指數(shù)函數(shù)教案匯總十篇

序論：好文章的創(chuàng)作是一個不斷探索和完善的過程，我們?yōu)槟扑]十篇指數(shù)函數(shù)教案范例，希望它們能助您一臂之力，提升您的閱讀品質(zhì)，帶來更深刻的閱讀感受。

篇（1）

一、中職冪函數(shù)教學單元的定位

1.課程定位

2.教案設計理念

在中職數(shù)學教學過程中，絕大多數(shù)執(zhí)教教師發(fā)現(xiàn)，若沒有數(shù)學認知和自我總結的實踐過程，而是僅僅以結論提供方式的記憶式學習，往往容易造成學生解題時的困惑，這與其尚未真正掌握冪函數(shù)規(guī)律密切相關，故而本教案設計的核心原則在于避免以往的“告訴”式，而是以建構的理念，還學生以知識認知與理解掌握的主動權，鼓勵學生在自我探究的過程中發(fā)現(xiàn)冪函數(shù)基本規(guī)律及其性質(zhì)、屬性，并同時結合教師的引導對知識進行確認與鞏固，通過反復的、源自于冪函數(shù)性質(zhì)規(guī)律各角度的練習，進行冪函數(shù)深入學習。“授人以漁”的指導思想讓學生學會知識摸索與探求的基本學習規(guī)律和技巧。

3.教學基本情況分析

本節(jié)課程的授課對象為中職學生，基于其對函數(shù)一定量的基本概念與性質(zhì)認知，函數(shù)研究思路與方法也有所熟悉，冪函數(shù)課程是結合并運用已知指數(shù)和對數(shù)函數(shù)概念、性質(zhì)和圖象及結題運用，開展教學的知識模塊。但由于剛步入中職，對初中學習階段的各種學習特點及習慣仍有所保留，而且能力和思維模式的發(fā)展仍屬于轉(zhuǎn)折成型期，所以教師須把握冪函數(shù)教學創(chuàng)新的體驗、契機，對中職學生進行數(shù)學理性思維和類比等思維的培育，并獲得冪函數(shù)教學的良好效果。

4.教材要求與目標設定

冪函數(shù)作為改革教材的重點內(nèi)容，在現(xiàn)行中職類專業(yè)教學的數(shù)學教材中處于指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)之后，主要目的在于比對上述函數(shù)的復雜性之后，鼓勵學生結合指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)進行歸納分析總結。

本教案所涉課程的主要內(nèi)容為冪函數(shù)，主要以結合實例引用概括冪函數(shù)概念，在學生了解識記冪函數(shù)結構特征的基礎上，了解其與指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的區(qū)別，并通過特殊簡單函數(shù)的圖象比對進行觀察、分析與總結。教學目標為結合一次、二次和指對函數(shù)的特性對比，培養(yǎng)學生數(shù)學的對比結合和相應的分析歸納能力，并提升其數(shù)形結合、特殊上升到一般、歸納類比的邏輯思維。

二、教學案例實施過程

1.以學生業(yè)已熟悉的各類簡單函數(shù)的引出，進行學生函數(shù)思維的重新建立，如運用（1）p=k，（2）S=x2；（3）V=ax3；（4）r=■；（5）v=s?t-1提問學生上述函數(shù)在其“形狀”變化上的一些共同特點，進而引出y=x，y=x2，y=x3，y=■，y=■，y=■，再結合一定時間的學生討論，引導學生歸納冪函數(shù)的變化特征為以x為自變量，a為特定常數(shù)作為其指數(shù)所構成的y=xa，這一函數(shù)稱為冪函數(shù)。經(jīng)過上述冪函數(shù)的引入教學，學生被自然地帶入對于類似函數(shù)的思考研究中，從而獲得一定程度的概念性認知。而且該方法突出了本教案設計的“用教材而不是教教材，要創(chuàng)造性地使用教材”的教學創(chuàng)新原則，尊重教材的同時適當創(chuàng)新教材展示與教學設計。

2.基于冪函數(shù)引入的課堂導入，使學生獲得冪函數(shù)理解認知，并提示指出冪函數(shù)結構中的x自變量位置，并以其與指數(shù)函數(shù)的位置進行直觀對比，從而將復雜的冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)結構易混淆問題變?yōu)楹唵吻也灰走z忘的形狀識記。同時，可以配合一定量的各種冪函數(shù)舉例辨別，分辨并總結各類冪函數(shù)，在此基礎上又對冪函數(shù)的形式進一步探析。接著，對冪函數(shù)的一般形式進行進一步探析。當然基于課程的教案創(chuàng)新改革必須秉持一貫的教學目標及其實施，也不能一味地進行脫離教學規(guī)律的教法創(chuàng)新。

總之，作為逐步發(fā)展的教學教法創(chuàng)新過程中的教學革新，都需要廣大教學工作者充分結合學生現(xiàn)實、教材現(xiàn)實、教學現(xiàn)實、教育發(fā)展現(xiàn)實，中職數(shù)學中的冪函數(shù)不能以簡單的給定義、告性質(zhì)、做練習的模式進行，更應充分結合學生特點及其自有知識結構體系與認知能力特性，進行綜合性創(chuàng)新。

參考文獻：

篇（2）

1焊接技術安全教學的必要性

《焊接技術》課程教學是從事機電行業(yè)的人必須熟練掌握的一門技術基本課程，通過學習可使學生了解焊接技術的安全、衛(wèi)生防護及焊接設備的基本知識，樹立安全文明生產(chǎn)意識，掌握常用的焊接工藝理論和操作方法，以提高其電氣焊接操作技能，為今后走上工作崗位打下良好的基礎。職業(yè)技術學校的學生年紀小，接觸社會少，基礎知識差，安全意識差，而焊接技術又存在強弧光幅射、觸電、火災、爆炸、中毒等危險，所以在焊接課程的課堂教學與車間實訓過程中，必須全面地、系統(tǒng)地講清楚手工焊接的危險有害因素及安全防范措施，做好全面的、細致的、萬無一失的現(xiàn)場實訓工作，確保學生的身體健康及生命安全。

2焊接技術教學過程的的危險性與原因

2.1焊接技術教學過程的的危險性在焊接技術教學過程中，由于焊接常用電能或化學能轉(zhuǎn)化為熱能來加熱焊件，一旦對這些能源失去控制，就會產(chǎn)生一定的危險性。焊接過程中的危險因素主要有兩方面：影響焊接生產(chǎn)安全的危險因素和影響人體健康的有害因素。

2.1.1影響焊接生產(chǎn)安全的危險因素

（1）爆炸和火災：是焊接過程中易發(fā)生的工傷事故，而且發(fā)生的火災和爆炸事故主要是在氣焊、氣割、焊條電弧焊焊接過程中。焊接過程中之所以容易發(fā)生爆炸火災事故，一方面是由于焊工需要經(jīng)常接觸可燃易爆物品；另一方面是由于焊工需要經(jīng)常接觸壓力容器和燃料容器，如乙炔發(fā)生器、氧氣瓶、液化石油氣瓶、乙炔瓶以及檢修補焊時的罐、塔、柜、槽、箱和管道等，而且在大多數(shù)情況下使用明火，因此容易構成火災和爆炸事故的條件。

（2）觸電：利用電能轉(zhuǎn)化為熱能的各種焊接方法都有觸電危險。焊條電弧焊操作觸電的機會較多，尤其在容器、管道、鍋爐內(nèi)和鋼架上的操作，四周都是金屬導體，其觸電危險性更大。特別是在高空作業(yè)中，觸電事故還易引起高空墜落的二次事故。

2.1.2影響人體健康的有害因素

焊接過程中產(chǎn)生的影響人體健康的有害因素可分為物理有害因素與化學有害因素兩大類。在焊接環(huán)境中可能存在的物理有害因素有電弧弧光、高頻電磁波、熱輻射、噪聲及放射線等；可能存在的化學有害因素有電焊煙塵和有害氣體等。在各種影響人體健康的有害因素中，由于接觸電焊煙塵的人數(shù)最多，因此電焊煙塵是影響最大的有害因素。長期吸入電焊煙塵而發(fā)生的電焊工塵肺職業(yè)病，是當前焊接安全衛(wèi)生工作中影響最大的一個主要問題。

2.2造成焊接技術危險性的原因

（1）焊接切割作業(yè)時，尤其是氣體切割時，由于使用壓縮空氣或氧氣流的噴射，使火星、熔珠和鐵渣四處飛濺，當作業(yè)環(huán)境中存在易燃、易爆物品或氣體時，就可能會發(fā)生火災和爆炸事故。

（2）在高空焊接切割作業(yè)時，對火星所及的范圍內(nèi)的易燃易爆物品未清理干凈，作業(yè)人員在工作過程中亂扔焊條頭，作業(yè)結束后未認真檢查是否留有火種。

（3）氣焊、氣割的工作過程中未按規(guī)定的要求放置乙炔發(fā)生器，工作前未按要求檢查焊（割）炬、橡膠管路和乙炔發(fā)生器的安全裝置。

（4）氣瓶存在制定方面的不足，氣瓶的保管充灌、運輸、使用等方面存在不足，違反安全操作規(guī)程等。乙炔、氧氣等管道的制定、安裝有缺陷，使用中未及時發(fā)現(xiàn)和整改其不足；

（5）在焊補燃料容器和管道時，未按要求采取相應措施。在實施置換焊補時，置換不徹底，在實施帶壓不置換焊補時壓力不夠致使外部明火導入等。

3如何加強焊接技術課程教學安全教育

3.1必須樹立安全的觀念和意識

安全的觀念和意識的樹立是提高安全教育效率和質(zhì)量的保障，也是焊接技術課程教學的首要內(nèi)容。只有讓學生認識到焊接技術的危險性，讓他們切實認識到樹立安全觀念和意識的必要性，才能促使他們認真學習和理解焊接技術的安全措施，按照正確的使用方法進行焊接技術的學習。

3.2場地教學中要聽從教師的指揮

學生進入訓練場地要聽從指導教師安排，應注意作業(yè)環(huán)境的地溝、下水道內(nèi)有無可燃液體和可燃氣體，以及是否有可能泄漏到地溝和下水道內(nèi)可燃易爆物質(zhì)，以免由于焊渣、金屬火星引起災害事故。進入訓練場地后未經(jīng)同意或未了解設備性能，不能私自亂動場地內(nèi)的設備及其它物品。學生必須在掌握相關設備和工具的正確使用方法后，才能進行操作。遇到問題立即向教師詢問，禁止在不熟悉的情況下進行嘗試性操作。

3.3做好焊接技術的操作安全教育

（1）學生焊接操作前要檢查電器線路是否完好，二次線圈和外殼接地是否良好，檢查周圍環(huán)境，不能有易燃易爆物品。焊補燃料容器和管道時，應結合實際情況確定焊補方法。

（2）開動電焊機前檢查電焊夾鉗柄絕緣是否良好。電焊夾鉗不使用時，應放在絕緣體上。推閘刀開關時，人體應偏斜站立，并一次推足，然后開動電焊機。停止時，要先關電焊機，再拉開閘刀開關。氧氣瓶嚴禁與油污接觸，不能強烈振動，以免爆炸。操作時必須佩戴防護用具，以免弧光灼傷眼睛和皮膚。氣焊操作時，必須由指導教師調(diào)整好后，指揮學生現(xiàn)場操作，嚴禁學生私自操作。

（3）高空焊接切割時，禁止亂扔焊條頭，對焊接切割作業(yè)下方應進行隔離，作業(yè)完畢應做到認真細致的檢查，確認無火災隱患后方可離開現(xiàn)場。應使用符合國家有關標準、規(guī)程要求的氣瓶，在氣瓶的貯存、運輸、使用等環(huán)節(jié)應嚴格遵守安全操作規(guī)程。

4結語

焊接技術安全教育應是職業(yè)課程教學重點內(nèi)容。焊接技術安全教育應該充分根據(jù)焊接技術自身固有的特點，結合學生的認知特點和水平，然后制定出合理的安全教育的教學目標，設計出具體的安全教學的內(nèi)容和細節(jié)，從而有效提高焊接技術安全教育的質(zhì)量和效率。加強焊接技術安全教育有兩個重要環(huán)節(jié)：一是必須樹立安全意識，二是必須掌握安全操作程序。做好這兩點，是提高焊接技術安全教育效果的關鍵所在。

參考文獻

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3.函數(shù)定義：函數(shù)就是定義在非空數(shù)集A，B上的映射，此時稱數(shù)集A為定義域，象集C={f(x)|x∈A}為值域。定義域，對應法則，值域構成了函數(shù)的三要素

4.相同函數(shù)的判斷方法：①定義域、值域;②對應法則(兩點必須同時具備)

5.求函數(shù)的定義域常涉及到的依據(jù)為①分母不為0;②偶次根式中被開方數(shù)不小于0;③對數(shù)的真數(shù)大于0，底數(shù)大于零且不等于1;④零指數(shù)冪的底數(shù)不等于零;⑤實際問題要考慮實際意義⑥注意同一表達式中的兩變量的取值范圍是否相互影響

6.函數(shù)解析式的求法：

①定義法(拼湊)：②換元法：③待定系數(shù)法④賦值法7.函數(shù)值域的求法：

①換元配方法。如果一個函數(shù)是二次函數(shù)或者經(jīng)過換元可以寫成二次函數(shù)的形式，那么將這個函數(shù)的右邊配方，通過自變量的范圍可以求出該函數(shù)的值域。②判別式法。一個二次分式函數(shù)在自變量沒有限制時就可以用判別式法去值域。其方法是將等式兩邊同乘以dx2+ex+f移項整理成一個x的一元二次方程，方程有實數(shù)解則判別式大于等于零，得到一個關于y的不等式，解出y的范圍就是函數(shù)的值域。

③單調(diào)性法。如果函數(shù)在給出的定義域區(qū)間上是嚴格單調(diào)的，那么就可以利用端點的函數(shù)值來求出值域

8.函數(shù)單調(diào)性的證明方法:

第一步：設x1、x2是給定區(qū)間內(nèi)的兩個任意的值，且x1

第二步：作差¦(x1)-&brVBar;(x2)，并對“差式”變形，主要采用的方法是“因式分解”或“配方法”;

第三步：判斷差式¦(x1)-&brVBar;(x2)的正負號，從而證得其增減性

9、函數(shù)圖像變換知識

①平移變換：

形如：y=f(x+a)：把函數(shù)y=f(x)的圖象沿x軸方向向左或向右平移

|a|個單位，就得到y(tǒng)=f(x+a)的圖象。

形如：y=f(x)+a：把函數(shù)y=f(x)的圖象沿y軸方向向上或向下平移|a|個單位，就得到y(tǒng)=f(x)+a的圖象

②.對稱變換y=f(x)y=f(-x),關于y軸對稱

y=f(x)y=-f(x),關于x軸對稱

③.翻折變換

y=f(x)y=f|x|,(左折變換)

把y軸右邊的圖象保留，然后將y軸右邊部分關于y軸對稱

y=f(x)y=|f(x)|(上折變換)

把x軸上方的圖象保留，x軸下方的圖象關于x軸對稱

10.互為反函數(shù)的定義域與值域的關系：原函數(shù)的定義域和值域分別是反函數(shù)的值域及定義域;

11.求反函數(shù)的步驟：①求反函數(shù)的定義域(即y=f(x)的值域)②將x,y互換，得y=f–1(x);③將y=f(x)看成關于x的方程，解出x=f–1(y)，若有兩解，要注意解的選擇;。

12.互為反函數(shù)的圖象間的關系：關于直線y=x對稱;

13.原函數(shù)與反函數(shù)的圖象交點可在直線y=x上，也可是關于直線y=x對稱的兩點

14.原函數(shù)與反函數(shù)具有相同的單調(diào)性

15、在定義域上單調(diào)的函數(shù)才具有反函數(shù);反之，并不成立(如y=1/x)

16.復合函數(shù)的定義域求法：

①已知y=f(x)的定義域為A，求y=f[g(x)]的定義域時，可令g(x)ÎA，求得x的取值范圍即可。

②已知y=f[g(x)]的定義域為A，求y=f(x)的定義域時，可令xÎA，求得g(x)的函數(shù)值范圍即可。

17.復合函數(shù)y=f[g(x)]的值域求法：

首先根據(jù)定義域求出u=g(x)的取值范圍A，

在uÎA的情況下,求出y=f(u)的值域即可。

18.復合函數(shù)內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)性相同，則函數(shù)是增函數(shù);單調(diào)性不同則函數(shù)是減函數(shù)。增增、減減為增;增減、減增才減

①f(x)與f(x)+c(c為常數(shù))具有相同的單調(diào)性

②f(x)與c·f(x)當c>0是單調(diào)性相同，當c<0時具有相反的單調(diào)性

③當f(x)恒不為0時，f(x)與1/f(x)具有相反的單調(diào)性

④當f(x)恒為非負時，f(x)與具有相同的單調(diào)性

⑤當f(x)、g(x)都是增(減)函數(shù)時，f(x)+g(x)也是增(減)函數(shù)

設f(x)，g(x)都是增(減)函數(shù)，則f(x)·g(x)當f(x)，g(x)兩者都恒大于0時也是增(減)函數(shù)，當兩者都恒小于0時是減(增)函數(shù)

19.二次函數(shù)求最值問題：根據(jù)拋物線的對稱軸與區(qū)間關系進行分析，

Ⅰ、若頂點的橫坐標在給定的區(qū)間上，則

a>0時：在頂點處取得最小值，最大值在距離對稱軸較遠的端點處取得;

a<0時：在頂點處取得最大值，最小值在距離對稱軸較遠的端點處取得;

Ⅱ、若頂點的橫坐標不在給定的區(qū)間上，則

a>0時：最小值在離對稱軸近的端點處取得，最大值在離對稱軸遠的端點處取得;

a<0時：最大值在離對稱軸近的端點處取得，最小值在離對稱軸遠的端點處取得

20.一元二次方程實根分布問題解法：

①將方程的根視為開口向上的二次函數(shù)的圖像與x軸交點的橫坐標

②從判別式、對稱軸、區(qū)間端點函數(shù)值三方面分析限制條件

21.分式函數(shù)y=(ax+b)/(cx+d)的圖像畫法：

①確定定義域漸近線x=-d/c②確定值域漸近線y=a/c③根據(jù)y軸上的交點坐標確定曲線所在象限位置。

22.指數(shù)式運算法則23.對數(shù)式運算法則：

24.指數(shù)函數(shù)的圖像與底數(shù)關系：

在第一象限內(nèi)，底數(shù)越大，圖像(逆時針方向)越靠近y軸。

25.對數(shù)函數(shù)的圖像與底數(shù)關系：

在第一象限內(nèi)，底數(shù)越大，圖像(順時針方向)越靠近x軸。

26.比較兩個指數(shù)或?qū)?shù)的大小的基本方法是構造相應的指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)，若底數(shù)不相同時轉(zhuǎn)化為同底數(shù)的指數(shù)或?qū)?shù)，還要注意與1比較或與0比較

27.抽象函數(shù)的性質(zhì)所對應的一些具體特殊函數(shù)模型：

①f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)Þ正比例函數(shù)f(x)=kx(k¹0)

②f(x1+x2)=f(x1)·f(x2);f(x1-x2)=f(x1)÷f(x2)Þy=ax;

③f(x1•x2)=f(x1)+f(x2);f(x1/x2)=f(x1)-f(x2)Þy=logax

28.如果f(a+x)=f(b-x)成立，則y=f(x)圖像關于x=(a+b)/2對稱;

特別是，f(x)=f(-x)成立，則y=f(x)圖像關于y軸對稱

29.a>f(x)恒成立Ûa>f(x)的最大值

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(2)能應用指數(shù)函數(shù)概念解決簡單的數(shù)學問題；

(3)從圖像和解析式的不同角度研究指數(shù)函數(shù)性質(zhì)；

(4)培養(yǎng)學生主動學習、合作交流的意識，使學生獲得研究函數(shù)的規(guī)律和方法。

二、教學重點與難點

(1)教學重點：指數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)。

(2)教學難點：對底數(shù)的分類，如何由圖像、解析式歸納指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。

三、教學過程

1.利用電子白板的特點，創(chuàng)設有效的數(shù)學情景、提出問題、引入課題

電子白板投出：“某種細胞分裂的示意圖”(如圖1所示)， 提出問題：這種細胞每過30分鐘就由1個分裂成2個，設想經(jīng)過900分鐘(15個小時)后會產(chǎn)生多少個細胞？

圖1

學生回答后，教師在白板上拖動文本框，公布估算的數(shù)據(jù)：900分鐘后細胞總個數(shù)10.74億個。

教師提問：在上面這個問題中，細胞個數(shù)用y表示，分裂的次數(shù)用x表示，y與x之間的關系是什么？

學生得出公式y(tǒng)=2x( x∈N* )

問：如果經(jīng)過990分鐘(16.5小時)后細胞總數(shù)是多少？

師生用白板計算：990分鐘后細胞總個數(shù)85.90億個。

教師：y=2x 就是我們今天要學習的指數(shù)函數(shù)。

設計意圖：利用白板創(chuàng)設問題情境，引出課題―指數(shù)函數(shù)，讓學生體驗從簡單到復雜，從特殊到一般的認知規(guī)律，激發(fā)學生學習新知的興趣和欲望。

2.利用電子白板進行師生互動、探究新知，找出規(guī)律

(1)指數(shù)函數(shù)的定義

教師在電子白板上投影關系式 y=0.84x

敘述：我們在本章開始的學習中，接觸到一個與y=2x 類似的關系式，y=0.84x。

問題：①y=2x 和y=0.84x這兩個解析式有什么共同特征？(是指數(shù)形式)

②它們能否構成函數(shù)？(能)

③它們是否是我們已學過的函數(shù)類型？(否)

教師通過上述問題，引導學生觀察上述兩個函數(shù)的共同特點：指出指數(shù)函數(shù)的表達式的特點，指數(shù)是自變量。用字母a代替底數(shù)，上述兩式可以表示成y=ax的形式。稱作指數(shù)函數(shù)。

設計意圖：人天生有模仿和嘗試的欲望，學生此前已經(jīng)學過一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，這時用白板創(chuàng)設一個看似認識，但又不同的函數(shù)，引導學生從具體問題、實際問題中抽象出數(shù)學模型，在具體問題中抽象出共性，激發(fā)學生的學習興趣，建立概念。

(2)指數(shù)函數(shù)中底數(shù)的分類

問題：在指數(shù)函數(shù)中，底數(shù)可以為下列3類嗎？

①a＜0

②a=0

③a=1

你能寫出上述3種情況下的指數(shù)函數(shù)形式嗎？

學生上臺在電子白板上書寫幾個符合上述條件的指數(shù)函數(shù)形式。

教師引導學生分析上述底數(shù)與指數(shù)之間的關系，說明一般情況下不研究這3種情況的指數(shù)函數(shù)。本課我們主要研究當a＞0且a≠1時的指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。

問學生： y＝2×3x是指數(shù)函數(shù)嗎？

教師分析：有些函數(shù)式貌似指數(shù)函數(shù)，實際上卻不是，如 y＝ax+k (a＞0且a≠1，k∈Z)；有些函數(shù)看起來不像指數(shù)函數(shù)，實際上卻是，如y=a-x(a＞0，且a≠1)，因為它可以化為 y＝(a-1)x，其中a-1＞0，且a-1≠1。

例題講解：下列函數(shù)為指數(shù)函數(shù)的有 ② ③ 。

①y=x2 ； ②y=8x； ③y=(2a-1)x(且a≠1)；④ y=(-4)x。

學生在白板上用拖動的方式，將②，③2個正確答案的序號拖到填空線上。

設計意圖：底數(shù)的分類是本節(jié)課的難點，只有認識清楚底數(shù)a的特殊規(guī)定，才能理解指數(shù)函數(shù)的定義域；并為后續(xù)學習打好基礎。讓學生通過白板寫出三種情況下的指數(shù)函數(shù)形式，然后指出問題，可使學生加深印象，再通過練習強化概念的理解和應用。

(3)指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)

教師在電子白板上投影(見表1)：

表1 分析y＝ax的圖像和性質(zhì)

請學生分成小組討論，完成上表中的圖象和解析式。

學生活動：分成兩組，一組討論指數(shù)函數(shù)的解析式，另一組研究指數(shù)函數(shù)的圖像；然后進行交流。

交流、總結：教師在電子白板上用幾何畫板軟件，改變參數(shù)a的值，追蹤y＝ax的圖像，讓學生在圖像的變化過程中，觀察圖像的變化規(guī)律和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。

師生共同總結指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，教師邊總結邊在電子白板上分步顯示表1的圖像和解析式(見表2)。

表2 分析y＝ax的圖像和性質(zhì)

設計意圖：通過學生的自主探索、合作學習，變被動為主動，學生成為學習的主人，讓學習過程成為一種自覺的行動，從而加深學生對指數(shù)函數(shù)圖像和性質(zhì)的理解、記憶。

3.應用典型例題理解概念

(1)練習：在同一平面直角坐標系中畫出y=3x和 y=(1/3)x的大致圖像，并說出這2個函數(shù)的性質(zhì)；

(2)例1：已知指數(shù)函數(shù)f(x)=ax的圖像經(jīng)過點 (3,27)，求f(0)，f(1)，f(-3) 的值。

(3)例 2： 比較下列各題中兩個值的大小。

①1.82.5，1.83.2 ；②0.61.2 ，0.6-1.2 ；③1.50.6 ，0.61.5 。

根據(jù)本題，你能說出確定一個指數(shù)函數(shù)需要什么條件嗎？

教師用電子白板講解、畫圖、板書，與學生互動交流、小結。

設計意圖：例題設計圍繞所學的內(nèi)容，引導學生理清思路，在熟悉指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的基礎上學會構造指數(shù)函數(shù)方法，利用單調(diào)性比較兩個冪的大小。解題后及時引導學生進行小結，總結在數(shù)學活動中所獲取的數(shù)學經(jīng)驗，領悟數(shù)形結合的數(shù)學思想方法。

4.鞏固訓練提升總結

(1)若函數(shù)y =(a－1)x 在R 上為減函數(shù)，則a的范圍為

(2)已知下列不等式，比較m，n 的大小。

① am

② am>an ( a＞1 )；

③ m=a2.5，n=a3(a＞0，a≠1 )。

設計意圖：檢查教學目標是否達成，對學生出現(xiàn)的錯誤，師生及時用白板進行糾正。

四、教學反思

本節(jié)課的設計力求能體現(xiàn)新課程的教學理念，采用如下教學模式：創(chuàng)設情境學生活動意義建構形成概念知識運用回顧反思。

利用白板工具，改變教學方法，創(chuàng)設情境，從不同的角度理解指數(shù)函數(shù)，通過對比總結得到指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，讓學生體會研究方法。

白板的使用，增強了課堂教學的交互性，操作性，學生在動手操作的過程中學習知識，形成概念，探究方法，反饋練習，提高了教學的有效性。

參考文獻

篇（5）

三角函數(shù)章節(jié)是高中階段數(shù)學教材架構體系的構建“枝干”，同時也是教師講解、講授等實踐的重點和難點。三角函數(shù)章節(jié)內(nèi)容是初中階段函數(shù)知識內(nèi)容的“升華”，同時也是高等數(shù)學函數(shù)章節(jié)知識的“基石”，其作為一種基本初等函數(shù)，在解決生產(chǎn)、生活等實際問題中運用廣泛。常言道：根基牢，地動山搖穩(wěn)不倒。要達到科學、高效解決現(xiàn)實問題的目的，就必須“打基礎”、“重訓練”，強化書本數(shù)學習題解答的有效訓練。案例教學是不同階段數(shù)學學科教學的重點，同時也是其需要著力主攻的難點和薄弱點。而案例解答的現(xiàn)實意義和長遠功效已經(jīng)被教學工作者所共識。筆者現(xiàn)就三角函數(shù)章節(jié)案例的有效解答這一話題做探究和分析。

一、三角函數(shù)案例解答應注重師生深入互通，體現(xiàn)雙向性。

教育運動學說認為，案例的講授是課堂實踐體系的重要環(huán)節(jié)，是課堂實踐進程的重要部分。案例的講解應該體現(xiàn)并傳承課堂教學的雙邊特點和雙向特性，師與生對等交流、生與生合作探討等多向、多邊活動應滲透并融入在其中進程。但在實際的案例教學中，教者的個體講解或?qū)W習主體的自行探索的單向問題不同程度地存在。因此，在三角函數(shù)案例解答中，教師要正確處理好師生之間的關系，將自身的引導功效發(fā)揮出來，組織和引領高中生進入到三角函數(shù)的案例講解研析中，緊扣問題要解決的要求、思路的確定及方法的甄別等都需要深入互動、討論，在深入的雙邊互通中，達到探究實效、共進互贏的期望。

如在“如圖所示，α、β分別是坐標軸上的一個角，其度數(shù)分別是30°和300°，OM，ON分別表示角α和角β的終邊。（1）分別求出與α，β兩個終邊的相同角集合；（2）求出始邊在OM的位置，終邊在ON位置的所有角的集合。”案例講解中，教者實施互動式講解活動，主要圍繞在表示角的度數(shù)時，如何做好角度制或弧度制之間統(tǒng)一的話題，組織高中生開展解答問題活動。教者根據(jù)所出示的數(shù)學問題及要求，在他們自主研析的基礎上，與他們圍繞思路的確定及過程的確認進行雙邊探討活動，一起分析研究解題思路，一起辨析解題過程，并明確告知他們，找出在[-π，π]范圍內(nèi)與α、β都有相同的角度，再根據(jù)任意角的概念和角集合的表示法，可寫出終邊落在陰影部分（含邊界）時所有角的集合。同時在解決上述兩個問題時要切實注意角度制和弧度制之間的同一性問題。

二、三角函數(shù)案例解答應注重講練融會貫通，體現(xiàn)發(fā)展性。

教者是主體進程實踐中的“引路人”，探究疑惑的“釋惑者”，以及認知探索的“推進者”。教者的一項任務，就是通過有效、精準的“導引”形式，有力地推動他們開展探知和研析活動。高中生在研究、分析、探尋三角函數(shù)案例的進程中，會遇到許多“超越”自身學習實際能力的要求和標準。此時，教者就要發(fā)揮指導功效，在他們的解決三角函數(shù)案例的“練習”中，實施有效指導，弄清題意，理清層次，點明聯(lián)系，從而確保三角函數(shù)案例解題深入推進。在此過程中，教師的“講解”和學生的“練習”二者不是分割、不銜接的，而是聯(lián)系、相貫通的，成為講練合一的有機整體。

問題：已知角α終邊上有一點P，它的坐標為（x，3）（x≠0），并且cosα=3/10x，求sinα和tanα的值。

學生進行解析實踐：根據(jù)題意可知，這是關于三角函數(shù)與方程方面的綜合性運用題，涉及三角函數(shù)的定義等內(nèi)容。

教師適當點撥：在該問題中，要求出sinα和tanα的值，還是要求出點P的坐標x，同時要注意α所在象限的位置進行討論。

學生圍繞解題要求進行思路完善，并著手進行該問題解答活動。

教師強調(diào)：關鍵要注意α所在的象限不確定時要采取分類討論的方法采用研析。

高中生按照教師點撥和強調(diào)，開展合作提煉解題方法活動，得出其解法。

三、三角函數(shù)案例解答應注重解析方略提煉，體現(xiàn)策略性。

在解析上述案例基礎上，總結提煉環(huán)節(jié)，組織他們對剛才獲得的解題思路及過程進行“回味”和“思索”，要求他們對其所確定的策略進行提煉和總結。高中生結合所得思路及所解過程，認識到：“該問題借助三角函數(shù)內(nèi)容，運用到數(shù)形結合的思想策略。”高中生在教師有序引導下認識到：“該問題解答中，通過函數(shù)的圖像性質(zhì)及三角函數(shù)函數(shù)區(qū)間的求解實現(xiàn)了有效解答，這其中蘊含了數(shù)與形結合的解題方法。”

教師因地制宜，圍繞“數(shù)形結合”解題思想進行專題講解活動，對該解題思想的本質(zhì)及注意事項等進行明確說明，并向高中生指出其在三角函數(shù)章節(jié)中的運用，并展示案例進行鞏固強化，從而讓高中生對該解題思想有切身、具體、深刻的認識和掌握，提高其解題技能和素養(yǎng)。

通過上述三角函數(shù)問題的講解活動，高中生對解題思想方法運用有了更深刻的認知和運用。教育學指出，教學的目的在于傳授技能及技巧，提高自主學習能力。因此，教師無論在三角函數(shù)章節(jié)，還是其他數(shù)學學科章節(jié)中，問題解答活動的講解，應注重對解題方法或策略的講授，對典型數(shù)學內(nèi)容的應用，以題講解，讓他們通過親身探究、實踐和辨析，對其有感性認知。同時借助于教師的科學專題講解，對其內(nèi)涵、特點及事項等方面深層次掌控，深層次地認知和掌握知識，保證在其方法策略運用中自如、高效、科學。

教師應強化課堂活動進程中問題解答的組織和推動，注重內(nèi)在能力素養(yǎng)的培養(yǎng)，將數(shù)學解題變?yōu)橹黧w前進和發(fā)展的“跳板”，開展精心教學實踐。

篇（6）

在函數(shù)的復習課中，我創(chuàng)設了這樣的情境：圣誕節(jié)快到了，我們打算動手設計賀卡送給親戚、朋友們，賀卡為矩形，寬x厘米，長y厘米，賀卡上部分為正方形，上面畫上漂亮的圖案；下部分寫上祝福的話語，祝福話語需要的面積為64平方厘米.

二、提出問題

師：請同學們根據(jù)情境提供的信息，大膽地提出我們要研究的問題.

生1：這里有變量x和y，可是不知道它們是否具有函數(shù)關系？如果有，那么要求出y關于x的函數(shù)關系式.

師：恩，很好！

（板書）問題1：求出y與 x的函數(shù)關系式. 生2：如果函數(shù)關系式寫得出，那么要求出該函數(shù)的定義域和值域.

師：對，定義域、值域是函數(shù)的重點，必須研究！

（板書）問題2：求出問題1中函數(shù)的定義域.

（板書）問題3：求出問題1中函數(shù)的值域.

生3：解析式、定義域、值域都研究了，我很想知道該函數(shù)的圖像.

師：也是，解析式、定義域、值域是函數(shù)的三要素，都是從代數(shù)的角度來研究的，我們再從形的角度來研究該函數(shù)，先畫出函數(shù)的圖像.

（板書）問題4：作出問題1中函數(shù)的圖像.

師：圖像也作好了的話，我們還可以研究它的哪些性質(zhì)呢？

學生紛紛討論，發(fā)言，教師小結：

問題5：研究問題1中函數(shù)的單調(diào)性.

問題6：研究問題1中函數(shù)的奇偶性.

在提出問題的環(huán)節(jié)中，學生積極思考，踴躍發(fā)言，總共提出了6個問題，下面，帶著6個問題進行探究.

三、探究、解決問題

探究基于情境，始于問題，探究既是知識的學習過程，也是重要的學習內(nèi)容. 學生在具體探究知識的過程中，形成探究精神、協(xié)作精神，提高科學素養(yǎng). 要想讓學生真正掌握知識，培養(yǎng)能力，教師要放手讓學生做，在做中體會，做中掌握，做中提高. 我分這樣幾步來完成這個環(huán)節(jié)的教學的：

第一步：讓學生獨立解決所有的問題.

第二步：分成6個小組，讓學生在組內(nèi)交流結果.

第三步：每個小組派代表解答對應序號的問題.

下面，我選取這個環(huán)節(jié)的幾個片段共同探討：

第2小組：開始，有人說定義域為{x|x ≠ 0}，后來，我們考慮了實際意義，x是寬度，必須大于0，所以定義域為（0，+∞）.

第3小組：

所以函數(shù)的值域是[16，+∞）.

師：大家對兩種解法有什么評價呢？

學生討論激烈，最終發(fā)現(xiàn)癥結所在. 學生1的解答不夠嚴謹，還得檢驗等號是否成立；而學生2的解答無破綻，完全正確.

師：無論用什么方法求值域，都不能忽視等號成立的條件. 如果等號不能成立的話，我們該怎么辦呢？

生：還可以考慮函數(shù)的單調(diào)性.

師：不錯，函數(shù)的單調(diào)性是求函數(shù)的值域的基本方法. 請第4組學生上來畫出函數(shù)的圖像，請第5組學生回答問題5，函數(shù)的單調(diào)性.

第4小組：畫出圖像.

第5小組：通過圖像觀察到函數(shù)在[0，8）上是減函數(shù)，在[8，+∞）上是增函數(shù).

師：借助圖形解決問題很有效，但不嚴謹，需要邏輯證明，要的是數(shù)與形的結合，即數(shù)形結合的數(shù)學思想. 研究函數(shù)的單調(diào)性的基本方法是定義法，關鍵是對f（x1） - f（x2）的化簡、判斷符號，在化簡中找到分界點，對定義域按單調(diào)性劃分，從而得到單調(diào)區(qū)間. 請大家課后完成，通過這種方法求出單調(diào)區(qū)間，同時求出函數(shù)的值域.

第6小組：根據(jù)圖像說出函數(shù)的奇偶性，并按f（-x） = -f（x）進行證明.

師：判斷函數(shù)的奇偶性時，首先考慮定義域，分析是否關于原點對稱.

反思：在“情境—問題”的教學模式中，創(chuàng)設情境的方法有很多種，教師要根據(jù)具體的教學內(nèi)容，設置恰當?shù)膯栴}情境，激發(fā)學生的興趣，使學生的思維迅速進入最活躍的狀態(tài). 在“情境—問題”的教學模式中，問題既是探究的開端，又是教學的主線，因此如何提出問題是關鍵. 教師可根據(jù)不同的教學，不同的角度、不同的層次引導學生提出問題. 在“情境—問題”的教學模式中，探究、解決問題是非常重要的環(huán)節(jié). 在學生自主探究問題的過程中，教師要善于引導，善于觀察、善于啟發(fā)、善于總結.

【參考文獻】

[1]呂傳漢，汪秉彝.中小學數(shù)學情境與提出問題教學探究. 貴陽：貴州人民出版社.

篇（7）

1.會用列表描點法畫反比例函數(shù)y=k/x（k≠0）的圖象；結合圖象初步理解雙曲線所在的象限，延伸性，對稱性，及y隨x的變化情況（增減性），體會其性質(zhì)；

2.逐步提高從函數(shù)圖象中獲取信息的能力，并利用其性質(zhì)解決實際問題.

二、過程與方法：

讓學生自己嘗試去畫y=4/x與y=-4/x圖象，在經(jīng)歷中逐步完善用描點法畫y=k/x（k≠0）的步驟；在畫圖過程中引導學生去觀察圖象，發(fā)現(xiàn)其性質(zhì)，并能自己歸納概括出y=k/x（k≠0）的性質(zhì)，從而經(jīng)歷知識的歸納和探究過程，體會函數(shù)的三種表示方法相互轉(zhuǎn)化，對函數(shù)進行認識上的整合。

三、情感態(tài)度價值觀：

經(jīng)歷探究反比例函數(shù)性質(zhì)的過程，滲透與他人交流，合作的意識和探究精神，培養(yǎng)學生探索、觀察、獨立思考的習慣，學會歸納總結，體會合作的喜悅，初步認識數(shù)學與人類生活的密切聯(lián)系.

教學重點用反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)

教學難點結合函數(shù)的圖象歸納反比例函數(shù)的性質(zhì)

問題與情景

活動1

問題1：：還記得一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖像

與性質(zhì)嗎？

那么反比例函數(shù)y=k/x（k≠0）的圖象會是什么樣？如何畫一個函數(shù)的圖像呢？――導入新課

師生行為

教師提出問題，學生獨立思考

教師：上節(jié)課我們學習了反比例函數(shù)的定義，并體會了反比例函數(shù)的三種表達形式之間的聯(lián)系

本節(jié)課我們來研究一下反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì).

教師關注：

1?學生能否正確使用“描點法”的方法來畫圖像，能否說出“描點法”的基本步驟：列表、描點、連線

2?引入課題，分析研究y=k/x（k≠0）

的圖像和性質(zhì)。通過畫y=4/x與y=-4/x的圖像展開問題。

設計意圖

通過舊知識導入，引導學生用描點法畫函數(shù)圖像，并借助圖像分析性質(zhì)。體會分類討論、特殊到一般的解決問題的方法。

活動2

1、畫出y=4/x與y=-4/x的圖像

1.學生在同一坐標系中做出y=4/x與y=-4/x的圖像，各小組展示自己的作品。

教師引導學生交流：

1.如果在列表時所選取的數(shù)值不同，那么圖像的形狀是否相同？

2.連線時能否連成折線？為什么必須用光滑的曲線連接各點？

3.曲線的發(fā)展趨勢如何？

讓學生自己經(jīng)歷畫y=的圖像的過程，體會描點法畫圖象的基本步驟，培養(yǎng)學生動手操作能力，這一環(huán)節(jié)讓學生先在小組內(nèi)展示自己的作品，相互修正。讓學生體會主動參與、合作探究的樂趣。

活動3：探究y=4/x與y=-4/x的性質(zhì)。

引導學生觀察圖像，獨立思考并小組內(nèi)合作交流，分析，比較y=4/x與y=-4/x的性質(zhì)。在探究過程中，教師引導學生從“形”加以觀察，能否從“數(shù)”加以解釋，重點關注：

1.學生能否用數(shù)學語言描述圖象特征，從而得出圖像是雙曲線。

2.學生是否能否得出k的不同取值時，圖像所在的象限不同，兩分支位于不同的象限。

3.學生是否注意到y(tǒng)隨x的變化情況是在每一象限內(nèi)根據(jù)k>0和k

4.為揭示函數(shù)變化規(guī)律，引導學生分別在每一象限圖像上任取兩點A（x1，y1），B（x2，y2）觀察當x2>x1時y2與y1的關系

5.不可能與軸相交，也不可能與軸相交。這一結論既可以通過觀察圖像得出，也可分析函數(shù)表達式得出。當x的值越來越接近于0時，絕對值y的值將逐漸變得很大；反之絕對值x的值變得非常大時，y的值將逐漸接近于0.圖像的兩個分支無限接近x軸和y軸，但永遠不會與x軸y軸相交.

（1）讓學生自己去觀察去分析，過程讓學生自己去感受，結論讓學生自己去總結，實現(xiàn)學生主動參與、探究新知的目的

（2）體會數(shù)形結合的思想

（3）在學生探究，合作交流的過程中教師要適時的給予鼓勵，時刻給他們自信。

自我點評

根據(jù)教學目標、教學重點和難點的分析，我首先引導學生回顧二次函數(shù)基本概念，用描點法畫函數(shù)圖象的方法，然后讓學生自己經(jīng)歷畫y=4/x與y=-4/x的圖象，然后讓學生小組展示作品，完善畫y=4/x與y=-4/x圖象。然后直觀觀察反比例函數(shù)的性質(zhì)。分組交流討論，教師點撥，最終歸納y=k/x（k≠0）的性質(zhì)。最后進行了反饋練習，強化了知識。

探究過程中，我依托學習小組，讓學生經(jīng)歷了從特殊到一般的探究過程，經(jīng)歷知識產(chǎn)生、形成的過程；體會了數(shù)形結合、分類討論的思想；感受到了自己動手、主動探索、合作交流學習方式的樂趣；提升學生自己觀察、分析、解決問題的能力

本節(jié)課突出學生在活動過程中的參與意識、探究方式、表達能力及合作交流的意識，突出了學生的主體地位使學生在輕松愉快的氛圍中獲得數(shù)學的“思想、方法、能力、素質(zhì)”，同時獲得對數(shù)學的情感。教師在整節(jié)課的活動中，扮演的是學生學習的參與者、合作者、指導者的角色。

不足之處是：

1.在組織小組活動中有些亂，因而給學生的時間不是太多，抑制了學生思維的拓寬，提升。

2.在引導學生主動提出問題時時機把握的不是太好。

3.學生的質(zhì)疑，提出問題的質(zhì)量需在平時的課堂教學中加強培養(yǎng)。

我的收獲：

篇（8）

第九講

三角函數(shù)的概念?誘導公式與三角恒等變換

2019年

1.(2019北京9)函數(shù)的最小正周期是

________.

2.(2019全國Ⅲ理12)設函數(shù)=sin()(>0),已知在有且僅有5個零點,下述四個結論:

①在()有且僅有3個極大值點

②在()有且僅有2個極小值點

③在()單調(diào)遞增

④的取值范圍是[)

其中所有正確結論的編號是

A.

①④

B.

②③

C.

①②③

D.

①③④

3.(2019天津理7)已知函數(shù)是奇函數(shù),將的圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),所得圖像對應的函數(shù)為.若的最小正周期為,且,則

A.

B.

C.

D.

4.(2019全國Ⅱ理10)已知α∈(0,),2sin

2α=cos

2α+1,則sin

α=

A.

B.

C.

D.

5.(2019江蘇13)已知,則的值是_________.

6.(2019浙江18)設函數(shù).

(1)已知函數(shù)是偶函數(shù),求的值;

(2)求函數(shù)

的值域.

2010-2018年

一?選擇題

1.(2018全國卷Ⅲ)若,則

A.

B.

C.

D.

2.(2016年全國III)若

,則

A.

B.

C.1

D.

3.(2016年全國II)若,則(

)

A.

B.

C.

D.

4.(2015新課標Ⅰ)

A.

B.

C.

D.

5.(2015重慶)若,則=

A.1

B.2

C.3

D.4

6.(2014新課標Ⅰ)若,則

A.

B.

C.

D.

7.(2014新課標Ⅰ)設,,且,則

A.

B.

C.

D.

8.(2014江西)在中,內(nèi)角A,B,C所對應的邊分別為,若,則

的值為(

)

A.

B.

C.

D.

9.(2013新課標Ⅱ)已知,則(

)

A.

B.

C.

D.

10.(2013浙江)已知,則

A.

B.

C.

D.

11.(2012山東)若,,則

A.

B.

C.

D.

12.(2012江西)若,則tan2α=

A.?

B.

C.?

D.

13.(2011新課標)已知角的頂點與原點重合,始邊與軸的正半軸重合,終邊在直線上,則=

A.

B.

C.

D.

14.(2011浙江)若,,,,則

A.

B.

C.

D.

15.(2010新課標)若,是第三象限的角,則

A.

B.

C.2

D.-2

二?填空題

16.(2018全國卷Ⅰ)已知函數(shù),則的最小值是_____.

17.(2018全國卷Ⅱ)已知,,則___.

18.(2017新課標Ⅱ)函數(shù)的最大值是

.

19.(2017北京)在平面直角坐標系中,角與角均以為始邊,它們的終邊關于軸對稱.若,則=___________.

20.(2017江蘇)若,則=

.

21.(2015四川)

.

22.(2015江蘇)已知,,則的值為_______.

23.(2014新課標Ⅱ)函數(shù)的最大值為____.

24.(2013新課標Ⅱ)設為第二象限角,若,則=___.

25.(2013四川)設,,則的值是_____.

26.(2012江蘇)設為銳角,若,則的值為

.

三?解答題

27.(2018江蘇)已知為銳角,,.

(1)求的值;

(2)求的值.

28.(2018浙江)已知角的頂點與原點重合,始邊與軸的非負半軸重合,它的終邊過點.

(1)求的值;

(2)若角滿足,求的值.

29.(2017浙江)已知函數(shù).

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.

30.(2014江蘇)已知,.

(1)求的值;

(2)求的值.

31.(2014江西)已知函數(shù)為奇函數(shù),且,其中.

(1)求的值;

(2)若,求的值.

32.(2013廣東)已知函數(shù).

(1)

求的值;

(2)

若,求.

33.(2013北京)已知函數(shù)

(1)求的最小正周期及最大值;

(2)若,且,求的值.

34.(2012廣東)已知函數(shù),(其中,)的最小正周期為10.

(1)求的值;

(2)設,,,求的值.

專題四

三角函數(shù)與解三角形

第九講

三角函數(shù)的概念?誘導公式與三角恒等變換

答案部分

2019年

1.解析:因為,

所以的最小正周期.

2.解析

當時,,

因為在有且僅有5個零點,所以,

所以,故④正確,

因此由選項可知只需判斷③是否正確即可得到答案,

下面判斷③是否正確,

當時,,

若在單調(diào)遞增,

則,即,因為,故③正確.

故選D.

3.解析

因為是奇函數(shù),所以,.

將的圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),所得圖像對應的函數(shù)為,即,

因為的最小正周期為,所以,得,

所以,.

若,即,即,

所以,.

故選C.

4.解析:由,得.

因為,所以.

由,得.故選B.

5.解析

由,得,

所以,解得或.

當時,,,

.

當時,,,

所以.

綜上,的值是.

6.解析(1)因為是偶函數(shù),所以,對任意實數(shù)x都有,

即,

故,

所以.

又,因此或.

(2)

.

因此,函數(shù)的值域是.

2010-2018年

1.B【解析】.故選B.

2.A【解析】由,,得,或

,,所以,

則,故選A.

3.D【解析】因為,所以,

所以,所以,故選D.

4.D【解析】原式=.

5.C

【解析】

=,選C.

6.C【解析】

知的終邊在第一象限或第三象限,此時與同號,

故,選C.

7.B【解析】由條件得,即,

得,又因為,,

所以,所以.

8.D【解析】=,,上式=.

9.A【解析】因為,

所以,選A.

10.C【解析】由可得,進一步整理可得,解得或,

于是.

11.D【解析】由可得,,

,答案應選D.

另解:由及,可得

,而當時

,結合選項即可得.

12.B【解析】分子分母同除得:,

13.B【解析】由角的終邊在直線上可得,,

.

14.C【解析】

,而,,

因此,,

則.

15.A【解析】

,且是第三象限,,

.

16.【解析】解法一

因為,

所以,

由得,即,,

由得,即

或,,

所以當()時,取得最小值,

且.

解法二

因為,

所以

,

當且僅當,即時取等號,

所以,

所以的最小值為.

17.【解析】,,

①,

②,

①②兩式相加可得

,

.

18.1【解析】化簡三角函數(shù)的解析式,則

,

由可得,當時,函數(shù)取得最大值1.

19.【解析】角與角的終邊關于軸對稱,所以,

所以,;

.

20.【解析】.

21.【解析】.

22.3【解析】.

23.1【解析】

.,所以的最大值為1.

24.【解析】,可得,,

=.

25.【解析】

,則,又,

則,.

26.【解析】

因為為銳角,cos(=,sin(=,

sin2(cos2(,

所以sin(.

27.【解析】(1)因為,,所以.

因為,所以,

因此,.

(2)因為為銳角,所以.

又因為,所以,

因此.

因為,所以,

因此,.

28.【解析】(1)由角的終邊過點得,

所以.

(2)由角的終邊過點得,

由得.

由得,

所以或.

29.【解析】(Ⅰ)由,,

得.

(Ⅱ)由與得

所以的最小正周期是

由正弦函數(shù)的性質(zhì)得

,

解得,

所以的單調(diào)遞增區(qū)間是().

30.【解析】(1),

;

(2)

.

31.【解析】(1)因為是奇函數(shù),而為偶函數(shù),所以為奇函數(shù),又得.

所以=由,得,即

(2)由(1)得:因為,得

又,所以

因此

32.【解析】(1)

(2)

所以,

因此=

33.【解析】:(1)

所以,最小正周期

當(),即()時,.

(2)因為,所以,

因為,所以,

所以,即.

34.【解析】(1).

篇（9）

的《從感官到思維的體驗》和2015年第1期課堂觀察版刊登的《通過“實驗型學習”建立數(shù)學概念》，都呈現(xiàn)了上海市金匯高級中學的蔣云鵬老師關于“實驗型學習”的思考與探索。文章登出后受到很多讀者的歡迎，很多讀者覺得“實驗型學習”這一提法內(nèi)涵豐富、啟發(fā)性強，不僅僅是簡單的CAI。因此，從本期開始，我們會在“專題研究”欄目中陸續(xù)呈現(xiàn)一些這方面的研究成果，以蔣云鵬老師的典型案例研究為主

。當然，也希望廣大讀者踴躍來稿，積極參與研究、討論。

蔣云鵬

（上海市金匯高級中學，201103）

一、函數(shù)教學中的主要困難及其成因

函數(shù)作為整個數(shù)學學科的核心內(nèi)容，在教學設計和實施中，

主要存在以下幾個

難以把握或解決的問題：第一，函數(shù)概念的建立和形成比較困難，學生所學習的函數(shù)知識往往比較膚淺、零散，沒有達到和抓住本質(zhì)；第二，

缺乏對函數(shù)各種表達方式的價值分析及優(yōu)勢比較，特別是忽視函數(shù)對應值列表的過程；第三，函數(shù)圖像的產(chǎn)生過程缺失或冗長。

上述困難從表面上看，都是由于教學時間不夠所導致的；

但實際上，

都是因為忽視了“實驗型學習”的基本思路，或沒掌握“實驗型學習”的主要策略。

傳統(tǒng)的函數(shù)教學，一般都是先給出某類

函數(shù)的

具體定義（解析式），再繪制其大致圖像，然后根據(jù)圖像說明其性質(zhì)，

此后大部分時間則用于解題。在這樣的教學中，可感實例的呈現(xiàn)多數(shù)比較匱乏，對應值列表常常作為繪制圖像的一個步驟被一帶而過，繪制圖像的過程往往比較粗糙。

有些教師認為，這些內(nèi)容并不重要，只要講解一下，無需太多的體驗與感悟，

也沒有必要花時間理解與鞏固；多數(shù)教師則是出于無奈，只能把函數(shù)的意義、列表、繪圖這些核心內(nèi)容

講解得“半生不熟”。

“實驗型學習”的突出特點是：呈現(xiàn)大量的事實材料和現(xiàn)象，使學習主體

通過視覺感受對應數(shù)值的計算、變化、聯(lián)系以及數(shù)值轉(zhuǎn)化成點的動態(tài)變化，體會那些解釋不清或難以言表的“演繹”，從而經(jīng)歷學習的全部過程，并產(chǎn)生真實的深度體驗；

同時，將大量的精確計算、描點這類沒有思維含量的操作交由計算機在幾秒鐘內(nèi)完成，從而留出時間用于對大量現(xiàn)象進行觀察、思考和分析。

因而“實驗型學習”能有效地解決上述困難。

二、函數(shù)教學的典型案例

【案例1】函數(shù)概念起始課

課始，教師提問：“誰知道自己家汽車的耗油量？這個數(shù)量是怎樣測試出來的？”學生議論并大致回答后，教師出示表1，并說明：“表中是某輛車在從上海駛往南京的過程中記錄下來的數(shù)據(jù)，你能知道該車的用油量嗎？你能填寫表中的空格嗎？”學生嘗試填寫后，教師寫出關系式y(tǒng)=12/100x，并讓學生寫出汽車行駛120千米、270千米時的用油量。學生嘗試計算后，教師總結道：“用油量y隨著汽車行駛路程x的變化而變化，對于每一個x的值，都能找到一個確定的y的值與之對應，這種一個變量x的變化確定另一個變量y的變化的關系，

稱為函數(shù)關系。”

接著，教師舉例道：“再比如，一條線段的長度r的變化確定了以此線段為半徑的圓的面積S的變化。”然后，教師打開幾何畫板，作出一個圓；隨著教師拖動圓的半徑，計算機自動呈現(xiàn)了不同的半徑值，并計算出不同的半徑值對應的圓的面積值，同時生成了對應值表（如圖1）。由此，教師總結道：“同樣，S與r的關系也稱為函數(shù)關系，我們稱r為自變量，S是r的函數(shù)。”

此后，教師又舉例道：“再比如，某天某地的氣溫T隨時間t的變化而變化，正方體的體積隨棱長的變化而變化……”然后，教師再請學生舉例說明自己所知道的函數(shù)關系……

【案例2】二次函數(shù)概念起始課

……在介紹了二次函數(shù)的定義后，教師提問：“如何畫出函數(shù)y=x2的圖像？”學生回答：“列表、描點、連線。”然后，教師要求學生在事先準備好的學習單（其中列有表2）上進行填表、描點、連線。

填表、描點都進行得很順利，但是，在連線時部分學生將所描的點按順序用直尺連成了折線。教師看到后糾正說：“我們在學習反比例函數(shù)時曾強調(diào)過，要用光滑的曲線連線，畫成幾條線段的都是錯誤的，請同學們更正并牢記。”接著，教師打開幾何畫板，利用“繪制新函數(shù)”功能，直接繪制出y=x2的圖像，讓學生對照。

三、解決函數(shù)教學中主要困難的思路和策略

（一）通過大量的實驗漸進地建構函數(shù)的意義

函數(shù)概念形成的關鍵是將研究的對象由靜止、不變的現(xiàn)象轉(zhuǎn)移到運動、變化的現(xiàn)象上，將注意力由單個常量的大小轉(zhuǎn)移到兩個變量的關系上。由于學生在之前的學習中長期面對的是獨立不變的量（常數(shù)），缺乏觀察變化情況、思考聯(lián)系情況的經(jīng)歷和體驗，因此，要實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)變是比較困難的。

案例1的設計者正是基于這種考慮，在引入函數(shù)概念時，運用了“實驗型學習”的基本思路和策略：不急于下準確定義，而是通過學生已熟知的、經(jīng)歷過的（耗油量）問題，或當場看得到的、能經(jīng)歷的（圓的半徑與面積）現(xiàn)象，讓學生通過想象或感官去體驗兩個變量的關系；而且不惜舉出大量的例子（包括學生自己舉例）來說明這種關系，目的就是讓學生增加一些經(jīng)歷，加深一些體驗，產(chǎn)生“變量成對”的印象，為概念的形成奠定基礎。

此外，案例1的設計者在這節(jié)函數(shù)概念起始課中，自始至終都沒有給函數(shù)下精確的定義，而力求使學生在經(jīng)過對大量的實例的觀察、思考后，在所歸納出的“描述性定義”的輔助下，大致形成對函數(shù)意義的初步認識，即意識到：（1）兩個變量之間會有確定的關系，一個變量會隨另一個變量的變化而變化；（2）由于變量表示的事物有特定的意義，所以變量有一定的限制范圍；(3)兩個變量的對應值可以利用表格列出；(4)其中的規(guī)律可以利用代數(shù)式表達，從而簡化和精準。

這種通過大量的實驗（豐富直接的感官體驗引發(fā)的思維活動）漸進地構建新概念的意義的做法，因符合學生本身的經(jīng)驗基礎和認知習慣而顯得自然，因在大量的可感事實的基礎上獲得認識而顯得合理，是解決函數(shù)概念教學困難的有效思路和策略。

（二）突出對應值列表的過程，認清各種表示方式的價值和優(yōu)勢

對應情況（值）列表是一般人實際生活、工作和研究中最常用、最習慣的方法，也是最直接、最容易理解的函數(shù)表達形式。學生在學習函數(shù)時出現(xiàn)的概念模糊、思路狹隘、方法呆板等問題，往往都與忽視對應值列表的過程有關。很多學生在學習函數(shù)很長時間后，

仍然不知道各種函數(shù)的圖像從何而來，而僅僅記住了它們的樣子，導致了因果關系混亂。而且，很多學生在后面學習數(shù)列時，也不會列出項數(shù)與其對應值的表格以從中找到規(guī)律，甚至連“數(shù)列也是函數(shù)”“用函數(shù)方法研究數(shù)列問題”都需要專門花時間來教學。這些顯然都是忽視函數(shù)對應值列表的過程而造成的惡果。

案例1的設計者正是基于這種考慮，每舉一個例子后，都進行了對應值列表（實驗）——其中有些數(shù)據(jù)是間接知道的，有些數(shù)據(jù)是借助計算機直接測量、計算出來的。這給學生的感覺是，他們看到的都是事實，沒有強加的成分。最關鍵的是，對應值列表清晰地反映出變量變化的規(guī)律——如增還是減（單調(diào)性）、有無對稱特點（奇偶性）、有無重復特點（周期性）等，都一目了然。對列表中數(shù)據(jù)的觀察、分析充分了，圖像的輪廓也就自然地在頭腦中形成了；而經(jīng)過分析、歸納發(fā)現(xiàn)的圖像，無須強記，就會牢牢地固著在記憶中。這種主動的發(fā)現(xiàn)，比記住圖像后反過來“利用圖像說明性質(zhì)”，學習效果要好得多。同時，

從思想方法的角度看，各種函數(shù)的部分特殊（自變量取正整數(shù)）對應值列表過程，實際上就是各種數(shù)列的研究過程。此過程處理得好，數(shù)列的學習就會容易得多，方法就會通透得多。

實際上，“實驗型學習”能使函數(shù)對應值列表自然、高效地實現(xiàn)，并讓學生自主地進行觀察、分析，因而，特別有利于學生認清函數(shù)各種表達方式（列表、圖像、解析式）之間的關系，并感受到對應值列表在實際研究中的必要性和優(yōu)勢。

（三）優(yōu)化繪制圖像的過程

如何描繪圖像，一組對應變量由數(shù)轉(zhuǎn)化為點體現(xiàn)了什么思想，圖像為什么是“光滑的曲線”而非折線等，都是函數(shù)教學中極為重要的問題，事關整個函數(shù)思想和方法的形成。而這些問題在二次函數(shù)的教學中尤為突出，因為二次函數(shù)是初等數(shù)學的基礎與核心內(nèi)容，也是初中生第一次比較系統(tǒng)地借助函數(shù)圖像研究函數(shù)性質(zhì)的內(nèi)容。

案例2的設計者似乎也注意到了這些問題，但其具體的做法有以下幾點不妥：（1）在繪制圖像前，沒有讓學生明白圖像的意義，把握操作的過程。事先列表并規(guī)定了5個特殊的自變量值，忽視了學生的思考動因，限制了學生的思考空間。如果讓學生自己取值，他們未必會只取這5個值，也未必會取得這么均勻、對稱；而只有出現(xiàn)多種取值情況，才能比較、反襯出以上取值方法的合理性。（2）糾正學生錯誤的方法不妥，問題

的關鍵出在講解反比例函數(shù)時，只“強調(diào)”了要用光滑的曲線連線，而沒有解釋為什么。“講了多次，仍記不住”是許多教師共同的煩惱；而學生之所以總是記不住，就是因為他們總是不知道“為什么”，卻要勉強地“記住”。（3）利用幾何畫板直接繪制出y=x2的圖像，與在黑板上手繪圖像、利用掛圖或PPT等展示圖像都一樣，沒有呈現(xiàn)實驗的過程，只是告知預設的結果，使學生沒有思考的機會，更沒有質(zhì)疑的余地，被動接受，當然難學難記。

結合上述分析，可以對案例2作如下改進和優(yōu)化：首先，利用幾何畫板設置自變量x，計算出y=x2，然后，順次選取

x、x2，列出動態(tài)表格。這里，教師可以通過鍵盤任意輸入不同的x的值，x2的對應值將自動生成在動態(tài)表格中（如果硬件條件許可，學生可以在自己的移動終端上進行這些及以下操作）。當感覺表格中的數(shù)據(jù)夠了時，就可以利用“繪制表格數(shù)據(jù)”功能將表格中的所有點（x，x2）繪制在坐標系中。此時可讓學生觀察點的分布情況，并嘗試說出（或畫出）函數(shù)的圖像。如果出現(xiàn)折線圖，教師則只需讓

篇（10）

授課教師可根據(jù)教材知識的內(nèi)容，將知識在教案中轉(zhuǎn)化成其他問題的形式，讓學生融入一種與知識相關問題的情景中，讓學生通過對問題的觀察思考，試著尋找適合的不同方法，從而積累所學知識點，豐富感性認識，在問題情境中逐步提高解決問題的能力。教學中提出與所學知識點相關的問題，突出重點，啟發(fā)思考。在高中數(shù)學課堂教學中引導教學法的運用，不僅可以增強學生的求知欲，而且可以促進課堂的有序進行，提高課堂教學效率。

例如，在講“函數(shù)模型及其應用”一課時，教師提供函數(shù)和方程的相關公式及相應的圖像等，通過類比，討論提出大膽猜想。通過相應的例題使學生感受建立函數(shù)的方法，首先就是結合圖形，通過數(shù)形達到解決函數(shù)問題的目的，同時解決了函數(shù)和方程的區(qū)別問題。

二、學生為主導，引入數(shù)形結合教學思想

教材的研讀需要達到把握課本基礎知識，教師培養(yǎng)學生研讀的基本技能，就需要重視數(shù)學思想方法的應用，更應注重對學生進行數(shù)學思想方法的培養(yǎng)，將這些思想引入課堂，學生把握了這些思想對今后的數(shù)學學習和數(shù)學知識的應用將產(chǎn)生深刻的影響。對于高中生不應該只是對當前知識的學習，更應該將解決問題的思想拓展到其他問題，從高中階段就重視引入數(shù)學思想的教學方法，將為學生后續(xù)學習打下堅實的解題的思想基礎。

例如，在講“函數(shù)與方程”的時候，從問題的數(shù)量關系入手，根據(jù)學生的預習情況，將問題轉(zhuǎn)化為不同的設問，可將未知數(shù)與圖形結合起來，適當設定未知數(shù)，結合定義和已知條件、隱含條件，建立已知量和未知量之間的數(shù)量關系，以方程式或方程組的形式表達出來，從而使問題得到解決的思想方法，因此數(shù)形結合思想對解決與等量有關的數(shù)學問題十分有效。

三、增加教學的多樣性，提高學習效率

數(shù)形結合的形式可以是靜態(tài)的圖像等，也可以是動態(tài)的媒體文件等。將教材中的難以理解的數(shù)學思維轉(zhuǎn)化為可以接受的形象化的數(shù)形，將函數(shù)的幾何特征與數(shù)形緊密結合在一起，對于教師來說，可以不用針對教學內(nèi)容制作枯燥乏味的教案，再進行按部就班的講解；對于學生來說，將這種方法引入教學不僅可以對知識進行形象化處理，還能接受到動態(tài)的數(shù)形結合，在愉悅身心的同時學到了知識，提高了學習效率。

例如，在上《指數(shù)函數(shù)》時，我可以利用課件的優(yōu)勢，將單純的作圖方式轉(zhuǎn)化為動態(tài)的作圖方式，通過轉(zhuǎn)化使學生理解指數(shù)函數(shù)的增長速率與指數(shù)函數(shù)的特征，當中省了許多列表描點的時間，同時利用此課件除了可彌補教學教具的不足外，還可以讓學生在多元化的教學氛圍中，提高對指數(shù)函數(shù)特性的理解，加深印象，從而提高課堂學習效率。

四、注意學生的接受能力，把握引導作用

數(shù)形結合教學也有一定的不足之處，如果教師只是一味按照自己的教學思路授課，完全不顧學生的感受或者是學生的接受能力，則效果肯定不佳。因此，教師在課堂教學中，應適當走動，盡量用身體語言提示、交流教學信息，加上適當?shù)男蜗蠡Z言教學，調(diào)節(jié)課堂氣氛，也調(diào)動學生積極參與教學，加強對學生心理產(chǎn)生的正面效應，發(fā)揮數(shù)形結合教學和教師引導的雙重作用，提高課堂教學效率。

例如，在講《冪函數(shù)》一節(jié)時，學生對定義的理解，主要在于書上的介紹，很少學生能自己感悟出冪函數(shù)定義。于是教師制作了一個實踐性的教案，為學生提供教學用具，教師提供y=x，y=x ，y=x ，y=x ，y=x 等典型的冪函數(shù)的圖像，讓學生看得真切，清晰，充分鼓勵學生進行猜想和假設，更有利于學生接受，從而有助于培養(yǎng)學生的觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)能力及創(chuàng)新意識。

五、以學生為中心，掌握數(shù)形結合的應用