機械能守恒定律匯總十篇

序論：好文章的創作是一個不斷探索和完善的過程，我們為您推薦十篇機械能守恒定律范例，希望它們能助您一臂之力，提升您的閱讀品質，帶來更深刻的閱讀感受。

篇（1）

1.知道什么是機械能，知道物體的動能和勢能可以相互轉化;

2.會正確推導物體在光滑曲面上運動過程中的機械能守恒，理解機械能守恒定律的內容，知道它的含義和適用條件;

3.在具體問題中，能判定機械能是否守恒，并能列出機械能守恒的方程式。

二、過程與方法

1.學會在具體的問題中判定物體的機械能是否守恒;

2.初步學會從能量轉化和守恒的觀點來解釋物理現象，分析問題。

三、情感、態度與價值觀

通過能量守恒的教學，使學生樹立科學觀點，理解和運用自然規律，并用來解決實際問題。

【教學重點】

1.掌握機械能守恒定律的推導、建立過程，理解機械能守恒定律的內容;

2.在具體的問題中能判定機械能是否守恒，并能列出定律的數學表達式。

【教學難點】

1.從能的轉化和功能關系出發理解機械能守恒的條件;

2.能正確判斷研究對象在所經歷的過程中機械能是否守恒，能正確分析物體系統所具有的機械能，尤其是分析、判斷物體所具有的重力勢能。

【教學方法】

演繹推導法、分析歸納法、交流討論法。

【教具】

細線、小球、帶標尺的鐵架臺。

【教學過程】

一、引入新課

教師活動：我們已學習了重力勢能、彈性勢能、動能。這些不同形式的能是可以相互轉化的，那么在相互轉化的過程中，他們的總量是否發生變化?這節課我們就來探究這方面的問題。

二、進行新課

1.動能與勢能的相互轉化

演示實驗：如圖所示，用細線、小球、帶有標尺的鐵架臺等做實驗。

把一個小球用細線懸掛起來，把小球拉到一定高度的

點，然后放開，小球在擺動過程中，重力勢能和動能相互轉化。我們看到，小球可以擺到跟

點等高的

點，如圖甲。

如果用尺子在某一點擋住細線，小球雖然不能擺到

點，但擺到另一側時，也能達到跟

點相同的高度，如圖乙。

問題：這個小實驗中，小球的受力情況如何?各個力的做功情況如何?這個小實驗說明了什么?

學生：觀察演示實驗，思考問題，選出代表發表見解。

小球在擺動過程中受重力和繩的拉力作用。拉力和速度方向總垂直，對小球不做功;只有重力對小球能做功。

實驗結論：小球在擺動過程中重力勢能和動能在不斷轉化。在擺動過程中，小球總能回到原來的高度?？梢?，重力勢能和動能的總和，即機械能應該保持不變。

教師：通過上述分析，我們得到動能和勢能之間可以相互轉化，那么在動能和勢能的轉化過程中，動能和勢能的和是否真的保持不變?下面我們就來定量討論這個問題。

2.機械能守恒定律

物體沿光滑曲面滑下，只有重力對物體做功。用我們學過的動能定理以及重力的功和重力勢能的關系，推導出物體在

處的機械能和

處的機械能相等。

教師：為學生創設問題情境，引導學生運用所學知識獨立推導出機械能守恒定律。讓學生親歷知識的獲得過程。

學生：獨立推導。

教師：巡視指導，及時解決學生可能遇到的困難。

推導的結果為：，

即

。

可見：在只有重力做功的物體系統內，動能和重力勢能可以相互轉化，而總的機械能保持不變。

同樣可以證明：在只有彈力做功的物體系統內，動能和彈性勢能可以相互轉化，總的機械能也保持不變。

結論：在只有重力或彈力做功的物體系統內，動能和彈性勢能可以相互轉化，總的機械能也保持不變。這就是機械能守恒定律。

3.例題與練習

例題：把一個小球用細線懸掛起來，就成為一個擺，如圖，擺長為

，最大擺角為

，小球運動到最低位置時的速度是多大?

學生：學生在實物投影儀上講解自己的解答，并相互討論;

教師：幫助學生總結用機械能守恒定律解題的要點、步驟，體會應用機械能守恒定律解題的優越性。

總結：

1.機械能守恒定律不涉及運動過程中的加速度和時間，用它來處理問題要比牛頓定律方便;

2.用機械能守恒定律解題，必須明確初末狀態機械能，要分析機械能守恒的條件。

練習一：如圖所示，下列四個選項的圖中，木塊均在固定的斜面上運動，其中圖A、B、C中的斜面是光滑的，圖D中的斜面是粗糙的，圖A、B中的

為木塊所受的外力，方向如圖中箭頭所示，圖A、B、D中的木塊向下運動，圖C中的木塊向上運動。在這四個圖所示的運動過程中機械能守恒的是()

解析：機械能守恒的條件是：物體只受重力或彈力的作用，或者還受其它力作用，但其它力不做功，那么在動能和勢能的相互轉化過程中，物體的機械能守恒。依照此條件分析，ABD三項均錯。答案：C。

練：長為L的均勻鏈條，放在光滑的水平桌面上，且使其長度的1/4垂在桌邊，如圖所示，松手后鏈條從靜止開始沿桌邊下滑，則鏈條滑至剛剛離開桌邊時的速度大小為多大?

解析：鏈條下滑時，因桌面光滑，沒有摩擦力做功。整根鏈條總的機械能守恒，可用機械能守恒定律求解。設整根鏈條質量為

，則單位長度質量(質量線密度)為

，設桌面重力勢能為零，由機械能守恒定律得：

解得

4.課下作業：完成25“問題與練習”中4.5題。

5.教學體會

機械能守恒定律是能量守恒定律的一個特例，要使學生對定律的得出、含義、適用條件有一個明確的認識，這是能夠用該定律解決力學問題的基礎。

本節知識點包括：機械能守恒定律的推導;機械能守恒定律的含義和適用條件。

篇（2）

1、驗證機械能守恒定律一般采用打點計時器算加速度的方法。

2、在只有重力或彈力做功的物體系統內(或者不受其他外力的作用下），物體系統的動能和勢能（包括重力勢能和彈性勢能）發生相互轉化，但機械能的總能量保持不變。這個規律叫做機械能守恒定律。

3、機械能守恒條件是：只有系統內的彈力或重力所做的功。【即忽略摩擦力造成的能量損失,所以機械能守恒也是一種理想化的物理模型】,而且是系統內機械能守恒。一般做題的時候好多是機械能不守恒的，但是可以用能量守恒，比如說把丟失的能量給補回來。

（來源：文章屋網 ）

篇（3）

1、在只有重力或彈力做功的物體系統內(或者不受其他外力的作用下），物體系統的動能和勢能（包括重力勢能和彈性勢能）發生相互轉化，但機械能的總能量保持不變。這個規律叫做機械能守恒定律。

2、機械能守恒定律：在只有重力或系統內彈力做功的物體系統內，物體的動能和勢能可以相互轉化，但機械能保持不變。

（來源：文章屋網 ）

篇（4）

機械能守恒定律教學內容的重要性

機械能守恒定律是高中物理力學中的重要定律之一，是在學生初步了解動能和勢能后所提出的，在高中階段的物理學習中占有重要地位，在整個高中力學中起著承前啟后的作用。且在力學相關問題的解題過程中，相較于牛頓定律，運用機械能守恒定律更加簡單便捷。但機械能守恒定律相關概念和規律具有抽象性強，難于理解的特點，要達到讓學生靈活運用機械能守恒定律的教學目標，可謂是難上加難。因此，在機械能守恒定律的教學過程中，教師往往由淺入深，逐步深化，使學生牢牢掌握定律相關內容及其應用條件。

械能守恒定律的教學思路

課程目標。教學目標的設計是教師備課過程中必不可少的環節，教師應從知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀三個維度來設立具體的教學目標。例如：知識與技能目標可以設立為：理解動能與重力勢能及彈性勢能的相互轉化規律 ；理解并掌握機械能守恒定律的表達式。過程與方法目標可以設立為：理解機械能守恒定律的應用條件。情感態度與價值觀方面的目標可以設立為： 鍛煉并培養學生理論聯系實際、學以致用的思想。以此更加全面的使學生了解本堂課的任務與目標，同時提高教師教學的針對性。

課前準備。教師的課前準備工作包括教學方案的設計、教學課件和導學案的制作等。在課件的制作方面，應緊貼教學目標和教學過程，達到板書與課件的完美配合，在課件中展示部分難以用語言表達清楚的圖片或視頻等，提高課堂的趣味性與高效性。在導學案制作方面，應做到具體但又不失精煉，突出重難點。

2.3教學過程

因機械能守恒定律在力學中起著承前啟后的作用，因此，在課程開始時，應帶領學生回顧之前所學的動能、勢能和機械能相關知識。結合課件展示生活中較為常見的動能與勢能轉化的例子，例如游樂園中過山車的精彩片斷，擺鐘等等，以此引發學生的學習興趣，并引出本節課的教學內容。在學生觀看過山車視頻時，教師可適時的引導學生分析其中動能和勢能的轉化關系，然后讓學生自主分析擺鐘的動能勢能轉化關系。在同學闡述，教師總結過后，可以進入具體的教學內容：分別探討動能和重力勢能、動能和彈性勢能的相互轉化關系。

首先，動能和重力勢能的相互轉化關系。教師提出問題：物體進行自由落體運動，在此運動過程中，物體的動能和重力勢能之和是否始終不變？以此，引導學生展開自主合作探究活動。題目設置如下：設圓球在下落過程中經過高度分別為h1和h2的A、B任意兩點，小球再此兩點的速度分別為v1和v2 .如圖1所示，請分析小球在A、B兩點的機械能之間的數量關系。

A點到B點，由動能定理可以得到表達式：WG=Ek2一Ekl，由重力做功和重力勢能變化關系可以得到表達式：WG=Epl一Ep2，由此兩式綜合可得Ek2一Ekl=Epl一Ep2，移項整理后即可得E2=E1，由此便可的出結論：只有重力做功時，動能和勢能之和保持不變。

其次，動能和彈性勢能的相互轉化。教師可提出問題：光滑水平面上放置一水平彈簧，彈簧頂端固定一光滑小球（如圖2），在振動過程中，小球和彈簧整體的動能和彈性勢能的變化是否具有類似規律？由此引導學生自主探究分析，最終得出結論，在只有重力或彈力做功的物體系統內，動能和勢能可以相互轉化，而總的機械能保持不變。

最后，強調機械能守恒定律的條件。通過課件展示定律內容，引導學生自主總結守恒條件。一、只受重力（彈力），不受其他力的情況，如自由落體的物體。二、除重力 （彈力 ）以外還有其他力，但其他力都不做功的情況，例如圖2所示運動。

在講述完成后，結合習題幫助學生鞏固所學內容。

篇（5）

2 學生分析

學生在初中已經了解動能和勢能的概念，動能和勢能可以相互轉化。通過本章前面幾節的學習，學生加深對動能和勢能的概念理解，知道重力做功與重力勢能的關系，并會運用動能定理解決簡單的問題。但中職學生物理水平普遍不高，學習物理的能力不強，本設計力圖通過生活實例和物理實驗，展示相關情景，激發學生的求知欲，引出對機械能守恒定律的探究，體現從“生活走向物理”的理念，通過建立物理模型，由淺入深進行探究，讓學生領會科學的研究方法，并通過規律應用鞏固知識，體會物理規律對生活實踐的作用。

3 教學目標

3.1 知識與技能

1）通過演示實驗，讓學生知道物體的動能和勢能可以相互轉化。2）通過對物體做自由落體的例子分析、推導，得出物體做自由落體的機械能守恒；并理解機械能守恒定律的內容，知道它的含義和適用條件。3）在具體問題中，能判定機械能是否守恒，并能列出機械能守恒的方程式。

3.2 過程與方法

1）通過學習機械能守恒定律的推導過程，學會研究物理的科學方法。2）通過對機械能守恒定律的理解，學會在具體的問題中判定物體的機械能是否守恒；學會運用能量轉化和守恒來解釋物理現象及分析問題的方法。

3.3 情感、態度與價值觀

1）通過實驗及物理現象增加學生對物理知識規律的求知熱情；2）通過能量守恒的教學，使學生樹立科學觀點，理解和運用自然規律，并用來解決實際問題。

4 教學重點

1）掌握機械能守恒定律的推導、建立過程，理解機械能守恒定律的內容；2）在具體的問題中能判定機械能是否守恒，并能列出定律的數學表達式。

5 教學難點

1）從能的轉化和功能關系出發理解機械能守恒的條件；2）能正確判斷研究對象在所經歷的過程中機械能是否守恒，能正確分析物體所具有的機械能，尤其是分析、判斷物體所具有的重力勢能。

6 教學方法

演繹推導法、分析歸納法、討論法。

7 教具

滾擺（或溜溜球）、鐵球、圓形軌道（過山車模型）、細線、鋼球、投影片、彈簧振子。

8 教學過程

8.1 復習提問，導入新課

1）教師提問。本章我們已經學習了哪幾種形式的能？動能定理的內容和表達式是什么？物體重力做的功與重力勢能的變化之間有什么關系？

2）學生回答。本章我們已經學習了動能、重力勢能、彈性勢能。動能定理的內容：合力對物體所做的功，等于物體動能的改變量。表達式：W合=EK1-EK2。物體重力做的功與重力勢能的變化之間的關系：物體重力做的功等于重力勢能的減少量。

3）教師總結。動能定理中物體動能的改變量是物體的末動能減去初動能，定理的表達式：W合=EK1-EK2。物體重力做的功與重力勢能的變化之間的關系中的重力勢能的減少量是初位置的重力勢能減去末位置的重力勢能，關系表達式：WG=EP1-EP2。動能、重力勢能、彈性勢能統稱為機械能，本節課我們就來研究有關機械能的問題。提出課題：機械能守恒定律。

8.2 進行新課

1）舉例分析機械能之間的相互轉化。

演示實驗1：滾擺

演示實驗2：過山車模型（鐵球從圓形軌道某一高度滾下）

引導學生分析得出：通過重力做功，物體的動能和重力勢能之間可以相互轉化。

展示圖片“撐桿跳高”“拉弓射箭”，引導學生分析得出：通過彈力做功，物體的動能和彈力勢能之間可以相互轉化。

總結結論：機械能之間可以相互轉化。

2）探尋機械能之間相互轉化所遵循的規律。

①定性分析。

演示實驗3：鋼球用細繩懸起，請一學生靠近，將鋼球偏至他鼻子處釋放，鋼球擺回時，觀察該生反應。（調節課堂氣氛，激發學生學習的興趣。）釋放鋼球后，鋼球來回擺動，擺回到該生鼻子處返回，不會碰到鼻子。

演示實驗4：將小鋼球用細線懸掛一端固定在黑板上部，把小球拉到一定高度的A點，然后放開，讓小球在同一平面內擺動。觀察到小球可以擺到跟A點等高的C點，如圖1甲。再用一釘子固定在小黑板上某點擋住細線，再觀察，發現小球雖然不能擺到C點，但擺到另一側時，也能達到跟A點相同的高度，仍等高，如圖1乙。

問題1：這個小實驗中，小球的受力情況如何？各個力的做功情況如何？能量轉化情況？問題2：小球擺動過程中總能回到原來高度，好像“記得”自己原來的高度，說明在擺動過程中有一個物理量是保持不變的，是什么呢？

學生觀察演示實驗，思考問題，發表見解：“小球受重力和繩的拉力，繩的拉力不做功，只有重力做功。下降時，重力做正功，重力勢能減少，動能增加；上升時，重力做負功，重力勢能增加，動能減少。小球擺動過程中總能回到原來高度，說明重力勢能與動能的總和保持不變，也就是機械能保持不變。”

②定量分析推導。提出研究方法：在探究物理規律時，應該是由簡單到復雜，逐步深入，先對簡單的物理現象進行探究，然后加以推廣深化。在動能與勢能轉化的情景中，自由落體（只受重力）應該是比較簡單的。

投影片如圖2所示，質量為m的物體自由下落過程中，經過位置1時，高度h1，速度v1；下落至位置2時，高度h 2，速度v2。引導學生思考分析：若不計空氣阻力，分析物體由h1下落到h2過程中機械能的變化。

分析：質量為m的物體自由下落過程中，只有重力做功，根據動能定理，有WG=mv22-mv12。下落過程中重力對物體做功，重力做功在數值上等于物體重力勢能的變化量。取地面為參考平面，有WG=mgh1-mgh2。由以上兩式可以得到mv22-mv12=mgh1-mgh2①。移項得mgh1+mv12=mgh2+mv22②，即EP1+EK1=EP2+EK2，E1=E2。引導學生討論式①的含義是什么？式②的含義又是什么？

在表達式①中，左邊是物體動能的增加量，右邊是物體重力勢能減少量，該表達式說明：物體在下落過程中，重力做了多少正功，物體的重力勢能就減小多少，同時物體的動能就增加多少。在表達式②中，左邊是物體在初位置時的機械能，右邊是物體在末位置時的機械能，該式表示：動能和勢能之和不變即總的機械能守恒。

3）分析機械能守恒的條件。舉例分析：物體沿光滑斜面下滑，上述結論是否成立；物體沿光滑曲面下滑，上述結論是否成立。由學生推導、分析：物體沿光滑斜面或光滑曲面下滑時，受重力和支持力作用，支持不做功，只有重力做功，由動能定理和重力做功，同樣得出動能和勢能之和即總的機械能保持不變。

演示實驗5：彈簧振子（水平方向）來回振動。引導學生分析得出：在只有彈力做功的情形下，系統的動能和彈力勢能可以相互轉化，總的機械能也保持不變。

演示實驗6：豎直彈簧振子的振動。引導學生分析得出：只有重力和彈力做功的情形下，系統的動能和重力勢能、彈力勢能相互轉化，總的機械能也保持不變。

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4）歸納結論。在只有重力和彈力做功的情況下，物體（系統）的動能和勢能可以相互轉化，物體機械能總量保持不變。這個結論叫做機械能守恒定律。

8.3 鞏固拓寬

【投影片】

1.分析下列情況下機械能是否守恒

A.跳傘運動員從空中勻速下降的過程

B.重物被起重機勻速吊起的過程

C.物體做平拋運動的過程

D.物體沿光滑圓弧面下滑

【分析】機械能守恒的條件：物體只受重力或彈力的作用，或者還受其他力作用，但其他力不做功，那么在動能和勢能的相互轉化過程中，物體的機械能守恒。依照此條件分析，AB項均錯。答案：CD。

2.某人站在h1=10 m高的陽臺上，以v1=10 m/s的速度隨意拋出一個小球，如果不計空氣阻力，求小球落地時速度的大小。

【分析與解答】小球被隨意拋出，可能上拋、斜拋或斜下拋，方向不定，用牛頓第二定律難以求解落地時的速度大小。本題用機械能守恒定律來解。

小球在空中飛行過程中，只有重力做功，機械能守恒。取地面為零勢能面，小球被拋時，重力勢能mgh1，動能mv12；小球落地時，重力勢能mgh2=0，動能mv22。根據機械能守恒定律，mgh1+mv12=mgh2+mv22，得mgh1+mv12=mv22，所以v22=2gh1+v12=2×9.8×10+102，v2≈17.2 m/s。

引導學生分析總結此題的解題要點、步驟。機械能守恒定律不涉及運動過程中的加速度、時間及速度方向，用它處理問題要比牛頓定律方便。運用機械能守恒定律解題的基本步驟：1）審題，明確研究對象；2）對研究對象進行受力分析，并分析各力做功情況，判斷是否符合機械能守恒條件；3）（符合）選取零勢能面，找出物體初、末兩狀態的動能和勢能；4）根據機械能守恒定律列等式，求解。

8.4 總結（略）

8.5 作業布置

1）課本P131知識研讀；2）課本P132思考與練習“1.2”。

8.6 板書設計

5.5 機械能守恒定律

1、機械能

定義：動能、重力勢能、彈性勢能統稱為機械能

總的機械能：E=EK+EP

2、機械能之間可以相互轉化

3、機械能守恒定律

1）內容：在只有重力做功的情形下，物體的動能和重力勢能發生相互轉化，但機械能的總量保持不變。2）數學表達式：mgh1+mv12=mgh2+mv22或EP1+EK1=EP2+EK2。

4、機械能守恒條件

1）物體只受重力或彈力的作用；2）物體除受重力或彈力的作用外，還受其他力，其他力不做功或所做功的代數和為零。

篇（6）

在所研究的過程中，任選兩個不同的狀態，研究對象的機械能必定相等，即E2=E1。通常我們關心的是一個過程的首、末兩狀態，此式也可理解成首、末兩狀態機械能相等，但應注意的是，首、末兩狀態機械能相等，不能保證研究對象在所研究過程中機械能一定守恒，只有在過程中任選一個狀態，其機械能都保持恒定值時，研究對象的機械能才是守恒的。

例1. 質量為m的物體沿光滑的軌道滑下，軌道的形狀如圖1所示，與斜軌道相接的半圓軌道半徑為R，要使物體沿半圓光滑軌道恰能通過最高點，物體應從離軌道最低處多高的地方由靜止開始滑下？

解析：物體在沿光滑的軌道滑動的整個過程中，只有重力做功，故物體機械能守恒，設物體應從離軌道最低點h高的地方開始由靜止滑下，取軌道的最低點處水平面為零勢能面，物體在運動到半圓形軌道的最高點時速度為v，根據機械能守恒定律得mgh=mv2+2mgR

要使物體恰好能通過半圓軌道的最高點，條件是

mg=m

由以上兩式得h=2R+=R

二、從轉化的角度理解

在所研究的過程中，研究對象（或系統）動能的增加量等于勢能（包括重力勢能和彈性勢能）的減少量；反之，研究對象（或系統）動能的減少量等于勢能的增加量，即Ek=-Ep。

例2. 如圖2所示，跨過定滑輪的輕繩兩端各系一個物體，B物體的質量是A物體質量的一半，在不計摩擦阻力的情況下，A物體自H高度處由靜止開始下落，且B物體始終在平臺上，若以地面為參考平面，當物體A的動能與其重力勢能相等時，物體A離地面的高度是多少？

解析：若選A為研究對象，在下落過程中，除重力做功外，還有繩子對它的拉力做負功，機械能不守恒，若以A、B系統（包括繩）作為研究對象，繩子拉力對A做負功與對B做正功的代數和為零，對系統而言只有重力做功，系統的機械能守恒，如果從能量轉化的觀點理解這一系統的機械能守恒，應是A物體減少的重力勢能mAg(H-h)等于系統增加的動能(mA+mB)v2，即mAg(H-h)=(mA+mB)v2 （1）

當A物體的動能和重力勢能相等時有mAgh =mAv（2）

根據題意有mA=2 mB （3）

由（1）（2）（3）式求得h =H

三、從轉移的角度理解

系統某一部分機械能減少了多少，其它部分的機械能就增加了多少；反之亦然，可用E1=-E2表示，這種表述形式適用于某一系統機械能守恒的表述。也可理解為系統內某一物體動能（或勢能）減少了多少，該物體的勢能（或動能）以及系統內其它物體的機械能就要增加多少。簡單地說，在所研究的系統內，機械能有減就有增，減少的量值應與增加的量值相等。

例3. 如圖3所示，一輕桿可繞O點的水平軸無摩擦地轉動，桿兩端各固定一個小球，球心到O軸的距離分別為r1和r2，球的質量分別為m1和m2，且 m1>m2，r1>r2，將桿由水平位置從靜止開始釋放，不考慮空氣阻力，求小球m1擺到最低點時的速度是多少？

解析：以輕桿兩端的小球m1、m2組成的系統為研究對象，在m1擺下的過程中系統機械能守恒。m1擺到最低點時，其重力勢能減少了m1gr1，動能增加了m1v21，在此過程中，m2球的動能、勢能分別增加了m2v22和m2gr2。根據機械能守恒定律能量轉移的觀點有E1=-E2，m1減少的重力勢能應等于m1增加的動能和m2增加的動能和重力勢能之和，列出表達式為

m1gr1=m1v21+m2v22+m2gr2 （1）

根據m1、m2的角速度ω相同，有v1=r1ω，v2=r2ω，即=

所以m1擺到最下端時的速度為v1=（1）

也可將（1）式寫成如下形式

篇（7）

    “在只有重力或彈力做功的物體系統內,動能和勢能可以相互轉化,而總的機械能保持不變”,這是機械能守恒定律的內容。機械能守恒定律的適用條件是“只有重力或彈力做功的物體系統。”由這個條件可以推理出:在系統內若還有其它力做功,并且做功不為零,那系統的機械能就不守恒。

    例如“一架吊車吊起一質量為m的重物并上升”這一物理過程,從力做功的角度看,在重物上升的過程中除了重力做功以外吊車對重物的拉力也做了功,所以重物的機械能不守恒。從能量轉化的角度來看,在這一過程中除了動能與勢能的相互轉化以外,還存在其它形式能向機械能的轉化,所以物體的機械能不守恒。

    再例如:一輕質彈簧一端固定在豎直的墻上,另一端與一質量為m的物體相連,放在粗糙的水平面上,先壓縮彈簧然后釋放。彈簧與物體組成的系統在整個運動過程中,除了彈簧的彈力做功以外還存在物體與水平面的摩擦力做功,在摩擦力做功的同時系統的一部分機械能轉化為內能,所以系統的機械能不守恒。

    由此可知,在一個物體系統內,除了重力或彈力做功以外其它力做功不為零,則系統的機械能將發生變化。那么機械能的變化與外力(除了重力或彈力以外的力,后面都稱為“外力”)做功存在什么關系呢?下面我們通過推導來尋找。

    一架吊車用力F把質量為m的物體吊起,當物體距地面高度為h1時速度為v1,當距地面高度為h2時速度為v2,求物體從h1到h2過程中拉力F做的功

    解析:物體上升的過程中受到重力和拉力,并且兩個力都做功,由動能定理得:

    W-mg(h2-h1)=12MV22-12MV21

    所以W=12MV22-12MV21+mg(h2-h1),

    或者W=(12MV22+mgh2)-(12MV21+mgh1)

    其中12MV22+mgh2為物體末狀態的機械能,12MV21+mgh1為初狀態的機械能。這個公式說明:在一個物體系統內,外力做功等于系統機械能的變化量。

    通過上面的內容可以得到這樣一個結論:在一個物體系統內除了重力或彈力以外的力做功不為零,則系統機械能不守恒,外力做功等于機械能的變化量。當外力做正功時,機械能增加,增加的機械能等于外力所做的功;當外力做負功時,機械能減少,減少的機械能等于物體克服外力所做的功。有了這個結論,在一些題目中就可以直接運用。

    例1,質量為m的物體,從靜止開始以g/2的加速度豎直下落h的過程中,以下說法正確的是()

    A.物體的機械能守恒。B.物體的機械能減少mgh/2

    C.物體的重力勢能減少mghD.物體克服阻力做功為mgh/2

    解析:由物體下落的加速度可知物體下落時受到重力和一外力(阻力),并且這兩個力都對物體做功不為零,所以物體的機械能不守恒;阻力對物體做負功,由上面的結論可知物體的機械能減少。由牛頓第二定律可得阻力f=mg/2,所以物體克服阻力做功mgh/2,物體機械能減少mgh/2;重力做功mgh,所以重力勢能減少mgh。所以本題目答案是BCD。

    例2,如圖所示,具有一定初速度的物體,沿傾角為30。的粗糙斜面向上運動的過程中,受一個恒定的沿斜面向上的拉力F的作用,這時物塊的加速度大小為4m/s2,方向沿斜面向下,那么在物塊向上運動過程中,正確的說法是()

    A.物塊的機械能一定增加 B.物塊的機械能一定減少

    C.物塊的機械能可能不變 D.物塊的機械能可能增加也可能減少

    解析:本題中的物體受到重力、斜面的支持力、摩擦力和拉力,其中除了支持力不做功外,其它力都對物體做功,摩擦力做負功,拉力做正功。若兩個力的功的代數和為零,則物體的機械能不變,若不為零物體的機械能就發生變化。所以這個題目轉化為比較摩擦力和拉力的大小。對物體由牛頓第二定律可得

    mgsin30。+f-F=ma

    所以 F=mgsin30。+f-ma 由已知條件可得拉力大于摩擦力,所以拉力與摩擦力的合力做正功,物體的機械能增加,答案是A。

    這種題目在力學中經常出現,即便在靜電場中也時有出現,例如:(例3)一質量為m的帶電小球,在豎直方向的勻強電場中以速度v0水平拋出,小球的加速度大小為2g/3,則小球在下落高度h過程中()

    A.動能增加了2mgh/3B.電勢能增加了mgh/3

篇（8）

■ 例1 如圖1所示，長為L的輕質硬棒的底端和中點各固定一個質量為m的小球A、B，為使輕質硬棒能繞轉軸O轉到最高點，求：A小球在圖示位置應具有的最小速度？

■ 解析 雖桿對兩小球分別都做了功（功值難判斷），但因系統除機械能外，沒有其它形式的能產生，所以系統的機械能守恒. 因為小球轉到最高點的最小速度為0，且最低點時，vB=vA/2，設最低點A球最小速度為v，有：

■mv2+■m■2=mgL+mg×2L

得：v=■=■

2. 系統性 勢能是系統的概念，只有系統才具有勢能，而且存在于保守力場中，如：重力勢能（屬于地球和物體系統所有）、彈簧的彈性勢能（屬于彈簧和與之連接的物體所組成的系統所有）、靜電場中的電勢能（屬于電場和電荷系統所有）、分子勢能（屬于相互作用的分子系統），例1中系統的機械能即為兩球的動能與重力勢能的總和. 多物體系統的機械能守恒表達式，常常用ΔE=0，更簡單明了.

■ 例2 如圖2所示，質量為m1的物體A經一輕質彈簧與下方地面上的質量為m2的物體B相連，彈簧的勁度系數為k，A、B都處于靜止狀態. 一條不可伸長的輕繩繞過輕滑輪，一端連物體A，另一端連一輕掛鉤. 開始時各段繩都為伸直狀態，A上方的一段沿豎直方向. 現在掛鉤上掛一質量為m3的物體C，由靜止釋放C，A上升，最后B剛要離開地面，但沒有向上運動. 若將C換成另一個質量為（m1+m3）的物體D，仍從上述初始位置由靜止狀態釋放，則這次B剛離地時D的速度的大小是多少？已知重力加速度為g.

■ 解析 開始時，B靜止，設彈簧的壓縮量為x1，則

kx1=m1g

掛C后，當B剛要離地時，設彈簧伸長量為x2，有

kx2=m2g

此時，A和C速度均為零. 從掛C到此時，根據機械能守恒定律，彈簧彈性勢能的改變量為ΔEp

ΔEp-m3g（x1+x2）+m1g（x1+x2）=0

將C換成D后，有

ΔEp+■（m1+m3+m1）v2-（m1+m3）g（x1+x2）+m1g（x1+x2）=0

聯立以上各式可以解得

v=■

3. 相對性 機械能包含動能和勢能，Ek=■mv2中涉及到參考系的選擇，這里只能選慣性參考系. Ep=mgh中涉及到零勢能位置（參考平面）的選取，（彈性勢能的零勢能位置為彈簧的原長處），因此相對于不同的參考系和零勢能面描述的結果不相同，涉及多個物體組成的系統或發生多個物理過程，要選取統一的慣性參考系和零勢能面.

■ 例3 如圖3所示，將質量均為m、厚度不計的兩物塊A、B用輕質彈簧相連接. 第一次只用手托著B物塊于H高度，A在彈簧彈力的作用下處于靜止，現將彈簧鎖定，此時彈簧的彈性勢能為Ep，現由靜止釋放A、B，B物塊剛要著地前瞬間彈簧瞬間自動解除鎖定（解除鎖定無機械能損失），B物塊著地后速度立即變為0，在隨后的過程中B物塊恰能離開地面但不繼續上升. 第二次用手拿著A、B兩物塊，使得彈簧豎直并處于原長狀態，此時物塊B離地面的距離也為H，然后由靜止同時釋放A、B，B物塊著地后速度同樣立即變為0. 求：

（1） 第二次釋放A、B后，A上升至彈簧恢復原長時的速度v1.

（2） 第二次釋放A、B后，B剛要離地時A的速度v2.

■ 解析 （1） 第二次釋放A、B后，A、B做自由落體運動，B著地后，A和彈簧相互作用至A上升到彈簧恢復原長過程中，彈簧對A做的總功為零.

對A從開始下落至彈簧恢復原長過程，對A由機械能定律有mgH=■mv21

解得v1=■方向向上.

（2） 設彈簧的勁度系數為k，第一次釋放AB前，彈簧向上產生的彈力與A的重力平衡.

設彈簧的形變量（壓縮）為Δx2，有Δx2=■

第一次釋放AB后，B剛要離地時彈簧產生向上的彈力與B的重力平衡

設彈簧的形變量（伸長）為Δx2，有Δx2=■

第二次釋放AB后，在B剛要離地時彈簧產生向上的彈力與B的重力平衡

設彈簧的形變量（伸長）為Δx3，有Δx3=■

由上得：Δx2=Δx2=Δx3

即這三個狀態，彈簧的彈性勢能都為Ep.

在第一次釋放AB后至B著地前過程，對A、B和彈簧組成的系統由機械能守恒有

2mgH=■×2mv2

從B著地后到B剛要離地的過程，對A和彈簧組成的系統，由機械能守恒有

篇（9）

“在只有重力或彈力做功的物體系統內，動能和勢能可以相互轉化，而總的機械能保持不變”，這是機械能守恒定律的內容。機械能守恒定律的適用條件是“只有重力或彈力做功的物體系統?！庇蛇@個條件可以推理出：在系統內若還有其它力做功，并且做功不為零，那系統的機械能就不守恒。

例如“一架吊車吊起一質量為m的重物并上升”這一物理過程，從力做功的角度看，在重物上升的過程中除了重力做功以外吊車對重物的拉力也做了功，所以重物的機械能不守恒。從能量轉化的角度來看，在這一過程中除了動能與勢能的相互轉化以外，還存在其它形式能向機械能的轉化，所以物體的機械能不守恒。

再例如：一輕質彈簧一端固定在豎直的墻上，另一端與一質量為m的物體相連，放在粗糙的水平面上，先壓縮彈簧然后釋放。彈簧與物體組成的系統在整個運動過程中，除了彈簧的彈力做功以外還存在物體與水平面的摩擦力做功，在摩擦力做功的同時系統的一部分機械能轉化為內能，所以系統的機械能不守恒。

由此可知，在一個物體系統內，除了重力或彈力做功以外其它力做功不為零，則系統的機械能將發生變化。那么機械能的變化與外力（除了重力或彈力以外的力，后面都稱為“外力”）做功存在什么關系呢？下面我們通過推導來尋找。

一架吊車用力F把質量為m的物體吊起，當物體距地面高度為h1時速度為v1，當距地面高度為h2時速度為v2，求物體從h1到h2過程中拉力F做的功

解析：物體上升的過程中受到重力和拉力，并且兩個力都做功，由動能定理得：

W-mg（h2-h1）=12MV22-12MV21

所以W=12MV22-12MV21+mg（h2-h1），

或者W=（12MV22+mgh2）-（12MV21+mgh1）

其中12MV22+mgh2為物體末狀態的機械能，12MV21+mgh1為初狀態的機械能。這個公式說明：在一個物體系統內，外力做功等于系統機械能的變化量。

通過上面的內容可以得到這樣一個結論：在一個物體系統內除了重力或彈力以外的力做功不為零，則系統機械能不守恒，外力做功等于機械能的變化量。當外力做正功時，機械能增加，增加的機械能等于外力所做的功；當外力做負功時，機械能減少，減少的機械能等于物體克服外力所做的功。有了這個結論，在一些題目中就可以直接運用。

例1，質量為m的物體，從靜止開始以g/2的加速度豎直下落h的過程中，以下說法正確的是（）

A．物體的機械能守恒。B．物體的機械能減少mgh/2

C．物體的重力勢能減少mghD．物體克服阻力做功為mgh/2

解析：由物體下落的加速度可知物體下落時受到重力和一外力（阻力），并且這兩個力都對物體做功不為零，所以物體的機械能不守恒；阻力對物體做負功，由上面的結論可知物體的機械能減少。由牛頓第二定律可得阻力f=mg/2，所以物體克服阻力做功mgh/2，物體機械能減少mgh/2；重力做功mgh，所以重力勢能減少mgh。所以本題目答案是BCD。

例2，如圖所示，具有一定初速度的物體，沿傾角為30。的粗糙斜面向上運動的過程中，受一個恒定的沿斜面向上的拉力F的作用，這時物塊的加速度大小為4m/s2，方向沿斜面向下，那么在物塊向上運動過程中，正確的說法是（）

A．物塊的機械能一定增加 B．物塊的機械能一定減少

C．物塊的機械能可能不變 D．物塊的機械能可能增加也可能減少

解析：本題中的物體受到重力、斜面的支持力、摩擦力和拉力，其中除了支持力不做功外，其它力都對物體做功，摩擦力做負功，拉力做正功。若兩個力的功的代數和為零，則物體的機械能不變，若不為零物體的機械能就發生變化。所以這個題目轉化為比較摩擦力和拉力的大小。對物體由牛頓第二定律可得

mgsin30。+f-F=ma

所以 F=mgsin30。+f-ma

由已知條件可得拉力大于摩擦力，所以拉力與摩擦力的合力做正功，物體的機械能增加，答案是A。

這種題目在力學中經常出現，即便在靜電場中也時有出現，例如：（例3）一質量為m的帶電小球，在豎直方向的勻強電場中以速度v0水平拋出，小球的加速度大小為2g/3，則小球在下落高度h過程中（）

A.動能增加了2mgh/3B.電勢能增加了mgh/3

篇（10）

動能定理是無附加條件的,因此動能定理應用范圍更廣泛一些。

例1：一個物體從光滑的斜面頂端由靜止開始下滑，斜面高1m，長2m，不計空氣阻力，物體滑到斜面底端的速度是多大？（如圖1）

12mv2-0=mgh …………………………………………………①

mgh=12mv2……………………………………………………②

點評：此題既可以用動能定理解答，也可以用機械能守恒解答，因為此題滿足機械能守恒的條件。不過在用機械能守恒解答時，首先要判斷是否滿足機械能守恒的條件，若滿足才能用機械能守恒解答。在用機械能守恒解答時，還要注意參考平面的選取。這兩點是學生容易忽視的，因此我在授課的過程中反復強調，讓學生自己有切身體會，在解題時才能更好的把握這兩個定理的區別。

例2：質量為m的跳水運動員從高為H的跳臺上以速率 v1 起跳，落水時的速率為 v2 ，運動中遇有空氣阻力，那么運動員起跳后在空中運動克服空氣阻力所做的功是多少？

解：對象——運動員。

過程——從起跳到落水。

受力分析——如圖2示。

由動能定理 。

W=12mv22-12mv12

mgH+Wf=12mv22-12mv12

-Wf=mgH-12mv22+12mv12

點評：此題不滿足機械能守恒的條件，因此只能用動能定理解答。在用動能定理解答時，受力分析，確定哪些力做功對于學生來說是難點，因此在授課的過程中，不能急于求成，要由易到難

機械能守恒有三種表達式：

EK1+EP1=EK2+EP2

12mv12+mgh1=12mv22+mgh2

EK=-EP

動能定理有一種表達式：

W=12mv22-12mv12

公式中W為合外力對物體做的功，它等于各力做功的代數和。

由表達式不同可以看出, 動能定理 只注重動能 的變化及其改 變動能的方式( 做功)情況 , 機械能守恒定律注重的是初，末狀態能量形式, 與過程無關. 注意, 動能定理和機械能守恒定律 表達規律的方程都是標量方程。

搞清楚這兩個規律的表達式和內容是分清楚這兩個規律的首要條件，學生不僅要記住這兩個規律的表達式，更重要的是理解和應用。尤其是機械能守恒定律各個字母表示的是什么物理含義，在不同的物理情境中個物理量所表示的物理意義又是什么，學生在做題練習要不是時機的加以強化理解。

3. 研究對象選取上要求不同

例3：如圖所示，光滑的水平桌面離地面高度為2L，在桌邊緣，一根長為L的軟繩，一半擱在水平桌面，一半自然垂直于桌面下，放手后，繩子開始下落。試問，當繩子下端剛觸地時，繩子的速度是多少？

解析：鏈條下滑時，每一節要受到相鄰兩節的拉力，且合力不為零，即除去重力以外還有其他力做功，故每一節機械能都不守恒，但因桌面光滑，沒有摩擦力做功，整根鏈條總機械能守恒，故可用機械能守恒求解。設整根鏈條質量為m，則單位長度質量為m/L，設地面重力勢能為零。由機械能守恒定律得：

12mv2=12mg3L2+12mg(3L2-L4)

解得， v=11gL2

點評：此種類型的題，用機械能守恒定律解起來比較方便，容易理解，若用動能定理解就顯的不那么容易了，物體的運動是一個動態過程，物體兩部分重力做功也不同，分析起來較麻煩，因此本題更適合用機械能守恒定律解。

例4：質量均為m的物體A和B分別系在一根不計質量的細繩兩端，繩子跨過固定在傾角為30o的斜面頂端的定滑輪上，斜面固定在水平地面上，開始時把物體B拉到斜面低端，這時物體A離地面的高度為0.8m，如圖所示，若摩擦力均不計，從靜止開始放手讓他們運動。

求：(1)物體A著地時的速度；

（2）物體A著地后物體B沿斜面上滑的最大距離。

解析：對于A，B組成的系統，當A下落時，系統機械能守恒，但對于A,B個體機械能不守恒，因此此題只能就A，B組成的系統應用機械能守恒定律，選B所在的初始位置為零勢能參考平面，則

（1）mgh= 12(m+m)v2+mgh2 解得 v=2ms

（2）0-12mv2=-mgh0 解得 h0=0.2m

l=2h0=0.4m

上滑的最大距離為0.4m

點評：此題既可以用動能定理解答，也可以用機械能守恒解答。但用動能定理解答起來更復雜一些，學生理解起來麻煩一些，而用機械能守恒解答，更直觀更簡介。若用動能定理解答要分析A，B 各自的受力情況，還要對A,B各自用動能定理列式，學生沒有耐心，容易搞混淆，因此本題采用機械能守恒解答更為合適。

4. 解題步驟不同

（1）利用機械能守恒解題的一般步驟：

①明確研究對象；

②對物體進行受力分析，研究運動過程中各力是否做功，判斷物體的機械能是否守恒；

③選取參考平面，確定物體（系統）在初，末狀態的機械能；

④根據機械能守恒定律列方程求解（選取不同的參考平面，方程的形式不同，但不影響解題結果，故參考平面的選取應以解題方便為原則）

（2）利用動能定理解題的一般步驟：

①確定研究對象和研究過程，

②分析受力情況和做功情況，