數(shù)學(xué)考點(diǎn)總結(jié)匯總十篇

序論：好文章的創(chuàng)作是一個不斷探索和完善的過程，我們?yōu)槟扑]十篇數(shù)學(xué)考點(diǎn)總結(jié)范例，希望它們能助您一臂之力，提升您的閱讀品質(zhì)，帶來更深刻的閱讀感受。

篇（1）

高考數(shù)學(xué)的答題順序是什么高考數(shù)學(xué)的答題順序：先易后難

就是先做簡單題，再做綜合題，應(yīng)根據(jù)自己的實(shí)際，果斷跳過啃不動的題目，從易到難，也要注意認(rèn)真對待每一道題，力求有效，不能走馬觀花，有難就退，傷害解題情緒。

高考數(shù)學(xué)的答題順序：先熟后生

通覽全卷，可以得到許多有利的積極因素，也會看到一些不利之處，對后者，不要驚慌失措，應(yīng)想到試題偏難對所有考生也難，通過這種暗示，確保情緒穩(wěn)定，對全卷整體把握之后，就可實(shí)施先熟后生的方法，即先做那些內(nèi)容掌握比較到家、題型結(jié)構(gòu)比較熟悉、解題思路比較清晰的題目。這樣，在拿下熟題的同時，可以使思維流暢、超常發(fā)揮，達(dá)到拿下中高檔題目的目的。

高考數(shù)學(xué)的答題順序：先同后異

先做同科同類型的題目，思考比較集中，知識和方法的溝通比較容易，有利于提高單位時間的效益。高考題一般要求較快地進(jìn)行“興奮灶”的轉(zhuǎn)移，而“先同后異”，可以避免“興奮灶”過急、過頻的跳躍，從而減輕大腦負(fù)擔(dān)，保持有效精力。

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高考數(shù)學(xué)的答題順序：先小后大

小題一般是信息量少、運(yùn)算量小，易于把握，不要輕易放過，應(yīng)爭取在大題之前盡快解決，從而為解決大題贏得時間，創(chuàng)造一個寬松的心理基矗

高考數(shù)學(xué)的答題順序：先點(diǎn)后面

近年的高考數(shù)學(xué)解答題多呈現(xiàn)為多問漸難式的“梯度題”，解答時不必一氣審到底，應(yīng)走一步解決一步，而前面問題的解決又為后面問題準(zhǔn)備了思維基礎(chǔ)和解題條件，所以要步步為營，由點(diǎn)到面6.先高后低。即在考試的后半段時間，要注重時間效益，如估計兩題都會做，則先做高分題;估計兩題都不易，則先就高分題實(shí)施“分段得分”，以增加在時間不足前提下的得分。

高考數(shù)學(xué)知識點(diǎn)歸納總結(jié)復(fù)習(xí)忌諱一

一忌“多而不精，顧此失彼”

許多同學(xué)(更多的是家長)為了在高考中領(lǐng)先于其它人，總是絞盡腦汁想方設(shè)法要比別人學(xué)得多，這無疑是件好事。但他們最后所采用的方法卻往往是對他們最為不利的，那就是：購買和選擇大量的復(fù)習(xí)資料和講義，花去比別人多得多的時間，沒日沒夜的做，他們的精神非常可貴，他們的毅力非常驚人，其效果卻讓他們自己都非常傷心失望。有些家長甚至說：“我的小孩已經(jīng)盡力了，還是沒有進(jìn)步，一定是太笨了”。其實(shí)，他們犯了很多科學(xué)性的錯誤，卻不自知。

1.高中階段所學(xué)的知識具有一定的范圍，再多的復(fù)習(xí)資料、講義，也只不過是這一范圍內(nèi)的知識的重復(fù)和變形。

你所做的很多題目都代表相同的知識點(diǎn)，代表相同的方法，對于那些你已經(jīng)掌握的`知識、方法，做再多的題目還是于事無補(bǔ)，簡單無聊的重復(fù)除了使你身陷題海，不能自拔，耗盡了你的精力不算，還使你失去了信心，因?yàn)槟惚葎e人努力，卻沒有得到相應(yīng)的回報。

2.每一套復(fù)習(xí)資料都經(jīng)過編纂人員的反復(fù)推敲，仔細(xì)研究，都很系統(tǒng)地將相應(yīng)的知識點(diǎn)按照一定的規(guī)律和方法融會于其中。

所以同學(xué)只要研究好一兩套具有代表性的復(fù)習(xí)資料，你該學(xué)的一定都能學(xué)到，該會的都能學(xué)會。

3.“丟了西瓜，撿了芝麻”的故事告訴我們，不能太貪心，這本資料也好，那本資料也不錯，好的資料太多了，同學(xué)們的精力是有限的，而題目是無限的，以有限的精力去做無限的題目，永遠(yuǎn)沒有盡頭，必然導(dǎo)致你對每一套資料都沒有很好的完成，都沒有系統(tǒng)地研究，反而會因?yàn)楦鞣N資料的風(fēng)格、體系的不同，而使你的學(xué)習(xí)失去全面性、系統(tǒng)性，多而不精，顧此失彼，是高三復(fù)習(xí)的大敵。

復(fù)習(xí)忌諱二

二忌“學(xué)而不思，囫圇吞棗”

導(dǎo)致很多同學(xué)身陷題海，不能自拔的另一個重要原因，就是“學(xué)而不思”，題目是知識的載體，有的同學(xué)做了很多題目，卻仍然沒有明白它們代表同一知識點(diǎn)，不但不能舉一反三，甚至舉三不能反一，其真正的原因，是他們沒有養(yǎng)成思考、總結(jié)的習(xí)慣。華羅庚先生說過：“譬如我們讀一本書，厚厚的一本，再加上我們自己的注解，就愈讀愈厚，我們自己知道的東西也就‘由薄到厚’了”。“‘學(xué)’并不到此為止，‘懂’并不到此為透，所謂由厚到薄是消化提煉的過程，即把那些學(xué)到的東西，經(jīng)過咀嚼、消化，融會貫通，提煉出關(guān)鍵性的東西來。”這段話充分說明了思考在學(xué)習(xí)過程中的重要性。以下是“學(xué)而不思”的幾種具體表現(xiàn)，也許你就有過這樣的經(jīng)歷。

1.上課以為自己聽懂了，可你仍然作業(yè)不會做，去問老師的時候，老師告訴你，這就是上課講的例題或例題的變形;總是感到有做不完的題目，覺得每個題目都很新鮮，常常遇到那種好象從未見過的題型;

2.從來不去想，怎樣發(fā)展自己的強(qiáng)項(xiàng)，怎樣彌補(bǔ)自己的不足，只知道老師叫干什么就干什么，布置了作業(yè)就做，發(fā)了試卷就考。

3.考試的時候突然覺得這就是老師講的某個典型的東西，卻有那種話到嘴邊說不出的感覺，或者豁然開朗、猛然醒悟的感覺;

4.當(dāng)老師要你總結(jié)一類題目的解題方法和策略或要你總結(jié)某一章所學(xué)內(nèi)容的時候，你總是支支唔唔無話可說;

5.一個自己所犯的錯誤，只是輕輕的告訴自己，下次要注意，只簡單地歸結(jié)為粗心，但下次還是犯同樣的錯誤。

學(xué)而不思，往往就囫圇吞棗，對于外界的東西，來者不拒，只知接受，不會挑選，只知記憶，不會總結(jié)。你沒有在學(xué)習(xí)過程中“加入自己的注解”，怎能做到華羅庚先生說的“由薄到厚”，你不會“提煉出關(guān)鍵性的東西來”，就更不能“由厚到薄”，找到問題地本質(zhì)，那么，你的學(xué)習(xí)就很難取得質(zhì)的飛躍。

復(fù)習(xí)忌諱三

三忌“好高騖遠(yuǎn)，忽視雙基”

很多同學(xué)都知道好高務(wù)遠(yuǎn)就是眼高手低、不自量力的代名詞，但卻不知道什么是好高騖遠(yuǎn)。

有的同學(xué)由于自己覺得成績很好，所以，總認(rèn)為基礎(chǔ)的東西，太簡單，研究雙基是浪費(fèi)時間;有的同學(xué)對自己的定位較高，認(rèn)為自己研究的應(yīng)該是那些高于其它同學(xué)的，別人覺得有困難的東西;有的同學(xué)總是嫌老師講得太簡單或者太慢，甚至有的同學(xué)成績不怎么樣，也瞧不起基礎(chǔ)的東西。其實(shí)，這些都是好高騖遠(yuǎn)。

最深刻的道理，往往存在于最簡單的事實(shí)之中。一切高樓大廈都是平地而起的，一切高深的理論，都是由基礎(chǔ)理論總結(jié)出來的。同學(xué)們可以仔細(xì)地分析老師講的課，無論是多難的題目，最后總是深入淺出，歸結(jié)到課本上的知識點(diǎn)，無論是多簡單的題目，總能指出其中所蘊(yùn)藏的科學(xué)道理，而大多數(shù)同學(xué)，只聽到老師講的是題目，常常認(rèn)為此題已懂，不需要再聽，而忽略了老師闡述“來自基礎(chǔ)，回歸基礎(chǔ)”的道理的關(guān)鍵地方。所以大家一定要重視雙基，千萬別好高務(wù)遠(yuǎn)。

四忌“敷衍了事，得過且過”

以下是對某校2020屆高三300名同學(xué)關(guān)于作業(yè)問題的兩項(xiàng)調(diào)查：(數(shù)值為人數(shù)比例：做到的/總?cè)藬?shù))

你做作業(yè)是為了什么?

檢測自己究竟學(xué)會了沒有占91/30.33%

因?yàn)槔蠋熞獧z查占143/47.67%

怕被家長、老師批評的占38/12.67%

說不清什么原因占28/9.33%

你的作業(yè)是怎樣完成的?

復(fù)習(xí)，再聯(lián)系課上內(nèi)容獨(dú)立完成占55/18.33%

高中高三數(shù)學(xué)的知識點(diǎn)歸納一、直線與圓：

1、直線的傾斜角

的范圍是

在平面直角坐標(biāo)系中，對于一條與 軸相交的直線 ，如果把 軸繞著交點(diǎn)按逆時針方向轉(zhuǎn)到和直線 重合時所轉(zhuǎn)的最小正角記為， 就叫做直線的傾斜角。當(dāng)直線 與軸重合或平行時，規(guī)定傾斜角為0;

2、斜率：已知直線的傾斜角為，且90，則斜率k=tan.

過兩點(diǎn)(x1,y1),(x2,y2)的直線的斜率k=( y2-y1)/(x2-x1)，另外切線的斜率用求導(dǎo)的方法。

3、直線方程：⑴點(diǎn)斜式：直線過點(diǎn)

斜率為 ，則直線方程為 ,

⑵斜截式：直線在 軸上的截距為 和斜率，則直線方程為

4、，

,① ∥ , ; ② .

直線 與直線 的位置關(guān)系：

(1)平行 A1/A2=B1/B2 注意檢驗(yàn)(2)垂直 A1A2+B1B2=0

5、點(diǎn)

到直線 的距離公式 ;

兩條平行線 與 的距離是

6、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

.⑵圓的一般方程：

注意能將標(biāo)準(zhǔn)方程化為一般方程

7、過圓外一點(diǎn)作圓的切線,一定有兩條,如果只求出了一條,那么另外一條就是與軸垂直的直線.

8、直線與圓的位置關(guān)系,通常轉(zhuǎn)化為圓心距與半徑的關(guān)系,或者利用垂徑定理,構(gòu)造直角三角形解決弦長問題.①

相離② 相切③ 相交

9、解決直線與圓的關(guān)系問題時,要充分發(fā)揮圓的`平面幾何性質(zhì)的作用(如半徑、半弦長、弦心距構(gòu)成直角三角形)

直線與圓相交所得弦長

二、圓錐曲線方程：

1、橢圓：

①方程 (a0)注意還有一個;②定義: |PF1|+|PF2|=2a ③ e= ④長軸長為2a，短軸長為2b，焦距為2c;a2=b2+c2 ;

2、雙曲線：①方程

(a,b0) 注意還有一個;②定義: ||PF1|-|PF2||=2a ③e= ;④實(shí)軸長為2a，虛軸長為2b，焦距為2c;漸進(jìn)線或 c2=a2+b2

3、拋物線

：①方程y2=2px注意還有三個，能區(qū)別開口方向; ②定義:|PF|=d焦點(diǎn)F( ,0),準(zhǔn)線x=- ;③焦半徑 ;焦點(diǎn)弦=x1+x2+p;

4、直線被圓錐曲線截得的弦長公式：

5、注意解析幾何與向量結(jié)合問題：1、,

.(1) ;(2) .

2、數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量a和b，它們的夾角為，則數(shù)量|a||b|cos叫做a與b的數(shù)量積，記作ab，即

篇（2）

代數(shù)

代數(shù)等式和不等式的變換和計算。

包括：實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù);乘方和開方;代數(shù)表達(dá)式和因式分解;方程的解法;不等式;數(shù)學(xué)歸納法，數(shù)列;二項(xiàng)式定理，排列，組合和概率等。

幾何

三角形、四邊形、圓形以及多邊形等平面幾何圖形的角度、周長、面積等計算和運(yùn)用;長方體、正方體以及圓柱體等各種規(guī)范立體圖形的表面積和體積的計算和運(yùn)用;三角學(xué);以及解析幾何方面的知識。

一元微積分

函數(shù)及其圖形：集合，映射，函數(shù)，函數(shù)的應(yīng)用。

極限與連續(xù)：數(shù)列的極限，函數(shù)的極限，極限的運(yùn)算法則，極限存在的兩個準(zhǔn)則與兩個重要極限，連續(xù)函數(shù)，無窮小和無窮大。

導(dǎo)數(shù)與微分：導(dǎo)數(shù)的概念，求導(dǎo)法則及基本求導(dǎo)公式，高階導(dǎo)數(shù)，微分。

微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：中值定理，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。

積分：不定積分和定積分的概念，牛頓―萊布尼茲公式，不定積分和定積分的計算，定積分的幾何應(yīng)用。

線性代數(shù)

行列式：行列式的概念和性質(zhì)，行列式按行展開定理，行列式的計算。

矩陣：矩陣的概念，矩陣的運(yùn)算，逆矩陣，矩陣的初等變換。

篇（3）

名稱定義：函數(shù)中，應(yīng)變量的取值范圍叫做這個函數(shù)的值域函數(shù)的值域，在數(shù)學(xué)中是函數(shù)在定義域中應(yīng)變量所有值的集合

常用的求值域的方法

(1)化歸法;

(2)圖象法(數(shù)形結(jié)合)，

(3)函數(shù)單調(diào)性法，

(4)配方法，

(5)換元法，

(6)反函數(shù)法(逆求法)，

(7)判別式法，

篇（4）

【重點(diǎn)1】小芳拍球拍了50下，小明拍的比小芳少一些。

（1）小明可能拍了多少下？（請打“√”）

（2）小明最多拍了（ ）下。

【分析】因?yàn)?ldquo;小明拍的比小芳少一些”，這就說明小明拍的球比“50下”少一點(diǎn)。“12下”比“50下”少得多，而“52下”是比“50下”多一些，都不符合要求。所以比“50下”少一些應(yīng)該是“47下”。“小明最多拍了（ ）下”這個問題，首先要了解“最多”的意思，其實(shí)應(yīng)該是在比“50下”少的范圍內(nèi)的一種“最多”情況。故而因比“50下”只少“1下”，才算“最多”的情況，即“49下”。

【重點(diǎn)2】小文看一本童話書，第1天看了16頁，第2天看了20頁，第3天應(yīng)該從第（ ）頁開始看起。

【分析】小朋友容易理解為第3天從第（21）頁開始看起。其實(shí)第3天看的頁數(shù)應(yīng)該在第1天和第2天的基礎(chǔ)上再往下看的，因此要先求出小文第1天和第2天一共看的頁數(shù)：16＋20＝36（頁），再用36＋1＝37（頁），即第3天應(yīng)該從第（37）頁開始看起。

【重點(diǎn)3】王叔叔收了一批鴨蛋，前3天賣出30個，還剩8個。他一共收了多少個鴨蛋？

【分析】此題關(guān)鍵要理解“前3天賣出30個”這個條件的意思，它是指前3天一共賣出30個，而并不是前3天每天都是賣出30個。因此，這題要求“一共收了多少個鴨蛋”，只要把“共賣出的30個”和“還剩的8個”合起來就行。題中的“前3天”在解題時不起作用。

【重點(diǎn)4】在計數(shù)器上用5顆珠表示兩位數(shù)，可以表示多少？最小呢？先畫一畫，再填空。

是（ ） 最小是（ ）

【分析】用5顆珠表示兩位數(shù)，應(yīng)該把這5顆珠都放在十位上，即50；最小的話應(yīng)該盡量多的把珠放在個位上，但由于是兩位數(shù)，十位上必須得保留一顆，即14。其實(shí)這題還可繼續(xù)思考：5顆珠還能表示出哪些兩位數(shù)呢？可以有序地?fù)芤粨埽瑥牡?0開始，每次把一顆珠撥到個位，直至14。也就是說，用5顆珠表示的兩位數(shù)有：50、41、32、23、14。

【重點(diǎn)5】學(xué)校有55個籃球，五年級借走16個，六年級借走25個。一共借走多少個？

【分析】對于題中出現(xiàn)三個條件時，有的小朋友就會手足無措了。其實(shí)可從問題出發(fā)，問題要求“一共借走多少個”，那只要把五年級借走的和六年級借走的合起來就是一共借走的。而題中的“學(xué)校有55個籃球”對于解決這個問題不起任何作用，是一個多余條件。因此，要善于根據(jù)問題，理清數(shù)量間的關(guān)系，選擇合適的條件來解答。

【重點(diǎn)6】小林和小軍看同一本故事書。幾天后，小林還剩15頁沒看，小軍還剩23頁沒看。誰看的頁數(shù)多？

【分析】因?yàn)樾×趾托≤娍吹氖峭槐竟适聲运垂适聲目傢摂?shù)是相等的。問題是“誰看的頁數(shù)多”，我們知道看的頁數(shù)多，剩下的頁數(shù)就要少，相比而言小林還剩的頁數(shù)少，所以小林看的頁數(shù)就多。

【重點(diǎn)7】6( )＋4的得數(shù)是七十多，( )里填什么樣的數(shù)？

( )小于6的數(shù) ( ) 6 ( ) 大于6的數(shù)

【分析】首先要理解“七十多”的意思，“七十多”是指從71開始到79的自然數(shù)。本來這個兩位數(shù)是六十幾，加4后變成七十多，說明這是一道進(jìn)位加法，( )＋4要滿10。但由于七十多不包括70，所以填的數(shù)要大于6。當(dāng)然，此題也可以把選項(xiàng)一一代入分析，用排除法選出答案。

【重點(diǎn)8】在47，75、57、70、77這五個數(shù)中，選擇合適的填在框里。

【分析】明確分類標(biāo)準(zhǔn)是答題的關(guān)鍵。從右邊起，第一位是個位，第二位是十位。只要找準(zhǔn)數(shù)位，對于“十位上是7的數(shù)”與“個位上是7的數(shù)”這兩類應(yīng)該不是很難。但要注意“77”這個數(shù)，個位和十位上都是“7”，因而前兩個框里都要填。

后兩個框不是按同一分類標(biāo)準(zhǔn)的，要格外小心。注意“比70大的數(shù)”中不應(yīng)該包括“70”；“單數(shù)”是指“個位”上是1、3、5、7、9的數(shù)，因而47、75、57、77這四個數(shù)都是。

在填寫時要注意分類標(biāo)準(zhǔn)，還得知道由于分類標(biāo)準(zhǔn)的問題，一個數(shù)或許會填入框多次。

【重點(diǎn)9】媽媽帶的錢正好夠買這個蛋糕，媽媽最多有（ ）張20元。

【分析】“正好夠買”，說明媽媽帶的錢就是88元，不多也不少。而在“88元”里有8個十，即80元，如果都是20元的話，最多就是4張20元。

這題容易跟“媽媽買這個蛋糕付的都是20元，她至少要付幾張20元”混淆。如果是這題，付4張20元只有80元，是買不到這個蛋糕的，只有付5張20元即100元才行。

【重點(diǎn)10】小英做了20朵花，小云做了9朵，小云最少再做（ ）朵才能超過小英。

【分析】對于這題，要緊抓兩個關(guān)鍵詞――“最少”與“超過”！“超過”就是要比小英的20朵還要多，又因?yàn)槭?ldquo;最少”的情況，所以只要比小英的20朵再多1朵就行。所以可以先求出小云再做幾朵才能和小英同樣多：20－9＝11（朵）；然后再多做1朵就能超過小英了，11＋1＝12（朵）。

二年級 十大易錯重點(diǎn)題

【易錯題1】÷＝6……5，里最小填（ ），這時里填（ ）。

【問診】在尋找最小的除數(shù)時，部分學(xué)生容易忽略余數(shù)要比除數(shù)小的規(guī)律，誤以為最小為1。有余數(shù)的除法計算中，有余數(shù)要比除數(shù)小的規(guī)律，所以要大于5，最小是6。這時可以由6×6＋5算出等于41。

【練習(xí)】÷7＝……,填（ ）。

【易錯題2】王老師帶班上48名同學(xué)一起劃船，每條船最多坐6人，至少應(yīng)租幾條船？

【問診】本題錯誤原因主要有：1.理解題意時對條件分析不透徹；2.應(yīng)用有余數(shù)除法解決實(shí)際問題時對余數(shù)思考不全面。關(guān)于條件“王老師帶班上48名同學(xué)一起劃船”的理解應(yīng)是一共有49人（包括王老師），列式49÷6＝8（條）……1（人），由于還余1人，所以應(yīng)再多租一條船，8＋1＝9（條），答案是至少應(yīng)租9條船。

【練習(xí)】一輛卡車每次能運(yùn)4噸貨，現(xiàn)有23噸貨，至少幾次才能運(yùn)完？

【易錯題3】寫出下面鐘面上表示的時間。

【問診】本題出錯原因主要有兩種情況：1.觀察鐘面時將時針與分針混淆，誤以為是12時；2.觀察時針指向12，誤以為已經(jīng)到了12時，將鐘面錯讀成12時55分。首先，觀察鐘面要細(xì)心，時針短分針長。其次，鐘面上時針看似指向12，但由于分針指向11，所以沒有到12時整。可以用大約12時，快到12時了，12時少5分表示，所以應(yīng)讀作11時55分。

【練習(xí)】寫出下面鐘面上表示的時間。

【易錯題4】放學(xué)回家，小紅的前面是西，她的右面、后面和左面各是什么方向？

【問診】本題錯誤原因主要是已有的知識和經(jīng)驗(yàn)不足，對東、南、西、北四個方向的認(rèn)識不清晰，其次對這四個方向的關(guān)系不明確。首先，根據(jù)太陽從東方升起，明確生活中面向東時，前面是東，后面是西，左面是北，右面是南，那么面向西時方向應(yīng)該是相對的，與東相對的是西，與南相對的是北。其次，可以按照順時針東、南、西、北的順序來記憶。正確答案：小紅的前面是西，她的后面是東，左面是南，右面是北。

【練習(xí)】面向北站立，前面是（ ），后面是（ ），左面是（ ），右面是（ ）。

【易錯題5】里可以填幾？ 406＜4058

【問診】對比較數(shù)的大小的方法不熟練，數(shù)位相同，從高位比起。思考時分析不全面，誤以為中的數(shù)只能小于5。在比較時，左邊與右邊都是四位數(shù)，接著從高位比起。千位與百位數(shù)字相同，接下來比十位，那十位可以不可也相同呢？我們可以發(fā)現(xiàn)個位的6小于8，所以十位相同也是符合這題的，那么里可以填5。

【練習(xí)】里可以填幾？ 5639＞563

【易錯題6】按規(guī)律填數(shù)，并讀一讀。

980，985，990，（ ），（ ），（ ）

3030，3020，3010，（ ），（ ），（ ）

【問診】對萬以內(nèi)數(shù)的順序不熟練，對十進(jìn)制計數(shù)法沒有正確而完整的認(rèn)識。第一題，從980，985，990這三個數(shù)可見是5個5個地數(shù)，990再添5個，可以看個位增加5是995，個位再增加5是10，滿十進(jìn)1，十位9添上進(jìn)的1又滿十，再進(jìn)1，百位同理進(jìn)到位，所以是1000，正確答案是995，1000，1005。第二題可見10個10個數(shù)，3010減少10個為3000，3000減少10個，十位與百位為0，從千位隔位退位為2990，正確答案是3000，2990，2980。

【練習(xí)】773，783，（ ），（ ），813

9500，（ ），（ ），9800，9900，（ ）

【易錯題7】把下面的長度按從短到長的順序排一排。

3米 32分米 4厘米 47毫米

（ ）＜（ ）＜（ ）＜（ ）

【問診】本題出錯的原因主要有：1.容易只關(guān)注單位，而不能數(shù)值與單位一起看具體的長度；2.單位換算的方法不熟練。根據(jù)長度單位之間的進(jìn)率，借助數(shù)的組成理解單位換算的方法，將4個不同單位的長度轉(zhuǎn)換為同一單位的長度。3米=3000毫米，32分米=3200毫米，4厘米=40毫米，所以4厘米＜47毫米＜3米＜32分米。

【練習(xí)】把下面的長度按從長到短的順序排一排。

3米 7分米 4厘米 50毫米

（ ）＞（ ）＞（ ）＞（ ）

【易錯題8】丁丁把17粒大米連接在一趙鼎 ，量得長大約是1分米。

170粒這樣的大米接在一起的長大約是（ ）米，

1700粒這樣的大米接在一起的長大約是（ ）米。

【問診】本題錯誤的原因主要是從17粒到170粒，1700粒的變化無法與長度對應(yīng)起來。170里面有10個17，所以170粒米長度應(yīng)為10個1分米，即10分米，10分米＝1米，同理1700里面有100個17，即100分米，100分米＝10米。可對應(yīng)排列起來更易理解之間的聯(lián)系。

17粒 1分米

170粒 10分米 1米

1700粒 100分米 10米

【練習(xí)】小李測量10張紙的厚度大約是1毫米，請你估一估，100張紙大約厚（ ）厘米，1000張紙大約厚（ ）分米，10000張紙大約厚（ ）米。

【易錯題9】判斷題：書本上的直角比三角尺上的直角大。（ ）

【問診】對比較角的大小的方法不清晰，誤以為書本比三角尺大，所以書本上的直角較大。角的大小與它兩條邊叉開的程度有關(guān)，叉開得越大角就越大。書本上的直角與三角尺上的直角叉開得一樣大，所有的直角都一樣大。所以這題應(yīng)該是錯的。

【練習(xí)】比一比下面的三個角，在的角的（ ）里畫。

【易錯題10】分別按水果種類和卡片形狀分一分，并用自己喜歡的方式表示出來，在填空。

蘋果比桃多（ ）個，桃和梨一共有（ ）個，蘋果、桃和梨一共有（ ）個，三種圖形一共有（ ）個。

【問診】本題容易出錯的原因有兩點(diǎn)：1.分類標(biāo)準(zhǔn)不明確，導(dǎo)致按不同標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)據(jù)進(jìn)行分類出現(xiàn)錯誤；2.收集、整理數(shù)據(jù)的過程出現(xiàn)遺漏現(xiàn)象。本題對圖中事物進(jìn)行分類整理，分類標(biāo)準(zhǔn)不同，得到的結(jié)果也不同。計算不同分類結(jié)果的合計數(shù)，利用計算結(jié)果檢驗(yàn)分類結(jié)果是否正確（合計數(shù)應(yīng)相同）。蘋果比桃多2個，桃和梨一共有9個，蘋果、桃和梨一共有15個，三種圖形一共有15個。

【練習(xí)】按要求進(jìn)行分類整理，把結(jié)果填在表中。

三年級 十大易錯重點(diǎn)題

【易錯1】合理計算經(jīng)過的天數(shù)

（1）小麗學(xué)校2015年的寒假從2月3日開始,到2月最后一天結(jié)束,寒假一共有( )天。

（2）小林參加軍訓(xùn)活動，從8月27日開始，到9月5日結(jié)束，軍訓(xùn)了（ ）天。

【問診】首先要注意年份是平年還是閏年，月份是大月還是小月。然后看是從哪一天開始到哪一天結(jié)束。建議可以用列舉天數(shù)的方式解答。本題的具體解答如下：

（1）首先確定2月有多少天，因?yàn)?015是平年，所以2月有28天，所以從2月3日開始到2月28日結(jié)束，一共經(jīng)過：28－3＋1＝26（天）

（2）首先可以看出題目中的時間是跨月份的，所以計算的時候，應(yīng)該分兩段時間來計算：8月27日到8月31日（因?yàn)?月有31天）一共有31－27＋1＝5（天）、9月1日到9月5日一共有5－1＋1＝5天。所以一*訓(xùn)了10天

【易錯2】求經(jīng)過的時間

李叔叔上夜班，他晚上8時30分上班，第二天早上6時下班。他夜班要工作多長時間？

【問診】這題考察的是對計時法的應(yīng)用。首先要熟練掌握“普通計時法”和“24時計時法”之間的轉(zhuǎn)換，其次，對于求這種跨度不是一天的經(jīng)過時間，建議把時間分兩段進(jìn)行計算。因?yàn)?4時計時法中，一天的0時同時是前一天的24時，所以以0時為界，前面為一段，后面為一段。在本題中，為了計算方便，先把普通計時法轉(zhuǎn)換為24計時法：晚上8時30分是20時30分、早上6時是6時，所以兩段時間是20時30分——24時、0時（24時）——6時，分別計算時間：24：00－20:30＝3（時）30（分）、6:00－0:00＝6（時）、6小時＋3小時30分＝9小時30分。

【練習(xí)】我每天早上9:00上班，下午5:00下班，中午休息1小時，我一天工作幾小時？

【易錯3】右圖中，長方形被分成甲、乙兩部分，這兩部分的（ ）。

A、周長和面積都相等

B、周長和面積不相等

C、周長相等，面積不相等

D、周長不相等，面積相等

【問診】周長指的是一個圖形（或物體）一周邊線的長度；面積指的是一個物體或圖形的面的大小。所以我們來看甲、乙的面積，很明顯甲的面比乙的面大，所以甲乙的面積不相等；再來看周長，根據(jù)長方形對邊相等的特性，我們可以知道，二者都是由分別相等的兩條邊和一條公共邊組成的，所以周長相等。

【練習(xí)】比較下面兩個圖形，說法正確的是（）

A．甲、乙的面積相等，周長也相等

B．甲、乙的面積相等，但甲的周長大

C．甲、乙的周長相等，但乙的面積大

【易錯4】填表題

【問診】這種類型的題目是比較常見的，這一題包含的知識點(diǎn)比較全面了。首先，既有周長的計算，也有面積的計算，而這正是學(xué)生容易混淆的知識點(diǎn)。其次，關(guān)于邊的條件，有的用同一單位表示，有的用不同的單位表示，所以一定要仔細(xì)讀題，看清單位是不是統(tǒng)一，如果不統(tǒng)一，第一步就是要統(tǒng)一單位。此外，還考察了學(xué)生對面積、周長公式的掌握程度，給你周長，讓你求邊長。

建議學(xué)生在做這類題目時，按以下的步驟解題：

（1）統(tǒng)一單位。比如長6dm，寬3cm的長方形，你要統(tǒng)一成長60cm，寬3cm的長方形；

（2）確定所求。如果是求面積，要調(diào)用面積公式；如果是求周長，調(diào)用周長公式；如果給出正方形周長，求邊長，調(diào)用公式：邊長=正方形周長÷4；

（3）套用公式，列式計算。

（4）檢查得數(shù)是否有單位。單位要匹配，周長對應(yīng)周長單位，面積對應(yīng)面積單位。

【練習(xí)】（1）一個正方形的周長是36厘米，求這個正方形的面積？

（2）求一個面積為49平方分米的正方形的周長？

【易錯5】商店有三種鋼筆，價格分別是8元、15元、24元；有兩種筆記本，價格分別是6元、9元。小亮帶100元去商店購買鋼筆和筆記本。

（1）買1支鋼筆和3本筆記本，最多要用多少元？最少呢？

（2）買1支鋼筆和1本筆記本，最多找回多少元？最少呢？

【問診】在這一題中，有幾個關(guān)鍵的詞語：最多（少）要用、最多（少）找回，一定要搞清楚“要用”是指的買東西花掉錢，而“找回”是指買東西剩下的錢。搞清這一點(diǎn)后，再去判斷“最多（少）要用”是指買價錢（低）的物品花的錢，“最多（少）找回”是指買價錢最低（高）的物品后剩下的錢。

所以現(xiàn)在我們來看問題“（1）買1支鋼筆和3本筆記本，最多要用多少元？最少呢？” 最多要用多少錢，就是去買價格的物品，也就是1支24元的鋼筆和3個9元的筆記本，列式為：24＋3×9=51（元）。類似的可以解決最少用的錢。問題“（2）買1支鋼筆和1本筆記本，最多找回多少元？最少呢？”中，要求最多找回的錢，那么就要花去最少的錢，所以購買的是價格最低的鋼筆和筆記本，列式為：8＋6＝14（元） 100－14＝86（元）。類似的可以解決最少找回的錢。

【易錯6】

【問診】沒有真正掌握用兩步計算解決實(shí)際問題的策略，看到題目中的數(shù)字就列算式，根本不看信息和問題之間的關(guān)系。還有就是一部分同學(xué)計算出錯，致使最終結(jié)果出錯。

建議：剛開始做題時，可以在練習(xí)本上適當(dāng)?shù)貙懸幌碌攘筷P(guān)系式，分析清楚數(shù)量關(guān)系，確定先算什么再算什么后，再列式計算。從問題出發(fā)，找出條件中相應(yīng)的數(shù)學(xué)信息，利用數(shù)學(xué)信息，確定先算什么，再算什么。

【練習(xí)】小明和爸爸各多少歲？

【易錯7】商店中一件上衣76元，一件連衣裙22元，一頂帽子8元。

（1）買4條連衣裙比買1件上衣多花多少元？

（2）連衣裙和帽子各買4件，150元夠嗎？

（3）買4條連衣裙的錢，如果買帽子，能買幾頂帽子？

【問診】沒有讀懂題意，沒弄清楚先求什么，再求什么。或者在列帶有小括號的綜合算式時，忘記加上括號。通過練習(xí)，讓學(xué)生進(jìn)一步理解題目中的數(shù)量關(guān)系，并在解決問題的過程中增進(jìn)對小括號作用的認(rèn)識以及敏感性。可以讓學(xué)生先獨(dú)立練習(xí)，再交流自己的思考過程，從中感悟解決問題的基本思路，最后看算式的運(yùn)算順序是否和解決實(shí)際問題的步驟一致，及時發(fā)現(xiàn)列式中的錯誤，保障問題能夠正確解決。

【練習(xí)】面包每袋3元，餅干每盒9元，買3袋面包和1盒餅干，應(yīng)付多少元？

【易錯8】把20個桃子平均分成4份，每份是這些桃子的（ ），3份是這些桃子的（ ）。

【問診】這類題目是考察的對分?jǐn)?shù)意義的理解，很多同學(xué)沒有理解平均分的意義及“部分”與“整體”的聯(lián)系和區(qū)別，導(dǎo)致錯誤。用分?jǐn)?shù)表示一個整體的幾分之幾時，首先要看清楚平均分的總份數(shù)是多少，然后再看是取其中的幾份。提醒學(xué)生“其中的幾份”作分?jǐn)?shù)的分子，“總份數(shù)”作分?jǐn)?shù)的分母。

【練習(xí)】小明有4塊巧克力，吃了2塊，他吃了的是原來總數(shù)的（ ）。

【易錯9】一本《故事大王》15.6元，比一本《謎語》貴2.8元，一本《謎語》多少錢？

【問診】考察的是小數(shù)減法運(yùn)算。在用豎式進(jìn)行小數(shù)的減法運(yùn)算時，主要有以下三方面的錯誤：（1）相同數(shù)位不能對齊；（2）當(dāng)被減位某一位上的數(shù)不夠減時，向前一位借1卻沒有退位；（3）整數(shù)部分相減得0時，沒有把0落下來。

建議：用豎式計算小數(shù)減法時，先把被減數(shù)和減數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對齊，再按照整數(shù)減法的計算法則進(jìn)行計算，得數(shù)的小數(shù)點(diǎn)要與減數(shù)、被減數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對齊。此外，用所學(xué)知識解決實(shí)際問題時，應(yīng)先看明白題目給了什么條件，隱藏了什么條件，利用這些條件要解決什么問題，然后才能下筆做。

【練習(xí)】丁丁用一根4.3米的竹竿測量一個水塘的深度，竹竿入泥的部分是0.3米，露出水面的部分是1.2米。這個水塘深多少米？

【易錯10】青青、紅紅和方方三個小朋友百米賽跑的成績分別是12.6秒、13.4秒、13.3秒。請問（ ）跑的最快？

【問診】解決此題首先你要知道這樣一個常識：在賽跑中，用時越少，跑的越快。很多同學(xué)搞不清楚這一點(diǎn)，以為時間越大，跑的越快。知道這樣一個常識后，你還要明白小數(shù)如何比較大小。有的同學(xué)對小數(shù)的認(rèn)識不夠，有的認(rèn)為小數(shù)都比1小，有的認(rèn)為小數(shù)的大小與小數(shù)的位數(shù)有關(guān)，認(rèn)為小數(shù)的位數(shù)越多，小數(shù)越大。一定要弄清楚比較小數(shù)的方法：先比較整數(shù)部分，整數(shù)部分大的小數(shù)就大；當(dāng)整數(shù)部分相同時，比較小數(shù)點(diǎn)右邊第一位，第一位上的數(shù)大的那個小數(shù)就大。

【練習(xí)】比1大，比1.5小的小數(shù)有（ ）個？

A．100 B.1000 C.無數(shù)個

四年級 十大易錯重點(diǎn)題

【重點(diǎn)1】填空:下圖中圖形A向下平移（ ）格得到圖形B。

【分析】平移的距離要看平移前后圖形一組對應(yīng)點(diǎn)之間的距離，而不是看兩個圖形之間的距離。因而右圖中圖形A向下平移（ 3 ）格得到圖形B。

【重點(diǎn)2】選一選。

【分析】旋轉(zhuǎn)必須圖形里每條邊每部分都一起旋轉(zhuǎn)且大小不變，原圖是較短對角線旋轉(zhuǎn)180°后還應(yīng)該是較短對角線，因而正確選項(xiàng)是（ ④ ）。

【重點(diǎn)3】100000= （ ）萬

9990000000≈ （ ）億

【分析】這題前面一個填空是數(shù)的改寫，后面是求近似數(shù)。審題一定要嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致。把整萬數(shù)改寫成用“萬”做單位，去掉原數(shù)后面的4個“0”，其他部分照抄，再在后面添上“萬”字。改寫成用“億”做單位的近似數(shù)就要省略億后面的尾數(shù)，精確到億位，要看清數(shù)位。正確答案10和100。

【重點(diǎn)4】兩個乘數(shù)的積是68，其中一個乘數(shù)乘6，另一個乘數(shù)乘25，則積乘（ ）

【分析】此題考查的是積的變化規(guī)律，孩子容易錯，原因是不仔細(xì)讀題。跟著感覺走！平時練習(xí)時做過積是（ ）的題，所以做到這題就想當(dāng)然了。其實(shí)我們讀題時應(yīng)該圈劃出關(guān)鍵字“乘”，這題是問積“乘”多少，而不是積“是”多少。所以正確答案是150。

【重點(diǎn)5】李大叔家有129棵銀杏樹，去年平均每棵收獲銀杏68千克。今年預(yù)計每棵比去年多收獲19千克，今年預(yù)計能多收獲銀杏多少千克？

【分析】這題是三位數(shù)乘兩位數(shù)在解決問題中的實(shí)際運(yùn)用。學(xué)生容易忽略問題是求今年預(yù)計能“多”收獲銀杏多少千克，而求成今年預(yù)計能收獲銀杏多少千克，導(dǎo)致錯誤的發(fā)生。仔細(xì)讀題，理清條件，看準(zhǔn)問題再下手。把“多”這個關(guān)鍵字圈出來，重點(diǎn)分析數(shù)量關(guān)系，可以簡便算法列式19×129=2451（千克）求出今年預(yù)計多收獲的千克數(shù)，也可以用今年能收獲的千克數(shù)（68+19）×129減去去年收獲的千克數(shù)68×129，得出今年多收獲2451千克。

【重點(diǎn)6】用計算器算一算，看看長方形框中的9個數(shù)的和與長方形正中間的一個數(shù)有什么關(guān)系。要使長方形框內(nèi)9個數(shù)的和是153，該怎樣框？

【分析】首先用計算器算一算圖中長方形框中的9個數(shù)的和是135，是中間數(shù)15的9倍。還不能輕易下結(jié)論所有長方形框中9個數(shù)的和都是中間數(shù)的9倍。我們再框兩個試試，結(jié)果也是如此，結(jié)論成立。那么要使長方形框內(nèi)9個數(shù)的和是153怎樣框？我們可以根據(jù)規(guī)律先算出中間數(shù)是153÷9=17，以17為中心向外延展框出9、10、11、16、17、18、23、24、25

【重點(diǎn)7】小薇家有三姐妹，今年一共34歲，姐姐比雙胞胎妹妹大4歲，姐姐今年多少歲？妹妹呢？(先根據(jù)題意畫線段圖，再解答)

【分析】

我們先根據(jù)題意畫出左面的線段圖，數(shù)量之間關(guān)系也就浮出水面，明朗可見了。注意題中一個重要條件雙胞胎妹妹。通過看圖分析數(shù)量關(guān)系先算出今年妹妹的年齡（34-4）÷3=10（歲），再求出今年姐姐10+4=14（歲）。

【重點(diǎn)8】簡便計算54＋75＋46

【分析】根據(jù)加法交換律和結(jié)合律簡便計算如下：

54＋75＋46

=54+46+75

=100+75

=175

【重點(diǎn)9】馬小虎把25×（-4）錯算成25×-4，他算出的結(jié)果與正確的結(jié)果相差多少？

【分析】其實(shí)這題可以用設(shè)數(shù)法舉例子，比如假設(shè)=5，那么把=5帶入原式25×（-4）求得正確結(jié)果是25，再帶入錯算的算式25×-4求得121，最后用小馬虎算出的結(jié)果121和正確的結(jié)果25相減得出兩者相差96。也可以根據(jù)乘法分配律將左邊變成25×-25×4和錯算成的算式25×-4進(jìn)行比較，從而推導(dǎo)出兩者結(jié)果相差25×4-4=96。

【重點(diǎn)10】一個等腰三角形的兩條邊分別是5厘米和10厘米。它的周長是多少厘米？

【分析】根據(jù)三角形三邊的關(guān)系任意兩邊之和大于第三邊，推得這個等腰三角形腰是10厘米，底是5厘米，因此周長是10×2+5=25(厘米)。

五年級 十大易錯重點(diǎn)題

【問題1】小強(qiáng)用一根10米長的繩子繞一棵樹干3圈后，還剩下0.58米。這棵樹干橫截面的面積是多少平方米？

【分析與解】要想求這棵樹干的橫截面的面積，先要求出樹干橫截面的半徑。根據(jù)“小強(qiáng)用一根10米長的繩子繞一棵樹干3圈后，還剩下0.58米”，可以求出樹干橫截面的半徑是（10－0.58）÷3÷2÷3.14=0.5（米），這棵樹干橫截面的面積是3.14×0.52=0.785（平方米）。

【問題2】一個掛鐘，鐘面上的時針長5厘米。這根時針的尖端一晝夜所劃過的路線，一共有多少厘米？

【分析與解】掛鐘上的時針每小時走一大格，這根時針的尖端一晝夜所劃過的路線就是它經(jīng)過24小時所走的厘米數(shù)，即時針的尖端走兩圈的厘米數(shù)。這根時針的尖端經(jīng)過1圈走2×π×5=10π（厘米），一晝夜所劃過的路線一共有10π×2=20π（厘米）。

【問題3】一根蠟燭第一次燒掉全長的1/5，第二次燒掉剩下的一半。這根蠟燭還剩下全長的幾分之幾？

【分析與解】這根蠟燭第一次燒掉全長的1/5后，還乘下這根蠟燭的1－1/5=4/5。第二次燒掉剩下的一半，即燒掉這根蠟燭的4/5×1/2=2/5。因此，這根蠟燭還剩下全長的1－1/5－2/5=2/5。

【問題4】有12支鉛筆，平均分給2個同學(xué)。每支鉛筆是鉛筆總數(shù)的每人分得的鉛筆是總數(shù)的。

【分析與解】求每支鉛筆是鉛筆總數(shù)的幾分之幾，要把12支鉛筆看作單位“1”，這里是把單位“1”平均分成12份，其中1份占12份的1/12，即每支鉛筆是鉛筆總數(shù)的1/12。求每人分得的鉛筆是總數(shù)的幾分之幾，仍把12支鉛筆看作單位“1”，這里把單位“1”平均分成2份，其中1份占2份的1/2，即每人分得的鉛筆是總數(shù)的1/2。

【問題5】一瓶油重7/2千克，第一個星期吃了3/2千克，第二個星期吃了6/5千克。這瓶油比原來少了多少千克？

【分析與解】這里要求的是這瓶油比原來少了多少千克，就是求兩個星期一共吃了多少千克油。即3/2+6/5=27/10。

【問題6】圖中正方形的面積是8平方厘米，你能算出*部分的面積嗎？

【分析與解】右圖中*部分是一個扇形，其面積占整個圓形面積的，因此，只要求出圓形的面積就容易求出*部分的面積。可題目中并沒有給出圓形的半徑，怎樣才能求出圓形的面積呢？仔細(xì)觀察，正方形的邊長就是圓的半徑，正方形的面積等于圓的半徑的平方，即r2=8，因此，圓的面積是π×8=8π（平方厘米），*部分的面積為8π×=6π（平方厘米）。

【問題7】小明、小華和小芳各做一架航模飛機(jī)，小明用了3/4小時，小華用了5/6小時，小芳用了0.8小時。（ ）做得更快。

【分析與解】這里要正確理解“做得更快”的含義，用的時間越少，做得越快。3/4=0.75，5/6=0.8333，容易得到3/4＜0.8＜5/6。因此，小明做得更快。

【問題8】一個直徑為6米的圓形花壇，在它的周圍鋪設(shè)一條2米寬的小路。求這條小路的面積。

【分析與解】如圖，要求小路的面積，就是求圖中圓環(huán)的面積，內(nèi)圓的半徑是6÷2=3（米），外圓的半徑是3+2=5（米），因此，這條小路的面積是π×52－π×32=16π（平方米）。

【問題9】判斷：半徑2厘米的圓，周長與面積相等。（ ）

【分析與解】雖然半徑是2厘米的圓的周長和面積的數(shù)值都是4π，但周長和面積的意義不同，單位名稱也不同，不能進(jìn)行比較，因此，本題錯誤。

【問題10】一塊草坪被4條1米寬的小路平均分成了9小塊。草坪的面積是多少平方米？

【分析與解】本題中的草坪被4條小路分成了9塊，看似比較困難，這里我們可通過平移將這9塊草坪，將它們轉(zhuǎn)化成一塊長為45－1×2=43（米）、寬為27－1×2=25（米）的長方形，草坪的面積為43×25=1075（平方米）。

六年級 十大易錯重點(diǎn)題

【易錯題1】計算下面各題：6500÷25×4；106－43+57；84×10÷84×10

【問診】學(xué)生中常見的錯誤分別為：6500÷25×4＝6500÷100＝65；106－43+57＝106－100=6； 84×10÷84×10＝（84×10）÷（84×10）＝1。顯然受簡便計算思維定勢的影響，他們把“6500÷25×4”與“6500÷（25×4）”，“106－43+57”與106-（43+57）”，“84×10÷84×10”與“（84×10）÷（84×10）”混淆。引導(dǎo)孩子對簡便計算進(jìn)行審題，明確其運(yùn)算的意義尤其重要。

【練習(xí)】6÷3/5-3/5÷6 ；4×3÷4×3；125×125×64

【易錯題2】一根5米長的繩子如果用去4/5米，還剩多少米？如果用去4/5，還剩多少米？

【問診】學(xué)生對于2個4/5的意義理解不清楚，誤以為“用去4/5米”和“用去4/5”是一回事。第一個“用去4/5米”，是用去了一個具體的長度，而第二個指的是分率，用去的占全長的4/5，剩下全長的1/5。因此，理解題目中分?jǐn)?shù)的意義是解決此類問題的基礎(chǔ)。

【練習(xí)】把4/5米長的繩子平均分成4份，每份占全長的幾分之幾？每份長多少米？

【易錯題3】把一張半徑為3厘米的圓形紙片平均剪成兩個半圓，每個半圓的周長是多少？

【問診】半圓的周長≠圓周長的一半。不少學(xué)生誤以為圓周長的一半就是每個半圓形紙片的周長，直接用2×3.14×3÷2=9.42（厘米）。半圓周長與圓周長的一半，兩個看似相同，實(shí)則不同，半圓的周長=圓周長的一半+直徑的長，半圓周長比圓周長的一半多出了一條直徑。因此本題還要用9.42+3×2=15.42（厘米）。解決類似的問題要學(xué)會畫圖分析，并注意概念間的不同。

【練習(xí)】下圖的周長是（ ）米。

A．25.7 　B．31.4 C．15.7 　D．39.25

【易錯題4】給3、5、9再配上一個數(shù)，組成比例。這個數(shù)是（ ）。

【問診】這道題目的答案并不，不少學(xué)生在完成此題時，常常考慮問題不全面，只考慮了其中的一種情況，忽略了其他的情況。本題可以分三種情況討論：如果補(bǔ)充的數(shù)是數(shù)，則為5×9÷3=15；如果補(bǔ)充的數(shù)是最小數(shù)，則為3×5÷9=5/3；如果補(bǔ)充的數(shù)是中間的數(shù)，則為3×9÷5=27/5。因此，對于一個數(shù)學(xué)問題，考慮是否全面，影響著解題的正確率。

【練習(xí)】一個等腰三角形的兩條邊是8cm與15cm。這個三角形的周長是（ ）。

【易錯題5】下面哪些是質(zhì)數(shù)，哪些是合數(shù)？1，16，19，57，51，23，91，97，87，79，29

【問診】完成本題時，有些學(xué)生判斷質(zhì)數(shù)和合數(shù)時受到奇數(shù)和偶數(shù)的影響，誤認(rèn)為奇數(shù)51和91是質(zhì)數(shù)。其實(shí)51是3的倍數(shù)，91是7的倍數(shù)，所以它們都是合數(shù)。有些學(xué)生認(rèn)為19、79、29是合數(shù)，他們看到這幾個數(shù)的個位是9，9是合數(shù)，所以這些數(shù)也是合數(shù)，其實(shí)這些數(shù)都是質(zhì)數(shù)。有些學(xué)生對判斷97是否是質(zhì)數(shù)時，不知如何思考，憑空猜測。其實(shí)我們只要用97分別去除以2、3、5、7等質(zhì)數(shù)，發(fā)現(xiàn)都不是它們的倍數(shù)，所以97是質(zhì)數(shù)。

【練習(xí)】請找出100以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)。

【易錯題6】如圖，請你把梯形繞A點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)900，并畫出來。

【問診】圖形旋轉(zhuǎn)有三個關(guān)鍵要素：一是旋轉(zhuǎn)的中心，即繞哪一個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)；二是旋轉(zhuǎn)的方向，三是旋轉(zhuǎn)的角度。本題有3種典型錯例：

圖1旋轉(zhuǎn)的中心點(diǎn)、方向和角度都沒有問題，但旋轉(zhuǎn)時把梯形的上底和下底搞混淆，導(dǎo)致梯形“斜腰”的方向明顯出現(xiàn)了錯誤。圖2乍一看挺有道理，仔細(xì)觀察會發(fā)現(xiàn)梯形沒有繞著A點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的中心點(diǎn)發(fā)生了錯誤。圖3“疊加”了圖1和圖2的錯誤，旋轉(zhuǎn)中心點(diǎn)以及梯形的上底和下底在旋轉(zhuǎn)時都出現(xiàn)了偏差。

【練習(xí)】把下圖繞O點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90°，并畫出來。

【易錯題7】做一節(jié)底面直徑為2分米、長3米的煙囪，至少需要多少平方分米鐵皮？（得數(shù)保留整數(shù)）

【問診】煙囪是“無蓋”的。由于生活經(jīng)驗(yàn)的缺乏，學(xué)生習(xí)慣于求標(biāo)準(zhǔn)圓柱體的表面積，易算成“有蓋”的。因此，本題只要求該圓柱體的側(cè)面積，不需要求圓柱體的表面積。另外，粗心的學(xué)生還會忽視本題中單位不一致的問題。煙囪的長是3米，而直徑是用分米做單位，最后要求的面積也是用平方分米作單位的。因此，在解答此題時，要將煙囪的長度單位化成分米。最后的結(jié)果要保留整數(shù)，要保證鐵皮夠用，本題應(yīng)當(dāng)采用“進(jìn)一法”保留近似數(shù)，部分學(xué)生會誤用“四舍五入”保留近似數(shù)。數(shù)學(xué)上有很多這樣的題目要結(jié)合生活的原型進(jìn)行思考。

【練習(xí)】長方體火柴盒的長5厘米、寬3厘米、高1厘米。請你算出制作一個這樣的火柴盒至少用硬紙多少平方厘米？（不算粘貼處）

【易錯題8】在比例尺是1/1000的地圖上，量得一長方形地的長是7.5厘米，寬為4厘米。這塊地的實(shí)際面積是多少平方米？

【問診】不少學(xué)生會用7.5×4=30（平方厘米）求出這塊長方形地的圖上面積，再用圖上面積30×2000=60000平方厘米=6平方米，求出實(shí)際的占地面積。這部分同學(xué)忽視了面積的變化規(guī)律，如果圖上距離：實(shí)際距離=1：2000，那么圖上面積：實(shí)際面積應(yīng)為：12：20002，而不是1：2000。本題求出圖上面積后，應(yīng)用30×2000×2000=120000000平方厘米=12000平方米求出實(shí)際面積；或者也可以先求出實(shí)際的長和寬，再求出實(shí)際的占地面積。

【練習(xí)】在比例尺為1:2000的沙盤上，實(shí)際面積為800000平方米的生態(tài)公園，圖上的面積是多少平方米？

【易錯題9】用20千克黃豆可榨油13/5千克，平均1千克黃豆可榨油多少千克？榨1千克油需要多少千克黃豆？

【問診】此題圍繞黃豆和油兩個量展開，都運(yùn)用除法計算，很多同學(xué)理不清“20÷13/5”和“13/5÷20”是哪個量。為了幫助孩子學(xué)會，引導(dǎo)他們學(xué)會從多角度分析，有以下方法：①估算，確定方向。“20千克黃豆可榨油13/5千克”，可知估算1千克黃豆榨不出1千克油，1千克油需要黃豆的重量遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于1千克。估算可以確定所求結(jié)果的范圍，預(yù)防解題中出現(xiàn)嚴(yán)重偏差。②抓住商，確定被除數(shù)。確定被除數(shù)是此類題目解題技巧。問題中的商和被除數(shù)表示同一種物體的量。例如：平均每千克黃豆可榨油多少千克？商是“油”，那被除數(shù)應(yīng)該也是“油”。即用13/5÷20求得每千克黃豆可榨油13/100千克。③抓住平均分，確定除數(shù)。確定除數(shù)也是技巧之一。可以從“平均分”入手，平均每千克油需要多少千克黃豆？是將油的千克數(shù)進(jìn)行平均分，那除數(shù)就是“油”，即20÷13/5＝100/13（千克）。

【練習(xí)】某品牌汽車加了30升92號汽油，共用了189.9元，行駛了500公里。平均每升汽油多少元？每升汽油可以行多少公里？每公里耗油多少升？

篇（5）

在高等教育中，學(xué)生除了通過高考進(jìn)入大學(xué)獲得受普通高等教育的機(jī)會之外，還可以通過成人高等教育、高教自學(xué)考試、電大開放教育、遠(yuǎn)程網(wǎng)絡(luò)教育等獲得學(xué)習(xí)的機(jī)會。其中，成人高考屬國民教育系列，列入國家招生計劃，國家承認(rèn)學(xué)歷，參加全國招生統(tǒng)一考試，各省、自治區(qū)統(tǒng)一組織錄取。成人高等學(xué)歷教育分為三個層次：專科起點(diǎn)升本科（簡稱專升本）、高中起點(diǎn)升本科（簡稱高升本）、高中起點(diǎn)升高職（高專）（簡稱高職、高專）。每年的金秋十月，全國千千萬萬學(xué)子走進(jìn)了成人高考的考場，踏上了他們的求學(xué)之路。數(shù)學(xué)是成人高考的必考課程，也是令許多學(xué)子頭痛的課程，如何在短時間內(nèi)復(fù)習(xí)好數(shù)學(xué)，以便在考試中獲得高分？筆者在近幾年給學(xué)生進(jìn)行成人高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，總結(jié)了幾點(diǎn)經(jīng)驗(yàn)，以供廣大學(xué)子參考。

一、把握全局，明確目標(biāo)

庖丁解牛，可做到游刃有余，同樣，在復(fù)習(xí)成人高考數(shù)學(xué)之前，如果全面了解歷年來的考試題型，就可以全局把握，做到心中有數(shù)。本文將以2000—2011年度高中起點(diǎn)升高職（高專）的成人高考數(shù)學(xué)試卷為例進(jìn)行分析。

筆者先分析了這12年數(shù)學(xué)試卷的結(jié)構(gòu)：考試時間：120分鐘；分?jǐn)?shù)：150分；考試題型：選擇題、填空題、計算題；題量：25題，其中選擇題17題×5分=85分，填空題4題×4分=16分，計算題4題=3題×12分+1題×13分=49分。通過分析發(fā)現(xiàn)，客觀題有101分，占67%，主觀題有49分，占33%。

同時，筆者還分析了試題難度：考察基礎(chǔ)知識，只要掌握定義或通過簡單運(yùn)算就能求出結(jié)果，這種難度系數(shù)低的試題為90分左右，占60%；同樣是考察基礎(chǔ)知識，在掌握知識點(diǎn)的基礎(chǔ)上利用公式進(jìn)行運(yùn)算能求出結(jié)果，這種難度系數(shù)中等的試題為35分左右，占23%；考察綜合知識，如兩個知識點(diǎn)的交錯計算，這種難度系數(shù)相對較高的試題為25分左右，占17%。

通過對歷年來考試真題進(jìn)行分析，我們可以全局把握情況，明確試題的難度，有側(cè)重點(diǎn)地進(jìn)行復(fù)習(xí)，以求達(dá)到最大的復(fù)習(xí)效益。

二、掌握考點(diǎn)，做到心中有數(shù)

通過分析，筆者發(fā)現(xiàn)2000—2011年度的成人高考數(shù)學(xué)試卷，都緊緊圍繞《考試大綱》展開，其考點(diǎn)和分值的分布變化不大。例如考核“集合”知識點(diǎn)，這12年來都是出了一道選擇題，分值為5分，沒有變化。

筆者對2000—2011年度的成人高考數(shù)學(xué)（文史財經(jīng)類）試卷進(jìn)行了分析，統(tǒng)計了考點(diǎn)的分布和分值情況，以供廣大考生和教職人員進(jìn)行參考。這12年來數(shù)學(xué)的考點(diǎn)可細(xì)分為14個，具體如表1。

表1 2000—2011年度成人高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)及分值表

在明確了考點(diǎn)分布的情況下，筆者還對歷年來各考點(diǎn)的分值進(jìn)行了列表分析，同時將考題按知識點(diǎn)進(jìn)行了分類整理，這樣就可以一目了然地看到各考點(diǎn)的分值情況和變化情況。例如，表2是“數(shù)列”考點(diǎn)12年的分值情況，表3是“導(dǎo)數(shù)”考點(diǎn)12年的分值情況。

表2 “數(shù)列”考點(diǎn)2000—2011年度分值情況（單位：分）

表3 “導(dǎo)數(shù)”考點(diǎn)2000—2011年分值情況（單位：分）

通過表2、表3我們可以知道，“數(shù)列”考點(diǎn)的分值變化不大，而“導(dǎo)數(shù)”考點(diǎn)的分值由不考到考，分值所占比例由小到大，但近年來分值變化不大。

通過分析，考生可以掌握歷年成人高考數(shù)學(xué)試題的考點(diǎn)，做到心中有數(shù)，復(fù)習(xí)方向明確，然后有重點(diǎn)地進(jìn)行復(fù)習(xí)。這樣可以在有限的時間內(nèi)達(dá)到最理想的復(fù)習(xí)效果，以便胸有成竹地進(jìn)入成人高考的考場。

三、注重基礎(chǔ)知識，穩(wěn)扎穩(wěn)打獲高分

筆者經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)，在成人高考數(shù)學(xué)試卷的命題思路中，充分考慮了學(xué)生的實(shí)際情況，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法和基本運(yùn)算能力，注重對主干知識的考查，試題中以考察基本概念、基本公式和基本運(yùn)算為主。例如以下三道選擇題：

1．平面上到兩點(diǎn)距離之和為4的軌跡方程為____。（2009年第13題）

2．（2010年第3題）

3．函數(shù)的最大值為_____。（2009年第2題）

它們分別考察橢圓的定義、三角函數(shù)中二倍角公式、三角函數(shù)公式，這些知識點(diǎn)都是基礎(chǔ)知識。

“千里之行，始于足下”，考生在復(fù)習(xí)備考時，在明確了考點(diǎn)的基礎(chǔ)上，要將課本中的基本概念、基本公式、基本方法梳理一遍，在腦海中形成一個完整的知識體系，做到有的放矢，避免做“無用功”，把有限的時間用來突出重點(diǎn)，加強(qiáng)復(fù)習(xí)的目的性、針對性，提高復(fù)習(xí)效率，爭取在考試時攻下基礎(chǔ)知識點(diǎn)的分?jǐn)?shù)。

考生在有時間和精力的前提下，應(yīng)該有選擇性地多做一些練習(xí)，解題過程中要理解題目中涉及到的概念、定理、公式等基礎(chǔ)知識，要多思考如何入手解題？如何應(yīng)用這些知識？用到了哪些解題方法和技巧？這樣才能在考試中做到“百尺竿頭，更進(jìn)一步”，獲得更好的成績。

四、重視知識交匯，加強(qiáng)縱橫聯(lián)系

“在知識的網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)命題”，這是成人高考數(shù)學(xué)試卷中難度高一點(diǎn)的試題命題原則，也是計算題命題的常用模式。所以在復(fù)習(xí)中要重視知識的縱向、橫向的聯(lián)系，更要注意知識點(diǎn)之間的交叉、滲透和綜合，以形成一個有序的網(wǎng)絡(luò)化知識體系。如函數(shù)的性質(zhì)一般是考察其單調(diào)性、奇偶性，但如果將函數(shù)的性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)、不等式、三角函數(shù)、圓錐曲線等知識點(diǎn)結(jié)合起來命題，就是一道難度系數(shù)相對較高的試題了，這種融合多個知識點(diǎn)的試題一般會以計算題的題型進(jìn)行考察。例如：

2008年第24題：已知一個圓的圓心為雙曲線＝1的右焦點(diǎn)，并且此圓過原點(diǎn)。（1）求該圓的方程；（2）求直線被該圓截得的弦長。

2011年第24題：設(shè)橢圓在y軸正半軸上的頂點(diǎn)為M，右焦點(diǎn)為F，延長線段MF與橢圓交于N。（1）求直線MF的方程；（2）求的值。

這兩道題都是13分計算題，其中2008年的第24題將圓與雙曲線結(jié)合起來進(jìn)行考察，2011年的第24題將直線方程與橢圓的知識結(jié)合進(jìn)行考察。這種題型綜合性較強(qiáng)，對考生在知識方面和思維方面提出了較高要求，它們均是在“知識網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)”命題，所涉及的知識點(diǎn)較多，內(nèi)涵豐富。考生在求解此類試題時，先要分析所考的是哪些知識點(diǎn)，在腦中迅速回顧這部分基礎(chǔ)知識，再將交匯點(diǎn)的綜合知識進(jìn)行分析，思考解決問題的方法，理順解題思路，最后計算出結(jié)果。

經(jīng)過幾年來對成人高考數(shù)學(xué)試卷的分析和總結(jié)，筆者認(rèn)為考生在進(jìn)行復(fù)習(xí)備考時，不但要注重基礎(chǔ)知識，而且還要加強(qiáng)對知識點(diǎn)的全局把握；不但要重視單個知識點(diǎn)的復(fù)習(xí)，而且要加強(qiáng)知識點(diǎn)的縱橫聯(lián)系；不但要注意強(qiáng)化訓(xùn)練，而且要善于分析近年來的試題，從中找到復(fù)習(xí)的要點(diǎn)。在復(fù)習(xí)過程中，不要去鉆“高、精、深”的難題，而是要“夯實(shí)基礎(chǔ)”，把握考點(diǎn)，明確考分在數(shù)學(xué)各章節(jié)的分布情況，做到心中有數(shù)、有的放矢；要掌握基本的答題思路，能夠舉一反三地進(jìn)行解題。

參考文獻(xiàn)：

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一、數(shù)學(xué)“錯題檔案”的建立

1.建議數(shù)學(xué)“錯題檔案”本最好用16開活頁本，建立一本錯題集。可用索引的方式標(biāo)記，便于查找。

2.及時改錯，記錄在冊，不拖拉。因?yàn)榻?jīng)過一段時間，很可能造成遺忘，讓學(xué)生想不起當(dāng)初是怎樣犯的錯。因此及時改錯，分析總結(jié)，找準(zhǔn)每一個錯題的原因，可以避免再次犯錯。

3.選擇糾錯的重點(diǎn)。錯題整理應(yīng)該有的放矢，不能把所有錯題都整理下來，對于一些簡單的錯誤和一些涉及應(yīng)試技能技巧導(dǎo)致的失誤，就在試卷或作業(yè)紙上進(jìn)行訂正，沒有必要整理下來。同學(xué)們應(yīng)該重點(diǎn)對“理解，應(yīng)用”層次的考點(diǎn)，也就是對那些規(guī)律方法性比較強(qiáng)，又易出錯的知識點(diǎn)和容易思維阻塞的知識點(diǎn)進(jìn)行整理，每周整理的錯題數(shù)量不宜多，一般5～10題為宜。

4.明確錯題的考點(diǎn)。訓(xùn)練找出錯題的考點(diǎn)，有利于提升審題能力和提取信息的能力。錯題考查的知識點(diǎn)，同學(xué)們應(yīng)做到心中有數(shù)，并在錯題本中一一羅列出來。

5.找出知識的盲點(diǎn)。對錯題的錯因應(yīng)進(jìn)行重點(diǎn)診斷，找出錯題考點(diǎn)知識鏈中的薄弱環(huán)節(jié)（即盲點(diǎn)），并用色筆在錯題本中做出醒目標(biāo)志。

6.鏈接相關(guān)知識點(diǎn)。糾錯固然重要，領(lǐng)悟提高和知識遷移更加重要。同學(xué)們對與該錯題考點(diǎn)相關(guān)的知識點(diǎn)進(jìn)行聯(lián)系，形成完整的知識體系；對同類的題型進(jìn)行歸類，實(shí)現(xiàn)知識遷移，以求事半功倍。

7.列出解題注意點(diǎn)。學(xué)生應(yīng)針對錯題的考點(diǎn)、盲點(diǎn)、知識點(diǎn)鏈接以及應(yīng)試技巧等方面的問題，切實(shí)提出幾項(xiàng)注意點(diǎn)，務(wù)求糾錯必盡，防止今后再犯類似錯誤。

8.“錯題檔案”上也可以記載一些非常典型、考查知識全面、解法靈活多樣的優(yōu)秀“典型題”“易混易錯題”“難點(diǎn)題”等。建議在數(shù)學(xué)“錯題檔案”上完善幾個功能，就像模塊一樣，讓“錯”變得非常清晰，如標(biāo)出“錯誤知識點(diǎn)”等，寫出答題的方法和技巧等。

9.定期歸類、整理。每一個階段（如一個月，一周）復(fù)習(xí)結(jié)束之前，要求學(xué)生把這個階段解題過程中所犯的錯誤進(jìn)行歸類整理，這個過程是學(xué)生再學(xué)習(xí)、再認(rèn)識、再總結(jié)、再提高的過程。

二、數(shù)學(xué)“錯題檔案”的使用

1.平時經(jīng)常看、重復(fù)做。對待數(shù)學(xué)“錯題檔案”不能只是把錯題抄一遍就算完了，最好一周抽一天時間，把本周做錯的題再做一遍。做一遍以后打個記號，有些題目幾次重做都沒有再錯，這說明已經(jīng)牢固地掌握了這個知識點(diǎn)。對這些已經(jīng)掌握了的不再錯的題目要刪除。這樣，數(shù)學(xué)“錯題檔案”中的錯誤會越來越典型，數(shù)量會越來越少，更多是由于概念點(diǎn)和思路而引發(fā)的錯誤，這些題就屬于平常沒有做對，考試又犯錯的典型類型，如果平時就能夠解決好，到最后考試的時候自然不容易再犯錯。

2.考前集中看，做好防范。考前拿出數(shù)學(xué)“錯題檔案”把平時自己所犯的典型錯誤集中糾正一遍，這樣就能以最佳的狀態(tài)做好防范。如果平時把錯題只是在試卷上標(biāo)注，復(fù)習(xí)時隨手翻看試卷，這種方法看起來節(jié)省時間，但是拿著大摞試卷翻看，注意力會分散，復(fù)習(xí)的效果也將大打折扣。

3.相互交流，取長補(bǔ)短。由于基礎(chǔ)不同，不同的同學(xué)整理的錯題一般不同，總結(jié)反思的深度、廣度也存在著差異。同學(xué)間交換“錯題檔案”，互相借鑒，互有啟發(fā)，相互取長補(bǔ)短，在“錯題”中淘“金”，以便共同提高。

4.數(shù)學(xué)“錯題檔案”的使用，貴在堅持，持之以恒。另外，在補(bǔ)弱的同時，絕不能完全放棄優(yōu)勢。否則，只會顧此失彼，得不償失。

三、數(shù)學(xué)“錯題檔案”的誤區(qū)

建立數(shù)學(xué)“錯題檔案”雖然能夠收到一定的效果，但是也發(fā)現(xiàn)有些同學(xué)在認(rèn)識和使用上存在一些誤區(qū)：

1.認(rèn)為建立數(shù)學(xué)“錯題檔案”太耽誤時間，沒有用，題目明白了就行了，花時間整理錯題還不如多做幾道題。

2.應(yīng)付老師，老師查就隨便找?guī)椎李}寫在本子上，不查就不寫。

3.重數(shù)量，輕質(zhì)量。只要是錯題就整理下來，結(jié)果是錯題整理了一大堆，成績提高不明顯。

4.重改錯，輕分析。只是把題目的正確答案寫在錯題本上，沒有錯因分析或者錯因?qū)懙眠^于簡單，不能認(rèn)真分析出做錯題的實(shí)質(zhì)性原因，只是寫“馬虎了”“粗心了”等等。

篇（7）

在高三數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生的學(xué)習(xí)情況參差不齊，在課堂上常常是有的同學(xué)吃不了，有的同學(xué)吃不飽。月考時學(xué)生的成績好的可以考130多分，差的才能考50多分，相差太遠(yuǎn)。如何才能讓好學(xué)生在課堂上覺得過癮，同時差學(xué)生也覺得頗有收獲？幾年來我們數(shù)學(xué)教研組認(rèn)真研究這個問題，但收效甚微。今年通過針對性教學(xué)培訓(xùn)，我如醒醐灌頂，明白了不少道理，反思以往的教學(xué)，覺得那還是一種老套的教學(xué)，要讓數(shù)學(xué)課堂有高效、有實(shí)效，結(jié)合自身教學(xué)的體會，提出三點(diǎn)建議，供大家參考。

1.針對考點(diǎn)與學(xué)情做好課前準(zhǔn)備

新課程改革以后，對每章內(nèi)容的要求不盡相同，在講授一章時先要研究它在整個高考數(shù)學(xué)內(nèi)容所占的地位，從中提煉考點(diǎn)，明確教學(xué)目標(biāo)，梳理本章的知識點(diǎn)，分析所教內(nèi)容涉及到的數(shù)學(xué)思想方法。同時結(jié)合學(xué)生已擁有數(shù)學(xué)知識的多寡和學(xué)生的智力因素，將學(xué)生分為A、B、C三類，每類分為三個小組，具體到人名。再準(zhǔn)備有梯度的三類典型例題，供課堂演示。同時安排好三類訓(xùn)練題，認(rèn)真琢磨課堂教法。

2.針對不同的教學(xué)內(nèi)容實(shí)現(xiàn)課堂高校

針對高三教學(xué)時間短，所授內(nèi)容容量大，學(xué)生基礎(chǔ)不等的特點(diǎn)。在課堂教學(xué)過程中，首先通過回憶落實(shí)課前布置學(xué)生整理課本知識點(diǎn)的情況，交代本節(jié)課要掌握的考點(diǎn)和重要結(jié)論。其次，在黑板上演示有梯度的三類典型例題。重點(diǎn)分析例題中所包含的考點(diǎn)、知識點(diǎn)以及所隱含的數(shù)學(xué)思想，總結(jié)解題的方法和思路，凸顯解題的突破點(diǎn)。然后按小組分發(fā)準(zhǔn)備好的有梯度的訓(xùn)練題，規(guī)定好時間，要求三類學(xué)生都按時完成任務(wù)，指定小組長給小組里的其他同學(xué)講解做錯題的原因，以及解題思路，并且相互交流不同的解題方法。我們可能會擔(dān)心這種模式的實(shí)施會影響正常的教學(xué)制度，事實(shí)證明老師講需要二十分鐘，可是學(xué)生在十分鐘左右的的時間就結(jié)束了討論。

這樣的課堂教學(xué)可以真正提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，但我也反思了這課堂出現(xiàn)的問題。首先小組活動情況有差異，從這幾個小組長看，有的非常負(fù)責(zé)任，認(rèn)真地對每一個提問同學(xué)仔細(xì)解答，而有的卻認(rèn)為有的同學(xué)提出的問題不值得去回答，所以表現(xiàn)出不耐煩的態(tài)度；從同學(xué)們的表現(xiàn)看，組里有的同學(xué)積極性不高竟然要等小組長問自己有沒有問題，甚至有些同學(xué)根本就沒有參與其中。為了從思想上解決同學(xué)們表現(xiàn)出的問題，讓學(xué)生接受這種教學(xué)模式，體驗(yàn)課堂成就感，老師抓住時機(jī)，結(jié)合課堂教學(xué)情況，讓每一位都明白這樣的好處，讓學(xué)習(xí)有困難的同學(xué)及時解決遇到的問題；讓學(xué)習(xí)的氛圍更輕松；讓講題的同學(xué)鍛煉自己的語言能力，使自己的知識得以加深；讓老師有更充分的時間對知識匯總提升，從而拓寬視野，學(xué)習(xí)更多的解題方法和解題技巧；讓盡量多的學(xué)生積極主動地參與到學(xué)習(xí)中來，形成良好的學(xué)習(xí)氛圍，你追我趕，共同成長。

3.針對學(xué)生身陷題海、不能自拔的現(xiàn)象，指導(dǎo)學(xué)生如何反思

導(dǎo)致很多同學(xué)身陷題海，不能自拔的另一個重要原因，就是“學(xué)而不思”。題目是知識的載體，有的同學(xué)做了很多題目，卻仍然沒有明白它們代表同一知識點(diǎn)，不但不能舉一反三，甚至舉三不能反一。其真正的原因，是他們沒有養(yǎng)成反思、總結(jié)的習(xí)慣。華羅庚先生說過：“譬如我們讀一本書，厚厚的一本，再加上我們自己的注解，就愈讀愈厚，我們自己知道的東西也就‘由薄到厚’了”。“‘學(xué)’并不到此為止，‘懂’并不到此為透，所謂由厚到薄是消化提煉的過程，即把那些學(xué)到的東西，經(jīng)過咀嚼、消化，融會貫通，提煉出關(guān)鍵性的東西來。”這段話充分說明了反思在學(xué)習(xí)過程中的重要性。以下是“學(xué)而不思”的幾種具體表現(xiàn)。

3.1上課以為自己聽懂了，可仍然作業(yè)不會做，去問老師的時候，老師告訴你，這就是上課講的例題或例題的變形；總是感到有做不完的題目，覺得每個題目都很新鮮，常常遇到那種好象從未見過的題型。

3.2從來不去想，怎樣發(fā)展自己的強(qiáng)項(xiàng)，怎樣彌補(bǔ)自己的不足，只知道老師叫干什么就干什么，布置了作業(yè)就做，發(fā)了試卷就考。

3.3考試的時候突然覺得這就是老師講的某個典型的東西，卻有那種話到嘴邊說不出的感覺，或者根本找不到那種豁然開朗、猛然醒悟的感覺。

3.4當(dāng)老師要他總結(jié)一類題目的解題方法和策略或要你總結(jié)某一章所學(xué)內(nèi)容的時候，他總是支支唔唔無話可說；

篇（8）

小升初數(shù)學(xué)通常涉及以下幾個方面的知識：

一、小學(xué)數(shù)學(xué)算術(shù)定義定理公式：理解并會應(yīng)用是關(guān)鍵；

二、小學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)運(yùn)算公式：記準(zhǔn)公式并會靈活應(yīng)用，關(guān)鍵是公式的逆用和變形應(yīng)用；

三、運(yùn)用四則運(yùn)算規(guī)則巧算：題型不同，方法不同，抓住特點(diǎn)，靈活應(yīng)用；

四、小學(xué)數(shù)學(xué)常見幾何圖形的周長、面積（陰影部分的面積計算是關(guān)鍵）、體積計算公式

公式的推導(dǎo)是關(guān)鍵，并會進(jìn)行逆用和變形應(yīng)用；

五、小學(xué)數(shù)學(xué)單位換算公式：

記準(zhǔn)進(jìn)率是關(guān)鍵，大變小乘定律，小變大除定率；

六、小學(xué)數(shù)學(xué)熱點(diǎn)問題運(yùn)算公式（常見奧數(shù)題公式）：

重點(diǎn)和難點(diǎn)

1、和差問題的公式：

（和＋差）÷2＝大數(shù)（和－差）÷2＝小數(shù)

2、和倍問題：

和÷（倍數(shù)+1）＝小數(shù)小數(shù)×倍數(shù)＝大數(shù)或（和－小數(shù)＝大數(shù)）

3、差倍問題：

差÷（倍數(shù)－1）＝小數(shù)小數(shù)×倍數(shù)＝大數(shù)或（小數(shù)＋差＝大數(shù)）

4、植樹問題：

（1）非封閉線路上的植樹問題主要可分為以下三種情形：

①如果在非封閉線路的兩端都要植樹，那么：

株數(shù)＝段數(shù)＋1＝全長÷株距+1全長＝株距×（株數(shù)－1）株距＝全長÷（株數(shù)－1）

②如果在非封閉線路的一端要植樹，另一端不要植樹，那么：

株數(shù)＝段數(shù)＝全長÷株距全長＝株距×株數(shù)株距＝全長÷株數(shù)

③如果在非封閉線路的兩端都不要植樹，那：株數(shù)＝段數(shù)－1＝全長÷株距－1

全長＝株距×（株數(shù)＋1）株距＝全長÷（株數(shù)＋1）

（2）封閉線路上的植樹問題的數(shù)量關(guān)系如下

株數(shù)＝段數(shù)＝全長÷株距全長＝株距×株數(shù)株距＝全長÷株數(shù)

5、盈虧問題

一盈一虧問題：（盈＋虧）÷兩次分配量之差＝參加分配的份數(shù)

兩盈問題：（大盈－小盈）÷兩次分配量之差＝參加分配的份數(shù)

兩虧問題：（大虧－小虧）÷兩次分配量之差＝參加分配的份數(shù)

6、行程問題：

相遇問題：相遇路程＝速度和÷相遇時間相遇時間＝相遇路程÷速度和

速度和＝相遇路程÷相遇時間

追及問題：追及路程＝速度差×追及時間追及時間＝追及路程÷速度差

速度差＝追及路程÷追及時間

7、流水問題

順流速度＝靜水速度＋水流速度逆流速度＝靜水速度－水流速度

靜水速度＝（順流速度＋逆流速度）÷2水流速度＝（順流速度－逆流速度）÷2

8、濃度問題

溶質(zhì)的重量＋溶劑的重量＝溶液的重量濃度＝溶質(zhì)的重量÷溶液的重量×100%

溶液的重量×濃度＝溶質(zhì)的重量溶質(zhì)的重量÷濃度＝溶液的重量

9、銷售問題：（利潤與折扣問題）

利潤＝售出價－成本利潤率＝利潤÷成本×100%＝（售出價÷成本－1）×100%漲跌金額＝本金×漲跌百分比折扣＝實(shí)際售價÷原售價×100%（折扣＜1）利息＝本金×利率×?xí)r間稅后利息＝本金×利率×?xí)r間×（1－20%）

10、工程問題

工作效率×工作時間＝工作總量工作總量÷工作效率＝工作時間

工作總量÷工作時間＝工作效率

以上應(yīng)用題的類型在往年的小升初考試中反復(fù)出現(xiàn)，要善于從題目中提取有用的信息，弄清各個量之間的關(guān)系，并正確解答。

小升初備考建議

針對幾年的考題特點(diǎn)和趨勢，小學(xué)六年級學(xué)生2015年小升初的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)應(yīng)該注意以下幾個方面：

篇（9）

一、高三復(fù)習(xí)備考應(yīng)凸顯“最后一次復(fù)習(xí)的時間點(diǎn)離考試最近原則”

“臨陣磨槍，不亮也光。”，“臨時抱佛腳。”等諸多諺語都體現(xiàn)了“最后一次復(fù)習(xí)的時間點(diǎn)離考試最近原則”，“臨門一腳”往往卻能出奇致勝。

“最后一次復(fù)習(xí)的時間點(diǎn)離考試最近原則”說白了就是指“不考慮其它因素，越臨近考試的時候復(fù)習(xí)，考試成績就越好。”。

要搞清“最后一次復(fù)習(xí)的時間點(diǎn)離考試最近原則”首先應(yīng)該真正讀懂艾賓浩斯遺忘曲線。于洪和李轉(zhuǎn)運(yùn)等人對艾賓浩斯遺忘曲線進(jìn)行數(shù)學(xué)擬合建模得到數(shù)學(xué)模型：

從②式可以很直觀的看出當(dāng)離考試的時間t越小，知識保留量Y反而越大。換句話說，也就是當(dāng)離考試的時間t越小，越臨近考試的時候復(fù)習(xí)，考試成績Y越好。

從艾賓浩斯遺忘曲線上可以看出，在理論上，當(dāng)t越接近于零，成績越好;當(dāng)t增大時，成績會加速下滑。

因此，根據(jù)“最后一次復(fù)習(xí)的時間點(diǎn)離考試最近原則”，我們平時在教學(xué)過程中千萬要注意在離考試最近的時間點(diǎn)應(yīng)積極有效的組織學(xué)生系統(tǒng)地復(fù)習(xí)考點(diǎn)，這一點(diǎn)非常重要，這將在很大程度上決定考試成績的好壞。例如，在大型考試的前一天可以組織學(xué)生將主要考點(diǎn)復(fù)習(xí)一遍，那樣將會收到意想不到的效果。

二、高三復(fù)習(xí)備考應(yīng)凸顯“復(fù)習(xí)的考點(diǎn)易接受原則”

1885年艾賓浩斯分別以無意義音節(jié)、散文和詩歌等作為材料記錄記憶的結(jié)果，經(jīng)過對比，又得出了不同性質(zhì)材料的不同遺忘曲線。

對不同性質(zhì)材料的不同遺忘曲線研究發(fā)現(xiàn)：最容易被學(xué)生接受的詩歌的保持百分比在同一時刻比較處于最高，最不容易被學(xué)生接受的無意義音節(jié)的保持百分比在同一時刻比較處于最低，難易程度居中的散文的保持百分比在同一時刻比較處于中間。由此，我們可以得出一個結(jié)論：復(fù)習(xí)的考點(diǎn)的易接受程度將在很大程度上影響考試成績。

高中知識與初中知識相比，高中知識點(diǎn)的難度陡增。降低各復(fù)習(xí)考點(diǎn)的難度，讓復(fù)習(xí)的考點(diǎn)易接受，則是擺在我們每個教育工作者面前的一項(xiàng)艱巨任務(wù)。降低各復(fù)習(xí)考點(diǎn)的難度的方法有很多，各學(xué)科不同，方法也不一樣，同一學(xué)科，復(fù)習(xí)的考點(diǎn)不一樣，方法可能也不一樣。現(xiàn)在我舉幾個例子：比如在記憶英語單詞時，我們可以把幾個單詞串成一個很有情境和邏輯性的故事，這樣單詞就易記多了，而且不容易忘記。再比如化學(xué)學(xué)科，托盤天平的使用一直是高考考的重點(diǎn)和難點(diǎn)，我們可以將該考點(diǎn)概括成一首詩：“螺絲游碼刻度尺，指針標(biāo)尺有托盤。調(diào)節(jié)螺絲達(dá)平衡，物碼分居左右邊。取碼需用鑷子夾，先大后小記心間。藥品不能直接放，稱量完畢要復(fù)原。”。這樣原本一個很難的考點(diǎn)就會變得很簡單，而且經(jīng)久不忘。再比如物理學(xué)科，大型計算題一直是物理考試中能否拿高分的關(guān)鍵題型，而物理的大型計算題的難度卻是很高的，那么我們的物理老師就要去動腦筋降低考點(diǎn)的難度了，怎么辦呢？可以嘗試計算題的模塊化講解以降低考點(diǎn)難度。物理大型計算題的模塊化講解即為分步講解。解答物理大型計算題最忌諱的就是解答過程一步到位。分步計算不僅能大大降低大型計算題的解答難度，而且能讓解答思路更加清晰，讓考點(diǎn)更易接受、消化和吸收。諸如此類的例子有很多，我就不再一一贅述，總之，降低考點(diǎn)的難度，讓考點(diǎn)易被學(xué)生接受是一項(xiàng)艱苦而系統(tǒng)的工程，需要我們?nèi)ゲ粩嗫偨Y(jié)，不斷“簡化”考點(diǎn)，需要每個教育工作者付出艱辛的努力！

三、高三復(fù)習(xí)備考應(yīng)凸顯“復(fù)習(xí)多次原則”

郭靜濤、申中南、馬以召等人在2010年高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽中得出了遺忘曲線，即圖一。

從圖一可以很容易看出，在不考慮其它因素的情況下，復(fù)習(xí)的次數(shù)越多，遺忘曲線下降得越平緩，換句話說，復(fù)習(xí)的次數(shù)越多，遺忘得越慢，保持的時間越長，記憶的內(nèi)容越穩(wěn)定，成績就會越穩(wěn)定。由此，我們可以得出一個結(jié)論：復(fù)習(xí)的次數(shù)越多，遺忘得越慢，學(xué)到的知識越穩(wěn)固，成績越穩(wěn)定。

一代文豪坡在《送安敦秀才失解西歸》里寫道：“舊書不厭百回讀，熟讀深思子自知。”，說的意思就是老知識要反復(fù)讀，所學(xué)的知識才會真正弄明白，才會真正鞏固。因此，在高三時期，只要有多余時間，我們要盡可能的組織學(xué)生將考點(diǎn)多復(fù)習(xí)幾遍，只有這樣學(xué)生的成績才會趨于穩(wěn)定，才有可能取得比較好的成績。比如高三老師要盡可能的壓縮上課時老師講的時間，在保證學(xué)生在課堂上基本訓(xùn)練時間的前提下，還有多余課堂時間的前提下，要盡量組織學(xué)生反復(fù)復(fù)習(xí)老知識點(diǎn)。再比如學(xué)生放月假，可以要學(xué)生在家里自行復(fù)習(xí)以前反復(fù)復(fù)習(xí)過的知識點(diǎn)，其實(shí)有時沒必要要求學(xué)生急于復(fù)習(xí)新知識點(diǎn)。

四、高三復(fù)習(xí)備考應(yīng)凸顯“復(fù)習(xí)的考點(diǎn)范圍恰到好處原則

篇（10）

每年的中考，僅次于高考的影響力，是我國目前基礎(chǔ)教育階段一項(xiàng)重要的工作，既是對學(xué)生初中階段學(xué)習(xí)水平的檢測，又是為高中乃至大學(xué)輸送優(yōu)秀人才的途徑。做好中考的試題命制，認(rèn)真總結(jié)和分析學(xué)生的答題情況，對于很好地總結(jié)中考試卷，積累經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)教學(xué)中的得失和疏漏，提高學(xué)生的應(yīng)考能力，具有十分重要的意義。下面就2012年紹興中考數(shù)學(xué)試卷作總結(jié)和賞析。

一、試卷的總體特點(diǎn)

與2011年中考數(shù)學(xué)試卷相比，2012年紹興中考數(shù)學(xué)試卷，題型結(jié)構(gòu)總體穩(wěn)定，生活性、靈活性加強(qiáng)，總體難度略微增加。本套試卷在保持對基礎(chǔ)知識的考查力度上，更加重視對數(shù)學(xué)思想方法和學(xué)生綜合素質(zhì)能力的考查，體現(xiàn)了“實(shí)踐與操作，綜合與探究，創(chuàng)新與應(yīng)用”的命題特點(diǎn)，試題貼近學(xué)生的生活，體現(xiàn)了知識性和時代性。知識點(diǎn)的涵蓋主要體現(xiàn)了數(shù)與代數(shù)、空間圖形、統(tǒng)計概率等三大板塊。具體表現(xiàn)為以下幾個特點(diǎn)：

1.重基礎(chǔ)知識的考核

數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識和基本技能是課程標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)容的核心，新課改實(shí)施以來，數(shù)學(xué)教學(xué)更加提倡培養(yǎng)學(xué)生的思想方法和能力，重視學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)。能通過觀察、實(shí)驗(yàn)、運(yùn)算和推理等思維活動，發(fā)現(xiàn)對象的某些特征及其他對象的區(qū)別和聯(lián)系；能綜合運(yùn)用知識，靈活、合理地選擇與運(yùn)用有關(guān)的方法，實(shí)現(xiàn)對特定的數(shù)學(xué)問題或?qū)嶋H問題的分析與解決。2012年紹興市數(shù)學(xué)中考試題突出了雙基訓(xùn)練，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想的掌握及領(lǐng)悟能力的考查。

2.注重能力和素養(yǎng)的內(nèi)涵考核

新課改實(shí)施以來，更加注重學(xué)生的素質(zhì)培養(yǎng)，更加重視素質(zhì)教育的深化。強(qiáng)調(diào)對學(xué)生的評價要從知識的立意向能力立意轉(zhuǎn)變。2012年中考數(shù)學(xué)試卷在“穩(wěn)中求變”的過程中，在題目的形式上體現(xiàn)了新穎，讓很多學(xué)生在做題的時候感覺很“不順手”之外，對傳統(tǒng)解題方式有了很大的改變。由此可見，這套試卷更加注重考查學(xué)生的綜合能力。

例如，9.（2012紹興）在一條筆直的公路邊，有一些樹和路燈，每相鄰的兩盞燈之間有3棵樹，相鄰的樹與樹，樹與燈間的距離是10 m，如圖，第一棵樹左邊5 m處有一個路牌，則從此路牌起向右510 m～550 m之間，樹與燈的排列順序是（ ）。

■

考點(diǎn)：規(guī)律型，圖形的變化類。

選B。

通過對試卷的分析，我們可以看出，上面的題與實(shí)際生活的聯(lián)系比較緊密，注重對學(xué)生分析、判斷、思考能力的考查。幾何探究問題，重點(diǎn)考查學(xué)生的探究、推理能力，難度加強(qiáng)。

3.重視學(xué)生數(shù)學(xué)能力的考核

學(xué)習(xí)是為了不用學(xué)習(xí)，教是為了不用教，所以核心內(nèi)容就是培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力。2012年紹興市的中考數(shù)學(xué)題目，對后續(xù)學(xué)習(xí)有重大影響的知識點(diǎn)，在試題中體現(xiàn)較多。比如，高中階段也會涉及的代數(shù)式的變形、函數(shù)知識、算法的滲透等。其次是考查學(xué)生潛能的內(nèi)容也有所體現(xiàn)，對學(xué)生思維開放性、嚴(yán)謹(jǐn)性和深刻性、數(shù)值規(guī)律的探索等，都有涉及。

如，14.（2012紹興）小明的父母出去散步，從家走了20分鐘到一個離家900米的報亭，母親隨即按原速度返回家，父親在報亭看了10分鐘報紙后，用15分鐘返回家，則表示父親、母親離家距離與時間之間的關(guān)系是（ ）（只需填序號）。

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象。答案為：④②。

這樣的題目非常貼近學(xué)生的生活實(shí)際，考核學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力，對后續(xù)的學(xué)習(xí)有強(qiáng)有力的支撐作用。

二、學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)

分析中考試題是為了更有效地提高教學(xué)效率，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，說到底是為了更好地教，更好地學(xué)，所以，教師要遵循“例題講解要善于拓展、解題思路要善于優(yōu)化、習(xí)題歸類要善于類化”的原則。

1.明確考試重點(diǎn)

通過對2012年中考試題的分析，使學(xué)生能夠有效把握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的要點(diǎn)和重點(diǎn)，提高學(xué)生的應(yīng)考能力，進(jìn)一步深化新課改的教學(xué)理念。教師特別要重視對“雙基”的教學(xué)，概念要講解透徹，知識之間的聯(lián)系和區(qū)別要梳理清楚，基本概念及定理要弄懂、弄通，這是我們解決一切問題的根本。要實(shí)實(shí)在在抓住復(fù)習(xí)中的關(guān)鍵問題，尤其是考點(diǎn)以及各章節(jié)的連貫性、依存性，基礎(chǔ)性內(nèi)容更要細(xì)致入微，詳盡講解，讓學(xué)生在復(fù)習(xí)中，知識水平與能力獲得最大的提高。

2.梳理知識體系

把知識系統(tǒng)化，完善知識體系。在平時的練習(xí)過程中，提高讀題能力，養(yǎng)成審題嚴(yán)謹(jǐn)、解題完善的好習(xí)慣，對知識體系的構(gòu)成有一個清晰的印象，能夠弄清各模塊知識之間的銜接點(diǎn)，從而保證知識的網(wǎng)絡(luò)化。在實(shí)踐與操作、探究與綜合的過程中，努力形成探究規(guī)律、歸納與概括等能力，積累豐富的經(jīng)驗(yàn)，提高解題的靈活性。只有這樣，才能在解決綜合性問題中占據(jù)優(yōu)勢。目標(biāo)要力求細(xì)致，切中要點(diǎn)，突出考試熱點(diǎn)，圍繞目標(biāo)設(shè)計課堂教學(xué)流程。

3.制訂有效的復(fù)習(xí)計劃

我們應(yīng)該認(rèn)真研讀《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》，特別是《考試說明》，明確目標(biāo)，熟悉考點(diǎn)，只有這樣，才能制訂切實(shí)可行的復(fù)習(xí)計劃，才能做到“胸有成竹，有的放矢”！

4.及時反饋學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)效果