反比例函數(shù)的應(yīng)用匯總十篇

序論：好文章的創(chuàng)作是一個(gè)不斷探索和完善的過程，我們?yōu)槟扑]十篇反比例函數(shù)的應(yīng)用范例，希望它們能助您一臂之力，提升您的閱讀品質(zhì)，帶來更深刻的閱讀感受。

篇（1）

當(dāng) k1k2＞0 時(shí)直線與雙曲線一定相交.

證明(略)

性質(zhì)2 直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),兩線相切,并且切點(diǎn)是直線被兩坐標(biāo)軸所截線段的中點(diǎn)；反之,如果雙曲線經(jīng)過直線被兩坐標(biāo)軸所截線段的中點(diǎn),則兩線一定相切.

因?yàn)棣?(-2k2[]m)2-4•k2[]m2•k2=4k22[]m2-4k22[]m2=0 .所以兩線只有一個(gè)交點(diǎn),兩線相切.

性質(zhì)3 直線與雙曲線相交時(shí),直線被雙曲線和兩坐標(biāo)軸截得的線段相等.

證明 如圖1(2),過點(diǎn)C作CEy軸,過點(diǎn)D作DFx軸,

連接E、F.由CE∥y軸,DF∥x軸,可知SECF=SECO=1[]2k2,SDFE=SDFO=1[]2k2, 所以SECF=SDFE.

又因?yàn)閮扇切蔚紫嗟?所以高也相等,所以EF∥AB,則四邊形AEFD、ECBF都是平行四邊形,

所以EC=BF,AE=DF.可判斷RtAEC≌RtDFB,所以AC=BD.

通過上述證明過程又可得到以下性質(zhì)：

性質(zhì)4 當(dāng)直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí),過其中一個(gè)點(diǎn)向x軸引垂線,y軸引垂線,兩垂足連線一定與該直線平行.

由圖2,圖2(1)都可證明性質(zhì)3與性質(zhì)4(證明過程同上).并且由圖2還可以得到

性質(zhì)5 過原點(diǎn)的直線與雙曲線相交時(shí),兩交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

證明 如圖2,由性質(zhì)4知EF∥AB,因此四邊形AEFO、BOEF都是平行四邊形,所以AE=OF,OE=BF,EF=OA=OB,又A、B分別在二、四象限,因此A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

另外由圖3,還可以發(fā)現(xiàn),設(shè)點(diǎn)P(x,y)是線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

當(dāng)點(diǎn)P與C、D重合時(shí),S矩形EOFC=S矩形DNOM=k2,

當(dāng)點(diǎn)P在CD段時(shí),易得S矩形PROH＞S矩形EOFC=k2,

當(dāng)點(diǎn)P在AC段或BD段時(shí),易得矩形面積都小于k2,因此又得到

性質(zhì)6 如圖3,當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),過點(diǎn)P與x軸、

y軸圍成的矩形面積S有如下三種情況：設(shè)點(diǎn)p、C、D的橫坐標(biāo)分別為x、x1 、x2,

則 當(dāng)x1＜x＜x2時(shí),S矩形＞k2,

當(dāng)0＜x＜x1或當(dāng)x2＜x＜-b[]k1時(shí),S矩形＜k2,

當(dāng)x=x1、x2時(shí),S矩形=k2.

2 性質(zhì)應(yīng)用

例1 (2010湖北咸寧)如圖4,一次函數(shù)y=ax+b的圖象與x軸,y軸交于A,B兩點(diǎn),與反比例函數(shù)y=k[]x的圖象相交于C,D兩點(diǎn),分別過C,D兩點(diǎn)作y軸,x軸的垂線,垂足為E,F,連接CF,DE．

有下列四個(gè)結(jié)論：

①CEF與DEF的面積相等；②AOB∽FOE；

③DCE≌CDF；④AC=BD．

其中正確的結(jié)論是_________(把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上)

解 由上述性質(zhì)3、4得到①②④正確

例2 (2010寧夏)如圖5,已知：一次函數(shù)：y=-x+4的圖像與反比例函數(shù)：

y=2[]x(x>0)的圖像分別交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)M是一次函數(shù)圖像在第一象限部分上的任意一點(diǎn),過M分別向x軸、y軸作垂線,垂足分別為M1、M2,設(shè)矩形MM1OM2的面積為S1；點(diǎn)N為反比例函數(shù)圖像上任意一點(diǎn),過N分別向x軸、y軸作垂線,垂足分別為N1、N2,設(shè)矩形NN1ON2的面積為S2；

(1)若設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),請(qǐng)寫出S1關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式,并求x取何值時(shí),S1的最大值；

(2)觀察圖形,通過確定x的取值,試比較S1、S2的大小．

解 (1)S1=x(-x+4)=-x2+4x=-(x-2)2+4

當(dāng)x=2時(shí),S1最大值=4 .

(2)因?yàn)镾2=2[CS0,0,0,0]［,］[CS]由S1=S2可得：-x2+4x=2,

x2-4x-2=0,所以x=2±2.由性質(zhì)6可得：

當(dāng)x=2±2時(shí),S1=S2,

當(dāng)0

當(dāng)2-2

例3 (2010泰安)如圖6,一次函數(shù)y=ax(a為常數(shù))與

反比例函數(shù)y=k[]x(k為常數(shù))的圖象相交于A、B兩點(diǎn),若A點(diǎn)的坐標(biāo)為

(－2,3),則B點(diǎn)的坐標(biāo)_________.

解 由性質(zhì)3知B點(diǎn)與A點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,因此B點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,-3).

例4 (2009溫州)如圖7,在平面直角坐標(biāo)系中,

直線AB與y軸和x軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B,

與反比例函數(shù)y=m[]x在第一象限的圖象交于點(diǎn)C(1,6)、點(diǎn)D(3,n)．

過點(diǎn)C作CEy軸于E,過點(diǎn)D作DFx軸于F．

(1)求m,n的值；

(2)求直線AB的函數(shù)解析式；

(3)求證：AEC≌DFB．

解 如圖7.(1)m=6,n=2

篇（2）

教師不是簡(jiǎn)單地將概念“拋”給學(xué)生，而要引導(dǎo)學(xué)生在積極思維討論、主動(dòng)合作探究的基礎(chǔ)上通過歸納形成概念，并通過簡(jiǎn)單的習(xí)題訓(xùn)練不斷拓展，引導(dǎo)學(xué)生抓住概念的本質(zhì)。筆者在反比函數(shù)教學(xué)中引入定義時(shí)，向?qū)W生介紹其基本形式為：y=■（k≠0），或y=kx-1（k≠0），但學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)尚處于表象，教師適時(shí)將定義變式，設(shè)計(jì)幾個(gè)變式題目來強(qiáng)化概念。

變式1：若函數(shù)y=（m-2）x|m|-3是反比例函數(shù)，則m的值為（ ）

A、m=-2 B、m=2 C、m=2或-2 D、m=3或-3

本題變式旨在讓學(xué)生由反比例函數(shù)定義，一個(gè)函數(shù)滿足是反比例函數(shù)的必備要件分別是k≠0、x的指數(shù)為-1。

變式2：如果函數(shù)y=kxk■-10是一個(gè)反比例函數(shù)，求k的值和反比例函數(shù)的表達(dá)式。

二、 數(shù)形結(jié)合，化繁為簡(jiǎn)

反函數(shù)教學(xué)要改變數(shù)、形彼此“兩邊飛”的現(xiàn)狀，要將數(shù)與形完美結(jié)合，從而兼具“數(shù)”的關(guān)系和“形”的直觀，在面積計(jì)算、比例大小等內(nèi)容教學(xué)中要利用其圖象特點(diǎn)，將復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化。

題源：若函數(shù)y=■的圖象經(jīng)過點(diǎn)（-2，6），則下列各點(diǎn)中不在y=■圖象上的是（ ）。

A、（3，4） B、（2，-6）

C、（3，-4） D、（-3，4）

變式1：如右圖所示，點(diǎn)A是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，過A作ABx軸于B，若SAOB=5，則解析式為 。

通過觀察圖象可知，雙曲線上任一點(diǎn)引x軸（或y軸垂線），該點(diǎn)與垂足、原點(diǎn)所構(gòu)成的三角形面積是定值，

即SAOB=■k。

變式2：已知一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)y=■的圖象交于點(diǎn)A與B。（1）請(qǐng)利用給定的條件，求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象寫出ax+b>■時(shí)x的取值范圍。

本題旨在要求學(xué)生利用反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)來求不等式的解集。通過觀察不難發(fā)現(xiàn)，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)上方時(shí)，一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值，即x

三、挖掘性質(zhì)，探索規(guī)律

函數(shù)作為初中代數(shù)教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，學(xué)生往往被其若干個(gè)性質(zhì)搞得頭昏腦脹。教師要通過變式練習(xí)，引領(lǐng)學(xué)生深入挖掘函數(shù)的性質(zhì)，探索其內(nèi)在的規(guī)律，才能使學(xué)生在解決問題時(shí)應(yīng)對(duì)自如。

題源：若點(diǎn)A（x1，y1）和B（x2，y2）在反比例函數(shù)圖象上，且x1

學(xué)生根據(jù)k>0確定反比例函數(shù)圖象分布在一、三象限，在同一象限內(nèi)，y隨x的增大而減少，容易得出結(jié)論y1

變式：若點(diǎn)（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）分別在反比例函數(shù)的圖象上，且x1

四、關(guān)注社會(huì)，聯(lián)系生活

數(shù)學(xué)源于生活，服務(wù)于生活。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)根植于社會(huì)生活實(shí)際，從生活中搜索數(shù)學(xué)素材，精心編制習(xí)題，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。

題源：已知點(diǎn)M（-1，4）在反比例函數(shù)y=kx-1（k≠0）圖象上，則k的值是 。

變式1：在溫度不變的條件下，一定質(zhì)量的氣體的壓強(qiáng)p與它的體積V成反比例。當(dāng)p=50時(shí)，V=600，則當(dāng)p=40時(shí)，V= 。

變式2：某學(xué)校為響應(yīng)政府發(fā)出的全民健身的號(hào)召，打算在長(zhǎng)24m、寬12m的矩形大禮堂內(nèi)修建一個(gè)60m2的矩形健身房ABCD，該健身房的四面墻壁有兩側(cè)沿用大廳的舊墻壁。已知裝修舊墻壁的費(fèi)用為60元/平方米，新建（含裝修）的費(fèi)用為240元/平方米。設(shè)健身房的高為3米，一面舊壁AB的長(zhǎng)為x米，修建健身房的總投入為y元。

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

篇（3）

恩格斯曾說過：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的量的關(guān)系與空間形式的科學(xué)。”數(shù)形結(jié)合從某種意義上說，就是將數(shù)學(xué)問題之間的條件與結(jié)論進(jìn)行一定的聯(lián)系，將數(shù)學(xué)問題中的代數(shù)知識(shí)和幾何知識(shí)運(yùn)用、體現(xiàn)出來，將代數(shù)的準(zhǔn)確性以及幾何的直觀性都充分地表現(xiàn)出來，將這些考慮問題的手段有效地結(jié)合在一起，從而促進(jìn)數(shù)學(xué)解題思路的拓展與提升，從而將數(shù)學(xué)問題的難度降低，幫助學(xué)生更輕松、更直觀地進(jìn)行解題。反比例函數(shù)自身就是一種幾何與代數(shù)知識(shí)的結(jié)合，因而在進(jìn)行反比例函數(shù)解題的時(shí)候，我們應(yīng)當(dāng)盡量多地利用數(shù)形結(jié)合思想，將初中數(shù)學(xué)反比例函數(shù)中的問題更好地解決。

例1.已知圓柱的側(cè)面積是20π cm2，若圓柱底面半徑為r cm，高為h cm，則h關(guān)于r的函數(shù)圖像大致是（ ）。

我們根據(jù)已知數(shù)據(jù)并且結(jié)合圓柱的側(cè)面積表達(dá)公式即：s=2πrh，并且2πrh=20，那么我們就可以得到h=10/πr，因此我們可以知道π與r之間是反比例關(guān)系，在解決實(shí)際問題的時(shí)候，我們還應(yīng)當(dāng)關(guān)注題目的實(shí)際應(yīng)用，即r作為半徑應(yīng)當(dāng)有一個(gè)潛在的取值范圍即r>0，那么我們就可以知道h與r之間的反比例函數(shù)關(guān)系圖象一定是在第一象限，通過已有知識(shí)的掌握，聯(lián)系現(xiàn)實(shí)實(shí)際，我們可以將問題答案成功地求出來。在這里，我們應(yīng)用到的知識(shí)主要是反比例函數(shù)的定義，即，一般地，如果兩個(gè)變量x、y之間的關(guān)系可以表示成y=k/x（k為常數(shù)，k≠0）的形式，那么稱y是x的反比例函數(shù)。我們通過圓柱側(cè)面積的表達(dá)公式，并將題目中已經(jīng)掌握的信息利用起來，求出h與r之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)與反比例函數(shù)的定義相符，那么我們就可以判定這肯定是一個(gè)反比例函數(shù)圖象，接著，我們就可以確定答案為A。當(dāng)然，這道題目中的解題思考進(jìn)行概括和升華之后可以是這樣的：我們?cè)谶M(jìn)行解題時(shí)，應(yīng)當(dāng)先找出兩個(gè)變量之間的關(guān)系，根據(jù)這個(gè)關(guān)系式我們可以畫出相應(yīng)的函數(shù)圖象，從而能夠歸納出相應(yīng)的圖象特征，并找到相應(yīng)的函數(shù)圖像。

例2.如圖：A、B是雙曲線一個(gè)分支上的兩點(diǎn)，且B（a，b）在點(diǎn)A的右側(cè)，則b的取值范圍是―（ ）。

根據(jù)題目中的圖像所示，我們可以得出A點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，2），同時(shí)我們知道B點(diǎn)也是這個(gè)雙曲線一個(gè)分支上的一點(diǎn)，因此點(diǎn)B的坐標(biāo)可以利用雙曲線的函數(shù)關(guān)系式表達(dá)成為（a，2a），又因?yàn)辄c(diǎn)B位于點(diǎn)A的右側(cè)，那么我們可以根據(jù)反比例函數(shù)圖象在第一象限中的變化規(guī)律得出y隨著x的增大而減少的結(jié)果，因此我們可以得出a一定大于1，且b一定小于2，b一定大于0，也就是b大于0且b小于2。在這道題目的解題過程中，我們主要運(yùn)用的解題思路是結(jié)合我們已知的條件，從圖象中尋找有用的相關(guān)信息，從而能夠?qū)⒁阎獥l件轉(zhuǎn)化為要求的目標(biāo)，只有充分地結(jié)合圖像，我們才能將所有的條件都考慮完整，不會(huì)將“b在第一象限，所以一定大于0”的信息給忽略掉，從而得出更為準(zhǔn)確的答案。

總而言之，反比例函數(shù)作為一種重要且有效的數(shù)學(xué)解題手段，我們應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生在數(shù)學(xué)思維養(yǎng)成的過程中逐步學(xué)會(huì)這種思維手段，并將其熟練地運(yùn)用到數(shù)學(xué)解題過程中去。對(duì)于反比例函數(shù)中比較突出的問題，包括比較大小、通過應(yīng)用題目確定數(shù)值關(guān)系式等，我們應(yīng)當(dāng)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的解題思想進(jìn)行解題，從而達(dá)到事半功倍的解題效果，實(shí)現(xiàn)反比例函數(shù)的優(yōu)質(zhì)解題。

篇（4）

一、反比例函數(shù)教學(xué)內(nèi)容

函數(shù)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中使學(xué)生較為頭疼的內(nèi)容，學(xué)生難以有效地理解與掌握其概念。函數(shù)涉及變量的關(guān)系，函數(shù)的實(shí)質(zhì)是一個(gè)變數(shù)，它隨另一個(gè)變量的變化而變化，并且特別強(qiáng)調(diào)對(duì)于變量x的每一個(gè)值，y都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)，即突出了自變量與函數(shù)之間單向一對(duì)一的關(guān)系，一個(gè)x的值只對(duì)應(yīng)唯一y的值。而這種不斷變化的函數(shù)的學(xué)習(xí)對(duì)于初中生而言存在著一定的困難。初中生難以有效地掌握反比例函數(shù)，對(duì)于學(xué)生中考的數(shù)學(xué)成績(jī)也有著較為不利的影響，故而作為九年級(jí)的數(shù)學(xué)教師，對(duì)于如何有效強(qiáng)化學(xué)生反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)能力，提升反比例函數(shù)教學(xué)效果，是較為主要的任務(wù)。對(duì)此筆者認(rèn)為，教師可以通過對(duì)反比例函數(shù)的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行探究，對(duì)其知識(shí)內(nèi)容及圖象進(jìn)行歸類，促使學(xué)生更好的學(xué)習(xí)，其知識(shí)結(jié)構(gòu)如下所示。

二、九年級(jí)反比例函數(shù)有效教學(xué)

1.利用創(chuàng)設(shè)問題情境，提出問題

在進(jìn)行反比例函數(shù)教學(xué)活動(dòng)中，對(duì)反比例函數(shù)教學(xué)引入過程，教師就可以通過課本中的題目，進(jìn)行情景創(chuàng)設(shè)，讓學(xué)生切實(shí)感受到反比例函數(shù)在生活中的應(yīng)用。如，利用彈簧掛上物體后會(huì)拉長(zhǎng)這一現(xiàn)象，教師就可以在課堂上將彈簧作為教學(xué)工具讓學(xué)生進(jìn)行實(shí)踐，然后提出問題：這是什么樣的現(xiàn)象？促使學(xué)生能夠獨(dú)立思考完成教師所提出問題，從而有效引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)反比例函數(shù)的

興趣。

2.循序漸進(jìn)，學(xué)習(xí)反比例函數(shù)

（1）利用合作學(xué)習(xí)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)概念的了解。在進(jìn)行教學(xué)引入活動(dòng)之后，教師就可以通過小組合作學(xué)習(xí)的方式讓學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)的概念進(jìn)行分析與掌握。對(duì)此，教師可以設(shè)計(jì)關(guān)于反比例函數(shù)概念的題目，讓學(xué)生通過小組的形式進(jìn)行探索，通過交流對(duì)反比例函數(shù)的共同特點(diǎn)進(jìn)行歸納與總結(jié)。

（2）挖掘內(nèi)涵，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)的理解。學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)的共同特點(diǎn)進(jìn)行總結(jié)之后，已經(jīng)初步了解了反比例函數(shù)的概念，教師還可以通過對(duì)反比例函數(shù)的內(nèi)涵進(jìn)行有效的挖掘，從而強(qiáng)化學(xué)生對(duì)概念的理解。對(duì)此，筆者認(rèn)為，教師可以讓學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)的概念先進(jìn)行獨(dú)立思考，再讓學(xué)生在小組中相互交流，對(duì)于較難理解概念進(jìn)行探討，教師從旁指導(dǎo)，由此強(qiáng)化學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)概念的理解。

（3）及時(shí)訓(xùn)練，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)的運(yùn)用。完成了對(duì)反比例函數(shù)講解之后，教師應(yīng)讓學(xué)生將自己所學(xué)生的知識(shí)進(jìn)行運(yùn)用，及時(shí)訓(xùn)練，促使學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)知識(shí)內(nèi)化。

篇（5）

反比例函數(shù)是近年來考試的重點(diǎn)，無論是教學(xué)時(shí)的難度，還是本身所包含的知識(shí)，都會(huì)成為考試中的熱點(diǎn)。課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)反比例函數(shù)的掌握程度提出了更多的要求，考試的題型也呈現(xiàn)多種變化。如，選擇題、填空題、解答題，考點(diǎn)涉及反比例函數(shù)的概念、解析式、圖象及性質(zhì)、實(shí)際問題等，特別是涉及反比例函數(shù)的綜合題型等。那么，我們?cè)趶?fù)習(xí)中如何能使學(xué)生掌握基礎(chǔ)、形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，并能利用基本的概念、性質(zhì)和方法通過觀察和歸納分析解決難度較大的綜合題型呢？下面我們就通過一些環(huán)節(jié)，讓學(xué)生通過“解決問題―歸納知識(shí)―構(gòu)建系統(tǒng)”的模式，力求讓學(xué)生通過自主探究的方式達(dá)到對(duì)知識(shí)的深層理解，形成解決問題的能力。

一、概念梳理，抓好基礎(chǔ)

這道試題是最簡(jiǎn)單的反比例函數(shù)概念題，學(xué)生將A點(diǎn)代入解析式即能得解，使學(xué)生初步理解反比例函數(shù)的概念，并知道這樣的方式叫待定系數(shù)法求解析式。

例2.近視眼鏡的度數(shù)y（度）與鏡片焦距x（米）成反比例，已知400度近視眼鏡鏡片的焦距為0.25米，則眼鏡度數(shù)y與鏡片焦距x之間的函數(shù)關(guān)系式為________。

這道試題是有關(guān)函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問題的，是要學(xué)生加深理解函數(shù)概念的。也就是通過對(duì)實(shí)際問題的理解轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，即得出反比例函數(shù)解析式。這樣的探究一方面可以加深學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)實(shí)際意義的理解，對(duì)實(shí)際應(yīng)用問題中自變量取值范圍的理解；另一方面也為學(xué)生后面解答的實(shí)際應(yīng)用綜合問題降低思考難度。

二、掌握?qǐng)D象性質(zhì)，加深學(xué)生理解

這道例題是考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，從題中“y都隨x的增大而減小”，則k-3>0，從而得出k>3。這類試題在復(fù)習(xí)中是最簡(jiǎn)單的變形考查，可以讓學(xué)生在識(shí)記基礎(chǔ)上理解函數(shù)性質(zhì)。

三、探究k值的幾何意義

這一環(huán)節(jié)重點(diǎn)解決反比例函數(shù)的概念、性質(zhì)、k值的幾何意義，由學(xué)生在課前完成。采取“練習(xí)―梳理”的形式，讓學(xué)生自覺感受和發(fā)現(xiàn)題中所考查的基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)，產(chǎn)生自覺歸納基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)的欲望，從而主動(dòng)歸納知識(shí)，初步形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。教法上在學(xué)生課前自主完成的基礎(chǔ)上，先讓學(xué)生小組核對(duì)、討論，之后由學(xué)生講解、展示問題的解答和歸納的基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)。最后，教師對(duì)于學(xué)生講解和理解不透徹之處再和全體學(xué)生一起進(jìn)行深入辯解，形成正確、簡(jiǎn)潔的結(jié)論。

四、聯(lián)系實(shí)際，綜合練習(xí)

在反比例函數(shù)的考查中，不可能是單一的出現(xiàn)，它往往同一次函數(shù)，三角形等相結(jié)合，并且具有一些實(shí)際的問題。所以，我們?cè)趶?fù)習(xí)時(shí)應(yīng)該聯(lián)系生活實(shí)際問題，教學(xué)學(xué)生如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，在聯(lián)系中加強(qiáng)綜合性。

（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的關(guān)系式；

（2）求AOC的面積；

本例題比較復(fù)雜，教師期待學(xué)生歸納總結(jié)的內(nèi)容比較多，大部分學(xué)生可能能夠求解其中的問題，但不易理清思路，特別是部分基礎(chǔ)知識(shí)和思維能力稍弱的學(xué)生會(huì)更加困難。教師應(yīng)該教會(huì)學(xué)生怎樣對(duì)問題設(shè)計(jì)的知識(shí)點(diǎn)形成比較清晰的歸納和認(rèn)識(shí)。

在第一問中教師引導(dǎo)學(xué)生明了先求哪一個(gè)函數(shù)，為什么，即已知一點(diǎn)可求反比例函數(shù)，已知兩點(diǎn)才能求一次函數(shù)，教師還可引申到已知幾點(diǎn)才能求二次函數(shù)。這一問的解決和引申達(dá)到了對(duì)比分析反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)在解析式求法上的區(qū)別，能夠形成較好的對(duì)比效應(yīng)。

第二問的設(shè)置目的在于對(duì)比k值的幾何意義所產(chǎn)生的三角形面積不變性問題。使學(xué)生明了反比例函數(shù)圖象中哪些三角形才具有面積不變性，這些三角形各自的特征是怎樣的。

第三問所要求解的不等式實(shí)際上可轉(zhuǎn)化為比較一次函數(shù)y1與反比例函數(shù)y2的大小，這樣思路就會(huì)清楚一些。

綜上所述，問題分析是關(guān)鍵。學(xué)生應(yīng)該在教師的適時(shí)、適當(dāng)點(diǎn)撥下一步一步突破，理清問題的脈絡(luò)，對(duì)問題解決形成比較明晰的思路。這時(shí)教師才能放手讓學(xué)生去解答問題、歸納知識(shí)、總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，并選一名學(xué)生上臺(tái)展示解題過程，大部分學(xué)生都完成之后由學(xué)生評(píng)點(diǎn)，使學(xué)生進(jìn)一步完善解題過程，使全體學(xué)生能夠?qū)栴}理解透徹，然后教師引導(dǎo)學(xué)生分析提煉這一題中可以歸納總結(jié)、形成經(jīng)驗(yàn)的內(nèi)容。

參考文獻(xiàn)：

[1]金秋.學(xué)習(xí)“反比例函數(shù)”應(yīng)注意的幾個(gè)問題.時(shí)代數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)：九年級(jí)，2006（11）.

篇（6）

1、理解反比例函數(shù)，并能從實(shí)際問題中抽象出反比例關(guān)系的函數(shù)解析式；

2、會(huì)畫出反比例函數(shù)的圖象，并結(jié)合圖象分析總結(jié)出反比例函數(shù)的性質(zhì)；

3、滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想及普遍聯(lián)系的辨證唯物主義思想；

4、體會(huì)數(shù)學(xué)從實(shí)踐中來又到實(shí)際中去的研究、應(yīng)用過程；

5、培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，及數(shù)學(xué)地發(fā)現(xiàn)問題，解決問題的能力.

教學(xué)重點(diǎn)：

結(jié)合圖象分析總結(jié)出反比例函數(shù)的性質(zhì)；

教學(xué)難點(diǎn)：描點(diǎn)畫出反比例函數(shù)的圖象

教學(xué)用具：直尺

教學(xué)方法：小組合作、探究式

教學(xué)過程：

1、從實(shí)際引出反比例函數(shù)的概念

我們?cè)谛W(xué)學(xué)過反比例關(guān)系.例如：當(dāng)路程S一定時(shí)，時(shí)間t與速度v成反比例

即vt=S（S是常數(shù)）；

當(dāng)矩形面積S一定時(shí)，長(zhǎng)a與寬b成反比例，即ab=S（S是常數(shù)）

從函數(shù)的觀點(diǎn)看，在運(yùn)動(dòng)變化的過程中，有兩個(gè)變量可以分別看成自變量與函數(shù)，寫成：

（S是常數(shù)）

（S是常數(shù)）

一般地，函數(shù)（k是常數(shù)，）叫做反比例函數(shù)．

如上例，當(dāng)路程S是常數(shù)時(shí)，時(shí)間t就是v的反比例函數(shù)．當(dāng)矩形面積S是常數(shù)時(shí)，長(zhǎng)a是寬b的反比例函數(shù)．

在現(xiàn)實(shí)生活中，也有許多反比例關(guān)系的例子．可以組織學(xué)生進(jìn)行討論．下面的例子僅供

2、列表、描點(diǎn)畫出反比例函數(shù)的圖象

例1、畫出反比例函數(shù)與的圖象

解：列表

x

-6

-5

-4

-3

1

2

3

4

5

6

-1

-1.2

-1.5

-2

6

3

2

1.5

1.2

1

1

1.2

1.5

2

-6

-3

-2

-1.5

-1.2

1

說明：由于學(xué)生第一次接觸反比例函數(shù)，無法推測(cè)出它的大致圖象.取點(diǎn)的時(shí)候最好多取幾個(gè)，正負(fù)可以對(duì)稱著取分別畫點(diǎn)描圖

一般地反比例函數(shù)（k是常數(shù)，）的圖象由兩條曲線組成，叫做雙曲線.

3、觀察圖象，歸納、總結(jié)出反比例函數(shù)的性質(zhì)

前面學(xué)習(xí)了三類基本的初等函數(shù)，有了一定的基礎(chǔ)，這里可視學(xué)生的程度或展開全面的討論，或在老師的引導(dǎo)下完成知識(shí)的學(xué)習(xí).

顯示這兩個(gè)函數(shù)的圖象，提出問題：你能從圖象上發(fā)現(xiàn)什么有關(guān)反比例函數(shù)的性質(zhì)呢？并能從解析式或列表中得到論證.（下列答案僅供參考）

（1）的圖象在第一、三象限.可以擴(kuò)展到k>0時(shí)的情形，即k>0時(shí)，雙曲線兩支各在第一和第三象限.從解析式中，也可以得出這個(gè)結(jié)論：xy=k，即x與y同號(hào)，因此，圖象在第一、三象限.

的討論與此類似.

抓住機(jī)會(huì)，說明數(shù)與形的統(tǒng)一，也滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.體現(xiàn)了由特殊到一般的研究過程.

（2）函數(shù)的圖象，在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小；

從圖象中可以看出，當(dāng)x從左向右變化時(shí)，圖象呈下坡趨勢(shì).從列表中也可以看出這樣的變化趨勢(shì).有理數(shù)除法說明了同樣的道理，被除數(shù)一定時(shí)，若除數(shù)大于零，除數(shù)越大，商越小；若除數(shù)小于零，同樣是除數(shù)越大，商越小.由此可歸納出，當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)的圖象，在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小.

同樣可以推出的圖象的性質(zhì).

（3）函數(shù)的圖象不經(jīng)過原點(diǎn)，且不與x軸、y軸交.從解析式中也可以看出，.如果x取值越來越大時(shí)，y的值越來越小，趨近于零；如果x取負(fù)值且越來越小時(shí)，y的值也越來越趨近于零.因此，呈現(xiàn)的是雙曲線的樣子.同理，抽象出圖象的性質(zhì).

函數(shù)的圖象性質(zhì)的討論與次類似.

4、小結(jié)：

本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)的概念及其圖象的性質(zhì).大家展開了充分的討論，對(duì)函數(shù)的概念，函數(shù)的圖象的性質(zhì)有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí).數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要求我們要深刻地理解，找出事物間的普遍聯(lián)系和發(fā)展規(guī)律，能數(shù)學(xué)地發(fā)現(xiàn)問題，并能運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)，給以一定的解釋.即數(shù)學(xué)是世界的一個(gè)部分，同時(shí)又隱藏在世界中.

5、布置作業(yè)習(xí)題13.81-4

教學(xué)設(shè)計(jì)示例2

反比例函數(shù)及其圖像

一、素質(zhì)教育目標(biāo)

（一）知識(shí)教學(xué)點(diǎn)

1．使學(xué)生了解反比例函數(shù)的概念；

2．使學(xué)生能夠根據(jù)問題中的條件確定反比例函數(shù)的解析式；

3．使學(xué)生理解反比例函數(shù)的性質(zhì)，會(huì)畫出它們的圖像，以及根據(jù)圖像指出函數(shù)值隨自變量的增加或減小而變化的情況；

4．會(huì)用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的解析式.

（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)

1．培養(yǎng)學(xué)生的作圖、觀察、分析、總結(jié)的能力；

2．向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合的教學(xué)思想方法.

（三）德育滲透點(diǎn)

1．向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐又反過來作用于實(shí)踐的觀點(diǎn)；

2．使學(xué)生體會(huì)事物是有規(guī)律地變化著的觀點(diǎn).

（四）美育滲透點(diǎn)

通過反比例函數(shù)圖像的研究，滲透反映其性質(zhì)的圖像的直觀形象美，激發(fā)學(xué)生的興趣，也培養(yǎng)學(xué)生積極探求知識(shí)的能力.

二、學(xué)法引導(dǎo)

教師采用類比法、觀察法、練習(xí)法

學(xué)生學(xué)習(xí)反比例函數(shù)要與學(xué)習(xí)其他函數(shù)一樣，要善于數(shù)形結(jié)合，由解析式聯(lián)想到圖像的位置及其性質(zhì)，由圖像和性質(zhì)聯(lián)想比例系數(shù)k的符號(hào).

三、重點(diǎn)·難點(diǎn)·疑點(diǎn)及解決辦法

1．教學(xué)重點(diǎn)：反比例的概念、圖像、性質(zhì)以及用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的解析式.因?yàn)橐芯糠幢壤瘮?shù)就必須明確反比例函數(shù)的上述問題.

2．教學(xué)難點(diǎn)：畫反比例函數(shù)的圖像.因?yàn)榉幢壤瘮?shù)的圖像有兩個(gè)分支，而且這兩個(gè)分支的變化趨勢(shì)又不同，學(xué)生初次接觸，一定會(huì)感到困難.

3．教學(xué)疑點(diǎn)：（1）反比例函數(shù)為何與x軸，y軸無交點(diǎn)；（2）反比例函數(shù)的圖像只能說在第一、三象限或第二、四象限，而不能說經(jīng)過第幾象限，增減性也要說明在第幾象限（或說在它的每一個(gè)象限內(nèi)）.

4．解決辦法：（1）中隱含條件是或；（2）雙曲線的兩個(gè)分支是斷開的，研究函數(shù)的增減性時(shí)，要將兩個(gè)分支分別討論，不能一概而論.

四、教學(xué)步驟

（一）教學(xué)過程

提問：小學(xué)是否學(xué)過反比例關(guān)系？是如何敘述的？

由學(xué)生先考慮及討論一下.

答：小學(xué)學(xué)過：兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的積一定，這兩種量就叫做反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系.

看下面的實(shí)例：（出示幻燈）

1．當(dāng)路程s一定時(shí)，時(shí)間t與速度v成反比例；

2．當(dāng)矩形面積S一定時(shí)，長(zhǎng)a與寬b成反比例；

它們分別可以寫成（s是常數(shù)），（S是常數(shù)）寫在黑板上，用以得出反比例函數(shù)的概念：（板書）

一般地，函數(shù)（k是常數(shù)，）叫做反比例函數(shù).

即在上面的例子中，當(dāng)路程s是常數(shù)時(shí)，時(shí)間t就是速度v的反比例函數(shù)，能否說：速度v是時(shí)間t的反比例函數(shù)呢？

通過這個(gè)問題，使學(xué)生進(jìn)一步理解反比例函數(shù)的概念，只要滿足（k是常數(shù)，）就可以．因此可以說速度v是時(shí)間t的反比例函數(shù)，因?yàn)椋╯是常量）．對(duì)第2個(gè)實(shí)例也一樣．

練習(xí)一：教材P129中1口答．P1301

根據(jù)前面學(xué)習(xí)特殊函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，研究完函數(shù)的概念，跟著要研究的是什么？

答：圖像和性質(zhì)．

通過這個(gè)問題，使學(xué)生對(duì)課本上給出的知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程有一個(gè)明確的認(rèn)識(shí)，以后

學(xué)生要研究其他函數(shù)，也可以按照這種方式來研究．

下面，我們就來看一個(gè)例題：（出示幻燈）

例1畫出反比例函數(shù)與的圖像．

提問：1．畫函數(shù)圖像的關(guān)鍵問題是什么？

答：合理、正確地選值列表．

2．在選值時(shí)，你認(rèn)為要注意什么問題？

答：（1）由于函數(shù)圖像的特點(diǎn)還不清楚，多選幾個(gè)點(diǎn)較好；

（2）不能選，因?yàn)闀r(shí)函數(shù)無意義；

（3）選整數(shù)較好計(jì)算和描點(diǎn)．

這個(gè)問題中最核心的一點(diǎn)是關(guān)于

的問題，提醒學(xué)生注意．

3．你能不能自己完成這道題呢？

學(xué)生在練習(xí)本上列表、描點(diǎn)、連線，教師在黑板上板演，到連線時(shí)可暫停，讓學(xué)生先連完線之后，找一名同學(xué)上黑板連線，然后就這名同學(xué)的連線加以評(píng)價(jià)、總結(jié)：

注意：（1）一般地，反比例函數(shù)的圖像由兩條曲線組成，叫做雙曲線；

（2）這兩條曲線不相交；

（3）這兩條曲線無限延伸，無限靠近x軸和y軸，但永不會(huì)與x軸和y軸相交．

關(guān)于注意（3）可問學(xué)生：為什么圖像與x和y軸不相交？

通過這個(gè)問題既可加深學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)圖像的記憶，又可培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和深刻性．

再讓學(xué)生觀察黑板上的圖，提問：

1．當(dāng)時(shí)，雙曲線的兩個(gè)分支各在哪個(gè)象限？在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大怎樣變化？

2．當(dāng)時(shí)，雙曲線的兩個(gè)分支各在哪個(gè)象限？在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大怎樣變化？

這兩個(gè)問題由學(xué)生討論總結(jié)之后回答，教師板書：

對(duì)于雙曲線（1）當(dāng)：（1）當(dāng)時(shí)，雙曲線的兩分支位于一、三象限，y隨x的增大而減少；（2）當(dāng)時(shí)，雙曲線的兩分支位于二、四象限，y隨x的增大而增大．

3．反比例函數(shù)的這一性質(zhì)與正比例函數(shù)的性質(zhì)有何異同？

通過這個(gè)問題使學(xué)生能把學(xué)過的相關(guān)知識(shí)有機(jī)地串聯(lián)起來，便于記憶和應(yīng)用．

練：教材P129中2由學(xué)生在練習(xí)本上完成，教師巡回指導(dǎo).P130中2、3填在書上

上面，我們討論了反比例函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)，下面我們?cè)賮砜匆粋€(gè)不同類型的例題：（出示幻燈）

例2已知y與成反比例，并且當(dāng)時(shí)，，求時(shí)，y的值.

用提問的方式對(duì)此題加以分析：

（1）y與成反比例是什么含義？

由學(xué)生討論這一問題，最后歸結(jié)為根據(jù)反比例函數(shù)的概念，這句話說明了：.

（2）根據(jù)這個(gè)式子，能否求出當(dāng)時(shí)，y的值？

（3）要想求出y的值，必須先知道哪個(gè)量呢？

（4）怎樣才能確定k的值？用什么條件？

答：用待定系數(shù)法，把時(shí)代入，求出k的值.

（5）你能否自己完成這道例題：

由一名同學(xué)板演，其他同學(xué)在練習(xí)本上完成.

例3已知：，與x成正比例，與x成反比例，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，求y與x的解析式.

分析：一定要先寫出y與x的函數(shù)表達(dá)式，

要用x分別把，表示出來得，

要注意不能寫成k，

解：設(shè)，

.

由題意得

.

（二）總結(jié)、擴(kuò)展

教師提問，學(xué)生思考回答：

1．什么是反比例函數(shù)？

2．反比例函數(shù)的圖像是什么樣的？

3．反比例函數(shù)的性質(zhì)是什么？

4．命題方向及題型設(shè)置，反比例函數(shù)也是中考命題的主要考點(diǎn)，其圖像和性質(zhì)，以及其函數(shù)解析式的確定，常以填空題、選擇題出現(xiàn)，在低檔題中，近兩年各省、市的中考試卷中出現(xiàn)不少將反比例函數(shù)與一次函數(shù)、幾何知識(shí)、三角知識(shí)等綜合編擬的解答題，豐富了壓軸題的形式和內(nèi)容.

五、布置作業(yè)

1．教材P130中4，5，6

2．選做：P130中B1，2

六、板書設(shè)計(jì)

13．8反比例函數(shù)及其圖像

引例：（1）例1：例2：例3：

（2）

1．反比例函數(shù)：

2．反比例函數(shù)的性質(zhì)

探究活動(dòng)

已知：如圖，一次函數(shù)的圖像經(jīng)過第一、二、三象限，且與反比例函數(shù)的圖像交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D。。

（1）求反比例函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m，的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；

（3）當(dāng)?shù)拿娣e等于時(shí)，試判斷過A、B兩點(diǎn)的拋物線在x軸上截得的線段長(zhǎng)能否等于3。如果能，求此時(shí)拋物線的解析式；如果不能，請(qǐng)說明理由。

解：（1）過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)H。

在Rt中，

由勾股定理，得

又，

點(diǎn)B（－3，－1）。

設(shè)反比例函數(shù)的解析式為

。

點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖像上，

。

反比例函數(shù)的解析式為。

（2）設(shè)直線AB的解析式為。

由點(diǎn)A在第一象限，得。

又由點(diǎn)A在函數(shù)的圖像上，可求得點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為。

點(diǎn)B（－3，－1），點(diǎn)，

解關(guān)于、的方程組，得

直線AB的解析式為。

令。

求得點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為。

過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)G

由已知，直線經(jīng)過第一、二、三象限，

，即。

由此得

。

即。

（3）過A、B兩點(diǎn)的拋物線在x軸上截得的線段長(zhǎng)不能等于3。

證明如下：

。

由，

得

解得。

經(jīng)檢驗(yàn)，都是這個(gè)方程的根。

，

不合題意，舍去。

點(diǎn)A（1，3）。

設(shè)過A（1，3）、B（－3，－1）兩點(diǎn)的拋物線的解析式為。

由此得

即。

設(shè)拋物線與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為。

則

令

則。

即。

整理，得。

篇（7）

例1 （2008年新疆建設(shè)兵團(tuán)）我們學(xué)習(xí)過反比例函數(shù)，例如，當(dāng)矩形的面積S一定時(shí)，長(zhǎng)a是寬b的反比例函數(shù)，其函數(shù)關(guān)系式可以寫成a= （S為常數(shù)，S≠0）．請(qǐng)你仿照上例另舉一個(gè)在日常生活、生產(chǎn)或?qū)W習(xí)中具有反比例函數(shù)關(guān)系的量的實(shí)例，并寫出它的函數(shù)關(guān)系式．

解：三角形的面積S一定時(shí)，三角形的底邊長(zhǎng)y是高x的反比例函數(shù)，其函數(shù)關(guān)系式為y= （S為常數(shù)，S≠0）．

注意：將實(shí)際生活中的數(shù)學(xué)問題抽象成函數(shù)關(guān)系式時(shí)，一要注意題中所給條件的限制，即自變量的取值范圍；二要清楚哪個(gè)量是自變量，哪個(gè)量是常數(shù)，哪個(gè)量是因變量.

例2 （2008年云南省）函數(shù)y= 中，自變量x的取值范圍是______．

解：要使反比例函數(shù)有意義，必須分母不為0，故x-1≠0，x≠1.

二、確定反比例函數(shù)的解析式

例3 （2008年安徽省）函數(shù)y= 的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，－2），則k的值為（）.

A．B． - C． 2D． －2

解：將點(diǎn)（1，－2）代入函數(shù)y= ，得-2= ，k=-2.故選D.

例4 （2008年襄樊市）在一個(gè)可以改變體積的密閉容器內(nèi)裝有一定質(zhì)量的二氧化碳，當(dāng)改變?nèi)萜鞯捏w積時(shí)，氣體的密度也會(huì)隨之改變，密度ρ（單位：kg/m3）是體積V（單位：m3）的反比例函數(shù)，它的圖象如圖1所示.當(dāng)V=10 m3時(shí)，氣體的密度是（）.

A． 5 kg/m3 B． 2 kg/m3

C．100 kg/m3 D. 1 kg/m3

解：設(shè)反比例函數(shù)的解析式為ρ= （V>0）.觀察到函數(shù)圖象上的一個(gè)點(diǎn)（5，2），將其代入反比例函數(shù)ρ= 中，得k=10.

函數(shù)解析式為ρ= （V>0）.將V=10代入ρ= ，得ρ=1，故選D.

注意：（1） 這道題的解題思路是求出函數(shù)解析式，然后利用解析式求密度.這道題雖然簡(jiǎn)單，但這種解題思路應(yīng)用很廣.

（2） 這道題圖象只有第一象限一個(gè)分支，說明自變量大于零，列解析式時(shí)不要忘記注明取值范圍.

例5 （2008年寧波市）如圖2，正方形ABOC的邊長(zhǎng)為2，反比例函數(shù)y= 過點(diǎn)A，則k的值是（）.

A． 2 B． -2 C． 4 D． -4

解：由正方形ABOC的邊長(zhǎng)為2，可知正方形ABOC的面積為4.

又由反比例函數(shù)中k的幾何意義，可知｜k｜=4.

因?yàn)榉幢壤瘮?shù)的圖象在第二象限，所以k

三、反比例函數(shù)的性質(zhì)

例6 （2008年仙桃市）對(duì)于反比例函數(shù)y= （k≠0），下列說法不正確的是（）.

A. 它的圖象分布在第一、三象限?搖?搖?搖B. 點(diǎn)（k，k）在它的圖象上

C. 它的圖象是中心對(duì)稱圖形?搖?搖?搖D. y隨x的增大而增大

解：因k≠0，故k2>0.根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，A，B，C成立，故選D.

例7 已知反比例函數(shù)y= （a≠0）在每一象限內(nèi)y的值隨x值的增大而減小，則一次函數(shù)y=-ax+a的圖象不經(jīng)過（）.

A． 第一象限 B． 第二象限

C． 第三象限 D． 第四象限

解：由反比例函數(shù)在每一象限內(nèi)y的值隨x值的增大而減小，可知a>0，則-a

注意：反比例函數(shù)圖象的位置、k值的正負(fù)、函數(shù)的增減性（在每一象限內(nèi)），這三者的關(guān)系是：其中一個(gè)確定，其他兩個(gè)也確定；k>0?圳圖象在一、三象限?圳減函數(shù)；k

四、反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

例8 （2008年杭州市）為了預(yù)防流感，某學(xué)校用藥熏消毒法對(duì)教室進(jìn)行消毒．已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（mg）與時(shí)間t（h）成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關(guān)系式為y= （a為常數(shù)），如圖3所示．根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題.

（1） 寫出從藥物釋放開始，y與t之間的兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式及相應(yīng)的自變量的取值范圍.

（2） 據(jù)測(cè)定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到0.25 mg以下時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)入教室，那么從藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過多少小時(shí)后，學(xué)生才能進(jìn)入教室？

解：（1） 將點(diǎn)P3， 代入y= ，解得a= .則y= .

將y=1代入y= ，得t= .反比例函數(shù)的解析式為y= t≥ .

篇（8）

（克拉瑪依市第一中學(xué)，新疆  克拉瑪依  834000）

 

摘  要：直觀清晰的解讀反比例函數(shù)的概念，在例題解析中熟練運(yùn)用常用方法，避免錯(cuò)誤重復(fù)出現(xiàn)，提高學(xué)習(xí)效率，鞏固基礎(chǔ)知識(shí)。

關(guān)鍵詞：反比例函數(shù)；基本概念；常用方法

反比例函數(shù)是學(xué)習(xí)函數(shù)中非常重要的一個(gè)環(huán)節(jié)，對(duì)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)起到了承前啟后的作用。它既不像一次函數(shù)那樣比較淺顯易懂便于掌握，也沒有二次函數(shù)甚至多元函數(shù)那樣復(fù)雜繁瑣。但是不能因此而輕視它，不光是因?yàn)樗恢弊鳛橹袑W(xué)學(xué)科乃至升學(xué)考試中的必考內(nèi)容而存在，更是因?yàn)樗c其他函數(shù)的關(guān)聯(lián)性使得它出現(xiàn)在題目中會(huì)有較強(qiáng)的迷惑性，導(dǎo)致解答過程中極易出現(xiàn)錯(cuò)誤。本文將從基本概念出發(fā)，深入解析部分代表性強(qiáng)的題目，展示常用方法，為廣大學(xué)生學(xué)好反比例函數(shù)提供一定參考和幫助。

一、反比例函數(shù)的基本概念

（一）定義及表達(dá)式

（k為常數(shù)且 ）叫做反比例函數(shù)，其中k叫做反比例系數(shù)，x是自變量，y是自變量x的函數(shù)，x的取值范圍是不等于0的一切實(shí)數(shù),且y也不能等于0。k大于0時(shí)，圖像在1、3象限。k小于0時(shí)，圖像在2、4象限。

在實(shí)際解題的過程中我們可以靈活應(yīng)用概念的互推性質(zhì)。我們可以用定義式來確定變量的值。例如當(dāng)m=（ ）時(shí)，函數(shù) 是反比例函數(shù)。由反比例函數(shù)定義可知，x的指數(shù)是-1，即 ，解 。其實(shí)這正是進(jìn)入了一個(gè)誤區(qū)。在反比例函數(shù)中既要滿足的指數(shù)為-1，也要滿足 ，本題未考慮到這一點(diǎn)。正解： 且 ，綜合解得 。還可以反過來，根據(jù)給定的數(shù)值，確定解析式。例如已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（－3，1），求此函數(shù)的解析式。根據(jù)基本定義可知反比例函數(shù)的解析式，且因?yàn)辄c(diǎn)（－3，1）在反比例函數(shù)的圖象上，所以直接將這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式，得 k= -3， 由此可得這個(gè)反比例函數(shù)的解析式。特別要注意的是，不能將反比例關(guān)系與反比例函數(shù)相互混淆。導(dǎo)致概念不清就容易出錯(cuò)。舉例：若y與 x-1成反比例，且當(dāng)x=3時(shí)，y=4，則y與x之間的關(guān)系是(   )   

A、成正比例 B、反比例函數(shù)  C、一次函數(shù) D、以上都不對(duì)

此時(shí)如果不清楚反比例函數(shù)的基本定義，就會(huì)錯(cuò)選B。這題目把反比例關(guān)系與反比例函數(shù)進(jìn)行混淆，成反比例關(guān)系但不一定是反比例函數(shù)，但反比例函數(shù)一定是成反比例關(guān)系。這樣清楚概念后，可解得答案為D

（二）函數(shù)圖象

反比例函數(shù)的圖像用文字可以概述為以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱的雙曲線。圖像中每一象限的每一支曲線會(huì)無限接近x軸y軸但不會(huì)與坐標(biāo)軸相交。關(guān)于它的畫法也很簡(jiǎn)單，根據(jù)給定的各個(gè)數(shù)值，在平面直角坐標(biāo)系中標(biāo)出相應(yīng)的點(diǎn)，用平滑的線將它們一一對(duì)應(yīng)連接起來，可以從圖形上得出結(jié)論：當(dāng)雙曲線在一三象限，k>0，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小。當(dāng)雙曲線在二四象限，k<0，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大。而當(dāng)兩個(gè)數(shù)相等時(shí)那么曲線呈彎月型。

（三）比例系數(shù)

研究函數(shù)問題要透視函數(shù)的本質(zhì)特征。反比例函數(shù)中，比例系數(shù)k有一個(gè)很重要的幾何意義，那就是：過反比例函數(shù)圖象上任一點(diǎn)P作x軸、y軸的垂線PM、PN，垂足為M、N則矩形PMON的面積

所以，對(duì)雙曲線上任意一點(diǎn)作x軸、y軸的垂線，它們與x軸、y軸所圍成的矩形面積為常數(shù)。從而有k的絕對(duì)值。在解有關(guān)反比例函數(shù)的問題時(shí)，若能靈活運(yùn)用反比例函數(shù)中k的幾何意義，會(huì)給解題帶來很多方便。

（四）函數(shù)性質(zhì)

1、單調(diào)性 當(dāng)k>0時(shí)，圖象分別位于第一、三象限，每一個(gè)象限內(nèi)，從左往右，y隨x的增大而減小；當(dāng)k<0時(shí)，圖象分別位于第二、四象限，每一個(gè)象限內(nèi)，從左往右，y隨x的增大而增大。k>0時(shí)，函數(shù)在x<0上同為減函數(shù)、在x>0上同為減函數(shù)；k<0時(shí)，函數(shù)在x<0上為增函數(shù)、在x>0上同為增函數(shù)。 2、相交性

因?yàn)樵诙x解析式中，x不能為0，y也不能為0，所以反比例函數(shù)的圖象不可能與x軸相交，也不可能與y軸相交，只能無限接近x軸，y軸。

3、對(duì)稱性 反比例函數(shù)圖象是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是原點(diǎn)；反比例函數(shù)的圖像也是軸對(duì)稱圖形，反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱。所以，它的圖象的對(duì)稱軸是：如果圖象在一、三象限，則對(duì)稱軸為二、四象限的角平分線y=-x，如果圖象在二、四象限，則對(duì)稱軸為一、三象限的角平分線y=x。對(duì)函數(shù)性質(zhì)也要摸清摸透。如：在函數(shù)y=a2+1/x的圖像上有三點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)且 x1<x2<0<x3，，則函數(shù)值 y1，y2 ，y3的大小關(guān)系是什么。由于題目中給出的是反比例函數(shù)，k=(a2+1)<0，即y隨x的增大而增大；又有條件x1<x2<0<x3，可以得出y1<y2<y3 其實(shí)在運(yùn)用反比例函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，要特別注意“在每個(gè)象限內(nèi)”討論y隨x的變化。而題目給出的三個(gè)點(diǎn)并不在同一象限內(nèi)，不能得出y1<y2<y3 正確答案應(yīng)該是：k=(a2+1)<0為已知條件，可得函數(shù)圖像在第二、四象限內(nèi)，且在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增 大而增大，又因題中給出x3>0可知y3<0而x1<x2<0所以O(shè)<y1<y2 綜上所述可得y3<y1<y2 . 二、常用方法舉例 反比例函數(shù)的圖象上有一點(diǎn)P（m, n）其坐標(biāo)是關(guān)于t的一元二次方程，t2+3t+k=0的兩根雙曲線，且P到原點(diǎn)的距離為 ，求該反比例函數(shù)的解析式。分析可得求反比例函數(shù)解析式，就是要求出k，為此我們就需要列出一個(gè)關(guān)于k的方程。

m, n是關(guān)于t的方程t2+3t+k=0的兩根雙曲線，m+n=-3，mn=k.

又po= ， ， ，9-2k=13． k= -2

當(dāng) k=-2時(shí)， =9+2>0，k=-2符合條件，該反比例函數(shù)的解析式為mn=-2.

三、總結(jié)

總之，掌握反比例函數(shù)的關(guān)鍵就在于要清晰明確它的基本概念和定義，熟練了解它的圖形和函數(shù)性質(zhì)，在計(jì)算題目時(shí)一定要仔細(xì)認(rèn)真考慮所有條件，保證少出錯(cuò)，不出錯(cuò)，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)奠定良好的基礎(chǔ)。

 

篇（9）

1.反比例函數(shù)和一次函數(shù)結(jié)合

中考中反比例函數(shù)和一次函數(shù)結(jié)合的這種題型比較多見，通過查閱近兩年中考題，我們可發(fā)現(xiàn)，每個(gè)省的中考題中均會(huì)有這一題型的相關(guān)考題出現(xiàn).這一類的考題可在中學(xué)課本中找到原型，具體如下：

練習(xí)題一：正比例函數(shù)y=x圖像和反比例函數(shù)y=k/x的圖像有一個(gè)交點(diǎn)，縱坐標(biāo)為2，求：（1）當(dāng)x=-3時(shí)，反比例函數(shù)y的值；（2）當(dāng)-3

分析：從本題已知信息中可以看出，兩個(gè)函數(shù)圖像有一個(gè)交點(diǎn)，其坐標(biāo)是（2，2），由此可知反比例函數(shù)k為4.在解析（1）時(shí)，將x=-3帶入到反比例函數(shù)中，經(jīng)解析可得y=-4/3.第（2）題在解析時(shí)，只需代入x=-1至反比例函數(shù)，可得y=-4，由此獲知y的取值范圍為-4

在中考中，反比例函數(shù)與一次函數(shù)結(jié)合的中考題考查的內(nèi)容包括以下幾點(diǎn)：待定系數(shù)法求解析式；求三角形面積、對(duì)函數(shù)值大小進(jìn)行比較、求取函數(shù)值或自變量取值范圍，等等.

我們對(duì)中考題進(jìn)行分析，看怎樣利用上述思路解決中考中的相關(guān)反比例函數(shù)問題.

例題1（2011年河南卷）：如圖1所示，一次函數(shù)y=kx+2和反比例函數(shù)y=k/x圖像，兩圖像在A（4，m）、B（-8，-2）處相交，和y軸交于C點(diǎn).求解：（1）k與k的值；（2）根據(jù)函數(shù)圖像分析，若y>y，則x的取值范圍是多少？（3）過點(diǎn)A作AD與X軸在點(diǎn)D垂直，點(diǎn)P為反比例函數(shù)第一象限內(nèi)圖像中的一點(diǎn)，假設(shè)直線OP和線段AD在點(diǎn)E相交，若S∶S=3∶1，點(diǎn)P坐標(biāo)是多少？

解析：第（1）題的答案是1/2，16；第（2）題答案或x>4或-8

因?yàn)镾∶S=3∶1，所以S=1/3×12=4.故而OD?DE為4，DE為2，可得點(diǎn)E坐標(biāo)（4，2）.由于點(diǎn)E位于直線OP之上，故OP解析式為y=1/2x，可得OP和y=16/x圖像于第一象限內(nèi)交點(diǎn)P坐標(biāo)是（4，2）.

2.反比例函數(shù)增減性分析

練習(xí)題二：如圖2是反比例函數(shù)y=（n+7）/x圖像中的一支，根據(jù)圖像對(duì)下述問題進(jìn)行解答：（1）圖像另一支所處象限是哪個(gè)象限？常數(shù)n取值范圍是什么？（2）在這個(gè)函數(shù)圖像的某一支上任取點(diǎn)A（a，b）與B（a’，b’），若a

這一問題的重點(diǎn)在于對(duì)反比例函數(shù)增減性加以考查，也即“y在x增大時(shí)增大或減小”.由于反比例函數(shù)自變量不可是0，故而其增減性并非在整個(gè)定義區(qū)域范圍中得以表現(xiàn)，而是僅僅在每個(gè)象限中表現(xiàn)出增減性，這同樣是中考重點(diǎn)考查內(nèi)容.

我們選取2010年臺(tái)州的一道考題進(jìn)行分析：

例題2：反比例函數(shù)y=6/x圖像上有三個(gè)點(diǎn)三者間的關(guān)系是（）

得知要研究的點(diǎn)并非處于同一象限內(nèi)，因此不可根據(jù)“y隨x增大而減小”這一規(guī)律進(jìn)行判斷，需通過畫圖將這一問題解決，因此答案應(yīng)選B.

3.k幾何意義分析

練習(xí)題三：下列哪個(gè)等式內(nèi)y為x反比例函數(shù)？

y=4x；y/x=3；y=6x+1；xy=123

篇（10）

在學(xué)習(xí)反比例函數(shù)上，一方面要注意具體題目的分析和求解過程，另一方面要注重一些重要的數(shù)學(xué)思想方法（如變化與對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)思想和數(shù)形結(jié)合的思想）的滲透；對(duì)于反比例函數(shù)的檢測(cè)，通常以選擇、填空和解答題的形式出現(xiàn).下面結(jié)合2007年中考題，談反比例函數(shù)的檢測(cè)方式.

考點(diǎn)1：反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)

經(jīng)檢驗(yàn)，所給4點(diǎn)中，只有點(diǎn)（2，-1）在雙曲線上，故選A.

【評(píng)注】1.反比例函數(shù)的圖像是軸對(duì)稱圖形，它有兩條對(duì)稱軸，即一、三象限的角平分線和二、四象限的角平分線；它也是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn).因此，若點(diǎn)（a，b）在雙曲線上，則點(diǎn)（b， a）, （-a，-b）, （-b， -a）也一定在雙曲線上.

2.雙曲線上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的積都相等，且等于反比例系數(shù).

練習(xí)1：（2007年甘肅省蘭州市）如圖1，P1，P2，P3是雙曲線上的三點(diǎn)，過這三點(diǎn)分別作y軸的垂線，得到三個(gè)三角形P1A1O，P2A2O，P3A3O，設(shè)它們的面積分別為S1，S2，S3，則（）

A.S1＜S2＜S3

B.S2＜S1＜S3

C.S1＜S3＜S2

D.S1=S2=S3

考點(diǎn)2：反比例函數(shù)的解析式

1.求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；

2.根據(jù)圖像寫出使一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值x的取值范圍.

思路點(diǎn)撥：1.由點(diǎn)A的坐標(biāo)可求出反比例函數(shù)中的系數(shù)m，再把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式中即可求n，最后將A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入一次函數(shù)的解析式即可求出k,b的值.

2.求一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍，即是找直線部分在雙曲線部分上方時(shí)所對(duì)應(yīng)的自變量x的值.

2.分別過點(diǎn)A，B作橫軸的垂線，垂足為C，D，則C，D的坐標(biāo)分標(biāo)為(-2，0)，(1，0)，如圖2，在直線AC的左側(cè)以及在縱軸和直線BD之間時(shí)，一次函數(shù)的圖像在反比例函數(shù)圖像的上方，故當(dāng)x

2.兩個(gè)圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)一定適合兩個(gè)函數(shù)的解析式，兩個(gè)函數(shù)的解析式所組成的方程組的解即是圖像的交點(diǎn)坐標(biāo).

考點(diǎn)3：反比例與一次函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的圖像

思路點(diǎn)撥：這里兩個(gè)函數(shù)圖像的位置由2k和k-1的符號(hào)確定，而2k與k的符號(hào)相同，所以k和k-1的符號(hào)共有3種可能性，即都為負(fù)，為正且為負(fù)，都為正.

解：1.當(dāng)k

2.當(dāng)k

3.當(dāng)k

例4：（2007年江蘇省鹽城市）一司機(jī)駕駛汽車從甲地去乙地，以80千米/時(shí)的平均速度用6小時(shí)到達(dá)目的地.

1.當(dāng)他按原路勻速返回時(shí)，求汽車速度v（千米/時(shí)）與時(shí)間t（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式；

2.如果該司機(jī)勻速返回時(shí)，用了4.8小時(shí)，求返回時(shí)的速度.

思路點(diǎn)撥：由已知條件可求出汽車從甲地到乙地的路程，而返回路程不變，因此汽車的速度與時(shí)間成反比例.

解：汽車行駛的路程為80×6＝480（千米）

練習(xí)4：（2007年廣西壯族自治區(qū)）如圖6，一塊磚的A、B、C三個(gè)面的面積之比是4∶2∶1，如果把磚的B面向下放在地上時(shí)地面所受壓強(qiáng)為a帕，則把磚A面和C面分別向下放在地上，地面所受壓強(qiáng)分別為帕、帕.