時間：2022-03-19 14:18:37
序論：好文章的創作是一個不斷探索和完善的過程，我們為您推薦十篇解方程應用題范例，希望它們能助您一臂之力，提升您的閱讀品質，帶來更深刻的閱讀感受。
2設未知數 選擇一個適當的未知數用字母表示，并根據題目中的數量關系用含未知數的代數式表示有關的未知量
3列方程 根據相等關系列分式方程
4解方程 其過程可以省略
5檢驗 首先檢查所列方程是否正確，然后檢查所列方程的解是否符合題意
6寫答 千萬不要忘記單位
以上六個步驟，審題是基礎，難點是找出能夠表示應用題全部含義的一個相等關系，關鍵是設未知數和用未知數的代數式表示有關的未知量
現舉例介紹，供同學們參考
例1 2008年5月12日，四川省汶川發生80級大地震，某中學師生自愿捐款，已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人數比第一天捐款人數多50人，且兩天人均捐款數相等，那么兩天共參加捐款的人數是多少?人均捐款多少元?
分析:解答本題要注意利用如下相等關系：
第一天人均捐款數=第二天人均捐款數
解:設第一天捐款的人數為x人，則第二天捐款的人數為(x+50)人，依題意，得
=
解方程得, x=200
經檢驗, x=200是所列方程的解，且符合題意
所以兩天捐款人數為x+(x+50)=450，人均捐款為 =24
答:兩天共參加捐款的有450人,人均捐款24元
例2 甲、乙兩同學玩“托球賽跑”游戲，商定:用球拍托著乒乓球從起跑線l起跑，繞過P點跑回到起跑線(如圖所示)；途中乒乓球掉下時須撿起并回到掉球處繼續賽跑，用時少者勝結果:甲同學由于心急，掉了球，浪費了6秒鐘，乙同學則順利跑完 事后，甲同學說:“我倆所用的全部時間的和為50秒”，乙同學說:“撿球過程不算在內時，甲的速度是我的12倍” 根據圖文信息，請問哪位同學獲勝?
分析：要判斷哪位同學獲勝，應把甲、乙兩位同學跑完全程的時間分別求出來 不難發現，表示本題全部含義的一個相等關系為：
甲跑完全程的時間+乙跑完全程的時間=甲、乙兩同學所用的全部時間的和
解:設乙的速度為每秒x米，則甲的速度為每秒12x米 依題意，得 +6+ =50
解之, x=25
經檢驗, x=25是所列方程的解，且符合題意
所以甲跑完全程的時間為 +6=26(秒),乙跑完全程的時間為 =24(秒)
答:乙同學獲勝
例3 某文化用品商店用2000元購進一批學生書包，面市后發現供不應求，商店又購進第二批同樣的書包，所購數量是第一批購進數量的3倍，但單價貴了4元，結果第二批用了6300元
(1)求第一批購進書包的單價是多少元?
(2)若商店銷售這兩批書包時，每個售價都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元?
分析：解答本題要注意利用如下相等關系：
第二批所購書包數量=第一批所購書包數量的3倍
解:(1)設第一批購進書包的單價是x元，則第二批購進書包的單價是(x+4)元 依題意，得
= ×3
解方程得, x=80
經檢驗, x=80是所列方程的解, 且符合題意
答:第一批購進書包的單價是80元
(2)不難計算出,第一批所購書包數量為 = =25(個),第二批所購書包數量為25×3=75(個)
所以兩批書包的全部售價為(25+75)×120元，即12000元
常言道：攻心為上，攻城為下。任何事情，要想取得成功，獲得勝利，首先應該在心理上要戰勝自己。面對列方程解應用題，相當一部分學生存在著畏懼心理，總認為此類題目難解、費時，即使勉強做出來，也難以確定該答案到底正確與否。很多學生都愿意將時間花在計算題上，不知道他們是否想過，放棄了列方程解應用題，即使其他題目弄個全對，能算優秀生嗎？答案當然是肯定的。這類考生在列方程解應用題的這方一面的能力，永遠是一片空白。況且，有些應用題本來就非常簡單，由于畏懼心理的影響，再簡單的題目，也人為的變得復雜起來。面對應用題，我們一定要克服畏懼的心理，勇于挑戰，反復讀題、審題，弄清題意，找出其中的等量關系，將文字語言轉化為符號語言，順藤摸瓜，認真思考，仔細分析，再復雜的問題也會迎刃而解。
2 分清方程的類型及特點
將軍在排兵布將時，心中早就已經對地形、兵種、武器、天氣等等一切情況有著周密的了解，同樣的道理，我們在解方程之前，胸中也應該有一盤完整的棋局，即掌握方程的各種類型及其特點。我們要能夠判斷某個應用題大致涉及到的是一元方程還是多元方程，是一次方程還是高次方程。這樣，我們才能思路正確的進行解題。
3 掌握列方程解應用題的一般步驟
列方程解應用題的一般步驟大致歸納為“審”、“設”、“列”、“解”、“檢驗”、“答”六個步驟，但是，每一步對解題都至關重要、缺一不可。因此，我們應該認真對待其中的每一步，絕對不能疏忽。
（1）“審”題，是指讀懂題目，弄清題意，看看單位是否統一。看看題目告訴了我們哪些已知條件，要求我們解決什么問題。審題是列方程的基礎，審題體現出作題者的文字功底和對數學語言的掌握程度，因此，我們應該在學習數學的同時，加強對閱讀能力的培養和數學語言的理解、積累。
（2）“設”是指設未知數。在一道應用題中，往往含有一個或者一個以上的未知量，我們應該將這些未知量，在理解題意的前提下，用表示數的字母將其表示出來。當題目中只含有一個未知量的時候，我們通常用字母X表示，當題目中含有第二個未知量的時候，我們要么采取用含有一個字母的代數式去表示另一個數的方法去處理，要么用另外一個字母（如Y）表示。假設題目中還存在第三個未知量，我們就用與前面不相同的字母（如Z）表示，依此類推。然后根據各量之間的數量關系，將其它幾個未知量用字母或含字母的代數式表示出來。
（3）“列”就是列方程。這是非常重要的關鍵步驟，一般先找出題目中的等量關系。如何去找題目中的等量關系呢？這又涉及到題目的閱讀與理解問題，我們要回過頭來，仔細研究題目中的各個數量之間的大、小、多、少、和、差、倍、分、增加、減少等等的關系，也就是說，誰比誰大多少，誰比誰的幾倍或幾分之幾，誰增加了多少，誰又減少了多少等等此類問題。然后，字母或代數式表示相等關系中的各個量，就得到含有未知數的等式，即方程，注意，單位要統一，要不然會前功盡棄。
（4）“解”就是解方程，即求方程的解的過程。在這里，一定要分清楚“解方程”與“方程的解”是兩個意義完全不同的兩個概念，解方程是指求未知數的值的過程，也就是指解題過程，而方程的解指使方程左右兩邊相等的未知數的值，是指數值，而且要求這些數值要能夠使方程的左右兩邊相等。求出未知數的值，這一步要倍加小心、認真。要考慮到如何去掉方程中的分母，如何去掉方程中的括號，如何變號移項、合并同類型等等因素，如果是二元一次方程，我們還要考慮是采用求根公式法還是因式分解法等。
首先是“解”。這一步很簡單，就是寫個“解”字。目的是讓學生知道解題開始了，便于培養學生用方程解決應用題的思維意識。
其次是“設”。這一步可分為兩種情況。一種情況是問題只有一個。題目問什么，就設什么為x（加上單位）。另一種情況是問題有兩個。特別是出現“分別”、“各”等字樣時，就可以設較小的一個為x（加上單位），然后把另一個用含有x的算式表示。
再次是“列”。這一步就是根據題目中的關鍵詞和等量關系列方程。這是用方程解決應用題的關鍵一步。列方程的主要方法有以下三種。
第一種是找關鍵詞列方程。涉及的具體情形主要有四種。
1.加法：一般出現“一共”、“和”、“總共”、“共”等字眼時，結合實際題意可以用加法。
2.減法：一般出現以下字眼用減法。如“?！?、“還剩”、“剩下”、“差”等。
3.乘法：題意中出現“倍”、“積”、“乘積”、“已知單量求總量”等都用乘法。
4.除法：當題目中出現“商”、“除”、“除以”、“已知總量求單量”、“求幾分之幾”時一般用除法。
第二種是找等量關系列方程。常用到的等量關系有：
路程=速度×時間 現價=原價×折數
總價=單價×數量 工效=工作總量÷工作時間
利息=本金×利率×時間
還有各種圖形的周長、面積、體積公式等。
第三種是畫線段圖列方程，見例1、例2。
接著是“求”。這一步就是要讓學生求出方程中未知數的值。小學所學的方程主要有三種形式：Ax=B Ax+B=C Ax+Bx=C。其中“A、B、C”代表學過的各種數，“+、-、×、÷”代表運算符號。可以按照如下過程解方程求未知數。
最后是“答”。就是把所設出的未知數“x”替換成解方程得到的具體數值，目的是讓學生知道此題已解答完畢。
上述五步是小學用方程解決應用題的主要步驟。應用題的最終解答，總要經歷將抽象的題意轉換成運算符號和數字的活動過程。如果教師在學生解答方程應用題后，再讓學生反其道而思之，對此題進行改編，就發展其數學思維和提高其興趣。下面通過具體例子加以說明。
例1.某校五一班學生喜歡看故事書的占60%，看科技書的占30%，喜歡看故事書的比科技書的多30人，五一班一共有多少人？
分析：題目中有三個量：已知條件“五一班學生喜歡看故事書的占60%，看科技書的占30%”。關鍵句：“喜歡看故事書的比科技書的多30人”。問題：“五一班一共有多少人？”
答：五一班一共有100人。
例2.小敏家九月份用水12噸，比八月份節約了25%，八月份用水多少噸？
分析：題目中有三個量：已知條件“九月份用水12噸”。關鍵句：“比八月份節約了25%”。問題：“八月份用水多少噸？”。
列方程解應用題因綜合性強、涉及面廣等特點，成為廣大初中生難以攻克的“堡壘”、難以跨越的障礙，成為教師教學中的一個難點。
列方程解應用題，從表面分析，無疑涵蓋兩個內容：列方程和解應用題。這二者是手段和目的的關系，列方程是解應用題的方法，列方程的目的是解應用題，而解應用題通過列方程實現，列方程的核心是找等量關系。因此，筆者在列方程解應用題的步驟和方法及應注意的問題等方面談談幾點實踐性體會。
一、樹立信心和耐心
列方程解應用題貫穿初中整個教學過程，七年級學習，八年級滲透，九年級仍然是重點。根據多年的教學實踐觀察，多數學生對列方程解應用題感到力不從心，往往束手無策，遇到這類題大都望題生嘆。久而久之，對列方程解應用題失去信心，對數學學習失去信心和動力，拿到問題，思考不出解題思路就放棄的數不勝數，認為這類題難，不論怎么想都不可能解決，信心全無，耐心沒有，決心消失殆盡，學習興趣不再濃厚。
興趣是最好的老師，教學列方程解應用題時，可以通過設計生活化問題，以學生身邊實例進行教學，讓學生感到列方程解應用題與自己息息相關，與生活密不可分。
二、抓住“四個步驟”
1.審題
所謂審題，就是認真讀題目，理解題意，分析已知和未知，分清題設與結論。如甲乙兩站之間的距離是660km，一列客車以90km/h的速度從甲站開往乙站，同時一列貨車以75km/h的速度從乙站開往甲站，問經過多長時間相遇？
對于這個問題，要指導學生：拿到問題，首先找出已知條件：甲乙兩站的距離，兩列車的速度及車的運動方向――相對運動，以及一個隱含條件――兩列車走完全程660km，未知條件，也就是開車多長時間兩車相遇，即要求的是時間。
2.分析
分析的過程就是根據已知條件和未知條件，判斷二者本質聯系的過程。如上文的兩列車相遇問題，務必清楚，兩車相遇，簡言之就是兩車行駛的距離之和等于甲乙兩站之間的距離。經過這樣的分析，為找等量關系和解決問題奠定基礎。
3.解答
解答過程又分為四步走：
（1）確定等量關系。仍然以兩列車相遇為例：分析數量關系時，已經得到“兩車行駛的距離之和等于甲乙兩站之間的距離”的結論，而這個等量關系用數學語言――數學公式可以表示為：客車行駛的路程+貨車行駛的路程=總路程。
（2）設未知數。設未知數，就是題目中要求的未知量，用未知數x等表示出來。這個題目中要求的是“經過多長時間兩車相遇”，那么就可以直接將這個未知量設定為x，未知數的設定為實際問題轉化為代數語言、為列方程埋下伏筆。
（3）列方程。以兩車相遇問題為例，找到等量關系后，根據已知條件，總路程是660km，經過x小時后相遇，那么兩輛車行駛的距離分別是90x和75x，那么，方程90x+75x=660便浮出水面。
（4）解方程。對于列方程解應用題的問題解決過程中，常見到學生習慣用“解之得”而忽略解方程的全過程，將x=？直接寫出來，這樣容易功虧一簣，容易解錯，如果不能及時代入檢驗的話，出錯率就會提高。
校對，簡單說就是“檢驗”，既要驗證x的值是否是方程的解，又要代入實際問題中，看是否合乎問題要求。如通過解方程，不難得出x=4（h），那么經過四小時相遇，貨車走的路程是75x=75×4=300km，而客車行駛的是90x=90×4=360km，而兩車行駛的距離之和300+360正好等于甲乙兩站間的全程660km。這樣，才足以說明所求的結果是正確的。
教師應該強調：列方程解應用題時的四個步驟，哪一步都不能放松和馬虎，否則，容易出錯。
三、找準等量關系
找等量關系，是列方程解應用題的關鍵環節，教師應引導學生掌握尋找等量關系的方法，從方法上找突破口。一般來說，找等量關系無外乎譯式、列表、圖例、圖示等分析法。
找等量關系時，應注意以下幾個問題：
1.未知數的設法可以多樣化，可以根據自己的實際情況或者問題的需要采用不同的方法，從不同角度分析和設這個未知數。一般直接解法是問什么設什么為x。而這個問題也可以換個方法求解，即設相遇時，客車走了xkm，那么貨車行駛了660-x，那么不難得出x/75=660-x/90，求出x，要求的時間是x÷75，這樣問題就迎刃而解。
2.注意單位換算，一些問題中如果給出的單位不相同，那么，換算成統一的單位，才能找等量、列方程。如上面的實際問題，給出的兩輛車的車速，單位是一致的，都是km/h，如果其中一輛是m/s的話，務必需要換算為統一的單位。
3.方程兩邊的代數式表達的必須是同一個屬性的量。以行程類問題而言，等式左邊是路程，右邊不能是速度或者時間，反之亦然。關系屬性量不一致，方程就沒有任何意義。
列方程解應用題是初中數學重點內容之一。教學中，應認識到它的重要價值所在，并認真研究教法，“授之以漁”。這個部分才不會成為學生的弱點，教學才會大為改觀，教學質量才會穩步提高。
“分散難點，各個擊破”是列方程解應用題應該遵循的教學原則，所以，在學習代數式與整式加減時，就可著手訓練學生把文字式的數量關系翻譯成代數式的能力，使學生學會并習慣于用字母表示數，以培養學生的抽象思維能力.
其次，要訓練學生善于把文字敘述的題目數學符號化，逐步實現學生從算術解題思路向代數解題思路的轉化.在有些版本的教材里，在學生學習正負數有理運算的前后，結合小學里學過的一些簡單算術題采取列方程的教學形式，再利用“等量加（減）等量和（差）相等”的原理來求解，然后，和它的算術解法相對照，使學生探究發現用算術方法解題就是把解題思路和解題方法聯系起來考慮.這樣思路既不容易清晰明白，步驟也不明確；反之，如果采用代數解法，步驟明確，方法新穎，而且有規律可循，就化難為易了.如此，既可以培養學生學習代數知識的興趣，又為學生進一步學習列方程解應用題做好了鋪墊.
再次，在列方程解應用題的入門教學時，多數題目是按照“三度量”關系來列等式的，如，距離=速度×時間，總價=單價×件數，工作量=工效×工時等等.這些公式在準備工作中也應該放在重要的地位上，而且這些知識都可以在學習代數式的相應章節里聯系小學的舊知識加以拓展，使它在列方程解應用題的教學中起到正遷移的作用.
最后，學生在學習解方程的過程中，可嚴格訓練，使學生能夠準確無誤地進行迅速合理的運算，且能正確驗根.把列方程和解方程的兩個步驟區分開來，這就把列方程解應用題的難點分散開來處理了，為日后列方程解應用題創造了良好的條件.
總之，列方程解應用題必須使學生闖過翻譯關、思路關、列方程和解方程這四個關口，才能順利利用方程解應用題.
二、列方程要重視不變量的研究
方程的形式一般為：f（x）=ξ（x）.其中x并不是變量，而是未求出的未知量，它是個確定量.這樣就可以看出用等號連接起來的兩個量f（x）和ξ（x）僅是形式不同而實質一樣的確定量.不妨把這種量稱為不變量.即一旦設定某未知量為x時，那么根據應用題中的內容，必然可以找到含有x的兩個形式不同、實質一樣、有相等關系的確定量f（x）與ξ（x）.
1.當確定量ξ（x）=c（常量）時，題目中一定存在一個明顯的確定量c，它等于含有未知量x的確定量f（x），即f（x）=c，不妨把量c叫作顯在不變量，我們可以它作為標準來列方程.
例1已知某戰車在公路和小路上的速度分別為40千米/時，30千米/時.現這個戰車在516小時內行30千米.問它在公路上和小路上行了多少千米？
解法1根據題意，戰車在公路和小路上的速度是確定的，它所行的總路程和總時間也是已知的.若設戰車在公路上行駛x千米，則在小路上行駛（30-x）千米.根據行程的“三度量”關系求出戰車在公路和小路上分別用的時間.至此，就可用題目中已知的總時間516小時作為顯在不變量，并以它為標準列得方程：x140+30-x130=516，x=20.
解法2如設戰車在公路上行駛x小時，利用間接法同樣可以求出戰車在公路和小路行駛的里程數.為此，就可用題目中已知的總路程30千米作為顯在不變量，并以之為標準列得方程：40x+30516-x=30，x=112.
比較兩種解法，不難發現所設未知量的內容不同，顯在不變量就不同，導致列方程的標準就有了改變，列方程和解方程也就因此有了繁簡和難易之分.所以，我們在列方程解應用題時，首先，要考慮題目中是否有顯在不變量，若有多個，就可以一個恰當的顯在不變量作為列方程的標準，以簡化解題過程.
2.當確立量ξ（x）不是表現為一個常量，而是一個含有未知量x的量，不妨把這個確定量稱為潛在不變量.即在所給題目中雖然沒有直接表現出某個常量作為顯在不變量，但從已知量和未知量潛在的變化關系中可以確定出某個量是不變的，并可以用這個量作為標準列方程.
例2某學生騎自行車以12千米/時的速度下山，而后以9千米/時的速度過平路到達目的地，共耗時11112小時；他返回時，以8千米/時過平路，再以4千米/時上山回到家中，共耗時1.5小時.問學生家距目的地多遠？
解法1解此題目，只要分別求出山路和平路長后，全長就水到渠成.但根據題意，不管該學生騎車往返速度怎樣變化，題中雖然也未給出山路或平路的路程，但平路長和山路長總是個確定量，我們就可以用確定量山路長或平路長作為標準來列方程.
如果設山路長為x千米，因學生騎車往返所需的總時間是已知的，且騎車的速度變化也是已知的，這時路長就是個潛在不變量，通過學生往返的過程就可用平路長作為標準列出方程：911112-x112=81.5-x14，x=3.
解法2如設平路長為x千米，就可用山路長作為標準列方程：1211112-x19=4312-x18，x=6.
通過這個例子可以看出，方程的兩邊必須是同類的量；同時從上述兩例也可得知，應用題按列方程的標準可分為顯在不變量型和潛在不變量型兩類.因此，在分析題意時，著重從各種數量變化關系里找出標準不變量列方程是解應用題的關鍵.
行文至此，我們完全可以明白，列方程的標準就是在審題過程中尋找到的某個確定的不變量，并以之作為列方程的依據.
三、列方程要認真分析語句
我們在研究應用題的過程中，不難發現題目陳述信息中包含了關于已知條件、結論、數量之間變化關系的三類語句，后者則是列方程的著眼點.因此，教師或學生在掌握了題目中的條件和結論的前提下，一定要從整體出發，認真思索，深入挖掘，著重分析有變化關系的語句，再從變化的形式里找出不變的因素，確定出列方程的標準依據，才能順利地解決問題.這也就是通常所說的抓主要矛盾的方法.
例3某個任務，由甲獨做，3天才能完成；由已做，6天才能完成.那么甲乙二人合做幾天可以完成？
解此題比較簡單，除了后面那個語句是關系語句和結論外，其他語句都是條件.但由于其中沒有說明任務的工作量是多少.傳統的教學法就把它看作單位1，這就比較抽象，使初學的人難于理解.實際上，它指的既可以是一件東西，也可以是一堆東西，多少雖然是不定的，但它有確定的內容，這是一方面.其次，此題也暗示著這任務雖然也是一個條件，但是它在解題的最后過程中卻游離于題目之外，因此，它是一個參變量.為了把抽象事物具體化，便于理解，可以把它作為參數a考慮，使問題明朗化，并且具有直觀性.因此，筆者認為參數的引入，是理解題意的橋梁、思考問題的手段，應該引起人們重視.
設這個任務的工作量為a，且兩人合作x天可以完成.根據“三度量”關系：工作量=效率×時間，得a13x+a16x=a，x=2.
例4某儀器制造廠按計劃每天生產20臺儀器，到預定期內尚差100臺不能完成任務.若提高工效25%，到期就將超額50成任務.問原計劃生產儀器多少臺？預定期限是多少天？
著名的荷蘭數學教育家弗萊登塔爾說過： “與其說學習數學，倒不如說學習‘數學化’.”方程就是將眾多實際問題‘數學化’的一個重要模型。因此，會善用、活用一元一次方程這個數學模型，對提高學生的思維水平和應用數學的意識有很大幫助。筆者通過多年的教學實踐，結合北師大版七年級上冊第五章《一元一次方程》的內容，認為初中一元一次方程應用題的解題策略可以從以下幾方面入手：
一、列方程解應用題的主要步驟：
1、審：理解題意，弄清問題中已知量是什么，未知量是什么，問題給出和涉及的相等關系是什么。
2、設：①直接未知數②間接未知數（往往二者兼用）。
3、列：根據等量關系列出方程。解應用題的關鍵是找等量關系。
4、解：根據解方程的基本步驟，求出未知數的值。
5、驗：檢查求得的未知數的值是否是這個方程的解，是否符合實際情形。
6、答：對題目中有關問題進行回答。
二、一元一次方程應用題的常用解題方法：
1.圖示法：
對于一些較直觀的問題，可以用示意圖表示出題目中的條件及它們之間的關系。然后由示意圖中有關基本量的內在聯系找到相等關系，列出方程。比如用線段表示距離，箭頭表示方向，此法多用于行程問題等。
2.列表法：
對于數量關系較復雜的應用題，有時可先畫出表格，在表格中表示出各個有關的量，使題目中的條件和結論變得直觀明顯，從而找到它們之間的相等關系。此法多用于比例分配問題，等積變形問題，工程問題以及其它條件較多，關系較復雜的題目。
3.公式法：
學生熟識的公式諸如 “利潤=售價-成本”、 “本息和=本金+利息” 、“路程=速度×時間”、“工作總量=工作效率×工作時間”等，直接套用這些公式就可以找出題目中的等量關系，列出方程。
三、一元一次方程應用題的常見類型：
1. 和、差、倍、分問題：（日歷中的方程）
例1. 在一份日歷中，任意框出一個豎列上相鄰的四個數，觀察他們之間是什么關系？如果框出的四個數的和為58，這四天分別是幾號？
[分析] 觀察、分析日歷中相鄰的兩個數之間有什么關系？發現日歷中相鄰的數據橫差1；豎差7
解：設豎列的四個數中最小的一個是 ，其余三數分別為 +7， +14， +21
由題意，得 + +7+ +14+ +21=58
解得： =4
答：這四個數是4號，11號，18號，25號。
總結：此題可采用“圖示法”，可以借助“日歷表”找到它們之間的相等關系
2. 銷售問題：（打折銷售）
例2. 一家商店將某種服裝按進價提高40%后標價，又以8折優惠賣出，結果每件仍獲利15元，這種服裝每件的進價是多少？
[分析]找出題目中隱含的條件：折扣后價格—進價=利潤
解：設進價為 元
由題意，得80% （1+40%）— =15
解得： =125
答：進價是125元。
總結：此題可采用“公式法”，關鍵在于掌握銷售問題的公式：售價-成本=利潤
3. 比例分配問題：（“希望工程”義演）
例3. 我區某學校原計劃向內蒙古察右后旗地區的學生捐贈 3500冊圖書，實際共捐贈了4125冊，其中初中學生捐贈了原計劃的120%，高中學生捐贈了原計劃的115%. 問：初中學生和高中學生原計劃捐贈圖書多少冊？
[分析]題目中存在兩個相等關系：初中學生原計劃捐贈冊數 + 高中學生原計劃捐贈冊數=3500冊 ；初中學生實捐贈冊數 + 高中學生實捐贈冊數=4125冊
解：設初中學生原計劃捐書 冊，則高中學生原計劃捐書（3500- ）冊，由題意，得120% +115% （3500- ）=4125
解得： =2000 3500-2000=1500（元）
答：初中學生原計劃捐贈2000冊圖書，高中學生原計劃捐贈1500冊圖書。
總結：此題可采用“列表法”，使題目中的條件和結論變得直觀明顯，更容易找到它們之間的等量關系。
關于一元一次方程的應用題，在教學中要突出關于問題解決的策略、方法的引導。要引導學生會具體情況具體分析，靈活運用所學知識，逐步用方程模型解決實際問題。
總結多年教學的經驗，我認為對列方程解應用題這部分，分以下三步進行教學，效果較為理想。
第一步： 也是最重要的一步，做好從算術法到方程理念的改變
從算術法解應用題過渡到方程解是思考方法上的一次轉折和飛躍。學生在列出含有未知數的等式過程中，要把未知數和已知數一樣看待。這樣尋找題中的等量關系就成了列方程解應用題的關鍵。在多個相關的基本數量關系中必有一個是主要的，那么尋找題中的主要數量關系也就是列方程解應用題的關鍵。
第二步：適當的練習。
結合練習更好的理解和掌握列方程解應用題的方法和步驟。但從多年的教學經驗來看，有相當的一部分同學不能達到教學的要求。所以我針對這一現象做了第三步的嘗試。
第三步：在做好以上教學和練習的基礎之上，注重對題目類型做出歸納和總結。
類型一：根據四則運算的意義列方程（如例1，兩個量的大小比較等）
在例1的教學中，若用算術方法解，需要逆思考，思維難度較大，學生容易出現先除后減的錯誤。通常不作教學要求。這里用方程解，思路比較順，體現了列方程解實際問題的優越性
這道題的數量關系，學生容易想到多種代數形式
黑色皮的塊數×2－白色皮的塊數＝4
黑色皮的塊數×2－4＝白色皮的塊數
黑色皮的塊數×2＝白色皮的塊數＋4
比較而言， ax±b=c形式更容易理解，有利于達成既學列方程，又學解方程的教學目標。因此，教材的解答,選用了把黑色、白色皮的塊數關系看成一個數的幾倍與另一數比大小的關系。也就是求比一個數的幾倍多（或少）幾是多少得問題。
類型二：逆向思考的還原應用題（如上車下車問題，收入支出問題，進貨銷售問題，）
如：原來有一些水果糖，賣出34千克以后，還剩41千克。又運來25千克，原來有多少千克水果糖？
原有的重量＋運來的重量－賣出的重量＝剩下的重量
x ＋ 25 － 34 ＝ 41
這類問題的過程越復雜，則用算術法解決的難度就越大，而相反也就越能顯示出列方程解應用題的優越性。
類型三：兩個量相比較的倍和或倍差問題（如例2，相遇問題，追及問題等）
例2創設了購買兩種水果的現實問題情境。如果撇開各數量的具體內容，就它的數學意義來講，可抽象為兩積之和的數量關系。這種數量關系在生活中經常能遇到。而且，理解了兩積之和的數量關系，也就容易理解兩積之差、兩商之差的數量關系。在例2中組成兩積的四個因數，有兩個是相同的，這就可以根據分配律，得到含小括號的方程。這些都使例2具有舉一反三的典型意義。
教材給出了兩種方程，其一為兩積之和等于已知的總數，讓學生自己解答。其二為含小括號的方程，介紹了把小括號內的式子看作一個整體求解的思路和方法，并留有空白讓學生自己解完。
類型四：根據公式法列方程（已知三角形面積，梯形面積，圓錐體體積等，求底或高）
如:面積為15平方厘米的三角形紙片的底邊長6厘米,這條底邊上的高是多少厘米?
這一題目學生再用算術法解答時，在”除以2”的處理上出錯或方法欠妥；而用方程解答這一類的應用題就顯得異常自然且易于接受，優勢非常明顯。
三角形的底X三角形的高÷2 ＝ 三角形的面積
6 × h ÷2 ＝ 15
【中圖分類號】G633.6
經過多年的數學教學讓我對解應用題有了一定的了解。我認為掌握各種應用題類型的數學模型（公式）是關鍵。只要我們多動腦勁，勤于歸納出各種類型應用題的數學模型，并進行運用，就可以提高解應用題的能力。并且讓學生做到心中有數，以后就不會再那么怕見到應用題了。把實際問題轉化為數學問題,即為數學模型。數學模型不同于一般的模型,它是用數學語言模擬現實的一種模型,即把一個實際問題中某些事情的主要特征、主要關系抽象成數學語言、符號,近似地反映事物的內在聯系與變化過程。解決此類問題的關鍵步驟主要有兩個:一是建立數學模型(建模);二是運用有關知識求解數學模型(解?；蚪夥匠?。建模就是構建適當的數學關系(如公式、函數、方程或圖形),使原來的問題情境轉化為易于解決的問題的解題方法,解模就是從題設條件和求解結論中得出啟示,構造出一些新的數學形式,通過對這些數學形式的研究可以得出解題思路,從而達到解題的目的。
下面我以新人教版九年級（上）數學 第二十二章 一元二次方程 這一章中的應用題類型為例來說明歸納數學模型（公式）的重要性。這一章也是初中介段應用題的重點，特別是生活中的實際問題是我們學習解應用題的最終目的。其中：
一、傳播問題中的數量關系模型
設共有m人患病，每輪平均一個人傳播b個人，則一輪后，傳染了mb人，這樣共有m+mb人患病；第二輪后，又傳染了(m+mb)b人，共有(m+mb)+(m+mb)b=m(1+b)2人患病。如此下去第三輪后有m(1+b)3人患病，第n輪后有m(1+b)n人患病。利用這一模型就能快速完成這方面的問題：
例：某種電腦病毒傳播非?？欤绻慌_電腦被感染，經過兩輪感染后就會有81臺電腦被感染。請你用學過的知識分析，每輪感染中平均一臺電腦會感染幾臺電腦？若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的電腦會不會超過700臺？
解析：設每輪感染中平均1臺電腦會感染x臺電腦，則第一輪感染x臺電腦，已有1+x臺電腦被感染，第二輪中感染(1+x)x臺電腦，利用上述數學模型m(1+b)n其中這里m=1,b=x,二輪n=2。依題意可列方程：（1+x）2=81（解得x=8） 所以，(1+x)3=729>700故超過700臺。這類問題還有很多，比如“流行感冒”、生活中的“傳播疾病”等等都可以用到以上數學模型得以解決。
二、增長（降低）率問題中的數量關系模型
若設第一年產量a為，年平均增長或降低率為x，則第二年的產量為a(1±x)1，第三年的產量為a(1±x)2，第n年的產量為a(1±x)n-1。即增長或降低一年為a(1±x)1，增長或降低二年為a(1±x)2，增長或降低n年為a(1±x)n。即數學方程模型：
原有量（1+增長率)n＝現有量原有量（1-降低率)n＝現有量 n表示增（減）的次數
例1、2009年我市實現國民生產總值為1376億元，計劃全市國民生產總值以后各年都以相同的增長率來實現，并且2011年全市國民生產總值為1726億元。
（1））求全市國民生產總值的年平均增長率？（2）求2010年至2012年全市三年可實現國民生產總值多少億元？
解析：利用以上數學模型增長或降低n年為a(1±x)n，
即原有量（1+增長率)n＝現有量這里是從2009年到2011年兩年增長，所以a=1376，n=2取+號。根據題意設年平均增長率為x，則列方程為
1376(1+x)2=1726.解這個方程得x=0.12(12%)，
再求第二問（從2010年到2012年三年總值）: 1376(1+12%)+1726+1376(1+12%)2=5200(億元).
三、利潤問題中的數量關系模型。
利潤＝每件的利潤×件數 即利潤＝（每件售價-每件進價）×件數
其中價格的調整對產品的銷量的影響是這類問題的難點。一般銷量的影響量可以用下邊的通式計算：
銷量的影響量＝調整價÷單位調整×單位產品銷售影響量。
例：某電視機專賣店出售一種新面市的電視機，平均每天售出50臺，每臺盈利400元。為了擴大銷售，增加利潤，專賣店決定采取適當的降價措施。經調查發現，如果每臺電視機每降價10元，平均每天可多售出5臺。專賣店降價的第一天，獲利30000元。
問：（1）每臺電視機降價多少元？
（2）若你是店主，你準備降價多少可使本店在銷售過程中獲得最大盈利？
解析：利用上面的利潤計算模型公式得 。
利潤＝每件的利潤×件數件數＝原件數+銷量的影響量
銷量的影響量＝調整價÷單位調整×單位產品銷售影響量。
公式利潤＝每件的利潤×（原件數+調整價÷單位調整×單位產品銷售影響量）
（1）設每臺電視機降價x元，則列方程得 30000=(400-x)(50+x÷10×5)
解這個方程得x1=100,x2=200
答：每臺電視機降價100元或200元.
（2）設所獲得w為，每臺電視機降價x元，得
w=(400-x)(50+x÷10×5)w=- 12(x-150)2+31250即當x＝150時，w最大=31250
答：降價150元可使本店在銷售過程中獲得最大盈利31250元。
四、比賽與握手問題中的數量關系模型
比賽問題分為單循環賽和雙循環賽：
設共有x個隊參加了比賽，每個隊比賽的場數為（x-1）場
單循環賽：比賽的總場數為 12x（x-1）場；雙循環賽：比賽的總場數為x（x-1）場。
其中“握手問題”與單循環賽相同。 12x（x-1）次 x是參與握手的人數
例1、學校組織了一次籃球單循環比賽（每兩隊之間都進行了一次比賽），共進行了15場比賽，那么有幾個隊參加了這次比賽？
一、教學中存在的困惑
實際教學中，當我們引導學生探究出題目中的相等關系后，再列出方程求解?？墒钦嬲茏龅竭@一步的同學實在是太少了，我們老師也不知講過多少遍，但結果仍讓我們多少感到有點的失落和遺憾，會的同學你不講他也自然會，不會的同學你講了他還是很難會。在我們農村中學，這一點尤為突出。
我曾經不知多少次的埋怨過我的學生，埋怨他們不認真思考，不認真學習。但是，當我發現許多的孩子焦急的臉上掛著汗水的時候，我明白了，不會的原因并不完全是他們不努力學習，更重要的原因應該是我還沒有認識學生對應用題的認知規律，所以也就沒有為這些孩子提供高效的引領和破解的方法。在不斷的思考中我發現，對于基礎相對比較弱的學生來講，他們還處在“機械性”的解決應用題的層面，或者根據已知條件簡單的列式，或者附帶小學的一些算數求解的方法，或者生搬硬套一些自己不成熟的經驗。
二、突破策略
學生不學不會那是學生的原因，學生學了不會我想應該是我的原因。于是，怎樣才能大面積的提高學生破解方程應用題的能力和水平成了我一直思考的一個問題，鑒于學生基礎比價薄弱以及還處在“機械性”的解決應用題的層面，所以，我嘗試應用了《畫表填空列方程》的方法，來進行應用題的破解探究。
下面根據2008年我市的一道中考題為例，詳述具體的操作過程：
在某道路拓寬改造工程中，一工程隊承擔了24千米的任務。為了減少施工帶來的影響，在確保工程質量的前提下，實際施工速度是原計劃的1.2倍，結果提前20天完成了任務，求原計劃平均每天改造道路多少千米？
先根據設未知數的方法，我們設原計劃平均每天改造道路x千米。
具體操作過程如下：
第一步：先畫一個三行四列的表格如下：
第二步：明晰“三要素”和“兩情況”，并填到表格中。
第三步：結合所設未知數，將已知的量對號入座到表格中。
第四步：根據“三要素”之間的關系，列出計劃和實際分別所需的時間。
三、教學反思
1.對于那些一見到應用題就一籌莫展的同學來講，我們應當利用學生“機械性”操作的弱點，就讓他們機械性的按上面的五個步驟進行操作，首先不管三七二十一先畫出一個“三行四列”的表格來，然后從條件中找到“三要素”和“兩情況”，接著將已知的量對號入座到表格中，然后根據“三要素”之間的關系將空缺的格子填出來，最后依據三要素中的某個量列出方程。
2.從步驟上看來，顯得有點復雜了，但在每相鄰的兩個步驟之間卻又是那么的簡單可行，其實，這正是因為步驟多才把復雜的題給分解了，而且這五個步驟可以讓學生機械性的記憶，然后就去將一些數據往里面套，套的時間長了，套的題目多了，學生自然而然的就領悟到老師的真正用意了，最后就可以脫離這個表格而能進行快速的思考解決問題了。
3.并不是所有的題都必須用“三行四列”的表格來解決，有些應用題是不必利用這種分析的方法的，那就要具體情況具體分析了。但是，筆者可以毫不隱瞞的告訴大家，我們經歷的所有的方程或者是不等式（組）的應用題中，絕大部分的題目都可以通過列表來分析，只是列的表不一定是“三行四列”而已，筆者即將在今后和大家再談其他的列方程的方法。
4.對于能通過列表找到方程的應用題，也未必就非刻意的去列表，比如，本來根據自己的思考就能很快作答的應用題，你非要通過畫表填空，豈不是畫蛇添足嗎？當你處在“山重水復疑無路”的時候，可以借助一個“三行四列”的表格，進行按部就班的思考，將會帶你走進“柳暗花明又一村”的境地，這種做法還是很有必要的。
列方程解應用題既是對學生應用數學知識解決各種實際問題的技能技巧的一個檢驗，也是考查學生分析問題和解決問題能力的重要內容。列方程解應用題知識貫穿整個初中代數部分，從初一到初三都涉及列方程或列方程組解實際問題的內容。應用題是初中數學的重要內容，也是一個難點。由于應用題涉及的數學知識較多，綜合性強，解法靈活，是開發學生智力、培養學生分析問題能力邏輯思維能力和創造能力的極好素材，因而它是近幾年中考和初中數學競賽中的熱門題型之一。多數學生對應用題覺得無從下手，面對這些問題，教師應該更進一步地去研究和探討這方面的內容。
列方程解應用題要求學生知識面廣，基礎扎實、思維靈活，但這樣的學生畢竟較少，所以列方程解應用題是我們初中數學教學的難點和焦點。在教學中如何提高學生列方程解應用題的能力呢?我們不妨從以下幾個方面進行探討：
1.建立學生學習的信心和耐心
列方程解應用題來源于日常生活，我們可以利用一些生活中的實例來建立學生學習的信心和耐心?，F代教育學家都持這樣的觀點：“學好科學文化基礎知識的首要問題是學生有決心和信心去學習。”只要讓學生將學習當做自己的事，教育也就成功了一半。
2.抓牢四個步驟
列方程解應用題一般要經過四個步驟：(1)審題。讓學生認真研讀題目、理解題意、分清題設和結論、明確目標。（2）分析。尋找題目中的條件和結論之間的本質聯系，從而探索解題的途徑。(3)解答。在把握好題目全局的基礎上寫出標準的解答過程，只有書寫認真清楚，才能培養學生嚴謹的學習態度。(4)校對。解答完后要培養學生進行回顧、檢驗與討論所得解答的習慣。因為這些問題對學生來講并不簡單，特別是對問題中隱含的某些限制條件，學生不一定能注意到。例如有這樣一題:一次考試出了25道題，在所給的四種答案中選定一種。答對一題得4分，不答或答錯一題倒扣1分，如果一個學生得90分，他答對了幾道題?一位學生是這樣做的：
解：設得90分的學生答對了X道題，由題意得方程：4X=90，解得X=22.5，即該學生答對了22.5道題。
另一位學生是這樣做的：
解：設得90分的學生答對了X道題，則不答或答錯25-X，由題意得方程：100-(25-X)=90，解得X=15，即該學生答對了15道題。
看上去上面的兩種做法都是正確的。其實只要我們回到題目中認真分析一下不難發現兩種皆錯。第一個學生沒有搞清楚這個題目隱含的條件：要么答對，要么答錯或不答，即答案應該是非負整數，所以出現22.5道題的錯誤答案。第二個學生雖然得出整數解15道題，但是他沒有從全局上把握好這個問題的實質，如果這個學生再仔細分析一下的話就會發現許多破綻：首先答對一題得4分，答對15道題只有60分，其次還要扣除答錯或不答的10道題10分，這樣的話答對15道題只能得50分而不是90分。因此學生在列方程解應用題時一定要抓牢四個步驟，以免出錯。
3.找準等量關系
找準等量關系是列方程解應用題的核心，也是學生最無從下手的問題，因為它所涉及的知識面比較廣，如：物理公式、價格問題、銀行利率問題、溶液濃度問題、工程問題等。尋找等量關系的方法很多，包括譯式分析法、列表分析法、線示分析法逆推法、圖示分析法、層層分析法等。就初中數學中涉及的列方程求解應用題的題型，這里著重討論前四種方法在初中數學教學中的運用。
（1）譯式分析法。所謂譯式分析法就是將題目中關鍵性的語言翻譯成代數式，把文字語言翻譯成代數語言，然后分析它們之間的關系的方法。翻譯的步驟一般是：(1)翻譯未知量(即設出未知量);(2)翻譯屬性量(即題目中的主要屬性)，用已知數和未知數組成的代數式表示所有的主要屬性;(3)翻譯等量(即同時表示一個屬性量的兩個代數值必定相等)。只要我們注意分析，正確理解題意，逐個進行翻譯，當翻譯完畢時，方程也就基本成形了。如:某市有42萬人口，計劃一年后城鎮人口增加0.8%，農村人口增加1.1%，這樣全市人口將增加1%，求這個市現在的城鎮人口與農村人口。
分析：本題有兩個未知數，城市人口與農村人口。
屬性量及關系：①農村人口=總人口-城鎮人口，②農村人口×1.1%=總人口×1%-城鎮人口×0.8%。
變化過程：①設現在城鎮人口是X萬，農村人口為（42-X）萬。
②一年后城鎮人口增加(0.8%X)萬，農村人口增加1.1%(42-X)萬，總人口增加42×1%萬。
③由題意得方程：1.1%(42-X)=1%×42-0.8%X，解方程得X=14，則42-X=28。即城鎮人口是14萬，農村人口是28萬。
（2）列表分析法。顧名思義，就是將題目中的已知量和未知量表示到表格中，利用表格分析出各種量之間的關系，最后列出方程的方法，這種方法學生比較容易理解和掌握。
（3）線示分析法。如相遇問題、追擊問題用線示分析法就比較直觀，使學生很快地找到等量關系的一種捷徑。
（4）逆推法。逆推法也叫做還原法，就是把問題發生的順序倒過來，用逆推的方法逐步還原來解答一些問題。解應用問題，多數學生都習慣用直接解法，但對于直接解法比較困難的問題不妨使用逆推法，有時可能使復雜問題簡單化。
4.注意幾個事項
在找準等量關系列出方程求解應用題時，還要注意以下幾個問題：(1)未知數的作用;(2)對未知數補充條件的探討;(3)單位換算，有些問題中已知條件的單位不同時，必須先化相同;(4)方程兩邊的代數式表示同一個屬性量。
以上探討了關于列方程求解應用問題的初步方法，盡管以上不能包括列方程解應用問題的所有內容，但在數學教學中有一定的價值，只要我們每一個數學教師都能去認真研究教法，我們的數學教育教學水平一定會有大的改觀。
參考文獻：
［1］初中數學教材.
