雞兔同籠教學反思匯總十篇

序論：好文章的創作是一個不斷探索和完善的過程，我們為您推薦十篇雞兔同籠教學反思范例，希望它們能助您一臂之力，提升您的閱讀品質，帶來更深刻的閱讀感受。

篇（1）

引言：著名的蘇聯教育學家蘇霍姆林斯基曾經說過：不能促進學生進步的課堂教學是毫無益處的，而且，如果課堂教學沒有實際作用，對教師和學生來說都是嚴重的損失。隨著我國社會水平和經濟水平的不斷發展，新課改和素質教育的觀念深入人心，對教師的教學方式也提出了更高的要求，教師必須順應教改的步伐，轉變自己的教學思路。只有靈活多變的教學方式，才能激發學生的學習熱情，提高他們的學習主動性，同時也能夠提高教師的教學質量。

一、“雞兔同籠”問題的解決

“雞兔同籠”問題早在一千五百多年前的《孫子算經》中就出現了，而北師大版的小學五年級數學課本的“數學廣角”環節再現了這一題目。“雞兔同籠”問題表現出了我國歷史悠久的數學文化，解決這個問題能夠大大增加學生對數學學習的興趣，能在一定程度上培養邏輯思維的能力。“雞兔同籠”問題貼近生活，具有很強的代表性。在以往的教材中，這類問題一般是針對水平較高的學生，用來鍛煉自己的能力，而新教材則把這道問題作為全體學生都能夠面對的問題。解決“雞兔同籠”問題有多種多樣的方法，例如假設法和列表法等，也表現出數學學習的靈活性。下面通過課堂上使用列表法解決“雞兔同籠”問題：

教師：大家通過了解這道題目，知道主要問題是什么嗎？

學生：題目告訴我們雞兔共有八只，腳共有二十六只，問雞和兔子各有多少只。

教師：大家可以先猜一下結果，也可以和你身邊的同學交流一下，比較一下答案。然后來列舉一下可能的情況。

學生：可能的情況有七只雞，一只兔子；六只雞，兩只兔子；五只雞，三只兔子；四只雞的話，就有四只兔子；三只雞，五只兔子；兩只雞；六只兔子；或者一只雞，七只兔子，這么多種情況。

教師：還有其他可能嗎。

學生：全部是雞或者全部是兔子。

教師：那么我們來分別計算上面的情況，看哪種情況下，腳的數量是二十六只。大家來計算一下。

學生：計算后得到的結果是有五只兔子和三只雞。

通過上述課堂教學的過程，讓學生自主的解決了“雞兔同籠”問題。這種方式加強了學生在課堂教學中的主體地位。在解決問題的初始階段，鼓勵學生大膽猜想，發散自己的思維。然后讓學生列舉所有可能的情況，再引導他們通過計算得到正確答案。讓學生了解解決問題的基本思路和方法，培養良好的學習習慣。

二、“雞兔同籠”問題的教學反思

從小學數學“雞兔同籠”問題的解決過程中，可以引起數學教師的反思。第一個方面趣味是最好的老師，激發了學生的學習興趣，那么課堂教學基本成功了一半。通過靈活多變的教學方式，活躍課堂氛圍，轉變傳統課堂枯燥無味的氣氛，能夠大幅度激發學生的求知欲，而只有有了求知欲，學生才會主動去了解問題，解決問題。通過教師的引導，讓學生感受到解決問題帶來的快樂，滿足他們豐富的學習欲望，才能保證高漲的學習熱情。美國的教育學家通過研究證明，激發了學習興趣，學習效果能夠成倍增加。孔子的《論語》中也提到過“知之者不如好之者，好知之不如樂之者”，只有激發學習興趣，才能達到教學的最終目標――快樂學習。但是，現今很多小學數學教師，雖然知道新課改和素質教育的理念，但是仍然固步自封，不遠轉變觀念，填鴨式的教學，造成課堂效率低下，浪費時間，又阻礙了學生的發展，所以，激發興趣對學生的數學學習至關重要。

學無定法，掌握方法也是提高學習質量的重要因素。而課堂教學除了提高學生的學習熱情外，更重要的是讓學生掌握方法。在“雞兔同籠”問題的教學中，就體現了以下兩種數學方法：

（1）檢查檢驗：要保證得到的答案準確，就要做好檢查和檢驗。通過培養學生良好的檢查習慣，能夠揪出在解決數學題時出現的問題，保證答案符合題目要求。在教師引導學生自主解決“雞兔同籠”問題后，很多同學會將答案弄錯，比如將雞和兔子的數量弄反了，這種情況是很常見的。所以，檢驗是保證解題正確的重要方法。通過方程或者其他方法得到了雞和兔子的只數，還要通過計算總的腳的數量，來保證答案的正確性。檢查和檢驗，是學生務必養成的良好學習習慣。

（2）數形結合：數學知識是比較抽象難懂的，而且小學生的知識水平認知水平都還不高，對過于理論性的解題方式，很多都是一知半解。針對這個問題，在數學教學中就要采用數形結合的方法，教師可以使用符號、圖形來代替題目中的元素，通過題目中的條件將這些元素結合起來，就能很快得到答案。教師還可以利用現今普遍使用的信息化技術，通過計算機、課件讓抽象的數學知識更加形象、易于理解，課件還能夠提供給學生視覺、聽覺上的全方位的接受知識的方式，能夠有效加深學生對知識的理解和記憶。

小學生的思維方式還不是很成熟，而且正處在由形象思維向邏輯思維發展過度的階段，所以，這個階段接受的數學知識，仍然具有較強的具體形象性。數學知識貼近生活，數學上的很多問題，都能夠用生活上的知識來解答，而我們也可以使用數學知識解答生活中的難題，所以，數學和生活是緊密結合的。數學課堂的教學內容都是來源于生活的，經過知識性的凝聚和提高，成為專業的數學知識。學生對來源于生活的數學知識接受程度最高，而且，在講解這部分內容的時候，學生首先能夠通過自己在生活中的體驗，了解這部分知識的大致內容，基本相當于預習，對接下來的學習有很大幫助。

結束語

綜上，通過小學數學課本中的“雞兔同籠”問題教學，可以發現教學中仍然存在一定問題。在教學中，教師應該使用多變的教學方法，活躍課堂氣氛，激發學生的學習熱情，通過知識的生活化，讓抽象的數學知識易于接受。這樣才能做好小學數學教學工作。

參考文獻：

篇（2）

【反思一】對于雞兔同籠問題，還有不同的解法嗎？

如果將猜測也當做一種解法，那么教材里呈現的例1的解法，已經有5種之多。

解法1（猜測法）：猜測哪一組雞兔數目的組合滿足題意，是3只兔、5只雞嗎？還是4只雞、4只兔？……

解法2（枚舉法）：按照雞的數目從最大（8只）到0來列舉所有可能的雞兔數目組合，從中找出滿足題意的數目組合。

解法3（假設引出腳數差）：假設全部是雞，通過腳數的差異找到兔子數，再得到雞數。

解法4（列一元一次方程求解）：略。

解法5（用“雞兔抬腳”的奇思妙想求解）：略。

這些解法大體上是按照從算術解法到代數解法的順序編排的，突出了代數解法的一般性。然而，對于這個問題，還有不同的解法嗎？作為教師，我們是否應該儲備更多的解法呢？答案是肯定的。

比如，這個問題還可以用二元一次方程組來求解。設籠子里有雞x只、兔y只，則x+y=35，4 y+2 x =94。解之得到x=23，y=12。此外，當然還有其他解法，教材為了突出代數方法的一般性，所以只呈現了一部分解法。再加上二元一次方程組需要等到初中才正式學習，所以，教材將這種解法省略掉了。

【反思二】“雞兔同籠問題”的教材編排體系如何？

盡管教材僅僅是將上面提到的各種解決方法當作供學生“模仿”的例子，但我們作為教師，是不應該停留在“模仿”的階段上，應該善于拓展教學空間，儲備更多的知識，走得比教材遠。正如俗話所說 “要教給學生一杯水，自己得先有一桶水”，我們要能統觀“雞兔同籠問題”在整個教材體系中的編排。

首先，在五年級上冊的第四章“簡易方程”中，教材已經在練習十三當中設置了一道這樣的練習題：雞和兔的數量相同，兩種動物的腿加起來共有48條，雞和兔各有多少只？在那里，學生主要是用方程來求解的，至于將代數方法和方程方法專門對比、深化，這是在六年級上冊才進行的。而除了溝通算術解法與代數解法，我們還應能夠預期由本章各種解法向中學階段二元一次方程組內容延伸的前景。而這些知識聯系的空間，就是學生學科發展的空間。能否把握這個空間，是判斷教師學科知識水平的一個重要指標。

【反思三】如何夯實學生學科發展的基礎？

課本設置的雞兔同籠問題類型的練習題，包括各種各樣的求兩樣事物各幾何的問題：龜鶴40只，腳112只；38人租大船和小船共8只，分別可載6人和4人；12人植樹，男生每人種3棵樹，女生每人種2棵樹，共32棵樹；自行車三輪車共10輛，26個輪子；籃球比賽3分球與2分球，張鵬投了15個進了9個，共21分；大珠小珠共30個重266克，大珠單個重11克，小珠單個重7克；答對一題加10分，答錯一題扣6分，答10題得36分；37名學生分科技類小組和藝術類小組，科技類小組每組5人，藝術類小組每組3人，現分9個小組；有2分和5分硬幣共b枚，錢的總數為a元，兩種硬幣各幾何；花了231元買足球和籃球共6個，足球每個42元，籃球每個36元；100個和尚吃100個饅頭，大和尚一人3個，小和尚三人1個……這些題目涵蓋了各種生活情境。對此，教材的導向很明確，既要使學生佩服古人的奇思妙想和聰明才智，也要讓學生能夠在多種解決方法的探索和對比當中認識到解決問題策略的多樣性和代數方法的優越性，從而促進其邏輯推理能力的發展，鍛煉學生觀察、分析、推理和解決問題的能力。因而，通過解決這一系列問題，讓學生善于在不同的情境中把握問題的本質，這顯然就是學生學科發展的基石，應該成為一個最基本的教學要求。對此，我們又應該如何把握呢？

首先，我們需要引領學生辨別雞兔同籠問題的本質。比如，通過練十六中的這一道題目“盒子里裝著5分和2分的硬幣，一人從盒中任意取出硬幣若干，并說出硬幣的個數和總錢數，另一人來猜其中5分硬幣有幾個。”其實能夠幫助學生獲得進一步的精細化認識：盡管這里的“5分”不是一個偶數（例題里的雞和兔的腳數都是偶數），但它仍然適用類似的解決方法。由此，可以延伸出例題當中的“腳數”可以是任意整數的認識。這樣就排除了奇（偶）數這個非本質信息。類似的，關于搶答加分和扣分的問題，也讓學生對于“腳數”這個量的認識得到拓展。這些類似的拓展信息，其實都不是解決這類問題的本質。其次，我們需要讓學生明確，解決此類問題，關鍵就在于如何辨別問題中與例題中的“雞”“兔”相對應的量，以及與“雞腳”“兔腳”相對應的量，并能夠將例題中的數量關系遷移到新的問題情境中。而只有“雞”“兔”相對應的量，以及與“雞腳”“兔腳”相對應的量，這四個量之間的關系及其聯結著的結構，才是這類數學問題的本質結構。只有把握了這個本質結構，學生才能獲得解決這類問題的一般經驗，這才是學生跨越“模仿”教師和例題，獲得學科能力發展的關鍵。因此，在教學當中，我們不能僅僅帶領學生解完問題以后就戛然而止，而應該引導學生對解決這些眾多問題的過程進行回顧與反思，將學生的認識進一步升華到這個本質結構的理解上去。這就是我們需要幫學生夯實的“基礎”。

事實上，以上幾個方面包括了對教學內容拓展空間的反思、對課程內容編排體系的反思、對學生發展基點的反思，這樣的立體式思考，就構成了對該教學單元的“解剖麻雀式”的思考，從而使我們獲得了對該單元課程內容的整體把握。而這種思考的線索，無疑也能為我們對其他教學內容的思考產生一定的啟發。

篇（3）

一、“雞兔同籠”解題方法

雞兔同籠問題的解題方法很多，有猜測法、畫圖法、假設法（假設都是雞、假設都是兔、假設都抬腿）、列表法（逐一列舉法、跳躍列舉法、取中列舉法）、代數法（一元一次、二元一次）等。每一種方法都各有優劣，我們來介紹主要的幾種。

例題：籠子里有若干只雞和兔。從上面數有8個頭，從下面數有22只腳。問：雞有幾只？兔有幾只？

1、假設法。

假設法是根據題目中的已知條件或結論作出某種假設，將復雜的問題簡單化，明朗化，從而迅速找到解題思路。

（1）假設籠子里都是雞。若8只都是雞，一共有8×2=16（條）腿，比實際22條腿少了22-16=6（條）腿，少這8條腿是因為把一只兔假設成一只雞，每只就少4-2=2（條）腿，（即每只兔與每只雞的腿數之差），6條腿需要這樣的6÷2=3（只），這就是把3只兔假設成了雞，所以兔就有3只，雞就有8-3=5（只）。

（2）假設籠子里都是兔。若8只都是兔，一共有8×4=32（條）腿，比實際22條腿多了32-22=10（條）腿，多出的10條腿是因為把一只雞假設成一只兔就多了4-2=2（條）腿（即每只兔與每只雞的腿數之差），10條腿需要這樣的10÷2=5（只），這就是把5只雞假設成了兔，所以雞就有5只，兔就有8-5=3（只）。

（3）抬腿法。 假設籠中的雞兔訓練有素，吹一聲哨，它們都各抬起一只腳，即還剩22-8=14（條）腿，再吹一次口哨，它們又抬起一只腳，即還剩14-8=6（條）腿。而此時雞一屁股坐地上了，兔子還有兩只腳站立著，所以兔子有6÷2=3（只），雞有8-3=5（只）。

2、列舉法。

列舉法也是數學中的通法，學生從不斷嘗試和調整中找到正確答案，從認知上看，列舉法是學生比較容易掌握的方法。

（1）逐一列舉法。（從頭至尾，一個個列舉）

雞 8 7 6 5

兔 0 1 2 3

腳 16 18 20 22

（2）跳躍列舉法。（從頭開始，跳躍列舉。）

雞 8 6 5

兔 0 2 3

腳 16 20 22

（3）取中列舉法。（從中開始，左右列舉）

雞 4 5

兔 4 3

腳 24 22

3、代數法。

代數法，要求學生分析問題中的量，確定等量關系，設未知數，列方程，求解。對學生的綜合應用能力和抽象思維能力有一定要求，因此為教學增加了難點。由于小學數學只涵蓋簡易方程，因此二元一次方程不列入教學。

（1）一元一次方程：

解：設兔有χ只，那么雞有（8-χ）只。根據雞兔共有22只腳，那么有：

4χ+2（8-χ）=22 4χ+16-2χ=22 16+2χ=22

2χ=22-16 χ=3

雞:8-3=5(只) (亦可設雞為χ，那么兔就為（8-χ）只。而后列方程解。)

（2）二元一次方程：

解:設有雞χ只，有兔У只，則

χ+ У =8 ①

2χ+4 У =22 ②

②-2×①得

У=3，χ=5

二、“雞兔同籠”教學設計

雞兔同籠中的解題方法如假設法需要學生具有較高的抽象思維能力，因此教材一般都安排在小學高年級進行。在教學過程中，教師要讓學生在感受“雞兔同籠”趣味性的同時，關注他們解題能力的提高。要引導學生在解決“雞兔同籠”問題的過程中建立數學模型，要讓學生體會到解題策略的多樣性以及其中蘊含的數學思想。以下的教學設計就體現了上述特點。

（一）情景激發 揭示課題

大約一千五百年前，我國古代數學名著《孫子算經》中記載一道數學趣題：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？

【走進數學趣題，利用情景激發學生學習的積極性，揭示學習課題。在教學過程中，給學生展示《孫子算經》中雞兔同籠原題，讓學生感受古代數學的魅力。】

（二）分析題意，嘗試畫圖。

例一：籠子里有若干只雞和兔。從上面數有8個頭，從下面數有22只腳。問：雞有幾只？兔有幾只？

【雞兔同籠原題的數據較大，不適合剛接觸此種題型的學生，因此先用數據較為簡單的例題，化繁為簡、化難為易，有助于學生思考。】

同學們從題目中能獲得哪些數學信息呢？

【引導同學們捕捉雞兔頭數腳數等隱藏信息】

猜一猜，畫一畫

如下圖，每個圓圈代表一個頭。畫一畫，看看能不能猜出雞有幾只，兔有幾只？

【將猜想和假設并行，引導學生從用8個頭猜測，從22只腳來，讓學生思考其中的數學關系，為之后的代數法作鋪墊。畫圖法的本質是假設。假設是一種重要的數學思想，它通過先假定一種情況，然后通過推導、驗證來解決問題，在一定程度上將問題簡單化。教學過程中利用畫圖假設，激發了學生興趣，培養了學生的想象能和思考力。】

（三）理解不同，多樣解題。

例二：籠子里有若干只雞和兔。從上面數有20個頭，從下面數有44只腳。問：雞有幾只？兔有幾只？

你覺得用列表的方法方便嗎？

【制造矛盾沖突，體現畫圖法、列表法的不方便，引導學生進一步思考和探索，同時有利于引出新方法。】

“從上面數有20個頭，從下面數有44只腳”，你能根據其中的數量關系列出方程嗎？

【引導學生根據題目中的數學關系列出簡易方程，并在解題的過程中復習簡易方程的解法，這就是代數的思想方法。這種思想方法會促進學生抽象思維的發展，提高學生從題目中找到可利用的信息并進行概括整理的能力。】

（四）親歷體驗，激發興趣。

例三：籠子里有若干只雞和兔。從上面數有6個頭，從下面數有16只腳。問：雞有幾只？兔有幾只？

每六個人分為一個小組，大家一起來體驗一下“同籠”吧。

【讓每個同學身臨其境，體驗假設法的思路，不僅讓同學們體會到數學課堂的樂趣，同時使學生更深刻的記住假設法】

A、假設全是雞，就請兔子抬起兩只前腳來。這樣，總腳數就少了16-2×6=4只，為什么呢？

每只兔子都抬起了2只前腳。那么，2只2只地添，添2次剛好4只腳。 其實就是一只兔子比一只雞多4-2=2只腳，用4÷2求出有2只兔子，最后用6-2求出有4只雞。

B、假設全是兔，就請雞撲騰出兩只來。這樣，總腳數就少了（ ）只，為什么呢？

每只兔子都抬起了2只前腳。那么，2只2只地添，添（ ）次剛好（ ）只腳。 其實就是一只兔子比一只雞多（ ）只腳，用（ ）÷（ ）求出有2（ ）只兔子，最后用（ ）-（ ）求出有（ ）只雞。

想一想：

1、籠子里有若干只雞和兔。從上面數有6個頭，從下面數有10只腳。可能嗎？

2、籠子里有若干只雞和兔。從上面數有6個頭，從下面數有28只腳。可能嗎？

3、籠子里有若干只雞和兔。從上面數有6個頭，從下面數有15只腳。可能嗎？

【先用假設全是雞的解法，引導學生的思考方向，再假設全是兔，讓學生自己思考，舉一反三，加深學生的印象。對于初次接觸“雞兔同籠”問題的學生來說，這樣的活動不僅感到新鮮、有趣，而且能把握住“假設法”思路的本質。從“想一想”中更是訓練了學生想象能力和推理能力，培養學生善于觀察、善于思考的良好學習習慣。】

（五）建立模型，優化策略。

例四：小明的儲蓄罐里有1角和5角的硬幣共27枚,價值5.1元,1角和5角的硬幣各有多少枚?

【讓學生做相似的題型，旨在建立數學模型，促進思維內化，靈活掌握解題技巧，舉一反三。以后遇到如如“龜鶴問題”、“坐船問題”、“門票問題”等，學生也都可以用雞兔同籠的解題方法式進行。這樣，才能真正形成對雞兔同籠問題的構題特征與解法思路有規律性的認識。】

（六）全課反思，總結提升。

篇（4）

一、草圖引入，建立初步概念

師：請同學們看多媒體，一起讀一讀今天這節課我們學習什么內容。（板書課題：“雞兔同籠”）

師：想一想，課題是“雞兔同籠”，說明今天所學習的問題一定跟什么和什么有關？

生1：跟雞和兔有關。

師：老師這里有一個與雞、兔有關的問題，大家想不想看一下呢？

多媒體出示題目：籠子里有若干只雞和兔，從上面數，有8個頭。

師：你們覺得這道題完整嗎？還差什么呢？

生2：不完整，還差問題。

師：現在老師再給你們一個問題——“雞和兔各有多少只”，那你認為雞和兔會各有多少只呢？

師：還有其他的可能性嗎？把所有的可能性在小組內說一說。

二、草圖列表，發現規律

1.列表法

師：為了直觀地表示出雞和兔可能有的只數，你們認為應該畫一個什么來表示呢？

生3：畫一個表格。

師（出示表格）：為了能在排列的時候不重復、不遺漏，你們覺得在排列的時候不僅要考慮到雞和兔一共有8只，還要注意什么？

生4：有序排列。觀察一下剛才填好的表格（如下），你能從中找到本題的答案嗎？

師：現在老師再給你們一個條件——“從下面數有26條腿”，你們又能想到什么呢？

師：說明這道題不僅和雞、兔的只數有關，還和它們腿的條數有關，所以在排列時還應該列出每種情況下它們一共有多少條腿。

師：小組合作完成下面的表格。

師：說一說，第一個空應該填一共有多少條腿，為什么？

生5：第一個空應該填16，因為每只雞有2條腿，所以一共有8×2=16（條）腿。

生6：第二個空應該填18，因為每只雞有2條腿，每只兔子有4條腿，所以一共有7×2+1×4=18（條）腿。

……

師：觀察你們填好的表格，又發現了什么？

師：像這樣，采用列表的方法，不重復、不遺漏地寫出所有可能的答案，這種逐一列舉的方法在數學中稱為列表法。

師：如果雞和兔一共有一百多只，它們的腿一共有幾百條的時候，你們認為用列表法能找出答案嗎？同時，你覺得用列表法解決數據較大的問題時會如何？

生7：能找出答案，但是數據較大時比較麻煩。

師：現在我們根據上述題目就來探討有沒有其他的解題方法。

三、草圖假設，減少復雜

師：為了能夠找到更快捷的解決方法，首先思考一下，上面表格中的8和0是什么意思？

生8：就是有8只雞和0只兔。

師：那我們現在就假設籠子里面全是雞，籠子里一共有8×2=16（條）腿，而實際上有26條腿，這樣籠子里就少了26-16=10（條）腿，這說明什么？

生9：說明籠子里不可能全是雞。

師：假設算出的結果和實際的結果相差10條腿，說明這10條腿是受什么的影響？

生：兔。

師：剛才我們在表格里面觀察到，兔的只數每減少1只，雞的只數每增加1只，它們一共的腿數就會減少幾條？

生10：2條。

師：也就是說，這10里面有幾個2，就把幾只兔當成雞算。那到底是幾只兔呢？

生11：應該是5只兔，因為10÷2=5。

師：知道兔子的只數，那雞的只數又應該怎樣求呢？

生12：雞的只數為8-5=3（只）。

師：哪位同學能大膽地到黑板上板書一下過程，并把你的思路口述給大家聽呢？

師：如果假設全是兔，又應該怎么算呢？請大家動手試一試。

四、鞏固草圖，學以致用

出示題目：自行車和三輪車共10輛，總共有26個輪子。自行車和三輪車各有多少輛？

師：用你喜歡的方法完成本題，并在小組內匯報你的答案和解題思路。

五、回顧草圖，反思提升

師：本節課我們學了哪些知識？你還有什么疑問？

五、課后思考，拓展延伸

出示題目：籠子里有若干只雞和兔，從上面數，有35個頭；從下面數，有94條腿。雞和兔各有幾只？

師：你能用方程解或其他方法解決這類問題嗎？課后動手試試。

六、草圖運用，作業提升

（1）52名同學去劃船，一共乘坐11只船，其中每只大船坐6人，每只小船坐4人。求大船和小船各幾只？

（2）100個和尚吃了100個面包，大和尚1人吃3個，小和尚3人吃1個。求大小和尚各有多少人？

師：收集一下，還有什么方法可以解決“雞兔同籠”的問題？

……

【課后反思】

通過對這節課的6個環節的實踐，我獲得了如下的啟示：

一、怎樣進行草圖操作，是真正充分展示學生的思維過程

《新標》指出：課堂教學要充分暴露學生的思維。此是眾所周知的，那是不是如第二次試教那樣：從探討最差的開始，先展示只有1種的，再展示2種的……就是充分地暴露了學生的思維過程了呢？答案是否定的。關鍵在于我要想方設法用草圖主動地展示學生的思維歷程。展示學生的思維過程并不是必須將學生的思維動態、思維結果一覽無余地陳列在他人面前，更確切的就是讓學生能主動地經歷從不完善到完善的思維過程，這樣才實現由形式地展示學生的思維過程到實質地經歷。本節課主要著眼于學生能力的培養，通過創設自主學習的空間，引導學生通過課前自學、課上思考、討論合作、交流匯報等活動，了解“雞兔同籠”問題，體驗和感受古代數學問題的趣味性，從而激發學生對數學學習的興趣。

二、怎樣步步緊扣，才能充分發激發學生的思維動力

草圖的設置是指向的主體應是思考者（學生）本身，只有這樣，學生才會積極去思考，才能充分激發學生的思維動力。同時，問題的措詞要注意技巧性，符合學生的認知特點和心理特點。同樣為了引發學生類比他人的優點尋找自己的問題所在，試想，如問：你覺得你哪些方面做得不夠？問題直接指向去尋找學生本人的短處，我想學生思考的積極性就會大大降低，而改為問：比較你的想法和他的想法，你有什么想法？問題的開口度較大，學生既可以反思自己的不夠，努力的方向，及自己的所思所得。他們想的不是自己的不夠之處，而是自己的一種感悟和啟發，思維的深度是前者遠遠所不及的。

三、通過草圖引導學生感受數學的魅力與價值

篇（5）

例如，我們組織小數教學后備骨干教師進行的一次“磨題”互動中，就以著名的“雞兔同籠”問題為研究的素材，進行了一次深入的研究。

一、弄清什么是“雞兔同籠”

老師們通過查閱資料了解到“雞兔同籠”問題是我國古代著名趣題。大約在1500年前，《孫子算經》中就記載了這個有趣的問題。書中是這樣敘述的：今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？這四句話的意思是：有若干只雞兔同在一個籠子里，從上面數，有35個頭；從下面數，有94只腳。求籠中各有幾只雞和兔？

還了解到日本人又稱“雞圖同籠”為“龜鶴問題”（龜鶴共有100個頭,350只腳，龜、鶴各多少只？），在俄羅斯有人稱其為“人狗問題”（一隊獵人一隊狗，兩隊并成一隊走。數頭一共是十二，數腳一共四十二。人、狗各多少？）

二、獨立探究，尋求多種解法

為便于計算，我們改變了數據出示了這樣一道例題：雞兔同籠共8只，數腳共有22只，雞、兔各有多少只？讓大家來共同研究。

首先，讓教師們自行解答，由他們自主探究不同的解法，力求多種解法！其次，大組交流各自的解法，由主持人將解法一一板書下來，便于梳理和對比。因此出現了以下多種豐富的解法。

解法一：畫圖法。假設8只都是雞，畫8個圓圈表示8只雞頭，每個圓圈下再畫2只腳，而題目中說是22只腳，還少6只腳，所以將其中的三只雞在添上2只腳，這樣就補全了22只腳。這種方法，稱為畫圖補腳法。

解法二：列表法。因為雞兔共有8只，所以通過列舉出：“雞的只數” 、“兔的只數” 和 “腿的只數”也可以求到雞、兔各有多少只。

解法三：方程法。設雞有x只，那么兔有（8-x）只，可列出方程2x+4(8-x)=22,從而求到雞、兔的只數。

解法四：假設8只都是雞，則腳的只數是16只（8×2），比實際的少了6只（22-16），那么就必須用兔子去換雞，一只兔換掉一只雞就會多出兩只腳（4-2），那么，少掉的6只腳就必須用3只兔子去換3只雞，即6÷（4-2）。

解法五：假設8只都是兔，則腳的只數是32只（8×4），比實際的多了10只（32-22），那么就必須用雞去換兔子，一只雞換掉一只兔就會少掉出兩只腳（4-2），那么，多出的10只腳就必須用5只兔子去換5只雞，即10÷（4―2）。

三、加強交流，享受不同的解讀

老師們在列舉出五、六種解法之后并未停止，而是進一步對列舉出的解法進行了深入地思考，出現了不少精彩的解讀。

1. 對應于解法一，有老師提出了畫圖去腳法，即先畫成8只兔，然后逐步去掉2只腳就得到了雞的只數。

2. 對應于解法四，有老師是這樣解讀的。讓每只雞兔都具有“特異功能”，雞飛起來，兔立起來，這時立在地上的腳全是兔的，它的腳數就是22-8×2=6只，因此兔的只數有6÷2=3只，進而知道雞有5只。雞兔具有“特異功能”――想得巧！

3. 對應于解法五，有老師是這樣解讀的。把每只雞的兩個翅膀也當作腳，那么每只雞就有4只腳，與兔的腳數相同，則雞兔共有腳8×4=32只，多了32-22=10只腳，這就是雞的翅膀數，所以雞有10÷2=5只，兔有8-5=3只。把雞翅膀當作腳――想得妙！

4.還有老師是這樣想的：讓每只雞都一只腳站立著，每只兔都用兩只后腳站立著，那么地上的總腳數只是原來的一半，即11只腳。雞的腳數與頭數相同，而兔的腳數是兔的頭數的2倍，因此從11里減去頭數8，剩下來的就是兔的頭數11-8=3只，雞有8-3=5只。金雞獨立，兔子作揖――想得奇！

5.對“金雞獨立，兔子作揖”還有更奇特的解讀：讓每只兔子又長出一個頭來，然后將它劈開，變成“一頭兩腳”的兩只“半兔”，半兔與雞都是兩只腳，因而共有22÷2=11只雞兔，11-8=3只，這就是兔子的數目，（因為每只兔子變為兩只“半兔”，只數增加1只），當然雞就有8-3=5只。把兔“劈開”成“半兔”――想得特！

通過對話交流，老師們對“雞圖同籠”的解答有了進一步的認識，在分享解讀的過程中，達到了融會貫通之目的。

四、建構模型，發揮名題的作用

在積極尋求和充分理解了“雞圖同籠”問題的解法和思路之后，老師們對這一問題的實質進行了提煉。從代數的角度思考，可以用二元一次方程去解答。同時作為有趣的算術題，對初學算術四則應用題的學生的邏輯推理能力和運算技巧很有幫助。許多小學算術應用題都可以轉化成這類問題,或者用解它的典型解法來求解。關鍵是要找準變形后的“雞”、“兔”，或者說要認清題目中的“怪雞”和“怪兔”。老師們對常見的一些應用題進行了分析、歸納。

1. 12張乒乓球臺上同時有34人正進行乒乓球比賽，正在進行單打和雙打比賽的球臺各有幾張？（雞2腳，兔4腳，共12頭，34腳，問：雞？只，兔？只。）

2. 30枚硬幣,由2分和5分組成,共值9角9分,2分、5分硬幣各有多少枚？（雞2腳，兔5腳，共30頭，99腳，問：雞？只，兔？只。）

3. 小松鼠采蘑菇，晴天每天可以采20個，雨天每天可以采12個。6天后共采集蘑菇88個。求晴天有多少天？雨天呢？（怪雞12腳，怪兔20腳，共8頭，112腳，問：怪雞？只，怪兔？只。）

篇（6）

【案例一】平行四邊形面積推導

師：剛才同學們想到用數方格的方法驗證平行四邊形的面積，用“底×高”來計算是對的。想一想，到底是什么道理呢？

……

師：從你們的眼中，老師看到了困難，老師給你們一個友情提示：觀察手中的平行四邊形，利用剪刀能不能把它變成一個面積相等的長方形呢？

生：先剪開，再拼成長方形。

師：很好，同學們把手中的平行四邊形進行剪拼，觀察拼出的長方形和原來的平行四邊形，你發現了什么？（生動手實踐）

在平行四邊形面積公式的推導過程中，剪拼的方法發揮著極其重要的橋梁作用。通過動手實踐活動，使學生產生對某一數學知識的感覺，當這種感覺積累到一定的程度，便形成對學習對象的數學活動經驗。在本案例中，學生數方格時由于在長方形面積推導時已有一定的操作經驗，在驗證“底×高”的方法是否正確時，也就水到渠成了。但在用剪拼法驗證時，就遇到了困難，需要教師層層鋪墊或多方暗示，甚至直接提出。顯然剪拼法不是源于學生原有的經驗，而是“被發現”的結果。事實證明，學生明顯缺乏剪拼圖形的活動經驗，而這種活動經驗對推導多邊形的面積方式又是彌足珍貴的。通過對教材研讀發現，四年級上冊“平行四邊形和長方形的認識”中在練習里有“剪一剪”的活動，學生為什么沒有這種操作經驗？我問了班上的學生：“為什么想不到剪拼的方法？”他們說以前沒有剪拼過。我拿出數學書，問他們有沒有做過這道題目，他們說忘了。后來有個學生說那時在書上畫過，但沒有剪過，難怪如此！這里的操作經驗主要來自于行為的操作，而不是思維的操作，這種操作的直接價值取向不是問題的解決，而是通過直觀素材、學生動手實踐，經過外置的行為操作，獲得第一手的直接經驗，這種實際的外顯操作活動主要豐富來自感覺、知覺的經驗，及對學習材料的感性認識。因而，在教學“平行四邊形和長方形的認識”內容時，要重視組織學生動手實踐，進行“分一分，畫一畫，剪一剪，拼一拼”，教師則通過回想、復述、提問等方法，幫助學生把這種直接操作的經驗積累起來，在頭腦中形成動態表象。教學實踐表明，操作經驗的獲得在學生日后的問題解決活動中發揮著支撐和引導作用。在多邊形面積公式的推導中，絕大部分學生都能自發想到和自主運用剪拼等方法順利完成公式的推導，正如我們平時所說的“讓學生親身經歷操作的過程”，就是期望學生獲得這種操作的經驗。

二、自主探索――積累探究性經驗的“催化劑”

【案例二】圓的周長

在學習圓周率時，利用滾、繞的方法測量圓的周長是常用的教學方式，但在實際教學中，我發現有些學生對于測量的操作活動漫不經心，甚至出現以算代測的情況。這就使操作活動失去了積累數學活動經驗的價值和意義。探究圓周長的測量活動是學生積累數學活動經驗的好素材，是必不可少的環節，如何組織才更有價值？在一次教學中甩小球時，我想讓學生體會滾、繞法測量圓周長的局限性，便隨口說道：“如此看來，直接測量沒有意義，你們認為呢？”引出了以下精彩的對話。

生：不同意，在測樹干周長和圓木桶周長時，很方便實用。

生：直接測量不可少。但測量就是為了不測量。

師：這話是什么意思？請說明理由。

生：通過測量就可能發現規律，這樣以后就不需要這么麻煩地測量了。

師：怎樣測量才能發現規律呢？

生：要想發現其中的規律，就必須大量測量，測量要細心，要盡可能精確。

“測量就是為了不再測量。”多具哲理呀！這不就是測量的價值嗎？測量實際是操作的一種具體形式，只有將操作活動上升為探究的數學活動，才能積累具有生長性的活動經驗。這里的“探究”指的是立足已有的問題，圍繞問題的解決而開展的活動，既有外顯的操作活動，也有思維層面的操作活動。一是明確活動的目的。操作活動時學生不是擔任“操作工”，而是應讓學生以研究者的身份來學習數學。二是隱含著操作的要求。要實現以后的“不操作”，現有的操作必須嚴謹規范，對結果不能想當然，對過程和結果要進行必要的思考，只有這樣，學生才能積累豐富的活動經驗。三是體現思維操作的結合。操作和思維密不可分，有思維自覺參與的操作活動才是有意義的操作活動。學生在活動前、活動中、活動后都經歷著數學思考，學生已有的活動經驗不斷被激活并結合，本來有缺陷的經驗逐漸被修正，粗糙的經驗漸漸趨于精致，淺層次的經驗獲得有效提升，從頭開始思考的探究性經驗會自然地嵌入學生的經驗系統里去。于是我重新設計圓周率的認識的探究活動：

1.借助直覺和經驗大膽猜測，得出圓周長和直徑有關系。

2.動態展示正方形、內接圓、內接正六邊形（如下圖），觀察比較：

正方形周長>圓周長>正六邊形周長，探究出4>>3，初步感受兩者之間關系上下限，總結出圓周長是直徑的3倍多。

3.操作探究：應用繞、滾方法測量圓的周長，到底是3倍多多少呢？反復測量、計算、分析數據，發現規律。

實踐證明，這樣的探究活動，學生才能確定自己該從哪里開始，選擇怎樣的學習方式抵達目的，此時的動手操作和實踐成為學生探究的需要。由于學生對探究的結果充滿期待，因此在這種探究活動中，直接價值取向是問題解決，融行為操作與思維操作于一體，學生所積累的數學活動經驗因個體的強烈感受而充滿活力。

三、積極思考――積累思考性經驗的“助推器”

【案例三】雞兔同籠

師：思考一下，從“雞兔同籠”到“龜鶴同游”，再到“人狗同行”，你發現了什么呢？

生：雞兔同籠不只是代表著雞兔同籠的問題，它就好像是一個模型！

出示：自行車和三輪車共10輛，有23個輪子，自行車和三輪車各幾輛？

師：這個問題和我們研究的雞兔同籠問題有聯系嗎？

生：可將自行車換成雞，將三輪車換成3只腳的“怪兔”。

師：同學們的想象力真是豐富，把兔子給“整成”了3條腿。看來我們的雞兔同籠問題不僅包括4只腳的兔子，還可以是3只腳的怪兔。你能把這道題目改成“雞兔同籠”的數學問題嗎？

生：雞有2只腳，怪兔有3只腳。共10個頭，23只腳。雞有多少只？怪兔有多少只？

師：看來“雞兔同籠”中的“雞”和“兔”也可以轉換成很多腳的“怪雞”和“怪兔”。能聯系實際舉個例子嗎？

學生在數學活動的思維過程中積淀的這種經驗就屬于思考的經驗，比如歸納的經驗、建模的經驗、證明的經驗等。在解決了雞兔問題后，進行質疑引思，雞兔同籠有什么獨特魅力，從而引出“龜鶴問題”“人狗同行”，通過比較使學生感悟 “雞兔同籠”不僅僅代表雞兔同籠，它還是一種模型。再進行強化體驗，出示“車輪問題”對雞兔同籠進一步拓展，這個拓展是從“正常的雞與兔”到“怪雞與怪兔”，讓學生進一步感受“有很多只腳的雞與兔”的雞兔同籠問題模型。結合具體內容提供與數學本質一樣，層次不同的多樣化數學活動，通過梳理和反思，使學生在數學活動中感悟數學思想方法，積累隱性數學活動經驗。從獲得的經驗類型來看，學生經驗的生成是在思維層面進行的，在頭腦中進行合情推理，這類活動中獲得的經驗相對前兩種更多的是策略性和方法性的經驗。從這點上可以看出，思考的經驗的獲得是派生出思維模式和思想方法的重要渠道，這些成分對學生開展創新性活動具有十分重要的奠基作用。

四、合作交流――積累綜合性經驗的“融合劑”

【案例四】設計運動場

師：根據設計思路，各小組合作討論出運動場的設計方案，請同學們匯報一下。

生：我們設計的運動場中間是長方形，兩頭是半圓，這樣的形狀占地面積少，跑道的長度也比較長。

生：我們設計的一條直線跑道的長度為60米，一條彎道長度為40米。

生：根據設計要求，內側跑道長200米，直線跑道的長度為50米比較合適，兩條直線跑道一共長50×2=100（米）。

生：是的，剩下的兩個半圓合起來是一個圓，周長也是100米，半徑就是100÷3.14÷2≈16（米）。

生：我認為你們說得不完整，要求設計四條跑道，每條寬1米，最內側圓外面還有四個圓，半徑分別為17米、18米、19米、20米。

篇（7）

知識與技能：1、通過對實際背景的分析，領會用二元一次方程組的知識與實際問題的緊密聯系。2、會從復雜的問題中提煉關鍵信息，并能找出適當的等量關系，從而正確地建立方程。

過程與方法：1、在問題的解決過程中，實現從具體問題向數學知識的成功轉化，掌握知識與實際問題的相互聯系和解決的方法，學以致用。2、理解把問題轉化成數學問題和知識在解決問題中的巨大作用。

情感與態度：1、學生在感受成功與失敗中吸取經驗和教訓，體會到數學知識的實用價值和真正之所在，從而堅定自己樂學樂探究的信心。2、通過對古人著名問題的解決和探究，樹立強烈的民族自豪感和投身于學習的信念，感受中華民族是個優秀的民族。

教學重難點：

重點：審清題意，從實際問題中找出正確的等量關系，建立相應的方程求解。

難點：理解數學知識與實際生活問題的聯系，掌握利用數學方法解決實際問題的策略。

教材分析：雞兔同籠問題是《孫子算經》中一個較為出名的問題，并且一直流傳至日本，問題的實質包含著一個非常有用的數學知識，吸引了數學愛好者的學習興趣。問題以雞兔為實際背景，從籠中雞兔的頭和腳的數量能知道雞兔各多少只，初中學生更是在驚奇中產生了強烈的求知欲望和探究信心，在學習和探究的過程中，深深體會到數學知識與生活實際的聯系，從而進一步激發對數學科學知識的向往。

教學設計：

通過講述故事等形式，引導學生自己探究、互助交流等活動形式，激發學生的愛國熱情，明確為祖國的長期繁榮而努力，長大后為社會主義祖國建設添磚加瓦。以“雞兔同籠”問題為背景，滲透方程的思想，認識用方程解決實際問題的不可估量的作用。

教學過程：

課前預習題：

1、列一元一次方程解應用題的步驟是：(1)-------------- (2) -----------------(3)----------------

(4) ------------------ (5)-------------------

2、某營業員賣出7件襯衫和4條褲子共560元，今天又賣出9件襯衫和6條褲子共680元，若設每件襯衫售價x元，每條褲子y元，則可列方程組為------------------------

引言：我們偉大祖國具有五千年的文明史，在歷史的長河中，為科學知識的創新和發展作出了巨大貢獻，尤其在數學領域有《九章算術》、《孫子算經》等古代名著流傳于世，許多問題淺顯易懂，趣味性強，如《孫子算經》中的“雉兔同籠”等，漂洋過海傳到日本等國，對中國古文明史的傳播起很大的作用。

設置問題情境，引入課題：

問題1：雞兔同籠問題

雞兔共有17個頭，50只腳，問有多少只雞？多少只兔？

請思考，以往是怎樣解決這個問題的？（分組討論）

組1：我們是這樣想的——如果17只都是雞，應當有34只腳，現有50只腳，比34只多了16只，是因為有兔。有一只兔，則多兩只腳，現在多了16只腳，當然是有兔8只了。因此知有雞9只，兔8只。

師：小組1的同學是用了小學的方法，你們還有其他方法嗎？

組2：設雞x只，則兔有（17 -x）只，依題意得

2x+4(17 -x)=50

解得x=9 則 17 -x=8

師：小組2是用列一元一次方程來求解的，很好。

組3：我們是這樣別出心裁的——令雞將一只腳抬起，令兔將二前足抬起，則雞、兔頭數不變，而立在地上的腳卻減少了一半，為25只。因一只雞是一只腳立地，一只兔是兩只腳立地，故知兔數為25 -17=8，雞數為9。

組4：設雞x只，兔y只，則依題意得

x + y =17 x=9

2x +4y =50 解得 y=8

師：小組4是用剛學過的二元一次方程組來求解的，真是不錯。

[評析：學生思維活躍，充分交流合作，而且一些別出心裁的想法很風趣，它脫胎于小學的算術法，很耐人思考分析]

“雉兔同籠”原題：

今有雉(雞)兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？

這是有名的“雞兔同籠”問題，怎么解決呢？問題怎么探索？您能根據上面解決問題的方法來完成嗎？試試您的身手啊。

設置問題串：

(1)“上有三十五頭”的意思是什么呢？“下有九十四足”又指什么呢？

生：“上有三十五頭”指雞和兔共有35個頭，“下有九十四足”指雞和兔共有94只腳

(2)題中的等量關系是什么？您能根據(1)中的數量關系列出方程組嗎？

(3)您能解決這個有趣的問題嗎？（小組討論，由小組代表板演）

[學生自己解決完成，老師給出參考答案并給予適當點評]

這個古老的數學問題，用現代的數學方法解決，真正體現了古為今用的原則，使后人理解數學的過去和現在，也明確了數學在不斷發展的歷史長河中散發出的璀璨的光芒具有重大意義。現代數學家陳省生教授在說起“雞兔同籠”時，另有一番別味風趣的解法：

全體雞兔立正，兔子提起前兩只腳，請問[學生做出回答]

(1)現在共有幾只腳？[70只腳](2)有幾只腳提起了？[24只](3)是誰的腳？[是兔子的前兩只腳](4)那么應有幾只兔子？

[24 2=12，有12只兔子] “對了，很聰明”

[可見對一個問題的解決有多種思路，同學們在解題時應及時總結解題的各種方法，做到一題多解，多解擇優]

我變！我變！我變變變！您還會做嗎？

一只蜘蛛有8只腳，一只蜻蜓有6只腳。如果蜘蛛和蜻蜓共有76只腳，而且蜘蛛比蜻蜓多，那么蜘蛛和蜻蜓各有多少只？

（小組討論，看哪小組解決了）答案：蜘蛛8只，蜻蜓2只。

問題2：以繩測井。若將繩三折測之，繩多五尺；若將繩四折測之，繩多一尺。繩長、井深各幾何？

問題串分析：(1)“三折、五折”是什么意思？題目大意是什么？(2)題目里的未知條件有哪些，等量關系是什么呢？(3)您能列出適當的方程組并解決嗎？

解：設繩子長x尺，井深 y尺，則

- y=5 x=48

- y=1 解得 y=11

答：繩子長48尺，井深 11尺。

議一議：

從上面問題的解決中，您得到了什么體會，有什么收獲？在小組里交流。

（1）在我國悠久的歷史中，數學在古代曾文明于世界，作為炎黃子孫應感到驕傲，也激發我們為祖國的日益強大而努力學習。

（2）用方程組解決實際問題時應該

a 認真讀題和審題分析，弄清古代問題的現今意義

b 正確設出未知數（注意單位）

c 找出相等關系，并列出方程組。（注意單位要統一）

d 解方程組

e 檢驗寫答（注意單位）

練一練：您真的掌握了嗎？

列方程組解古算題：

1、今有牛五、羊二，直金十兩。牛二、羊五，直金八兩。牛、羊各直金幾何？

2、今有甲、乙二人持錢數不知其數。甲得乙半而錢五十，乙得甲半而亦錢五十。甲、乙持錢各幾何？

問題3：(探究創新樂園) 您能幫幫小亮嗎？

小亮的外婆送來滿滿一籃雞蛋，這只籃子最多能裝55只左右的雞蛋，小亮3只一數，結果剩下1只，但忘了數了多少次，只好重數，他5只一數剩下2只，可忘了數了多少次，他準備再數時，媽媽笑著說：“不用數了，共有52只”。小亮驚訝地問媽媽是怎么知道的，媽媽笑而未答，讓小亮好好動腦筋想想。您能幫幫小亮嗎？

（后來小亮運用方程知識解決了這個問題，您知道小亮是怎樣解決的嗎？）

解：設此籃子最多能放雞蛋m只，每3只一數，數了x次剩1，每5只一數，數了y次剩2，則有 3x+1=m

5y+2=m 得 3x+1=5y+2，得 y=

因為x，y都是正整數，所以3x-1 必定是5 的倍數，又因為3x+1是55 左右的數，所以3x-1應該是53 左右的數。

當3x-1=50 時， x=17 ， y=10 ， m=3x+1=52 ，符合題意

當3x-1=55時， x=18 ，不符合題意

所以m只能是52

答：這只籃子雞蛋共52只。

（您認為小亮解的對嗎？您有哪些啟發？）

點撥：經過本課的探索，您有什么收獲和體會？（小組討論總結發言）

生1：知道了數學是一門古老的學科，我們的祖先能用淺顯的數學知識解決一些實際問題，說明他們勤勞而聰明……

生2：掌握列方程組解古代數學問題時的一般步驟和方法。

生3：要像我們的祖先那樣，在飛速發展的今天，認真學好本領，為今后學習、工作打下堅實的基礎，將來建設好祖國。

師：同學們總結得很好，要想學好本領，就要扎扎實實地把現在的數學知識學好，俗話說“學無止境”，有關列方程組解應用題的問題還很多，我們下節課接著再研究。

讀一讀：數學生活實踐（洗衣粉里的數學問題，衣服洗滌后如何漂洗等）

……(寫在提綱上供學生閱讀)

小小數學沙龍：<猜猜看 > 有多少只小雞

農夫瓊斯對他老婆說：“喂，瑪麗亞，如果照我的辦法，賣掉75只小雞，那么咱們的雞飼料還能維持20天，然而，假使照你的建議，再買進100只小雞的話，那么雞飼料將只夠維持15天。”

“啊，親愛的”她答道，“那我們現在有多少只小雞呢？”

問題就在這里了，他們究竟有多少只小雞？

作業設計：習題7.4 1、2 <讀一讀、猜猜看>預習下節

篇（8）

最近幾年以來，小學數學教育在教材編排、課程設置、教法探究上都有較大的改革，教師為主導，學生被動接受的格局正逐步被打破。教師開始關注學生的特點及喜好，通過精心設計教學內容，創造良好的學習情境，引導學生主動參與到教學環節中，構建“雙主體”教學。所謂“雙主體”教學就是：教學中教師與學生都是課堂的主體，教授過程中教師處于主導地位，學習過程中學生處于主體地位，是一種互為主體的教學，也是一種雙向互動的教學，使師生的主體作用得到最大限度的發揮。

我采用了參悟式在課堂上創設特定情境，設法讓學生沉浸其間，通過學生自己的探究，會以題悟道，升華出知識要點，形成智慧，參悟強調學習主體的主動參與性，不同于以往學生被動地聽老師講解，而主要依靠老師沒拋出的知識要點，設定向問題情境，引發學生思考，讓學生在主動探究方面形成生生互動，師生互動，并從中獲得知識的全面掌握。

一、課堂案例

（一）課堂知識內容

人教版小學數學五年級上冊補充內容《雞兔同籠》。

（二）教學目標

1.了解“雞兔同籠”問題，感受古代數學問題的趣味性。

2.嘗試用列表、假設的方法解決“雞兔同籠”問題，使學生體會列表、假設的一般性。

3.在解決問題的過程中，培養學生的遷移思維能力，質疑能力表達能力。

（三）教學重難點

1.理解掌握解決問題的不同思路和方法。

2.學會用不同的方法解決實際生活中有關“雞兔同籠”的 問題。

（四）教學過程

1.課件出示雞兔同籠圖（沒有任何數據）。

教師提問：把雞和兔放在一起，你會思考哪些數學問題？

學生提問：雞有多少只？兔有多少只？雞和兔一共多少只？雞和兔誰多誰少？雞有多少只腳？兔有多少只腳？雞和兔一共有多少只腳？

教回答：從上面數一共12個頭，從下面數一共有32條腿。

教師提問：從老師的回答你知道了哪些數學信息？

學生回答：雞和兔一共有12只。雞和兔的腳一共有32只。

教師提問：請思考同學們剛才提出的兩個問題：雞和兔各多少只？

2.請學生獨立思考能完成的做在練習本上。

3.學生小組交流自己的想法。

4.學生展示自己的想法。

5.學生看書學習列表法。

學生分小組交流討論完成學習并在生活中找出相似數學問題討論、解決。

二、課后反思

從教學的過程來看，互為主體是本課教學的前提，教師和學生是互動的主體，但它不是一般的主體。教師和學生均不是獨立地出現在互動中的存在物，而是共同參與，由老師提問引起學生提問思考，學生提問又分為：生生提問及基本知識掌握：生師提問及知識拓展掌握，過去單一的“師本”或“生本”的教學理念是不符合教學規律、脫離實際的理論，教與學的過程是兩個主體之間精神交往過程，共同提升的過程，互動是以差異性為基礎，以承認兩個主體為前提，以自由、平等為條件，以積極主動參與為關鍵的師生交往的過程，通過知識的媒介師生實現了“雙主體的雙重契合”，教師和學生都是具體主體性的能動主體。課堂上要給學生自由探究的時間和空間，鼓勵學生大膽猜想質疑，去創造出新的數學知識，讓學生從“敢問”到“善問”，讓學生在質疑、解疑的過程中培養探究能力。如教學“認識厘米 用厘米量”時，教師讓學生用尺子去量一支鉛筆的長度，要求將鉛筆的一端與尺子的零刻度對齊，另一端指到幾，這支鉛筆的長度就是幾厘米。這時，一個學生問：“老師，在測量物體長度的時候，一定要把物體的一端與刻度尺的零刻度對齊嗎？”教師并沒有馬上回答，而是對這名學生提出的這個問題給予表揚鼓勵，然后說：“如果你們手中的尺子是一把折斷的沒有零刻度的尺子，你們分組研究看看，能否量出鉛筆的長度？”此時，學生的探究興趣非常高，積極地參與探究活動。通過討論，他們發現這把斷了的沒有零刻度的尺子同樣也能測量出鉛筆的長度。這個問題的解決，相信一定會在學生的頭腦中留下深深的烙印。

篇（9）

一、研究學生，讀懂孩子

在第一項“讀懂孩子”里，作者說“‘研究學生，讀懂學生’是落實學生主體地位的基本保證和基礎，不僅對學生的發展有幫助，對于教師的成長也大有裨益”。這一觀點我極為認同！翻閱兩年來的教育隨筆，我發現隨筆的內容逐漸由記錄自己的教育失誤與精彩到記錄學生的精彩，再到怎樣研究學生的學情，研究學生在學習中產生問題的根源及對策。應該說，我的教學記錄已由研究教師自己轉向了研究學生。看到作者的這段話后，我隨即產生了一種思維上的共鳴，這種教育隨筆的記錄方式其實是教育研究的一種“由表及里”的必然狀態，是教師專業成長的重要路徑之一。

雖然讀過很多教育案例，但從“讀懂孩子”里，我那些已不太敏感的神經仍能被一些課堂細節所觸動。在“是你的觀點，還是敘述別人的觀點？”的語言指引下，孩子自然會說“我的觀點是……”孩子語言表達能力的提升，對他們獨立觀點的保護與中肯評價，不僅僅要在語文課堂上得到培養，還應在其它學科的課堂上得到應有的鍛煉，這需要每個科目教師的教育自覺和自知——即知道孩子各方面的能力可以通過教師語言的適當引導得到提高，便自覺地在備課、授課的過程中對孩子進行引導。

我所知道的主題教育活動，大多是請個專家給學生做報告。而作者給孩子們請來的是畢業于他們廈門小學，已經成為大學生的學哥學姐們，報告內容也跟孩子們的學習生活息息相關。年齡的微小差距，不僅讓孩子們樂于接受學哥學姐們的觀點，而且在互動的過程中，孩子們也能根據實際情況提出自己想要了解的問題。從“讀懂孩子”的角度出發，舉辦這樣的活動才能真正地觸動孩子們，收到預期的教育效果。

二、理論支撐，實踐研究

小學數學教育的真諦是什么？“小學數學教育應該是既‘有營養’又‘好吃’的美餐”，我為這一觀點叫好，但作者并不滿足這一答案，而是在教育實踐中不斷追問，使答案離她更近。在“理解數學”這一項修煉中，有一段作者與孔凡哲教授的對話。孔凡哲教授說：“一線教師要做‘頂天立地’的研究。”頂天，就是要有先進的教育理論支撐；立地，則是研究要從實踐中來，要能真正解決教育教學中的問題。而作者在自己的教學中做的就是“頂天立地”的研究。

在案例“雞兔同籠”的教學實踐與思考中，作者課前研究了不同版本的教材，掌握了對“雞兔同籠”這節課的編排意圖后，開始進行自己的教學實踐。這節課的可貴之處在于作者對學生先進行了前測，在了解了學生習慣用哪些方法解題后，讓學生在自學中思考三個問題：（1）課本在解答問題時用的是什么方法？（2）課本中三個表格在解題思路上有什么不同？（3）你還能想出與課本中不同的方法嗎？一般情況下，未曾認真研讀教材的教師會停在滿足于學生會解“雞兔同籠”問題的層面，而不會深入到對這一問題多種解法的探索層面，更不會在意學生在解決這一問題的過程中積累屬于自己的解題經驗和能力。而作者所提的這三個問題，足可以證明她對新課標“四基”“四能”的深刻解讀，并能在教學實踐中靈活駕馭教材的能力。這三個問題，不是以事實為基礎的問題（如書中的定義），而是以思維為基礎的問題。在數學教學中，以思維為基礎的問題對發展學生的思維能力有不可預知的力量。從作者描述案例后的“意外”中，我們可以看到這種看似耗費時間的教學方法，讓倒數第一的“差生”也有了將“路程問題”類比為“雞兔同籠”的問題模型并成功解決的能力。

肯在課堂上花時間讓學生培育屬于自己的解題思維，從專業角度來說，作者的前兩個問題能鍛煉學生的分析性思維，第三個問題能鍛煉學生的創造性思維。目前，我們教師的職責已經是越來越少地向學生傳授知識，而是越來越多地激勵學生思考。作為數學教師，作者做到了讀懂教材，真正擁有了“頂天立地”的研究姿態。

善于思考的人必是善于研究的人，對于一次作業設計作者也是“費盡心機”。課本中的小資料，在教學進度的擠迫下，往往僅是可看可不看的內容，而這在作者的眼里卻成了一次教育的良好契機。于是就有了這樣一道作業：（1）請計算你家現在的恩格爾系數。（2）訪問你的家長，計算他們小時候的恩格爾系數。（3）比較兩個數據，寫出自己的想法。從學生的作業反饋中，我們看到了這樣的作業設計真正落實了三維目標。從知識技能角度來說，學生計算恩格爾系數時用到了百分數的知識；從過程與方法角度來說，學生經歷了搜集數據、篩選整理數據的過程；從培養情感、態度、價值觀角度來說，作業很好地拓展了數學學科的育人價值。學生懂得珍惜現在的生活，懂得感恩父母給予他們的一切，起到了潤物無聲的教育效果。筆者認為只要有研究之心，無論是教學設計還是看似雞肋的作業設計都能提高學生的能力。

三、學習交流，勤于寫作

篇（10）

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9132（2017）06-0106-02

DOI：10.16657/ki.issn1673-9132.2017.06.065

小學階段是學生學習習慣養成和學科學習能力培養的奠基階段，這是學生以后學習的積累時期，因此，必須要重視小學各學科教學。而小學數學學科是小學體系中非常重要的學科，也被稱為核心學科。在新頒布的小學《數學課程標準（2011版）》教學的要求由“雙基”目標擴展為“四基”，新增加的內容是培養學生數學的基本思想和基本的活動經驗。其中對學生學習數學過程中積累基本活動經驗觀念的提出是符合當前素質教育要求和數學素養提高的基本要求的。

小學數學學科是一門具有抽象性和嚴密的邏輯性的特點，這對于學生思維能力的要求是比較高的。而小學階段是學生學習數學的啟示階段，因為年齡的限制和學生知識儲備的限制使學生在學習數學的過程中難免會遇到思維上的困難，需要針對這個問題采取相應的舉措。從另外一個角度來說，新課程下的課堂教學強調要充分地發揮學生的主體地位，要讓學生參與到課堂教學流程中來。在小學數學教學中積累學生基本活動經驗就能夠較好地解決上述的兩個方面的問題，因為從學生認知事物的過程來看，是需要由感性認識逐漸上升到理性認識的，這樣學生的認知才是深刻的。同時，在此過程中，能夠主動地通過眼、耳、鼻、舌等感官直接接觸客觀外界，不斷地嘗試而獲得新知識，這樣也有利于充分發揮學生們的主體地位。那么，應該怎樣在小學數學教學中積累學生基本活動的經驗呢？

一、引導學生學會觀察

觀察既是一種習慣也是一種能力，通過學生直觀的觀察和發現，很容易實現學生由具體到抽象、由感性認識到理性認識的飛躍，這對于培養學生學習數學的良好習慣和數學素養是非常有幫助的，因此，教師要注意引導學生在學習數學過程中學會觀察。

例如，在學習長方體和立方體這部分知識時，這一年齡段的學生空間概念是較為欠缺的，如何在學生腦海中呈現長方體和特殊的長方體――立方體的形象就可以通過引導學生們觀察來實現。教師可以首先給學生呈現關于長方體、立方體的模型，讓學生觀察它的面、棱、頂點等特征，再來尋找其長、寬、高，然后再讓學生總結特征并且嘗試說明立方體和長方體之間的關系。整個過程中，學生在直觀地觀察，這樣降低了理解的難度，感受到了數學的魅力，最后得出結論，收獲了一定的知識。整個過程中學生增長了經驗也發揮了主體地位。

二、鼓勵學生敢于動手

從數學學科的發展歷程來看，它是古代勞動人民在解決實際生活中的問題中逐漸發展起來的。因此，通過引導學生們在學習相關知識的過程中的動手實踐，也能夠促進學生的數學學習。

例如，在引導學生學習平行四邊形面積的計算這部分內容時，我們往往采取的是從長方形的面積計算的過程中來得出平行四邊形的計算公式，這時，就可以采用學生動手實踐的方式來讓學生發現計算公式。在引導學生復習完長方形的計算公式后，教師給學生提供平行四邊形的硬紙片，讓學生們自己探索怎樣把平行四邊形轉換成長方形，學生在用切割法進行操作的過程中得出結論，即任意一個平行四邊形都可以轉化成一個長方形，它的面積和原來的平行四邊形的面積相等，它的長、寬分別和原來的平行四邊形的底、高相等，這樣我們就能夠得出平行四邊形的面積計算公式是底×高。

事實證明：在這樣的實踐過程中，學生真正體會到了解決問題應該從哪里開始、應該選擇怎樣的方法，這樣動手操作就成為探究問題的必然需求，學生在好奇之中去感受新知識，這遠遠比給學生一個公式要有意義得多，同時，學生所積累的數學活動經驗因個體的強烈感受而充滿活力。

三、引導學生積極思考

思考是深化知識理解最有效的手段和舉措，因此，引導學生們梳理和反思知識，能夠使學生在數學活動中感悟數學思想方法，積累隱性數學活動經驗。從獲得的經驗類型來看，學生經驗的生成是在思維層面進行的，在頭腦中進行合情推理，這類活動中獲得的經驗相對前兩種更多的是策略性和方法性的經驗。從這點上可以看出，思考經驗的獲得是派生出思維模式和思想方法的重要渠道，這些成分對學生開展創新性活動具有十分重要的奠基作用。

例如，在計算問題上最常見的雞兔同籠的問題，以及由此衍生出來的龜鶴同游的問題，學生在思維過程中積淀的這種經驗就屬于思考的經驗，比如歸納的經驗、建模的經驗、證明的經驗等。在解決了雞兔問題后，進行質疑引思，雞兔同籠有什么獨特魅力，從而引出“龜鶴問題”“人狗同行”，通過比較使學生感悟 “雞兔同籠”不僅僅代表雞兔同籠，它還是一種模型，這樣學生們的思維能力就得到了鍛煉和提升。

總之，在強調素質教育的今天，必須要本著以學生為中心的原則來落實素質教育的要求，鼓勵學生活動的參與以及活動經驗的總結，這樣才能夠為學生未來的學習和成長打下堅實的基礎。

參考文獻：

[1] 中華人民共和國教育部.國家中長期教育改革和發展規劃綱要（2010-2020年）.北京：人民教育出版社，2010.