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時間：2022-11-06 01:11:26
序論：好文章的創作是一個不斷探索和完善的過程，我們為您推薦十篇百分數應用題范例，希望它們能助您一臂之力，提升您的閱讀品質，帶來更深刻的閱讀感受。
百分數應用題的題型可以有很多變化,但是有一些典型的題型會反復出現。因此,教師幫助學生了解一些典型題目的特點,概括出常用的分析方法和解題策略是很有必要的。
百分數應用題主要分為兩大類型:
1.求百分之幾。
常見的有求百分率、求一個數量是(占)另一個數量的百分之幾、求一個數量比另一個數量多(或少)百分之幾等題型。求百分率都是用已知量除以總數量再化成百分數。求一個數量是另一個數量的百分之幾(另一個數量是標準比較量,即單位“1”),都是用前面的數量除以后面的數量(單位“1”)。求一個數量比另一個數量多(或少)百分之幾總是要用多(或少)的那部分數量除以單位“1”。但多(或少)的那部分數量有時在題中沒有告訴,有時直接告訴,因此就要提醒學生注意區別。如:
①男生有25人,女生有20人,男生比女生多百分之幾?
②女生有20人,男生比女生多5人,男生比女生多百分之幾?
前者要先求出相差的數量,再除以單位“1”;后者相差的數量已經告訴,可以直接用它除以單位“1”。
2.已知百分之幾,求具體的數量。
這一類題型的變化較多,數量關系也稍復雜一些,但也可找到一些具有一定代表性的題型。如:求一個數量的百分之幾是多少?已知一個數量的百分之幾是多少,求這個數量。求一個數量增加(或減少)它的百分之幾是多少?已知一個數量增加(或減少)它的百分之幾是多少,求這個數量,等等。第一種情況可以直接用乘法(即用單位“1”乘以百分數);第二種情況一般可以用方程或除法解決;第三種情況可以先求出單位“1”的百分之幾是多少(即增加或減少的數量),再用單位“1”加上(或減去)這部分數量;第四種情況往往用方程解決(設單位“1”為X),方程的數量關系類似第三種情況。
二、分析數量關系
學生解決百分數應用題的關鍵在于理解百分數在具體題目中的含義,能夠獨立、熟練地分析數量關系,根據數量關系靈活選擇合適的方法解決問題。我認為可以分為以下幾個層次進行:
1.確定單位“1”。
找準題目中的單位“1”是解決百分數應用題的首要條件。單位“1”指的是比較的標準量,凡是題中出現的百分數都是單位“1”的百分之幾而不是其他任何一個數量的百分之幾。為了避免學生生搬硬套,教師要讓學生確定題目中的百分數具體指的是哪個數量的百分之幾。
2.確定解題法。
解決百分數應用題通常有兩種方法:(1)列算式解答;(2)列方程解答。具體選用哪一種方法要根據題目的特點來確定。學生比較適應順推的思路,對于“單位‘1’的數量×百分數=……”這樣的數量關系容易理解,通常題目中單位“1”的數量如果知道,那么一般采用算式方法解答;如果單位“1”的具體數量不知道,一般就設單位“1”的量為x。
3.確定對應量。
要分析數量關系,學生首先要把各部分具體數量和它們所表示的百分數互相對應起來。這里有兩種情況必須明確:
(1)條件中的已知量所對應的百分數是什么?如:
修一條公路,已經修了它的40%,還剩60千米,這條公路一共有多少千米?
題中的已知量是60千米,是還剩的千米數,40%是已經修的千米數占總路程的40%,那么60千米應該占總路程的60%,所以60千米對應的百分數應該是60%。
(2)單位“1”的百分之幾表示的具體數量是什么?如:
柳樹有200棵,楊樹比柳樹多25%,楊樹有多少棵?
經過分析可以知道,這道題的單位“1”是柳樹的棵數,柳樹棵數的25%所表示的具體數量應該是楊樹比柳樹多的棵數(即柳樹棵數×25%=楊樹比柳樹多的棵數)。
4.確定關系式。
這是分析數量關系的最后一步,在做好了前面的一系列分析工作之后,學生可以進一步分析題目中存在的數量關系,根據題目所求的問題綜合考慮,選擇列出恰當的數量關系式解決問題。
三、強化實際應用
教學百分數應用題的主要目的是要讓學生將所學的有關百分數的知識應用于實際生活中,提高其靈活應用和獨立分析的能力,真正實現“數學知識來源于生活又應用于生活”。
1.學習內容生活化。
《國家數學課程標準》指出:“數學教學應該是從學生的生活經驗和已有的知識背景出發,向他們提供充分的進行數學活動和交流的機會。”有關學校興趣組的問題、班(年)級人數的問題、商店打折的問題等,在學生生活中司空見慣,所以往往能吸引他們的注意,提高學習積極性,激發探索意識,有利于發展他們的靈活應用能力,又能使他們獲得成功的體驗。
2.教學形式開放化。
為了提高其獨立分析解決實際問題的能力,練習的形式可以采用多種變化。如教師可讓學生根據給出的算式和數量關系,合理選擇所要填寫的條件。
學校美術組有20人,___________,科技組有多少人?
科技組的人數是美術組的80%20×80%
科技組的人數比美術組多80%20+20×80%
是科技組的80%80%x=20
比科技組多80%x+80%x=20
教師還可以讓學生利用生活中獲得的信息嘗試編寫百分數應用題,在課堂上互相進行考驗和學習,從而提高學生解決實際問題的能力。
應用題教學是小學數學教學中很令人“頭痛”的事，學生很難抽象出對象之間的內在關系。特別是對一些對于語言文字理解能力較弱、邏輯思維水平偏低的學生來說，更是理不出頭緒。長此以往，有的學生甚至不看題目胡亂寫些答案“交差”。為此，我從學生學習的角度出發，綜合學生學習這類應用題時所出現的種種情況，從而形成一定的教學策略，對學生學習百分數應用題有了一定的指向作用。
一、解百分數應用題的一般步驟
一直以來，學生普遍反映應用題太難學了。到了高年級之后，百分數應用題的出現使得部分學生有了“沒有最難，只有更難”的體驗。原因何在？作為小學數學教學重要內容之一的百分數應用題，其中蘊含的數量關系比較復雜，運用到的數量關系模型更多。在本階段中，教材對于分析和綜合、抽象和概括等能力要求有了一定的提升，在這些方面存在薄弱環節的小學生，自然對題目難以理解，解答的過程又易于混淆，甚至是不知所云、南轅北轍。如何指導學生掌握知識的內在聯系，揭示解答問題的規律，突破學習上的瓶頸，使學生學得“輕松明了”是放在數學教師面前的一個需要迫切解決的問題。下面，結合“列方程解決稍復雜的百分數實際問題”來談談對百分數應用題教學的一些策略。
從日常的學習反饋中，我們不難發現：學生有時做題手忙腳亂，其原因之一就是因為他們不善于提取題目中的有用信息，也可能是他們不善于從整體上把握題目中的數量關系。其實在數學學習中，每個學習內容都有其關鍵之處。如果能恰到好處地把握住解決問題的本質，那么學生對于該學習內容的掌握和運用自然就會順暢多了。怎么從整體上把握呢？
1.抓關鍵句，把握整體數量關系。在應用題中，我們或許會發現很多的信息，但是最為重要的只是其中的一兩句。怎么樣才能挖掘出這樣的句子呢？
某小型養殖場，雞和鴨共有420只，雞的只數比鴨多40%。這個養殖場中，雞和鴨各有多少只？不難發現上題中有“雞和鴨共有420只”這么一句話，這就是本題關鍵之一。那么怎樣來理解呢？經過個別交流和小組論證，學生會發現其中的“和”這個字很熟悉，憑借以往的經驗我們知道：在方程這一階段，只要是求兩個數的“和”，一般都是用加法的。進而思考到底“是哪兩個數相加呢？”經過師生間來回的唇槍舌劍，問題的本來面目逐漸展現在了我們面前，學生逐漸能用含有文字的數量關系式來表示：“雞的只數＋鴨的只數=420”。但是，有的題目中不會直接出現“和”這個字，如：陽光小學體育組有42人，女生人數是男生人數的40%。體育組男、女生各有多少人？雖然本題沒有把“和”寫出來，但回到生活的情景后再細細品味一下，我們不難發現它的影子。高度的概括、抽象——或許這就是數學來源于生活又高于生活的一種體現吧！
在眾多的應用題中，我們不難發現有些句子中總是含有“一共”“和”“比……多”“比……少”等詞語。如果我們能夠緊緊抓住這些詞語，并進行適當地理解，就可以在一定程度上減少一些解題時的方向性錯誤。這對于正確解題是一個有力的保證。
2.抓關鍵字，體會對象間關系。顯然，如果只是從關鍵句下手，那么這只是把握了本題的解題方向而已，要想完整地把問題解答出來，還需要我們對題目中的信息進行一番品味——抓關鍵字。
再說說上面的體育組人數問題：從“陽光小學體育組有42人”中，我們可以發現“男生人數+女生人數=42”，但是最后求的是“男生有多少人？”“女生有多少人？”這兩個都是未知量，而我們接觸的比較多的是只含有一個未知量的題型，還能用以往類似的方法進行求解嗎？還是一切都出來？
這時，我們需要向題目中的另一個條件“女生人數是男生人數的40%”尋求幫助。那么，男生人數和女生人數誰是未知量x呢？
3.細化條件，體會主次關系。由于“男生人數的40%”表示的就是“女生人數”，也就是說“女生人數”可以寫成“男生人數×40%”。最后我們得出了這樣的推導過程：男生人數+女生人數=42，男生人數+男生人數×40%=42。經過了上面系統地分析，我們最后將所有的“矛頭”都指向了“男生人數”上了，因此設男生人數為未知量x是一個不錯的選擇，可以列出如下的方程：x+40%x=42。以上的方程并不復雜，學生一般都可以正確地求出x的數值。
二、發揮“估算”在解決問題中的實際作用
經過近幾年的課堂教學，我發現學生中有的是思維上存在問題——想錯了，有的是計算存在瑕疵——算錯了。如果出現經常性的“算錯”，那么我們教師就要引起重視，正確分析其中可能的原因：是不懂算理，還是計算能力太低？
在“百分數應用題”這一教學內容上，很少有學生對題目的答案進行分析、驗算，或許是因為百分數應用題的計算本身就很繁瑣，再驗算一遍那豈不是“自找麻煩”！其實，在不要求精確驗算答案的正確與否時，我們可以對答案進行粗略的估算。就如上面的這一題，就有些學生得出了一些稀奇古怪的答案。如：x=300，x=3，甚至出現了分數或小數的答案。我們可以這樣試想：人數應該是整數的形式，一般情況下不可能出現小數或分數的；其次如果男女生人數一樣多的話，那么男生就是21人，我們現在的答案應該在21～42之間。
問題在于這些學生對于答案沒有進行一個大概的估計，沒有養成一個良好的數學學習習慣。因此，要教會學生驗算和估算的方法，培養學生良好的學習習慣，以提高學生解題準確率顯得尤為重要。通過簡單的估算，學生可以粗略地判斷一下自己的答案正確與否，這在一定的程度上提高了解題的正確率。
三、發現規律，重視總結
建立模式、探索規律是數學學習的重要內容，也是自主學習數學的制勝法寶。百分數的應用題千變萬化，但是萬變不離其宗。這“宗”指的就是“規律”。在教學的過程中，教師的作用就是要讓學生在不知不覺中發現“宗”跡，隨著教學的不斷深入，逐漸養成良好的思維習慣和品質。為此，我們要做好以下工作：
【例1】巴邱小學男生比女生多25%，那么女生比男生少百分之幾？
【分析與解】男生比女生多25%，是以女生為單位“1”；女生比男生少百分之幾，則是以男生為單位“1”。設女生為“1”，則男生為“1+25%”，女生是男生的 “1鰨？+25%）”，所以女生比男生少 1 1鰨？+25%）=20%。
【注意】不少同學認為男生比女生多25%，那么女生就比男生少25%，這是錯誤的。兩次比較的單位“1”不同，結果當然不同。
二、注意理解題目中的關鍵詞
【例2】一臺洗衣機原價1320元，現在降低到1188元，比原價降低百分之幾？
【分析與解】降低到1188元，和原價相比，價格實際降低1320-1188=132（元）。
（1320-1188）？320？00%=0.1？00%=10%
所以，現在比原價降低10%。
【注意】有些同學以現價1188元除以原價1320元來計算降低百分之幾，就是因為沒有正確區分“降低”和“降低到”之間的不同。
三、找準原價和售價
【例3】媽媽到家電城買某品牌電視機，如果打九折需要花3150元，那么打八折需要花多少元錢？
【分析與解】3150元是九折后的售價，而不是原價，應先求出原價后再求八折后的售價。
3150？0%？0%=3500？0%=2800（元）
所以，打八折需要花2800元。
【注意】價格計算問題在百分數應用題中十分常見，同學們要多加練習，找準原價和售價。
四、求百分率要找準總量
【例4】巴邱小學組織師生植樹，所植的樹活了57棵，死了3棵，求植樹的死亡率是多少？
【分析與解】求死亡率應該是求死亡棵數占總棵數的百分率，所以應該是死亡棵樹和總棵數相除。
3鰨？7+3）？00%=0.05？00%=5%
所以，植樹的死亡率是5%。
【注意】求死亡率、成活率、出勤率、發芽率、及格率等都是求占總量的百分率。
江蘇 吳國和
【病例1】在一個棱長為6厘米的大正方體上，挖去一個棱長是2厘米的小正方體，剩下部分的表面積是多少平方厘米？
【病癥】6？？+2？？=232（平方厘米）
【診斷】出現此病癥的主要原因是考慮問題不周全。要求剩下部分的表面積，關鍵要看挖去的小正方體在什么部位，不同的挖法就會得到不同的結果。
如果從大正方體的一個面的中間去挖（如圖1），剩下部分的表面積跟原來的大正方體相比，表面積增加了四個“2？”的小正方形面。
如果從大正方體的一個角上去挖（如圖2），剩下部分的表面積跟原來的大正方體相比，表面積沒有發生變化。
如果從大正方體的一條棱上去挖（如圖3），剩下部分的表面積跟原來的大正方體相比，表面積增加了兩個“2？”的小正方形面。
【處方】剩下部分的表面積有三種情況：
（1）6？？+2？？=232（平方厘米）
（2）6？？=216（平方厘米）
2.進一步提高學生分析、比較、解答應用題的能力，培養認真審題的好習慣。
教學重點和難點
掌握求一個數比另一個數多(或少)百分之幾這類應用題的分析方法;能夠正確地進行列式。
教學過程設計
(一)復習準備
1.解答“一個數是另一個數的百分之幾”用什么方法?(用除法)
2.解答“一個數是另一個數的百分之幾”的應用題，關鍵是什么?(找應用題中的標準量，也就是單位“1”，誰是標準量，誰就做除數。)
3.口答，只列式不計算。(用投影出示)
(1)5是4的百分之幾?4是5的百分之幾?
(2)甲數是50，乙數是40，甲數比乙數多多少?甲數比乙數多的數是乙數的百分之幾?
(3)甲數是48，乙數是64，甲數比乙數少多少?甲數比乙數少的數是甲數的百分之幾?
4.板書應用題。
一個鄉去年計劃造林12公頃，實際造林14公頃。實際造林是原計劃的百分之幾?
分析：通過讀題，在這道題中，誰是標準量?
你是從哪句話中找出來的?應怎樣列式呢?
如果將這道題的問題變為“實際造林比原計劃多百分之幾?”，應該怎樣分析解答呢?這就是我們這節課要繼續研究的比較復雜的百分數應用題。
板書課題：百分數應用題
(二)學習新課
1.出示例3。
例3一個鄉去年計劃造林12公頃，實際造林14公頃。實際造林比原計劃多百分之幾?
(1)學生默讀題。
(2)例3與復習題4比較，有什么異同?
(兩道題條件相同，問題不同。)
問題不同在哪兒?
(復習題4求的是實際造林是計劃造林的百分之幾，例3是求實際造林比原計劃多百分之幾。)
教師在例3中用紅筆畫出“多”字。
(3)在這道題中，誰是單位“1”?是從哪句話中找到的?
教師用雙引號畫出單位“1”。
(4)求實際造林比原計劃造林多百分之幾是什么意思?學生分組討論。
(意思是：實際造林比原計劃多的公頃數是原計劃的百分之幾?)
板書：多的公頃數是計劃的百分之幾?
(5)根據多的公頃數是計劃的百分之幾這句話，怎樣列文字表達式?
板書：多的÷計劃的
(6)怎樣列式計算呢?
板書：
(14-12)÷12
=2÷12
≈0.167
=16.7%
答：實際造林比原計劃多16.7%。
問：14-12是在求什么?
問：為什么除以12，而不除以14呢?
(7)還有其它的解法嗎?(學生討論)
匯報討論結果：
板書：
14÷12-1
≈1.167-1
=0.167
=16.7%
答：實際造林比原計劃多16.7%。
問：14÷12得到的是什么?再減去1又得到什么?
2.把例3中的問題改為“原計劃造林比實際造林少百分之幾?”
問：你怎樣理解“原計劃造林比實際造林少百分之幾”這句話的?
問：誰做單位“1”?(實際公頃數)
問：怎樣用文字算式表達?
板書：少的÷實際的
問：怎樣列式計算?
投影訂正：
(14-12)÷14
=2÷14
≈0.143
=14.3%
答：原計劃造林比實際造林少14.3%。
問：14-12得到什么?為什么再除以14呢?
問：還有不同的解法嗎?
板書：1-12÷14
問：為什么例3與改變后的題得數不同?(單位“1”不同。)
問：這兩道題有什么相同之處?(解題思路完全一樣。)
3.把例3的一個條件改變。
一個鄉去年計劃造林12公頃，實際造林比原計劃多2公頃。實際造林比原計劃多百分之幾?
(1)學生獨立思考解答。
(2)指名說解題思路。
(3)板書算式：
多的公頃數÷計劃的
2÷12≈0.167=16.7%
答：實際造林比原計劃多16.7%。
問：此題和例3相比較，哪兒相同，哪兒不同?(條件不同，問題相同，解題思路相同。)
4.把3題的問題稍作改變。
一個鄉去年計劃造林12公頃，實際造林比原計劃多2公頃。原計劃造林比實際造林少百分之幾?
(1)學生只列式不計算。
(2)說解題思路。
板書：少的÷實際的
2÷(12+2)
(三)課堂總結
今天我們學習了什么知識?解決這類題的關鍵是什么?
師述：今天我們學習了求一個數比另一個數多(或少)百分之幾的應用題。解決這類題的關鍵就是要找準單位“1”，然后根據問題列出文字算式來幫助大家列式計算。
(四)鞏固反饋
1.分析下面每個問題的含義，然后列出文字表達式。
(1)今年的產量比去年的產量增加了百分之幾?
(2)實際用電比計劃節約了百分之幾?
(3)十月份的利潤比九月份的利潤超過了百分之幾?
(4)1999年電視機的價格比1998年降低了百分之幾?
(5)現在生產一個零件的時間比原來縮短了百分之幾?
(6)第二季度的產值比第一季度提高了百分之幾?
(7)十一月份比十月份超額完成了百分之幾?
(8)男生人數比女生人數多百分之幾?
2.在練習本上只列式不計算。(投影出示)
(1)某校有男生500人，女生450人。男生比女生多百分之幾?
(2)某校有男生500人，女生450人。女生比男生少百分之幾?
(3)一種機器零件，成本從2.4元降低到0.8元。成本降低了百分之幾?
(4)某工廠計劃制造拖拉機550臺，比原計劃超額了50臺。超額了百分之幾?
3.判斷題。
解答分數和百分數應用題的方法：（1）先找單位“1”，比、是、占后面的量一般就是單位“1”；（2）單位“1”已知用乘法，單位“1”未知用除法；（3）比單位“1”多，用1+幾分之幾，比單位“1”少，用1-幾分之幾；（4）畫線段圖分析題意，找具體數量的對應分率。
以上方法簡單易懂，學生按照此方法，能快速解答分數和百分數應用題，受益無窮。學生會從題中的關鍵句子中快速確定解題方法，成功的喜悅不言而喻！
下面我以最新版小學六年級數學書上的例題為例，分析我是怎樣引導學生分析題意、快速找到解題方法，從而提高學生的數學思維能力的。
例1. 小明的體重是35千克，他的體重比爸爸的體重輕，小明爸爸的體重是多少千克？
教師這樣引導學生分析題意：教師：“題中哪句話是重點句？”學生：“比爸爸的體重輕”。教師：“誰是單位‘1’？單位‘1’已知還是未知？”學生：“爸爸的體重是單位‘1’，單位‘1’未知用除法。”教師：“輕就是比單位‘1’少，怎樣列式？”學生：“用（1-）。”
教師引導學生分三步分析題意，最后順利列出算式：35÷（1- ）=75（千克）。答：小明爸爸的體重是75千克。
“求一個數的幾分之幾（或百分之幾）是多少”；“求一個數是另一個數的幾分之幾（或百分之幾）是多少？”；“已知一個數的幾分之幾（或百分之幾）是多少，求這個數，”這三種類型是所有分數（百分數）應用題的教學的根基，每個類型中都包含著三個基本要素：標準量（單位“1”對應的量）、比較量（對應分率不是單位“1”的量）、對應分率（每個量都對應著一個分率，標準量對應的分率是單位“1”）。
要讓同學們區別比較量和標準量的關鍵是找準單位1。在分率前面的量或是在“比”“是”“占”“等于”“相當于”等詞后面的量就是標準量，例1 “甲是乙的25%”，“ 甲占乙的25% ”，“甲比乙多25%”，“乙的25%相當于甲”等等題目，乙對應的分率都是單位“1”，乙就稱為標準量，甲對應的分率都不是單位“1”，所以每道題目中的甲都稱為比較量，每道題目中的甲也都對應著不同的分率。教師要充分利用生活中的分數（百分數）例子，訓練同學們識別標準量和比較量等基本要素，找準單位“1”。
二、找關鍵句，畫分析圖
只有在學生掌握分數（百分數）應用題的基本要素后，在閱讀分數（百分數）應用題題目時才能找出關鍵句――含有分率的句子；再去分析哪個量是標準量，哪個量是比較量，用表格、線段圖、圖畫等圖形語言表示出來，我們把這圖形語言稱為分數（百分數）應用題的分析圖，它能直觀地、具體地、形象地記錄或表達數量關系，因而在數學教學中具有十分重要的作用，我們可以借助圖形語言培養學生的思維能力。
例2：xx小學六年級男生30人，男生比女生少20%，女生多少人？這道題目中含有分率的句子是“男生比女生少20%”，也就是本道題目的關鍵句，為此引導學生畫分析圖如下：
要求學生根據分析圖能夠流利地說出各個比較量對應的分率，以及每個分率對應的比較量。同時，教師可以提供如下練習，讓學生熟練地畫出下列各題的分析圖，包括畫出隱藏條件，也就是說每道題目中都有“白兔、黑兔、黑白兔總數”這三個量。
1、白兔只數是黑兔的80%。
2、黑兔只數是白兔的125%。
3、白兔比黑兔少20%。
4、黑兔比白兔多25%。
5、黑兔只數是黑白兔總數的5/9。
6、白兔比黑兔少總數的1/9。
三、分析數量關系，代公式
根據分數乘法的意義“求一個數的幾分之幾（或百分之幾）是多少，用乘法”，我們可以知道： “一個數”就是標準量，“多少”就是比較量，“幾分之幾也”就是“多少”這個比較量所對應的分率，“多少”=“一個數”ד多少這個比較量對應的分率”，可以概括起來為以下三個基本公式：
1、 比較量=標準量×比較量對應分率
2、 標準量=比較量÷比較量對應分率
3、 比較量對應分率=比較量÷標準量
【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）16-0093-02
緣起：錯例帶來的困惑
較復雜的分數百分數應用題復習是小學數學總復習教學的重難點之一，對于這塊內容的復習，我們通過對三類分數百分數應用題結構的梳理、比較、分析，學生通過復習，進一步明確了它們的結構特點與數量關系后，進行了一系列的練習與拓展。自我感覺一切都在順理成章之中，不料在練習反饋中，一題在我看來很普通的題目錯誤率竟然高達70%以上。
某機關精簡后有工作人員143人，比原有工作人員少57人。少了百分之幾？
鑒于此，我對錯誤的同學進行了統計，其中有9%的同學列式為57÷143，列式為（143-57）÷143約占21%，列式為57÷（143-57）竟達40%。
面對這樣的困境，我陷入了沉思：問題究竟出在什么地方呢？
把脈：范式背后的偏失
為尋求問題的本源，查漏補缺，我對這一類較復雜的“求一個數比另一個數多或少百分之幾”的應用題又出了類似的幾題讓學生們練習：
①5是4的百分之幾？4是5的百分之幾？5比4多百分之幾？4比5少百分之幾？
②六一班有男生23人，女生比男生少1人。女生是男生的百分之幾？
③一個工程隊原來每天修路2.4千米，現在每天修路3千米。增加了百分之幾？
④一種皮鞋現價每雙50元，比原價貴10元。提價了百分之幾？
練習后發現，學生對第一題幾乎沒有問題，由此說明學生對此類題目的數量關系是清楚的。而其它三題的答題情況均不理想，其中以第四題最為突出，而此題與上面提到的那題基本類似。發現其他錯題也與此題有著本質的類似，通過仔細的分析以及與學生的訪談、輔導，發現主要有以下幾方面的偏失：
偏失之一：“比多比少”的概念缺陷引發認知斷層
有將近40%的學生列式為57÷（143-57），分析其中的原因，發現關鍵在于學生原有知識出現了斷層，即二年級所學習的比多比少的概念至今還存在普遍的問題。從上面學生的答題情況看，發現對于順敘題的解答還算比較順利、正確的。一旦進入逆敘題，學生的錯誤率就突然增加，當兩類練習題放在一起時，學生對比多比少的表征出現了明顯的混亂現象。以上現象反映了學生在經歷比多比少的概念學習時，表象操作方面缺乏必要的感悟和練習，造成學生直接進入符號操作時引起認知上的障礙，進而影響到后續的學習。
偏失之二：陌生信息的表征不清引發認知困難
從上面一組的對比練習中還發現，學生對知識表征的清晰度往往與他對信息的熟悉程度有關，即學生的陳述性知識表征不良也在很大程度上引起認知困難。對熟悉的、能聯系學生已有知識和生活經驗的問題情景學生能馬上進行信息的處理。但對于某一陌生知識的表征，學生表現出由于表征不清而導致認知上的困難。上面一組練習題中，學生對于情境熟悉的幾題反應快速，但對于情境離學生生活比較遠的幾題，對學生的抽象性思維要求較高，結果往往使學生在學習中陷入死角而不能自拔。
偏失之三：認知結構的不夠完善引發抽象概括度不高
學生認知結構的不夠完善往往表現出對知識的抽象概括程度不高。例如就上面這類題而言，事實上涉及對兩個數量的雙重比較，而“比較”這一個概念就小學范圍的知識來講一般有兩種情況，一是兩數之差，一是兩數之商。無論從課堂還是課外的交談中，學生似乎都不甚了解“比多比少”就是求“兩個數的差”，換句話說，在學生的認知結構中“差”作為“比多比少”的上位知識并沒有被學生體驗到，對于“商”的比較也有著同樣的情況。在學生初次學習比多比少時因為沒有深刻的體驗，造成了學生在學習百分數時存在原有知識點缺乏的問題。
偏失之四：程序性知識的缺乏引發解題達不到自動化
學生似乎明明懂得怎樣解題，可很多時候都要教師的提問下才能解答出來呢？為什么學生單獨面對此類題目時就是不會解答呢？仔細想來，除了學生有一定的思維惰性外，其實更為本質的是老師的提問等于為他提供了思考的路線，換句話來說，學生不知道從哪里開始，又從哪里結束。如果學生具有在面對問題情景時就知道怎么辦的程序性知識的話，那么學生就會感到成功解決之后的喜悅，一旦形成良性的反應，學生的思考就會進入一種極佳的狀態。
偏失之五：錯誤認知的“先入為主”引發認知表征偏差
從這些錯例中很明顯可以看出，在學生頭腦中占優勢興奮的知識點以“先入為主”的方式存在，事實上學生也根本沒有意識到這一點。很明顯，學生出現上述情況就是因為學生第一次在學習這部分知識時所形成的一種產生式知識結構是看到降低肯定是減法，而這又正好符合學生大部分的生活經驗，在頭腦中占有優勢興奮地位。雖然教師在課堂中進行反復的強調，但由于在后續的學習中沒有得到有效的順應，沒能進行知識的重建，因此當學生以后碰到類似的問題時，還是會按照原有的興奮程度高的解題策略進行解題。
策略：認知網線的補救
根據診斷、分析，我們找到了學生出現錯誤的原因，又根據學生的實際情況，從關注學生的認知狀態入手，主要采取了以下幾種輔導補救策略：
一、關注信息表征――注重方法
（一）讀題訓練
應用題實際上是用精煉的語言文字把現實生活中的數學問題闡述出來，然后讓學生運用所學的數學知識去解決這些問題的學習形式。既然是通過語言文字來呈現問題，那么學生個人的閱讀能力將直接影響到學生對題目的理解程度，由此可見數學閱讀對于解決問題具有重要作用。我曾做過好幾次試驗，學生產生錯誤后，教師根本沒有作指導，只是讓學生一遍又一遍地讀題，邊讀邊想，如甲比乙多幾，如何求甲或乙；要求學生把諸如降低了百分之幾的縮略語完整地表達出來。每次讀好之后，教師緊跟著追問一句：“你讀出來么？你讀懂了嗎？”。結果有70%的學生都能將題目正確解答出來。因此解決這類問題最基本的策略是多讀幾遍，指導學生通過朗讀達成理解，就是為了讓問題情景在大腦的短時記憶中更穩定、更清晰、更熟練一些，這樣就更容易實現解決問題的頓悟。
（二）簡化信息
心理學表明：一個人的短時記憶空間是有限的。作為教師應該有意識地引導學生對信息進行有效的簡約化，培養學生由外化進入簡約的內化處理能力。這時教師可以幫助學生利用外部工具來解決問題，如把需要加工的信息內容寫在紙上，采用表征簡化、示意圖、代表性符號等有效的策略幫助學生減輕記憶的負擔，使得短時記憶的空間得到充分地利用。
例如：我國可吃的植物有2000種（以上），相當于歐洲和美洲總數的200%等一些長句。經常發現學生讀完題時，記住了后面的又忘了前面，因此我訓練學生將表現數量關系的句子簡縮成：我國是歐美的200%。
這樣的訓練使得學生的短時記憶得到充分的利用，信息表征也顯得清晰穩定，可以幫助學生把問題中簡化了的成份補述出來，或把內隱的意思表述出來，成為外顯的條件，使之更具體、明確，為學生正確分析數量關系打下堅實的基礎，有效提高了學生的學習能力。
二、重構認知過程――夯實基礎
上述分析時曾經提到學生以前一直使用的（即使是錯誤的）解題方法具有先入為主的優勢，因為它是長期以來養成的一種思維習慣。要徹底糾正學生的這個有害思維習慣，就必須把后來獲得的這個新的解題思維方法變成在優勢興奮水平上高于原來思維的、更容易被優先激活的知識，或者更確切地說就是幫助學生形成良好的認知結構。
（一）依據年齡特點，建立形象化的認知圖式
教師要引導學生借助于生活經驗和數學知識之間相似性大的特點，將新知納入到原有的知識結構中去，使學生的知識得以同化和順應。例如在此類題的輔導中，有幾個學生不管怎樣認真讀題，總是不能完整地對信息進行表征，如“精簡后比原有工作人員少了57人”。令人郁悶的是學生讀完題后總是認為原有工作人員少，從而出現列式為57÷（143-57）之類的情況。
這樣的問題怎么解決呢？
我把這幾個小家伙叫到身邊：“我們來做一個游戲，用比來說一句話，要求把話說完整，我先來，老師的年齡比你們大。”
小家伙們一聽有游戲做，勁頭馬上起來了。學生A馬上接口：“老師的頭發比我們卷。”
“不，應該是你卷。”我故意這么說。
“不對。”學生A馬上給我糾正。“是老師卷。”
我笑了笑，不動聲色地繼續讓學生說下去。
“我的身材比老師的矮。” “不，老師矮。”
老師的腿比我們長。”“不，你們的腿長。”……
小家伙們一聽急了，今天是怎么了，老師怎么總是出錯？我一看時機差不多了，拿出他們的作業。他們一看，撓了撓后腦勺，嘿嘿地笑了！
事實上，在學生的潛意識里已有的知識和生活經驗存在著很隱蔽的相似關系，如果我們能夠意識到這一點，則我們的學習就變得機智巧妙，從而讓學生進行主動建構，實現有意義的學習，這樣的有意義地學習就保證了知識在大腦中的相對優勢權。
（二）及時概括整理，重構完善的知識網絡
一般來說，概括程度高、經過合理編碼的知識是具有優先興奮權的，能夠進行居高臨下的遷移。這樣的學生在以后的學習中更能表現出分析問題和解決問題的敏捷性和正確性，表現出更高的解題智慧。
教師應有意識地引導學生對所學的知識進行概括整理，例如此類題中涉及比較的知識結構中，各知識點之間以及上下位的內在聯系，差和商就是基于兩個數量比較的運算結果，而無論何種比較都需要尋找一個參照物（即平常所說的標準量）才能得出明確的結果，這一點對于這些學生來說體悟是不深的。這里的參照物、同樣多等概念就處于知識結構的核心地位。教師在讓學生初次學習時就要引導學生反思平時生活中習以為常的生活經驗，培養學生用數學的眼光觀察周圍的世界，完成對知識的重構。
例如教師創設了這么個情景，接著老師聯系本班實際出示了一組發散性的練習：六（1）班男生23人，女生22人，我們可以怎樣對他們進行比較？
比較之后引導學生進行分類整理，學生很容易體會到由于參照物（標準量）的不同，比較結果也是不同的，這就培養了學生異中見同的能力，學生的智慧得到了升華。
三、融入情知因素――提升思維
（一）提供練習平臺，形成正確的認知策略。
良好的認知策略意味著學生碰倒一個問題情景時，能夠知道怎樣沿著一定的思路走下去，也就是說學生建構的程序化知識應該獲得自動化的熟練程度，這一方面需要為學生提供必要的、一定程度的練習平臺。尤其是一些學困生由于認知能力差，往往不像優秀生那樣做到舉一反三，可能更需要的是“舉十才知一”。另一方面則嘗試引導學生進行出聲思維的訓練，來幫助學生形成必要的程序性知識。例如讓學生找出題目中表示數量關系的關鍵句，不完整的補充完整，并要求學生口答思維的過程。通過出聲思維的訓練，逐步使得學生經歷知識由外化到內化的過程，培養學生在學習中學會自問自答，并隨時反省自己的解題過程和思路的正確性，從而實現最有效的學習――自我否定后的自我肯定。
（二）創設和諧平臺，體驗愉悅的學習情緒。
鞏固過程離不開訓練。“導，練”結合，注重口述解題思路與算理的訓練，不僅縱向延伸，掌握關鍵，而且橫向比較，理清關系，選用題組形式更適合于復習中進行綜合訓練，以使學生主動探索，合作交流，把主要精力放在分析比較數量關系及其結構上，利于培養與提升學生的思維品質和數學應用意識。選練一些新型習題，可發展學有余力學生的特長。
就這樣經過一段時間的輔導，我重新對這些學生進行了此類百分數應用題單獨的測試。從測試結果表明，雖然個別學生還是存在一些問題，但多數學生的成績有了很大的提高，值得高興的是對比多比少的問題的認知障礙基本得以消除，學生的認知結構得到明顯的改善，并獲得了一些較為扎實的解題策略，尤其可喜的是由于注重對學生的認知情緒的培養，使得這些學生對數學學習重新樹立了信心，時不時能夠主動來到辦公室來問這問那，并自發自覺地思考一些數學問題，用新課程的理念來說，不僅獲得了知識技能、方法和過程，更是初步形成了良好的價值態度觀。
參考文獻：
教學是邏輯性較強、比較嚴密的一門學科，也是可以通過類似的題型找到規律總結出公式一門學科。只要學生掌握了公式或規律，學起數學來就輕而易舉。多年來，我以教學六年級上冊的《百分數應用題》為例，淺談自己的幾種教學方法。
一、教學《百分數的應用一》
例如：盒子有45厘米3的水，結合冰后冰的體積約為50厘米3，冰的體積約比原來的體積增加了百分之幾？
先利用畫圖來分析、理解題意，水的體積是單位“1”，冰的體積是“比較量”，冰和水比較，用冰的量減水的量，再求多出量占單位“1”的百分之幾？再用多出的量÷單位“1”。最后得出這樣的結論。如果要解決增加百分之幾或減少百分之幾的應用題時，先在題中找準單位“1”，單位“1”在“比”字后面，再找出“比較量”，然后用“﹙大數—小數﹚（大數和小數指的是單位“1”和比較量）÷單位“1”。這兩個量的差占單位“1”的百分率。像上面的應用題可以直接運用規律。﹙50-45﹚÷45，50是比較大的數，45是比較小的數，45也就是單位“1”。這樣，只要學生在題目中找準比較量和單位“1”，解決這類應用題就容易多了。但如果遇到“比”字不明顯時，我們就要進行“擴句”。“擴句”時就找準了單位“1”。例如：電飯煲原價220元，現價160元，電飯煲的價格降低了百分之幾？這時就要進行擴句。電飯煲的現價比原價降低了百分之幾？這樣就找到了單位“1”，再用公式來解決。學生只要掌握了題的類型，能正確的運用公式，遇到類似的應用題就迎刃而解。在數學教學中運用類比找規律的方法。
二、教學《百分數的應用二》
例題：1997年至今，我國鐵路已經進行了多次規模提速，有列火車，原來每時行駛80千米，提速后，這列火車的速度比原來增加了40%，現在這列火車每時行法多少多少千米？仍然用畫圖的方法理解題意。這道題與上面的例題相比，已知了增加的份率和單位“1”，而求的是比較量，也在“比”字后找單位“1”，根據題意先算單位“1”的40%，再用單位“1”=增加的量就求出了比較量，列式為：80+80×40%=80×（1+40%),最后找出規律。這類題型，已知了單位“1”，要求標準量，用乘法，用單位“1”×（1±份率），如果題中是增加就用“+”，題中是減少就用“-”。關鍵還要找準單位“1”，像上面這個題直接用這個規律：列式80×（1+40%），通過教學后，學生對這類知識掌握的較快，都能解答此類的問題，解決問題很準確。教學效果顯著。
三、教學《百分數的應用三》
《百分數的應用三》是兩種類型的應用題，但具有共性，都是求單位“1”。教材中用方程來解決，我們也找到規律。
（一）例題：笑笑家1985年，食品支出總額占家庭總支出的65%，其他支出總額占家庭總支出的35%，1985年食品支出比其他支出多210元，你知道這個家庭的總支出是多少元嗎？先利用方程解決，
解：設這個家庭的總支出為X元
65%X-35%X=210
30%X=210
X=700
把方程轉換成算數方法，210÷（65%-35%）。
1.聽老師念應用題，然后讓學生根據題意，分別說成一道文字題，再口答算式。
（1）某村去年造林20公頃，今年造林25公頃。 去年造林是今年和幾分之幾？
（2）某工程隊七月份修路20千米，八月份修路25千米。 七月份修路是八月份的百分之幾？
師：同學們想一想，這兩道題的算式為什么會一樣呢？
教師引導學生通過觀察、比較、分析，明白“分數應用題”與“百分數應用題”的解題思路和方法是相同 的。
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2.討論題：有的同學認為“3米比5米少─，也可以說成5米比3米多
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─。”這樣說對不對？為什么？
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通過討論，讓學生明確：解答分數應用題時， 關鍵要找準單位“1”的量，要分清楚是哪個數量與哪個數 量相比較。
3.補題導入。
教師出示一道不完整的應用題：“一個鄉去年原計劃造林12公頃，實際造林14公頃。”要求學生想一想： 根據題中的已知條件，可以提出哪些求百分之幾的問題？
學生可能提出很多個問題，教師選擇“實際造林比原計劃多百分之幾？”的問題，變成例3。然后揭示課題 。
〔注析：這個數學環節的設計，具有“活、實、 趣”的特點：（1）聽題答題，形式活潑；（2）誘導討論 ，訓練落實；（3）補題導入，新穎有趣。〕
二、學習新知
1.明確目標。
師：看到例題和課題，同學們想一想，議一議，這堂課我們要學習哪些內容？達到什么要求呢？
歸納學生的回答，展示學習目標。（略）
2.自學新知。
師：（指著例3）怎樣解答這道題呢？請大家邊看課本例3的解法，邊思考以下幾個問題：（1）從問題看，
是哪個數量和哪個數量相比較：應當把哪個數量看作單位“1”？（2）求實際造林比原計劃多百分之幾，就是 求什么數量占什么數量的百分之幾？應該先求什么？再求什么？
〔注析：培養學生自學能力是為學生今后的“自我發展”打好基礎。但自學能力的培養要講究策略，要做 到主導性和主體性相統一。讓學生自學課本，從課本中自主探究，獲取知識，這是學生自主學習的重要形式， 突出了主體地位。思考題的設計體現了教師主導的必要性。〕
3.啟導理解。
（1）師生共同作例3的線段圖，并讓學生在線段圖上指出“多”的部分是（14—12）公頃。
（2）指名回答自學思考題， 著重啟發引導學生理解：“求實際造林比原計劃多百分之幾？”列成關系式 是：多的公頃數÷原計劃的公頃數＝所求。
（3）根據以上分析，啟發學生列出算式（指名口頭列式， 教師板書）。
〔注析：“學導式”中的“啟導理解”有別于傳統教學方法的教師主宰講解。它要求教師必須采用啟發式 進行教學，要充分發揮學生的主觀能動性作用，讓學生主動參與感知、探究、理解、內化的學習過程。在學生 感知應用題內容的基礎上，畫出線段圖，再探究解題的關鍵，理解數量關系，把內化的解題思路與方法外化為 解題算式，這教學軌道吻合學生的認知規律。〕
4.質疑問難。（如果有些問題學生沒提出來，教師也可自我設問挑疑，將學習引向深入。）
（1）這道題還有其他解法嗎？
指導學生看分析圖，討論新的解題思路。算式：14÷12－1≈1.167－1＝0.167＝16.7％。
（2）如果把例3中的問題改成“原計劃造林比實際造林少百分之幾”，該怎樣解答？
先引導學生從問題看，思考是哪兩個量比較？把誰看作單位“1 ”？（可讓學生遷移運用學習例3時的方法 ， 教師要特別注意學習方法的指導。）
（3）學生有可能還提出以下一些疑問：例3第2種解法中的“14 ÷12表示什么？“1”表示什么？“1”能 不能寫成100％？ 怎樣正確使用“約等于號”和“等于號”等問題，教師可根據實際情況，靈活釋疑，既可以 由教師直接解疑也可以讓學生互相解疑。
〔注析：質疑問難能力是學生文化科學素質、心理素質的綜合反映，培養學生質疑問難能力是素質教育的 需要，是“學導式”教學法的一個著力點。這里并不拘泥于“學導式”的教學程序，而是根據教材編排特點和 認知規律，靈活調換教學步驟，將“質疑問難”放在“啟導理解”之后，既便于引出其他解法，又有利于根據 學生的差異性調整、補充、修正教學思路。〕
5.歸納學法。
（1）引導學生將例3的第一種解法和改變問題后的第一種解法進行比較。異同點在什么地方？為什么除數 不一樣？
（2）通過學生討論， 歸納出求一個數比另一個數多（或少）百分之幾的應用題的一般步驟：①認真審題 ，分清題中的已知條件和問題，弄清數量關系；②抓住問題，知道什么數量和什么數量相比較；③把哪個數量 看作單位“1”（作除數）， 把哪個數量看作比較量（作被除數）；④懂得應先求什么，再求什么？列式解答 。
〔注析：重視學習方法指導，是“學導式”教學法的一個精髓。這個教學步驟意在教會學生主動獲取知識 的技能和方法，使學生能夠適應未來社會發展的需要。〕
三、遷移練習
1.完成第31頁的“做一做”。
2.完成練習九第1、2題。
訂正時，要求學生說出解題思路和方法。
〔注析：“學導式”教學法重視發揮課本習題的導向作用。這個教學環節體現面向全體學生，著眼基礎知 識的全面掌握，是帶有普遍意義的基本練習和應用。〕
四、深化應用
1.比一比，看誰提的問題（百分數應用題）多，又能正確解答。
電視機廠五月份生產電視機4000 臺， 比六月份少生產1000 臺。_____________？
2.根據算式“（25－20）÷25”，編分數應用題與百分數應用題各1題。（對優等生要求獨立編題，中差生 可以參照鋪墊題第1題編題。）
〔注析：這個教學環節的設計體現因材施教和差異教育的特性，使不同層次的學生都能獲得成功感，努力 使不同層次的學生都能達到各自的最佳發展水平。〕
五、課堂總結
1.對照學習目標，回顧本節課學習的內容。
2.比較鋪墊題第1題和深化應用的第2題的異同。尋找分數應用題和百分數應用題的內在聯系，歸納整理知 識系統：分數應用題與百分數應用題解題的相同點：①數量關系相同；②解題思路一樣；③解答方法相似。不 同點：計算結果用分數表示，或用百分數表示。
分數、百分數應用題中含有分率、百分率的句子是解題的關鍵句。但在實際題目中，很多含有分率、百分率的句子都是不完整的。因此，我們在教學時要根據上下句的聯系，進行補敘、推理訓練，并列出關系式。如：“十月份超產了20%，九月份生產多少臺電視機？”可引導學生補充：十月份比九月份超產了20%，十月份超產的是九月份的20%，從而列出關系式：十月份生產的臺數=九月份的臺數+九月份的臺數×20%。
二、重視單位“1”的量的判斷訓練
借助分數、百分數應用題單位1的量的判斷，能夠讓學生找到解題的方法和途徑。教學時，經常指導學生找出題中單位1的量，看看單位1的量是否已知：單位“1”的量已知用乘法計算；單位“1”的量未知用除法計算。
三、重視題型分類對比訓練
分數、百分數應用題一般分為三個類型：一是求一個數是另一個數的幾（百）分之幾？二是求一個數的幾（百）分之幾是多少？三是已知一個數的幾（百）分之幾是多少，求這個數是多少？每一類題型中又分三個類型，教師要由淺入深地對學生加以訓練。如求一個數是另一個數的幾（百）分之幾？就有：（1）求一個數是另一個數的幾（百）分之幾？這是最簡單的。（2）求一個數比另一個數多幾（百）分之幾？（3）求一個數比另一個數少幾（百）分之幾？這兩類是比較復雜的。
四、加強易混題型的對比訓練
對于容易混淆的內容，要有意識地設計一些似是而非的變式題組讓學生練習、比較，分析它們的細微差別，從而掌握解題規律。如：
1.比25噸少噸的數是多少？
