此得

。

即。

（3）過A、B兩點的拋物線在x軸上截得的線段長不能等于3。

證明如下：

。

由，

得

解得。

經檢驗，都是這個方程的根。

，

不合題意，舍去。

點A（1，3）。

設過A（1，3）、B（－3，－1）兩點的拋物線的解析式為。

由此得

即。

設拋物線與x軸兩交點的橫坐標為。

則

令

則。

即。

整理，得。

篇（7）

例1 （2008年新疆建設兵團）我們學習過反比例函數，例如，當矩形的面積S一定時，長a是寬b的反比例函數，其函數關系式可以寫成a= （S為常數，S≠0）．請你仿照上例另舉一個在日常生活、生產或學習中具有反比例函數關系的量的實例，并寫出它的函數關系式．

解：三角形的面積S一定時，三角形的底邊長y是高x的反比例函數，其函數關系式為y= （S為常數，S≠0）．

注意：將實際生活中的數學問題抽象成函數關系式時，一要注意題中所給條件的限制，即自變量的取值范圍；二要清楚哪個量是自變量，哪個量是常數，哪個量是因變量.

例2 （2008年云南省）函數y= 中，自變量x的取值范圍是______．

解：要使反比例函數有意義，必須分母不為0，故x-1≠0，x≠1.

二、確定反比例函數的解析式

例3 （2008年安徽省）函數y= 的圖象經過點（1，－2），則k的值為（）.

A．B． - C． 2D． －2

解：將點（1，－2）代入函數y= ，得-2= ，k=-2.故選D.

例4 （2008年襄樊市）在一個可以改變體積的密閉容器內裝有一定質量的二氧化碳，當改變容器的體積時，氣體的密度也會隨之改變，密度ρ（單位：kg/m3）是體積V（單位：m3）的反比例函數，它的圖象如圖1所示.當V=10 m3時，氣體的密度是（）.

A． 5 kg/m3 B． 2 kg/m3

C．100 kg/m3 D. 1 kg/m3

解：設反比例函數的解析式為ρ= （V>0）.觀察到函數圖象上的一個點（5，2），將其代入反比例函數ρ= 中，得k=10.

函數解析式為ρ= （V>0）.將V=10代入ρ= ，得ρ=1，故選D.

注意：（1） 這道題的解題思路是求出函數解析式，然后利用解析式求密度.這道題雖然簡單，但這種解題思路應用很廣.

（2） 這道題圖象只有第一象限一個分支，說明自變量大于零，列解析式時不要忘記注明取值范圍.

例5 （2008年寧波市）如圖2，正方形ABOC的邊長為2，反比例函數y= 過點A，則k的值是（）.

A． 2 B． -2 C． 4 D． -4

解：由正方形ABOC的邊長為2，可知正方形ABOC的面積為4.

又由反比例函數中k的幾何意義，可知｜k｜=4.

因為反比例函數的圖象在第二象限，所以k

三、反比例函數的性質

例6 （2008年仙桃市）對于反比例函數y= （k≠0），下列說法不正確的是（）.

A. 它的圖象分布在第一、三象限?搖?搖?搖B. 點（k，k）在它的圖象上

C. 它的圖象是中心對稱圖形?搖?搖?搖D. y隨x的增大而增大

解：因k≠0，故k2>0.根據反比例函數的性質，A，B，C成立，故選D.

例7 已知反比例函數y= （a≠0）在每一象限內y的值隨x值的增大而減小，則一次函數y=-ax+a的圖象不經過（）.

A． 第一象限 B． 第二象限

C． 第三象限 D． 第四象限

解：由反比例函數在每一象限內y的值隨x值的增大而減小，可知a>0，則-a

注意：反比例函數圖象的位置、k值的正負、函數的增減性（在每一象限內），這三者的關系是：其中一個確定，其他兩個也確定；k>0?圳圖象在一、三象限?圳減函數；k

四、反比例函數的實際應用

例8 （2008年杭州市）為了預防流感，某學校用藥熏消毒法對教室進行消毒．已知藥物釋放過程中，室內每立方米空氣中的含藥量y（mg）與時間t（h）成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數關系式為y= （a為常數），如圖3所示．根據圖中提供的信息，解答下列問題.

（1） 寫出從藥物釋放開始，y與t之間的兩個函數關系式及相應的自變量的取值范圍.

（2） 據測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到0.25 mg以下時，學生方可進入教室，那么從藥物釋放開始，至少需要經過多少小時后，學生才能進入教室？

解：（1） 將點P3， 代入y= ，解得a= .則y= .

將y=1代入y= ，得t= .反比例函數的解析式為y= t≥ .

篇（8）

（克拉瑪依市第一中學，新疆  克拉瑪依  834000）

 

摘  要：直觀清晰的解讀反比例函數的概念，在例題解析中熟練運用常用方法，避免錯誤重復出現，提高學習效率，鞏固基礎知識。

關鍵詞：反比例函數；基本概念；常用方法

反比例函數是學習函數中非常重要的一個環節，對學生進一步學習函數知識起到了承前啟后的作用。它既不像一次函數那樣比較淺顯易懂便于掌握，也沒有二次函數甚至多元函數那樣復雜繁瑣。但是不能因此而輕視它，不光是因為它一直作為中學學科乃至升學考試中的必考內容而存在，更是因為它與其他函數的關聯性使得它出現在題目中會有較強的迷惑性，導致解答過程中極易出現錯誤。本文將從基本概念出發，深入解析部分代表性強的題目，展示常用方法，為廣大學生學好反比例函數提供一定參考和幫助。

一、反比例函數的基本概念

（一）定義及表達式

（k為常數且 ）叫做反比例函數，其中k叫做反比例系數，x是自變量，y是自變量x的函數，x的取值范圍是不等于0的一切實數,且y也不能等于0。k大于0時，圖像在1、3象限。k小于0時，圖像在2、4象限。

在實際解題的過程中我們可以靈活應用概念的互推性質。我們可以用定義式來確定變量的值。例如當m=（ ）時，函數 是反比例函數。由反比例函數定義可知，x的指數是-1，即 ，解 。其實這正是進入了一個誤區。在反比例函數中既要滿足的指數為-1，也要滿足 ，本題未考慮到這一點。正解： 且 ，綜合解得 。還可以反過來，根據給定的數值，確定解析式。例如已知反比例函數的圖象經過點（－3，1），求此函數的解析式。根據基本定義可知反比例函數的解析式，且因為點（－3，1）在反比例函數的圖象上，所以直接將這個點的坐標代入反比例函數的解析式，得 k= -3， 由此可得這個反比例函數的解析式。特別要注意的是，不能將反比例關系與反比例函數相互混淆。導致概念不清就容易出錯。舉例：若y與 x-1成反比例，且當x=3時，y=4，則y與x之間的關系是(   )   

A、成正比例 B、反比例函數  C、一次函數 D、以上都不對

此時如果不清楚反比例函數的基本定義，就會錯選B。這題目把反比例關系與反比例函數進行混淆，成反比例關系但不一定是反比例函數，但反比例函數一定是成反比例關系。這樣清楚概念后，可解得答案為D

（二）函數圖象

反比例函數的圖像用文字可以概述為以原點為對稱中心的中心對稱的雙曲線。圖像中每一象限的每一支曲線會無限接近x軸y軸但不會與坐標軸相交。關于它的畫法也很簡單，根據給定的各個數值，在平面直角坐標系中標出相應的點，用平滑的線將它們一一對應連接起來，可以從圖形上得出結論：當雙曲線在一三象限，k>0，在每個象限內，y隨x的增大而減小。當雙曲線在二四象限，k<0，在每個象限內，y隨x的增大而增大。而當兩個數相等時那么曲線呈彎月型。

（三）比例系數

研究函數問題要透視函數的本質特征。反比例函數中，比例系數k有一個很重要的幾何意義，那就是：過反比例函數圖象上任一點P作x軸、y軸的垂線PM、PN，垂足為M、N則矩形PMON的面積

所以，對雙曲線上任意一點作x軸、y軸的垂線，它們與x軸、y軸所圍成的矩形面積為常數。從而有k的絕對值。在解有關反比例函數的問題時，若能靈活運用反比例函數中k的幾何意義，會給解題帶來很多方便。

（四）函數性質

1、單調性 當k>0時，圖象分別位于第一、三象限，每一個象限內，從左往右，y隨x的增大而減小；當k<0時，圖象分別位于第二、四象限，每一個象限內，從左往右，y隨x的增大而增大。k>0時，函數在x<0上同為減函數、在x>0上同為減函數；k<0時，函數在x<0上為增函數、在x>0上同為增函數。 2、相交性

因為在定義解析式中，x不能為0，y也不能為0，所以反比例函數的圖象不可能與x軸相交，也不可能與y軸相交，只能無限接近x軸，y軸。

3、對稱性 反比例函數圖象是中心對稱圖形，對稱中心是原點；反比例函數的圖像也是軸對稱圖形，反比例函數圖象上的點關于坐標原點對稱。所以，它的圖象的對稱軸是：如果圖象在一、三象限，則對稱軸為二、四象限的角平分線y=-x，如果圖象在二、四象限，則對稱軸為一、三象限的角平分線y=x。對函數性質也要摸清摸透。如：在函數y=a2+1/x的圖像上有三點(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)且 x1<x2<0<x3，，則函數值 y1，y2 ，y3的大小關系是什么。由于題目中給出的是反比例函數，k=(a2+1)<0，即y隨x的增大而增大；又有條件x1<x2<0<x3，可以得出y1<y2<y3 其實在運用反比例函數的性質時，要特別注意“在每個象限內”討論y隨x的變化。而題目給出的三個點并不在同一象限內，不能得出y1<y2<y3 正確答案應該是：k=(a2+1)<0為已知條件，可得函數圖像在第二、四象限內，且在每一個象限內，y隨x的增 大而增大，又因題中給出x3>0可知y3<0而x1<x2<0所以O<y1<y2 綜上所述可得y3<y1<y2 . 二、常用方法舉例 反比例函數的圖象上有一點P（m, n）其坐標是關于t的一元二次方程，t2+3t+k=0的兩根雙曲線，且P到原點的距離為 ，求該反比例函數的解析式。分析可得求反比例函數解析式，就是要求出k，為此我們就需要列出一個關于k的方程。

m, n是關于t的方程t2+3t+k=0的兩根雙曲線，m+n=-3，mn=k.

又po= ， ， ，9-2k=13． k= -2

當 k=-2時， =9+2>0，k=-2符合條件，該反比例函數的解析式為mn=-2.

三、總結

總之，掌握反比例函數的關鍵就在于要清晰明確它的基本概念和定義，熟練了解它的圖形和函數性質，在計算題目時一定要仔細認真考慮所有條件，保證少出錯，不出錯，為進一步學習數學知識奠定良好的基礎。

 

篇（9）

1.反比例函數和一次函數結合

中考中反比例函數和一次函數結合的這種題型比較多見，通過查閱近兩年中考題，我們可發現，每個省的中考題中均會有這一題型的相關考題出現.這一類的考題可在中學課本中找到原型，具體如下：

練習題一：正比例函數y=x圖像和反比例函數y=k/x的圖像有一個交點，縱坐標為2，求：（1）當x=-3時，反比例函數y的值；（2）當-3

分析：從本題已知信息中可以看出，兩個函數圖像有一個交點，其坐標是（2，2），由此可知反比例函數k為4.在解析（1）時，將x=-3帶入到反比例函數中，經解析可得y=-4/3.第（2）題在解析時，只需代入x=-1至反比例函數，可得y=-4，由此獲知y的取值范圍為-4

在中考中，反比例函數與一次函數結合的中考題考查的內容包括以下幾點：待定系數法求解析式；求三角形面積、對函數值大小進行比較、求取函數值或自變量取值范圍，等等.

我們對中考題進行分析，看怎樣利用上述思路解決中考中的相關反比例函數問題.

例題1（2011年河南卷）：如圖1所示，一次函數y=kx+2和反比例函數y=k/x圖像，兩圖像在A（4，m）、B（-8，-2）處相交，和y軸交于C點.求解：（1）k與k的值；（2）根據函數圖像分析，若y>y，則x的取值范圍是多少？（3）過點A作AD與X軸在點D垂直，點P為反比例函數第一象限內圖像中的一點，假設直線OP和線段AD在點E相交，若S∶S=3∶1，點P坐標是多少？

解析：第（1）題的答案是1/2，16；第（2）題答案或x>4或-8

因為S∶S=3∶1，所以S=1/3×12=4.故而OD?DE為4，DE為2，可得點E坐標（4，2）.由于點E位于直線OP之上，故OP解析式為y=1/2x，可得OP和y=16/x圖像于第一象限內交點P坐標是（4，2）.

2.反比例函數增減性分析

練習題二：如圖2是反比例函數y=（n+7）/x圖像中的一支，根據圖像對下述問題進行解答：（1）圖像另一支所處象限是哪個象限？常數n取值范圍是什么？（2）在這個函數圖像的某一支上任取點A（a，b）與B（a’，b’），若a

這一問題的重點在于對反比例函數增減性加以考查，也即“y在x增大時增大或減小”.由于反比例函數自變量不可是0，故而其增減性并非在整個定義區域范圍中得以表現，而是僅僅在每個象限中表現出增減性，這同樣是中考重點考查內容.

我們選取2010年臺州的一道考題進行分析：

例題2：反比例函數y=6/x圖像上有三個點三者間的關系是（）

得知要研究的點并非處于同一象限內，因此不可根據“y隨x增大而減小”這一規律進行判斷，需通過畫圖將這一問題解決，因此答案應選B.

3.k幾何意義分析

練習題三：下列哪個等式內y為x反比例函數？

y=4x；y/x=3；y=6x+1；xy=123

篇（10）

在學習反比例函數上，一方面要注意具體題目的分析和求解過程，另一方面要注重一些重要的數學思想方法（如變化與對應的數學思想和數形結合的思想）的滲透；對于反比例函數的檢測，通常以選擇、填空和解答題的形式出現.下面結合2007年中考題，談反比例函數的檢測方式.

考點1：反比例函數的圖像和性質

經檢驗，所給4點中，只有點（2，-1）在雙曲線上，故選A.

【評注】1.反比例函數的圖像是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸，即一、三象限的角平分線和二、四象限的角平分線；它也是中心對稱圖形，對稱中心是坐標原點.因此，若點（a，b）在雙曲線上，則點（b， a）, （-a，-b）, （-b， -a）也一定在雙曲線上.

2.雙曲線上任意一點的橫坐標與縱坐標的積都相等，且等于反比例系數.

練習1：（2007年甘肅省蘭州市）如圖1，P1，P2，P3是雙曲線上的三點，過這三點分別作y軸的垂線，得到三個三角形P1A1O，P2A2O，P3A3O，設它們的面積分別為S1，S2，S3，則（）

A.S1＜S2＜S3

B.S2＜S1＜S3

C.S1＜S3＜S2

D.S1=S2=S3

考點2：反比例函數的解析式

1.求反比例函數和一次函數的解析式；

2.根據圖像寫出使一次函數的值大于反比例函數的值x的取值范圍.

思路點撥：1.由點A的坐標可求出反比例函數中的系數m，再把點B的坐標代入反比例函數的解析式中即可求n，最后將A,B兩點的坐標代入一次函數的解析式即可求出k,b的值.

2.求一次函數的值大于反比例函數的值的x的取值范圍，即是找直線部分在雙曲線部分上方時所對應的自變量x的值.

2.分別過點A，B作橫軸的垂線，垂足為C，D，則C，D的坐標分標為(-2，0)，(1，0)，如圖2，在直線AC的左側以及在縱軸和直線BD之間時，一次函數的圖像在反比例函數圖像的上方，故當x

2.兩個圖像的交點坐標一定適合兩個函數的解析式，兩個函數的解析式所組成的方程組的解即是圖像的交點坐標.

考點3：反比例與一次函數在同一坐標系中的圖像

思路點撥：這里兩個函數圖像的位置由2k和k-1的符號確定，而2k與k的符號相同，所以k和k-1的符號共有3種可能性，即都為負，為正且為負，都為正.

解：1.當k

2.當k

3.當k

例4：（2007年江蘇省鹽城市）一司機駕駛汽車從甲地去乙地，以80千米/時的平均速度用6小時到達目的地.

1.當他按原路勻速返回時，求汽車速度v（千米/時）與時間t（小時）之間的函數關系式；

2.如果該司機勻速返回時，用了4.8小時，求返回時的速度.

思路點撥：由已知條件可求出汽車從甲地到乙地的路程，而返回路程不變，因此汽車的速度與時間成反比例.

解：汽車行駛的路程為80×6＝480（千米）

練習4：（2007年廣西壯族自治區）如圖6，一塊磚的A、B、C三個面的面積之比是4∶2∶1，如果把磚的B面向下放在地上時地面所受壓強為a帕，則把磚A面和C面分別向下放在地上，地面所受壓強分別為帕、帕.