勾股定理證明方法匯總十篇

序論：好文章的創(chuàng)作是一個(gè)不斷探索和完善的過程，我們?yōu)槟扑]十篇勾股定理證明方法范例，希望它們能助您一臂之力，提升您的閱讀品質(zhì)，帶來更深刻的閱讀感受。

篇（1）

作者簡介：周化海（1965-），男，貴州水城人，理學(xué)碩士學(xué)位，中學(xué)高級(jí)教師，研究方向?qū)W校管理和教育教學(xué)研究；

黃紹書（1966-），男，貴州黔西人，理學(xué)學(xué)士學(xué)位，中學(xué)高級(jí)教師，研究方向?qū)W校管理和教育教學(xué)研究.

勾股定理的物理方法?C明還可以借助一厚度均勻的RtABC木板靜止漂浮在水面上的模型給出.

在教學(xué)中注重交叉學(xué)科知識(shí)的相互滲透，全方位培養(yǎng)學(xué)生素質(zhì)，提高他們綜合應(yīng)用各學(xué)科知識(shí)處理實(shí)際問題的能力是極為有效的.

篇（2）

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2015）04-206-01

何謂勾股定理？勾股定理又叫畢氏定理，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。據(jù)考證，人類對(duì)這條定理的認(rèn)識(shí)已經(jīng)超過了4000年。據(jù)史料記載，世上有300多個(gè)對(duì)此定理的證明。勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，所以它充滿魅力，千百年來，人們對(duì)它的證明趨之若鶩。1940年出版過一本名為《畢達(dá)哥拉斯命題》的勾股定理的證明專輯，其中收集了367種不同的證明方法。實(shí)際上還不止于此，有資料表明，關(guān)于勾股定理的證明方法已有500余種，僅我國清末數(shù)學(xué)家華蘅芳就提供了20多種精彩的證法。這是數(shù)學(xué)中任何定理都無法比擬的。

本文中僅介紹勾股定理的證明方法中最為精彩的兩種證明方法，據(jù)說分別來源于中國和希臘。

1、中國方法：畫兩個(gè)邊長為 的正方形，如圖，其中 為直角邊， 為斜邊。這兩個(gè)正方形全等，故面積相等。 左圖與右圖各有四個(gè)與原直角三角形全等的三角形，左右四個(gè)三角形面積之和必相等。從左右兩圖中都把四個(gè)三角形去掉，圖形剩下部分的面積必相等。左圖剩下兩個(gè)正方形，分別以 為邊，右圖剩下以 為邊的正方形。 于是得 。

這就是我們幾何教科書中所介紹的方法。既直觀又簡單，任何人都看得懂。

2、希臘方法：直接在直角三角形三邊上畫正方形。 如圖，在 中， ， ， ， 。容易得到， ，作 ，

故 ，所以 ，

即正方形 的面積與矩形 的面積相等。

同理可證得，正方形 的面積與矩形 的面積相等。

所以 ，即 。至于三角形面積是同底等高的矩形面積之半，則可用割補(bǔ)法得到。這里只用到簡單的面積關(guān)系，不涉及三角形和矩形的面積公式。這就是希臘古代數(shù)學(xué)家歐幾里得在其《幾何原本》中的證法。

篇（3）

    數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史包括兩種典型的數(shù)學(xué)文化:一種是重視邏輯推理的希臘數(shù)學(xué)文化,一種是重視實(shí)際應(yīng)用的中國數(shù)學(xué)文化.

    數(shù)學(xué)史家將古希臘數(shù)學(xué)按時(shí)間分期:第一期從公元前600年到前323年;第二期從公元前323年到前30年,也稱亞歷山大前期;第三期從公元前30年到公元600年,也稱亞歷山大后期[3].前兩個(gè)時(shí)期,希臘數(shù)學(xué)文化認(rèn)為,數(shù)學(xué)命題只有通過幾何形式的邏輯推理論證才能說明其正確性,論證數(shù)學(xué)成為數(shù)學(xué)研究的主流,幾何形式的邏輯推理證明成為數(shù)學(xué)成果正確與否的衡量標(biāo)準(zhǔn).這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)逐漸發(fā)展成為對(duì)數(shù)學(xué)研究的期望或理想,即期望數(shù)學(xué)成果能夠通過幾何形式的邏輯推理來論證.在“亞歷山大后期”,古希臘數(shù)學(xué)突破了之前以幾何為中心的傳統(tǒng),算術(shù)、數(shù)論和代數(shù)逐漸脫離了幾何的束縛.這一時(shí)期受羅馬實(shí)用思想的影響,論證數(shù)學(xué)不再盛行,如海倫的《量度》中有不少命題沒有證明.但論證數(shù)學(xué)中的邏輯推理在數(shù)學(xué)研究中仍占有重要位置,如丟番圖《算術(shù)》書中采用純分析的途徑處理數(shù)論與代數(shù)問題[4].邏輯推理從幾何論證中脫離出來,邏輯推理解決問題的思想發(fā)展成為數(shù)學(xué)研究的新理想,即希望數(shù)學(xué)問題可以通過純邏輯推理的方法解決.縱觀整個(gè)希臘數(shù)學(xué)文化,數(shù)學(xué)研究成為滿足上述兩種理想而付出的勞動(dòng),成為實(shí)現(xiàn)個(gè)人價(jià)值、滿足求知欲的社會(huì)需求而付出的勞動(dòng).究其本質(zhì),邏輯推理思想是幾何論證與分析法解決問題的根本,是上述兩種理想中最本質(zhì)的思想,并且滿足動(dòng)機(jī)的定義.因此它是古希臘數(shù)學(xué)研究的一個(gè)動(dòng)機(jī),也是人類進(jìn)行數(shù)學(xué)研究的一個(gè)動(dòng)機(jī).

    中國古代數(shù)學(xué)在整體發(fā)展上表現(xiàn)為算法的建構(gòu)和改進(jìn)[5].所謂“算法”不只是單純的計(jì)算,而是為了解決一整類實(shí)際或科學(xué)問題而概括出來的、帶有一般性的計(jì)算方法[4].算學(xué)的目的在于解決實(shí)際問題,而實(shí)際問題是層出不窮的,因此中國古代數(shù)學(xué)不僅經(jīng)受住了統(tǒng)治者廢除“明算”科的考驗(yàn),甚至還有所發(fā)展,如元末明初珠算的普及.隨著中國數(shù)學(xué)文化的形成,用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題成為算學(xué)的理想,即期望數(shù)學(xué)成果能夠被實(shí)際應(yīng)用.中國古代數(shù)學(xué)研究成為受這個(gè)理想而支配的勞動(dòng),成為實(shí)現(xiàn)個(gè)人價(jià)值、滿足求知欲的社會(huì)需求而付出的勞動(dòng).實(shí)際應(yīng)用滿足動(dòng)機(jī)的定義,因此它是中國古代數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)動(dòng)機(jī),也是人類進(jìn)行數(shù)學(xué)研究的一個(gè)動(dòng)機(jī).

    所以邏輯推理與實(shí)際應(yīng)用是人類進(jìn)行數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)動(dòng)機(jī),按動(dòng)機(jī)的分類它們屬于驅(qū)力,是從生理需要出發(fā)的內(nèi)在動(dòng)機(jī).數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)可以認(rèn)為是有方向性的對(duì)已有數(shù)學(xué)成果的再次研究過程,可以看作是數(shù)學(xué)研究的特例形式.依據(jù)歷史發(fā)生原理綜合分析得出:人類進(jìn)行數(shù)學(xué)研究的內(nèi)在動(dòng)機(jī)一定會(huì)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中表現(xiàn)出來,即激勵(lì)人類研究數(shù)學(xué)的內(nèi)在動(dòng)機(jī)與激勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)在動(dòng)機(jī)是一致的.

    從實(shí)際情況出發(fā),邏輯推理可以作為生活中一種娛樂形式,如邏輯推理游戲、邏輯推理小說、邏輯推理電影等都深受公眾喜歡;而實(shí)際應(yīng)用也是大家十分感興趣的,如通過應(yīng)用基本的空氣動(dòng)力學(xué)知識(shí)制作航模.

    綜上所述,邏輯推理與實(shí)際應(yīng)用是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī),且這兩個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)是學(xué)生共有的、內(nèi)在的,也是在實(shí)際教學(xué)中易于對(duì)學(xué)生進(jìn)行培養(yǎng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī).

    古希臘數(shù)學(xué)中的公理化思想是希臘數(shù)學(xué)文化的重要特點(diǎn)之一.公理化思想出現(xiàn)的標(biāo)志是歐幾里得的《幾何原本》.在數(shù)學(xué)中引入邏輯因素,對(duì)命題加以證明,一般認(rèn)為是從伊奧尼亞學(xué)派開始的,但畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在這一方面作了重大的推進(jìn),他們的工作可以說是歐幾里得公理化體系的前驅(qū)[3].因此公理化思想的提出要晚于邏輯推理思想,公理化思想是邏輯推理思想的發(fā)展.

    算法程序化思想是中國數(shù)學(xué)文化的另一個(gè)重要特點(diǎn).算法程序化思想出現(xiàn)的標(biāo)志是成書于公元前后的《九章算術(shù)》.實(shí)際應(yīng)用思想雖沒有明確的出現(xiàn)標(biāo)志,但在《九章算術(shù)》成書前的《周髀算經(jīng)》、《算數(shù)書》等書中涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)都蘊(yùn)含著明確的實(shí)際應(yīng)用思想.算法的提出是為了解決一類實(shí)際問題,算法程序化為了使算法嚴(yán)謹(jǐn)、簡明、更富一般性.因此算法程序化思想的提出要晚于實(shí)際應(yīng)用思想,且算法程序化思想是實(shí)際應(yīng)用思想的發(fā)展.

    隨著數(shù)學(xué)發(fā)展,公理化思想與算法程序化思想已應(yīng)用到現(xiàn)代數(shù)學(xué)中,成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的特點(diǎn).但它們不是貫穿整個(gè)古希臘數(shù)學(xué)與中國古代數(shù)學(xué)研究的內(nèi)在因素,而是邏輯推理與實(shí)際應(yīng)用數(shù)學(xué)思想發(fā)展的衍生物.公理化思想與算法程序化思想也可作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī),但適宜群體明顯要少得多.數(shù)學(xué)發(fā)展至今,數(shù)學(xué)本身的文化區(qū)域性特點(diǎn)淡薄了,希臘數(shù)學(xué)文化與中國數(shù)學(xué)文化背后的驅(qū)力——邏輯推理與實(shí)際應(yīng)用思想,早已相互融合.近代微積分的應(yīng)用及理論的嚴(yán)密化過程就是一例.

    二、比較古今數(shù)學(xué)教材以研究初中教材兩個(gè)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)的培養(yǎng)

    教材是教學(xué)中最重要的用書之一,是教師教學(xué)、學(xué)生學(xué)習(xí)的主要依據(jù).《幾何原本》、《九章算術(shù)》作為西方與中國的數(shù)學(xué)教科書都有千年之久.兩本著作都反映了當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)文化背景.重視邏輯推理與重視實(shí)際應(yīng)用分別成為教學(xué)思想包含在這兩本書中.

    因?yàn)椤毒耪滤阈g(shù)》作為教材多將劉徽注釋加入其中,所以將現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材與《幾何原本》、《九章算術(shù)及劉徽注》進(jìn)行比較研究.為增加3者的可比性,選擇它們共有的內(nèi)容,且知識(shí)體系完備,預(yù)備知識(shí)基本一致,學(xué)生認(rèn)知水平大抵相同的勾股定理部分作為比較對(duì)象.這種比較雖不能以點(diǎn)代面,但仍有較強(qiáng)的代表性與啟發(fā)性.現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材采用經(jīng)全國中小學(xué)教材審定委員會(huì)2004年初審?fù)ㄟ^的義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊[6],以第18章第1節(jié)勾股定理內(nèi)容為標(biāo)準(zhǔn),選擇《幾何原本》、《九章算術(shù)及劉徽注》部分內(nèi)容進(jìn)行比較.因《幾何原本》的成書結(jié)構(gòu)是公理化體系,利用已知命題證明未知命題,且命題后沒有輔助理解該命題的習(xí)題,所以選擇其中與勾股定理有關(guān)或利用勾股定理證明的命題作為比較對(duì)象.由于初中教材在講解勾股定理時(shí),預(yù)備知識(shí)中未包含圓、無理量及立體幾何內(nèi)容,故選擇《幾何原本》[7]第Ⅰ卷命題47、48,第Ⅱ卷命題9、10、11、12、13作為比較對(duì)象.《九章算術(shù)及劉徽注》的勾股章是利用直角三角形性質(zhì)求高深廣遠(yuǎn),因初中教材勾股定理的預(yù)備知識(shí)中沒有相似三角形及勾股數(shù)組的內(nèi)容,所以選擇《九章算術(shù)及劉徽注》[8]勾股章[一]至[一四]題及[一六]題作為比較對(duì)象.

    1.各種教材中勾股定理的內(nèi)容

    (1)編寫目的

    《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(修改稿)》(下簡稱為《標(biāo)準(zhǔn)》)中勾股定理的教學(xué)要求是:探索勾股定理及其逆定理,并能運(yùn)用它們解決一些簡單的實(shí)際問題[9].《幾何原本》與《九章算術(shù)及劉徽注》雖沒有類似的編寫標(biāo)準(zhǔn),但可以從它們的內(nèi)容及成書體系分析得出.《幾何原本》利用勾股定理轉(zhuǎn)換面積間關(guān)系證明幾何問題,即在直角三角形中,兩直角邊上正方形面積和與斜邊上正方形面積可以相互轉(zhuǎn)換.如第Ⅱ卷命題9、10、11、12、13都是利用這種思想.《九章算術(shù)及劉徽注》利用勾股定理數(shù)量關(guān)系求得高深廣遠(yuǎn),解決實(shí)際生活的問題.

    (2)知識(shí)框架

    初中教材通過生活發(fā)現(xiàn)與幾何直觀探索,建立從實(shí)際到理論再到實(shí)際的知識(shí)體系,并運(yùn)用定理解決簡單問題.《幾何原本》通過已知命題推導(dǎo)勾股定理,建立從理論到理論純幾何形式的知識(shí)體系,重在證明未知命題.《九章算術(shù)及劉徽注》通過給出3個(gè)簡單幾何問題“術(shù)”,建立從理論到實(shí)際的應(yīng)用知識(shí)體系,旨在解決實(shí)際問題.3者建構(gòu)的知識(shí)框架各不相同.

    (3)定理引入

    初中教材的導(dǎo)入分為兩部分,分析畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)的定理特例與探究定理的一般形式.《幾何原本》受公理化體系的影響,它的導(dǎo)入可以認(rèn)為是定義、公理、公設(shè)及已知命題.《九章算術(shù)及劉徽注》的導(dǎo)入是3個(gè)已知兩邊求第三邊的簡單幾何問題.

    (4)定理表述

    初中教材用特例猜想定理的一般形式給出勾股定理[6]:如果直角三角形的兩直角邊長分別為a、b,斜邊為c,那么《幾何原本》的勾股定理以命題形式給出:在直角三角形中,直角所對(duì)邊上的正方形等于夾直角兩邊上的正方形[10].《九章算術(shù)及劉徽注》中的勾股定理以3個(gè)簡單幾何問題術(shù)的形式給出:勾股各自乘,并,而開方除之,即弦[8].3者對(duì)比,初中教材體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的勾股定理且形體現(xiàn)在邊長上;《幾何原本》中體現(xiàn)形的勾股定理且形體現(xiàn)在面積上;而《九章算術(shù)及劉徽注》體現(xiàn)數(shù)的勾股定理.各自的表述為其內(nèi)容服務(wù),它們之間存在一定差異.

    (5)定理證明

    初中教材利用我國古代趙爽的弦圖(如圖1、圖2、圖3),通過圖形旋轉(zhuǎn)證明定理猜想.這種證明方法是近年來學(xué)者們傾向于“古證復(fù)原”思想提出的.初中教材對(duì)定理證明如下[6]:

    趙爽注釋的《周髀算經(jīng)》對(duì)勾股定理的證明如下:案弦圖又可以勾、股相乘為朱實(shí)二,倍之為朱實(shí)四.以勾股之差自相乘為中黃實(shí).加差實(shí)一亦成弦實(shí)[8].

篇（4）

例1 一個(gè)直立的火柴盒在桌面上倒下,啟迪人們發(fā)現(xiàn)了勾股定理的一種新的證明方法.如圖1,火柴盒的一個(gè)側(cè)面ABCD倒下到A B'C'D'的位置,連接CC',設(shè)AB=a,BC=b,AC=c,請(qǐng)利用四邊形BCC'D'的面積證明勾股定理:a2+b2=c2.

證明: 四邊形BCC'D'為直角梯形,

S梯形BCC'D'=(BC+C'D')•BD'=.

RtABC≌RtAB'C',∠BAC=∠B'AC'.

∠CAC'=∠CAB'+∠B'AC'=∠CAB'+∠BAC=90?

S梯形BCC'D'=SABC+SCAC'+SD'AC'

=ab+c2+ab=.

=.a2+b2=c2.

說明:在近幾年的中考試題中,考查勾股定理證明的試題有增強(qiáng)的趨勢,主要是利用圖形面積之間的關(guān)系證明勾股定理,一方面增進(jìn)了同學(xué)們對(duì)證明勾股定理的數(shù)學(xué)史的了解,另一方面這類試題對(duì)培養(yǎng)同學(xué)們的探索精神也大有裨益.

二、勾股定理在計(jì)算中的應(yīng)用

例2 如圖2,在ABC中,∠CAB=120B=4,AC=2,ADBC,D是垂足.求AD的長.

解:過C作CEBE交BA的延長線于E,

AC=2,AE=1.

在RtACE中,由勾股定理得:

CE2=AC2-AE2=3,CE=,

在RtBCE中,由勾股定理得:BC2=CE2+BE2=28,

BC=2.SABCA=AB說明:當(dāng)所給的圖形有直角三角形時(shí),我們可想到勾股定理的應(yīng)用.

三、勾股定理的實(shí)際應(yīng)用

例3如圖3, 一架長5米的梯子 ,斜立在一豎直的墻上,這時(shí)梯子底端距墻底3米.如果梯子的頂端沿墻下滑1米,梯子的底端在水平方向沿一條直線也將滑動(dòng)1米嗎?用所學(xué)知識(shí),論證你的結(jié)論.

解:是.證明如下:

在RtACB中,BC=3,AB=5,

根據(jù)勾股定理得AC==4米.

DC=4-1=3米.

在RtDCE中,DC=3,DE=5,

根據(jù)勾股定理得CE==4米.

BE=CE-CB=1.即梯子底端也滑動(dòng)了1米.

說明:在用勾股定理解決實(shí)際問題時(shí),關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形,把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型,然后運(yùn)用勾股定理等解決,必要時(shí)還要用到方程(組)的方法求解.

四、與勾股定理有關(guān)的探索題

例4 圖4中的螺旋形由一系列等腰直角三角形組成,其序號(hào)依次為①、②、③、④、⑤、…,則第n個(gè)等腰直角三角形的斜邊長為_____________.

解:觀察圖形可知①對(duì)應(yīng)斜邊長為,②對(duì)應(yīng)斜邊長為,③對(duì)應(yīng)的斜邊長為,……,第n個(gè)對(duì)應(yīng)斜邊長為.

五、勾股定理逆定理的應(yīng)用

例5 已知a,b,c為ABC的三邊,且滿足a2c2-b2c2=a4-b4,試判斷ABC的形狀.

解: a2c2-b2c2=a4-b4 ,

c2( a2-b2)=( a2+b2) (a2-b2).

(1)當(dāng)a2-b2≠0時(shí),化簡后得c2=a2+b2 ,

ABC是直角三角形.

(2)當(dāng)a2-b2=0時(shí),a=b, ABC是等腰三角形.

說明:本題結(jié)合因式分解的知識(shí),綜合考查了提公因式法、公式法分解因式以及勾股定理的逆定理,同時(shí)還考查了等式的性質(zhì)2:在等式兩邊不能同時(shí)除以一個(gè)可能為0的數(shù),這往往是我們最容易忽視的地方,應(yīng)引起大家的注意.

六、與勾股定理有關(guān)的創(chuàng)新題

例6 在直線l上依次擺放著七個(gè)正方形(如圖5所示).已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別是1,2,3,正放置的四個(gè)正方形的面積依次是S1,S2,S3,S4,則S1+S2+S3+S4=________.

分析:根據(jù)已知條件可知AC=EC,∠ABC=∠CDE=90CB+∠ECD=90傘CD+∠CED=90浴CB=∠CED,這樣可得ABC≌CDE,所以BC=ED,

在RtABC中,由勾股定理,得AC2=AB2+BC2=AB2+DE2,

篇（5）

在具體的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)上，可以從下列途徑培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的意識(shí)和能力;當(dāng)然還可以從其他更多的途徑進(jìn)行訓(xùn)練。

1.從建立概念（或命題）的過程中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題

在蘇科版《數(shù)學(xué)》（八年級(jí)上冊）《第3章勾股定理》、《3.1勾股定理證明》的教學(xué)中，通過畫圖，用三個(gè)正方形面積來驗(yàn)證了直角三角形斜邊、直角邊之間的關(guān)系，得到了一個(gè)正確的命題：勾股定理，而后介紹公元前1000多年前《周髀算經(jīng)》記載的“勾三股四弦五”的結(jié)論。此時(shí)可引導(dǎo)學(xué)生對(duì)勾股定理來思考：對(duì)勾股定理可以提出哪些問題？舉數(shù)例如下：

（1）中國人老早就發(fā)現(xiàn)了勾股定理，那么外國人有沒有發(fā)現(xiàn)勾股定理？如發(fā)現(xiàn)了，最早是什么時(shí)候、是誰發(fā)現(xiàn)的？（這個(gè)問題如何解答呢？咨詢、查圖書資料、網(wǎng)上搜索……）

（2）勾股定理有哪些應(yīng)用呢？（求邊長、計(jì)算、證明其他命題、圖案設(shè)計(jì)、列方程……）

（3）如何證明勾股定理？（咨詢、查圖書資料、網(wǎng)上搜索……幾何的、代數(shù)的、三角的、面積的、向量的……多種方法）

（4）到目前為止，勾股定理有多少種證明方法？（咨詢、查圖書資料、網(wǎng)上搜索……）

（5）勾股定理有逆定理嗎？如有，如何證明它？

再如，學(xué)過勾股定理的逆定理之后，接著就建立勾股數(shù)的概念，可以要求學(xué)生對(duì)勾股數(shù)可提出哪些問題呢？舉數(shù)例如下：

（1）填空：

32+（ ）2=52， （ ）2+62=102，52+（ ）2=132， 52+（ ）2=182，

72+（ ）2=252， 92+（ ）2=412，722+（ ）2=972，902+562= （ ）2。

從32+42=52及上面的練習(xí)可知：至少有一組勾股數(shù)3、4、5，即勾股數(shù)是存在的。那么，勾股數(shù)是有限的還是無限的？

（2）能不能建立公式求勾股數(shù)？

（3）勾股數(shù)與直角三角形是什么關(guān)系？

（4）古人是怎樣發(fā)現(xiàn)勾股數(shù)的？

2.從問題中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題

仍然以勾股數(shù)概念的建立為例，給出下列問題：

n是大于1的正整數(shù)，下列三個(gè)數(shù)n2-1、2n、n2+1是不是勾股數(shù)？

自然，可以讓學(xué)生自己去判斷這三個(gè)自然數(shù)是不是勾股數(shù)，很快就可以得出結(jié)論：這三個(gè)自然數(shù)是勾股數(shù)。于是，就可以引導(dǎo)學(xué)生思考、去探究、去提出問題：

（1）設(shè)自然數(shù)k，這三個(gè)數(shù)的k倍k（n2-1）、k（2n）、k（n2+1）是不是勾股數(shù)？如何判斷呢？（這個(gè)問題是引導(dǎo)學(xué)生思考：由勾股數(shù)的定義去判斷出，由一組勾股數(shù)就可以得到許多組勾股數(shù)）

（2）n取不同的值，就得到不同的勾股數(shù)，是不是就求出了所有的勾股數(shù)？（這個(gè)問題是引導(dǎo)學(xué)生思考勾股數(shù)是有限的還是無限的，怎樣用有限去表達(dá)無限）

（3）這三個(gè)數(shù)是怎樣得到的？（這個(gè)問題是引導(dǎo)學(xué)生思考、探求發(fā)現(xiàn)這三個(gè)數(shù)的途徑）

3.從命題的證明過程中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題

問題：如圖：AD為ABC的高，∠B=2∠C，

用軸對(duì)稱圖形說明：CD=AB+BD。

給出如下解答：

（1）如圖，在CD上取一點(diǎn)E使DE=BD，連結(jié)AE;ADBE，

AB=AE，∠B=∠AEB，

而∠AEB=∠C+∠CAE，

所以∠B=∠C+∠CAE;

又∠B=2∠C，

2∠C=∠C+∠CAE，

∠C=∠CAE，AE=EC，

AE +BD=DE+EC，

即AB+BD=DC。

篇（6）

數(shù)學(xué)史對(duì)于數(shù)學(xué)教育的價(jià)值已不僅僅停留在理論層面的討論. 翻閱近兩年的數(shù)學(xué)教育類雜志可以發(fā)現(xiàn)，越來越多的中小學(xué)數(shù)學(xué)教師也在撰文闡述自己在教學(xué)中使用數(shù)學(xué)史的一些體會(huì)和教學(xué)案例. 在課程改革不斷深入的當(dāng)下，數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)于踐行課改的理念，培養(yǎng)全面發(fā)展有理想、有道德的高素質(zhì)數(shù)學(xué)人才等方面確實(shí)有著積極的推進(jìn)作用. 本文將給出一個(gè)基于數(shù)學(xué)史的勾股定理教學(xué)設(shè)計(jì)思路，旨在拋磚引玉，期待一線教師在不斷加強(qiáng)自身數(shù)學(xué)史修養(yǎng)的同時(shí)，開發(fā)出更多基于數(shù)學(xué)史的優(yōu)秀教學(xué)案例.

提出問題

勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方. 此定理在西方叫做畢達(dá)哥拉斯定理，相傳，這是由古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯及其徒眾發(fā)現(xiàn)的，后人更渲染其事，說畢達(dá)哥拉斯諸人十分重視這項(xiàng)發(fā)現(xiàn)，特地宰了一百頭牛向天神奉獻(xiàn)答謝，所以中世紀(jì)時(shí)這條定理被稱作“百牛定理”. 在歷史上，這條定理的名稱特別多，在不同時(shí)代、不同地區(qū)都有不同的名稱，包括“木匠定理”“新娘之椅”等. 古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在公元前300年左右編寫了著名的經(jīng)典之作《幾何原本》，其中一個(gè)定理就是畢達(dá)哥拉斯定理：

“在直角三角形中，直角所對(duì)的邊上的正方形等于夾直角兩邊上正方形的和.”

接下來的這個(gè)定理是畢達(dá)哥拉斯定理的逆定理：

“如果在一個(gè)三角形中，一邊上的正方形等于這個(gè)三角形另外兩邊上正方形的和，則夾在后兩邊之間的角是直角.”

這兩個(gè)定理合起來說明了直角三角形a，b，c三邊的平方和關(guān)系：a2+b2=c2，界定了直角三角形.

我國是最早發(fā)現(xiàn)勾股定理的國家，據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，我國數(shù)學(xué)家早在公元前1120年就對(duì)勾股定理有了明確認(rèn)識(shí). 勾股定理從發(fā)現(xiàn)到現(xiàn)在已有五千年的歷史，在西方，它被稱為畢達(dá)哥拉斯定理，但它的發(fā)現(xiàn)時(shí)間卻比中國人晚了幾百年. 勾股定理是把直角三角形與三邊長的數(shù)量關(guān)系聯(lián)系在一起，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.

定理的證明

在新課程人教版教材（八年級(jí)下冊）中，先是引用畢達(dá)哥拉斯的故事引出勾股定理，然后利用中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”證明了勾股定理. “弦圖”是以弦為邊長的正方形，在“弦圖”內(nèi)作四個(gè)相等的勾股形，各以正方形的邊長為弦. “弦圖證法”是依據(jù)“出入相補(bǔ)原理”，根據(jù)“以直角三角形斜邊為邊長的正方形的面積與四個(gè)三角形的面積之和等于外正方形的面積”來證明勾股定理的. 趙爽的“弦圖證法”表現(xiàn)了我國古人對(duì)數(shù)學(xué)的鉆研精神和聰明才智，它是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，正因如此，這個(gè)圖案被選為2002年北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)徽.

[圖1]

引導(dǎo)學(xué)生探索其他解法

上述是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”證法，即利用“以直角三角形斜邊為邊長的正方形的面積與四個(gè)三角形的面積之和等于外正方形的面積”來證明勾股定理. 這一方法給我們一定的啟示，即圍繞面積相等這一條，把原圖形拆成幾部分，然后根據(jù)面積相等實(shí)現(xiàn)定理的證明. 教師可以提示學(xué)生圍繞這一觀點(diǎn)，探索其他證明方法，學(xué)生提供的證法有可能和歷史上大數(shù)學(xué)家的證法一致.

歷史上的經(jīng)典證明方法展示

發(fā)現(xiàn)勾股定理迄今已有五千年，五千多年來，世界上幾個(gè)文明古國都相繼發(fā)現(xiàn)和研究過這個(gè)定理，幾千年來，人們給出了勾股定理的許多證法，有人統(tǒng)計(jì)，現(xiàn)在世界上已找到四百多種證法，下面列舉其中具有數(shù)學(xué)思想的一些代表性證明方法. 如（1）歐幾里得《幾何原本》的證法；（2）比例證法；（3）另一種弦圖證法；（4）總統(tǒng)證法；（5）帕斯卡拉二世的證明；（6）畢達(dá)哥拉斯的證法；（7）旋轉(zhuǎn)證法. 限于篇幅，這些證明方法的證明過程在本文中省略不寫.

基于上述分析，不難發(fā)現(xiàn)，歷史上的勾股定理證明方法很多，據(jù)統(tǒng)計(jì)，有400多種，向?qū)W生展示不同的證明方法有很多益處，具體表現(xiàn)在：首先，給出勾股定理的多種證法，并非是比較證法之優(yōu)劣，而是為了豐富教與學(xué)的內(nèi)容知識(shí)，這也是數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)重要的功能之一. 其次，通過比較、分析各種證法的特色，可以讓教師和學(xué)生在教與學(xué)上有所比較，以達(dá)到取長補(bǔ)短. 通過分析各種證法之不同，可以發(fā)現(xiàn)他們各自對(duì)于圖形的依賴程度也不相同. 當(dāng)我們試圖理解某個(gè)版本的證法時(shí)，就好比與這位數(shù)學(xué)家進(jìn)行對(duì)話，從而產(chǎn)生自我“歷史詮釋”. 再次，歷史上的勾股定理證法還使我們認(rèn)識(shí)到該如何呈現(xiàn)定理及其證明，以便可以兼顧到各個(gè)面向. 在教學(xué)中，若以歷史文本為師，適時(shí)引入古人的原始想法，擷取前人的智慧，乃至前人所犯的錯(cuò)誤，相信對(duì)于數(shù)學(xué)思想的發(fā)展與學(xué)生的學(xué)習(xí)過程能有更貼近的牟合，也能讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)有更全面的觀照. 最后，基于數(shù)學(xué)史數(shù)學(xué)教學(xué)所追求的目標(biāo)之一，正是讓學(xué)生在通過歷史文本解決問題的過程中獲得學(xué)習(xí)的樂趣，因此，數(shù)學(xué)歷史文本中的任何地方可能都有意想不到的金礦等待挖掘，唯有辛勤發(fā)掘才可能使我們滿載而歸.

問題的推廣

下面我們換個(gè)角度看勾股定理，定理會(huì)變成什么樣呢？

推廣一：勾股定理的不同表述方式

（1）直角三角形斜邊長度的平方等于兩個(gè)直角邊長度的平方之和.

（2）直角三角形斜邊上的正方形等于直角邊上的兩個(gè)正方形.

（3）直角三角形直角邊上兩個(gè)正方形的面積之和等于斜邊上正方形的面積.

推廣二：“出入相補(bǔ)”原理的應(yīng)用

所謂“出入相補(bǔ)”原理，是指一個(gè)幾何圖形（平面的或立體的）被分割成若干部分后，面積或體積的總和保持不變. 綜觀歷史上有關(guān)勾股定理的證明方法，許多證法都是利用這一原理進(jìn)行的，只是圖形的分合移補(bǔ)略有不同而已. “出入相補(bǔ)”原理是我國古代數(shù)學(xué)家發(fā)明的一個(gè)證明幾何圖形面積和體積的非常重要的方法，下面，我們通過比較兩個(gè)證明來說明某些問題.

趙爽和達(dá)?芬奇的證明方法（如圖2所示）：

[圖2：勾股定理的兩種幾何證明]

問題：這兩種方法的聯(lián)系是什么？

解答：如圖3所示.

[圖3：兩種證明的聯(lián)系]

可以看出，趙爽和達(dá)?芬奇對(duì)勾股定理的證明都使用了“出入相補(bǔ)”原理. 這兩種來自不同時(shí)期、不同地域的方法背后有著更本質(zhì)的聯(lián)系，正因?yàn)檫@種本質(zhì)聯(lián)系，讓我們找到了更多類似的證明方法. 它也展示了數(shù)學(xué)內(nèi)部的一種聯(lián)系. 正如韋爾斯在《數(shù)學(xué)與聯(lián)想》一書中所說的：“這就是為什么數(shù)學(xué)強(qiáng)有力的一個(gè)理由. 數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)表面不同的問題實(shí)際上是相同的，因此他只要解決一個(gè)也就解決了另一個(gè). 認(rèn)識(shí)到一百萬個(gè)問題‘實(shí)質(zhì)上’都是相同的，因此，你只要解決一個(gè)就解決了一百萬個(gè). 事實(shí)上，這就是力量！”我們的數(shù)學(xué)讀本，應(yīng)該多多向?qū)W生介紹這方面的內(nèi)容，讓學(xué)生感受這種力量，去認(rèn)識(shí)事物之間的聯(lián)系.

推廣三：把直角三角形三邊上的正方形改為一般的直線形

若把以直角三角形為邊長的正方形改為一般的直線形，勾股定理就推廣為：直角三角形斜邊上的直線形（任何形狀）的面積，等于兩條直角邊上與它相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)相似的直線形的面積之和（如圖4所示）.

[圖4]

推廣四：把直角三角形三邊上的直線形改為曲邊形

若把直角三角形三邊上的相似直線形改為三個(gè)半圓，勾股定理就推廣為：以斜邊為直徑的半圓，其面積等于分別以兩條直角邊為直徑所作半圓的面積和. 新課程（人教版八年級(jí)下冊）在習(xí)題中體現(xiàn)了這一推廣：（習(xí)題18.1“拓展探索”問題11）：如圖5所示，直角三角形三條邊上的三個(gè)半圓之間有什么關(guān)系？

[圖5][2][1]

若把上述斜邊上的半圓沿斜邊翻一個(gè)身，此時(shí)顯然有“1和2的面積之和等于直角三角形的面積”. 其實(shí)這個(gè)結(jié)論早在公元前479年就已經(jīng)由古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底得到，因1和2部分狀如弦月，故稱“希波克拉底月形”. 新課程（人教版八年級(jí)下冊）在習(xí)題中體現(xiàn)了這一推廣（習(xí)題18.1“拓展探索”問題12）：如圖5所示，直角三角形的面積是20，求圖中1和2的面積之和.

推廣五：勾股定理與費(fèi)馬大定理

勾股定理是直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，寫出公式就是a2+b2=c2. 丟番圖的名作《算術(shù)》（第2卷問題8）中有一個(gè)與勾股定理類似的問題：將一個(gè)已知的平方數(shù)分為兩個(gè)平方數(shù). 丟番圖在《算術(shù)》中以實(shí)例形式給出了這一問題的解答. 之所以在此獨(dú)獨(dú)提到丟番圖的這一問題，是因?yàn)椋蠹s16個(gè)世紀(jì)以后，正是在這一問題的啟發(fā)下，費(fèi)馬在其旁白處寫下了一段邊注，從而誕生了一個(gè)讓整個(gè)數(shù)學(xué)界為之苦思冥想了三百多年的問題. 費(fèi)馬在閱讀巴歇校訂的丟番圖《算術(shù)》時(shí)，做了如下批注：“不可能將一個(gè)立方數(shù)寫成兩個(gè)立方數(shù)之和；或者將一個(gè)四次冪寫成兩個(gè)四次冪之和；或者，一般地，不可能將一個(gè)高于2次的冪寫成兩個(gè)同樣次冪的和. 我已找到了一個(gè)奇妙的證明，但書邊太窄，寫不下. ”1670年，費(fèi)馬之子薩謬爾連同其父的批注一起出版了巴歇校訂的書的第二版，遂使費(fèi)馬這一猜想公之于世. 費(fèi)馬究竟有沒有找到證明已成為數(shù)學(xué)史上的千古之謎. 從那時(shí)起，為了“補(bǔ)出”這條定理的證明，數(shù)學(xué)家們花費(fèi)了三個(gè)多世紀(jì)的心血，直到1994年才由維爾斯給出證明.

推廣六：勾股數(shù)

不言而喻，所謂勾股數(shù)，是指能夠構(gòu)成直角三角形三條邊的三個(gè)正整數(shù)（a，b，c），它們滿足a2+b2=c2. 那么如何尋找更多的勾股數(shù)呢，方法如下.

1. 任取兩個(gè)正整數(shù)m，n（m>n），那么，a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2構(gòu)成一組勾股數(shù).

2. 若勾股數(shù)組中的某一個(gè)數(shù)已經(jīng)確定，可用如下方法確定另兩個(gè)數(shù)：首先觀察已知數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù).

（1）若已知數(shù)是大于1的奇數(shù)，把它平方后拆成相鄰的兩個(gè)整數(shù)，那么奇數(shù)與這兩個(gè)整數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù).

（2）若已知數(shù)是大于2的偶數(shù)，把它除以2后再平方，然后把這個(gè)平方數(shù)分別減1和加1所得的兩個(gè)整數(shù)與這個(gè)偶數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù).

練習(xí)題：限于篇幅，僅列一題.

練習(xí)題 今有立木，系索其末委地三尺，引索卻行去本八尺而索盡，問索長幾何？（該題出自南宋楊輝《詳解九章算法》，公元1261年）

現(xiàn)代文翻譯：有一根直立的木頭，一條繩索系在它的頂端. 已知這條繩索比木頭長3尺，現(xiàn)在向后緊拉繩索，使它的另一端著地，這時(shí)繩索與木的距離為8尺，問這條繩索的長為多少？

篇（7）

1 引言的設(shè)計(jì)

三種教科書在這一章的開始都有引言和題圖. 比如人教社版《數(shù)學(xué)》，放置了2002年國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)場的照片，其中會(huì)徽非常醒目；照片旁邊有三段文字作為這一章的引言. 其中第一段有這么一句話：

后來人們進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)并證明了直角三角形三邊之間的關(guān)系：兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方. 你能發(fā)現(xiàn)這個(gè)關(guān)系嗎?

筆者認(rèn)為這段話存在兩個(gè)問題. 第一，在引言部分就把結(jié)論明確地告訴學(xué)生，那么其后的“觀察”、“探究”和“猜想”還有什么意義?第二，把結(jié)論告訴學(xué)生后再問學(xué)生你能發(fā)現(xiàn)它嗎，同樣沒有任何意義. 就好象問一個(gè)已經(jīng)吃好飯的人，你想吃飯嗎?

我們認(rèn)為，引言可以提出一個(gè)具體的問題情境來導(dǎo)入本章的學(xué)習(xí)，也可以給出本章的學(xué)習(xí)目標(biāo)讓學(xué)生明確這一章要學(xué)習(xí)什么. 但不可以把需要探究和猜想的結(jié)論展現(xiàn)在學(xué)生面前.

圖1

人教社版《數(shù)學(xué)》還有一處類似的錯(cuò)誤，18.2《勾股定理的逆定理》是用古埃及人畫直角的方法來引入的，隨后配了一幅插圖(圖1). 但是令人沮喪的是，從穿著看，畫面中的人是古希臘人，而非古埃及人. 這個(gè)小錯(cuò)誤對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也許不會(huì)產(chǎn)生大的影響，但是作為國家權(quán)威教科書出版單位，犯如此低級(jí)的錯(cuò)誤也是不應(yīng)該的.

2 定理的發(fā)現(xiàn)

數(shù)學(xué)教學(xué)要培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)計(jì)算、數(shù)學(xué)論證乃至數(shù)學(xué)推斷等能力，勾股定理的教學(xué)正是一個(gè)恰當(dāng)?shù)睦? 不過，在實(shí)際教學(xué)中，教師雖有探究式教學(xué)的理念，但在師生行為的設(shè)計(jì)上有兩個(gè)難解的困惑：①通過度量直角三角形三條邊的長，計(jì)算它們的平方，再歸納出a2+b2=c2，由于得到的數(shù)據(jù)不總是整數(shù)，學(xué)生很難猜想出它們的平方關(guān)系，因此教師常常把勾股定理作為一個(gè)事實(shí)告訴學(xué)生；②勾股定理的證明有難度，一般來說學(xué)生很難自行探究，尋得解決的方法.[2]教師通常是依據(jù)教科書來進(jìn)行教學(xué)的，那么，我們來看一下教科書是如何設(shè)計(jì)的.

華師大版《數(shù)學(xué)》第48頁安排了“試一試”：

測量你的兩塊直角三角尺的三邊的長度，并將各邊的長度填入下表：

根據(jù)已經(jīng)得到的數(shù)據(jù)，請(qǐng)猜想三邊的長度a、b、c之間的關(guān)系.

筆者認(rèn)為，這個(gè)活動(dòng)設(shè)計(jì)得非常不好. 為什么?一塊任意的三角板，它的三邊長很可能并非整數(shù). 讓學(xué)生猜想三邊長分別為3、4、5或者5、12、13的直角三角形三邊的關(guān)系，就已經(jīng)不是十分容易的事(比如，學(xué)生容易得到3+5=2×4而不易得到32+42=52；也有學(xué)生由32=4+5和52=12+13猜想a2=b+c)，更何況來猜想三個(gè)非整數(shù)之間的平方關(guān)系. 教科書這樣設(shè)計(jì)和處理，容易導(dǎo)致學(xué)生盲目的探究和盲目的猜想，在這“盲目”上浪費(fèi)了不少時(shí)間，而且沒有多大意義和價(jià)值.

3 勾股定理是“發(fā)現(xiàn)”而非“發(fā)明”的

華師大版《數(shù)學(xué)》第55頁安排了“閱讀材料”：《勾股定理史話》. 其中有這樣一段話(下劃線為本文作者所加)：

人們對(duì)勾股定理的認(rèn)識(shí)，經(jīng)歷過一個(gè)從特殊到一般的過程，其特殊情況，在世界很多地區(qū)的現(xiàn)存文獻(xiàn)中都有記載，很難區(qū)分這個(gè)定理是誰最先發(fā)明的. 國外一般認(rèn)為這個(gè)定理是畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras)學(xué)派首先發(fā)現(xiàn)的，因而稱為畢達(dá)哥拉斯定理.

這里有兩處錯(cuò)誤. 第一，勾股定理是“發(fā)現(xiàn)”還是“發(fā)明”的?我們知道，發(fā)明是創(chuàng)造，一種從無到有的過程；而發(fā)現(xiàn)是一種本來就有，從不認(rèn)識(shí)到認(rèn)識(shí)的過程. 那么，數(shù)學(xué)定理的證明方法，可以是一種從無到有的發(fā)明過程，而定理本身本來就存在，而后被人發(fā)現(xiàn)的. 教科書中一段話里對(duì)定理的產(chǎn)生使用了發(fā)明和發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)詞語，就有一定矛盾和混亂. 第二，并不是因?yàn)楫呥_(dá)哥拉斯或其學(xué)派首先發(fā)現(xiàn)定理，而是因?yàn)樵跀?shù)學(xué)史上有明確記載，畢達(dá)哥拉斯或其學(xué)派首先證明該定理，才被稱為畢達(dá)哥拉斯定理的. 同樣的錯(cuò)誤，我們可以在人教社版《數(shù)學(xué)》上看到，第74頁有個(gè)小標(biāo)簽，上面寫著：

在西方，一般認(rèn)為這個(gè)定理是畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)的，所以人們稱這個(gè)定理為畢達(dá)哥拉斯定理.

相比較而言，北師大版《數(shù)學(xué)》則相對(duì)比較準(zhǔn)確. 第8頁有一則“讀一讀”：《勾股世界》. 最后一段話：

相傳兩千多年前，希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派首先證明了勾股定理，因此在國外人們通常稱勾股定理為畢達(dá)哥拉斯定理.

4 問題情境應(yīng)避免“人為”的創(chuàng)設(shè)

北師大版《數(shù)學(xué)》設(shè)置問題情境，用“旗桿問題”來引入新課題. 該問題是：

強(qiáng)大的臺(tái)風(fēng)使得一根旗桿在離地面9米處折斷倒下，旗桿頂部落在離旗桿底部12米處. 旗桿折斷之前有多高?

對(duì)于這一問題，如果考慮該題的現(xiàn)實(shí)性和科學(xué)性，橫向的“12米”是容易測量的，那么縱向的“9米”又是如何得到的呢?如果可以通過直接測量的話，那么折斷部分的15米應(yīng)該也不難測量(唯一難測量的情況就是尺子的長度大于12米而小于15米). 所以這個(gè)問題的設(shè)計(jì)并不合理. 相對(duì)而言，教科書中的“梯子問題”在合理性上難以找到瑕疵. 比如華師大版《數(shù)學(xué)》第50頁在給出勾股定理后安排了例1：

如圖(圖略)，將長為5.41米的梯子AC斜靠在墻上，BC長為2.16米，求梯子上端A到墻的底邊的垂直距離AB. (精確到0.01米)

這里，梯子的長度是容易測量的，BC的長度也是容易測量的，而垂直距離AB確實(shí)是難測量的. 因?yàn)殡y以測量，我們便求助于計(jì)算，求助于數(shù)學(xué). 這樣就體現(xiàn)了數(shù)學(xué)是有用的.

我們再來看北師大版《數(shù)學(xué)》第9頁例1：

我方偵察員小王在距離東西公路400米處偵察，發(fā)現(xiàn)一輛敵方汽車在公路上疾駛. 他趕緊拿出紅外測距儀，測得汽車與他相距400米，10秒后，汽車與他相距500米，你能幫小王計(jì)算敵方汽車的速度嗎?

從情境的合理性和科學(xué)性角度考慮，這一題應(yīng)該問題不大；但我們來看另外一題：

飛機(jī)在空中水平飛行，某一時(shí)刻剛好飛到一個(gè)男孩頭頂正上方4000米處，過了20秒，飛機(jī)距離這個(gè)男孩頭頂5000米. 飛機(jī)每時(shí)飛行多少千米?

這一題出現(xiàn)在修訂前的北師大版《數(shù)學(xué)》中，與前一題在本質(zhì)上是一模一樣的. 如果考慮一下這個(gè)4000米和5000米是小男孩或旁觀者通過什么途徑測到的，就不難明白，為什么教科書修訂時(shí)把這一題改成前一題了.

我們再來看一題，北師大版《數(shù)學(xué)》第3節(jié)《螞蟻怎樣走最近》中安排了“隨堂練習(xí)”：

甲、乙兩位探險(xiǎn)者到沙漠進(jìn)行探險(xiǎn). 某日早晨8：00甲先出發(fā)，他以6千米/時(shí)的速度向正東行走. 1時(shí)后乙出發(fā)，他以5千米/時(shí)的速度向正北行走. 上午10：00，甲乙二人相距多遠(yuǎn)?”

我們在一本美國的幾何教材《發(fā)現(xiàn)幾何》第9.3節(jié)的練習(xí)B中看到了這道題目的原型[3]：

在火星正午時(shí)間，朗達(dá)?本德博士離開美國火星研究站，以60千米/時(shí)向東行進(jìn). 1小時(shí)后I.M.布賴特教授離開同一研究站，以50千米/時(shí)向北行進(jìn)，去觀察極地冰帽. 火星時(shí)間下午3時(shí)，博士與教授相距多遠(yuǎn)?答案精確到千米.

從這兩個(gè)問題的表述上看，《發(fā)現(xiàn)幾何》比北師大版《數(shù)學(xué)》更具想象和充滿冒險(xiǎn). 北師大版《數(shù)學(xué)》只把學(xué)生帶進(jìn)沙漠，而《發(fā)現(xiàn)幾何》卻把學(xué)生帶到了火星. 北師大版《數(shù)學(xué)》是讓學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題，或者說是“做數(shù)學(xué)”；而《發(fā)現(xiàn)幾何》不僅是“做數(shù)學(xué)”，更是“玩數(shù)學(xué)”，讓學(xué)生在一種輕松愉快的情境中解決數(shù)學(xué)問題，而這個(gè)過程是充滿樂趣的.

筆者這里舉了幾個(gè)例子，是想說明教科書編寫者在設(shè)計(jì)習(xí)題時(shí)采用不同的觀念，有的是為數(shù)學(xué)而問題，有的是為學(xué)生而問題，或者為生活而問題. 不同的觀念導(dǎo)致習(xí)題是“人為”還是“為人(學(xué)生)”的區(qū)別. 比如，“人為”的問題，為數(shù)學(xué)而問題，問題都是圍繞數(shù)學(xué)而編寫、杜撰的(前文那個(gè)“旗桿問題”就是為數(shù)學(xué)而數(shù)學(xué)). 從數(shù)學(xué)角度講，它也許是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模昝赖模苍S遠(yuǎn)離了學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活，也遠(yuǎn)離了學(xué)生的想象世界. 事實(shí)上，教科書在編寫時(shí)，應(yīng)該從學(xué)生出發(fā)，考慮問題情境的科學(xué)性和合理性，避免出現(xiàn)“人為”的題目.

5 趙爽的證明方法

趙爽如何利用弦圖證明勾股定理，在數(shù)學(xué)史研究中是有爭議的. 錢寶琮先生認(rèn)為他采用代數(shù)方法，利用面積計(jì)算；而吳文俊、李文林先生則認(rèn)為他采用幾何方法，利用出入相補(bǔ)原理. 事實(shí)上，代數(shù)觀點(diǎn)比較容易解釋趙爽的文字，但這種思維方式不太符合趙爽時(shí)代的人們的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣.

我們看到，對(duì)這樣未形成定論的內(nèi)容，教科書在處理時(shí)卻顯得有些草率.

人教社版《數(shù)學(xué)》在73頁，明確給出了趙爽利用弦圖證明勾股定理的基本思路，這是一種幾何方法，用出入相補(bǔ)原理來證明的.

華師大版《數(shù)學(xué)》在52頁安排了“讀一讀”，介紹了弦圖和趙爽；之前“試一試”使用拼圖和計(jì)算面積驗(yàn)證(或者證明)了勾股定理. 課文中沒有明確給出趙爽的證明方法，但聯(lián)系上下文，容易讓學(xué)生認(rèn)為趙爽是使用代數(shù)方法證明勾股定理.

北師大版《數(shù)學(xué)》第8頁和第9頁介紹了證明方法，將大正方形分割成四個(gè)直角三角形和一個(gè)正方形，然后通過計(jì)算面積驗(yàn)證勾股定理. 雖然沒有明確指出趙爽的方法，但顯然編者認(rèn)為他是采用代數(shù)方法. 其后12頁介紹了劉徽用出入相補(bǔ)原理證明勾股定理，但沒有從幾何方法介紹趙爽的弦圖.

我們認(rèn)為，對(duì)于未有定論的內(nèi)容，教科書就不應(yīng)該草率地把某種觀點(diǎn)強(qiáng)加給學(xué)生，不可以對(duì)學(xué)生說，趙爽就是用這種代數(shù)方法證明勾股定理的，或者說趙爽就是用這種出入相補(bǔ)原理證明的. 數(shù)學(xué)教科書在涉及數(shù)學(xué)史時(shí)要特別注意一個(gè)問題，即在向?qū)W生展示史實(shí)，展示重要事件、重要人物與重要成果時(shí)，要尊重歷史. 尊重歷史就是要展現(xiàn)歷史的本來面目，不能歪曲歷史而誤導(dǎo)學(xué)生，對(duì)有爭議的以及沒有最終定論的題材應(yīng)給學(xué)生必要的說明. [4]所以，比較合理的做法是，教科書先重點(diǎn)介紹其中一種證法，隨后簡單介紹另一種，同時(shí)聲明本書傾向于前一種觀點(diǎn)；而學(xué)生可以接受前一種，也可以是后一種觀點(diǎn). 不過，不管是哪一種，學(xué)生都應(yīng)該經(jīng)過自己的思考，要有接受這一觀點(diǎn)的理由.

參考文獻(xiàn)

[1] 鮑建生，王潔，顧泠沅.聚焦課堂――課堂教學(xué)視頻案例的研究與制作[M].上海：上海教育出版社，2005.180.

篇（8）

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)史 勾股定理 教材 比較研究

1、引言

數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值以為大多數(shù)學(xué)者所承認(rèn)，并越來越得到國內(nèi)外數(shù)學(xué)教育界的重視。張奠宙先生曾經(jīng)指出：在數(shù)學(xué)教育中，特別是中學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，運(yùn)用數(shù)學(xué)史知識(shí)是進(jìn)行素質(zhì)教育的重要方面。《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修訂稿）》也明確提出，數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)文化作為教材的組成部分，應(yīng)滲透在整套教材中，“教材可以適時(shí)地介紹有關(guān)背景知識(shí)，包括數(shù)學(xué)在自然與社會(huì)中的應(yīng)用，以及數(shù)學(xué)發(fā)展史的有關(guān)材料”。數(shù)學(xué)是積累的科學(xué)，它的發(fā)展并不合邏輯，數(shù)學(xué)發(fā)展的實(shí)際情況與我們學(xué)校里的教科書很不一致。根據(jù)歷史發(fā)生原理，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解與數(shù)學(xué)本身的發(fā)展有很大的相似性。因此，一套好的教材若要返璞歸真地反映知識(shí)的來龍去脈、思想方法的深刻、內(nèi)涵以及科學(xué)文化的進(jìn)步，就必須融入一些簡略的數(shù)學(xué)史以啟發(fā)思維、開闊視野、激發(fā)興趣。這就使得在教材的修訂與編寫過程中，合理設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)史內(nèi)容及其編排方式顯得尤為重要。本文僅對(duì)人民教育出版社和北京師范大學(xué)出版社初中數(shù)學(xué)教材（以下簡稱“人教版”、“北師大版”）中勾股定理一章的數(shù)學(xué)史進(jìn)行比較分析。

2、調(diào)查與分析

本文首先對(duì)人教版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)（八年級(jí)下冊）》和北師大版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)（八年級(jí)上冊）》勾股定理一章中的數(shù)學(xué)史進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，具體見下表。

從上表可以看出，在勾股定理這一章中兩版本初中數(shù)學(xué)教材都呈現(xiàn)了大量的相關(guān)史料，但在數(shù)學(xué)史的呈現(xiàn)方式和選材上，又各有側(cè)重點(diǎn)。據(jù)上表，兩版本教材在本章各出現(xiàn)數(shù)學(xué)史14處、13處，主要分布在正文、習(xí)題、專題和閱讀材料中。（在人教版中是以“閱讀與思考”呈現(xiàn)相關(guān)數(shù)學(xué)史料的，而北師大版則以“讀一讀”這一欄目呈現(xiàn)史料，為統(tǒng)一起見，統(tǒng)稱閱讀材料；這里的“專題”多是指在有關(guān)知識(shí)內(nèi)容旁邊以框架的形式將某些內(nèi)容作簡短介紹。）此外，北師大版第一節(jié)（探索勾股定理）和第三節(jié)（螞蟻這樣走最近）的引入是在歷史名題“折竹抵地”和“蜘蛛與蒼蠅”問題的基礎(chǔ)上改編的，雖然表面文字上看不出歷史的影子，但是我們在統(tǒng)計(jì)時(shí)仍把這兩處歸為數(shù)學(xué)史料。

2.1 勾股定理證明的教材編排

2.1.1教材中對(duì)勾股定理的證明的設(shè)計(jì)模式

在正文中對(duì)勾股定理的證明上，兩版本教材采取了不一樣的處理形式。人教版在出示趙爽弦圖后，結(jié)合三組圖對(duì)弦圖的證明做了詳盡的解釋，直至得出最終答案：。而北師大版在正文兩處分別呈現(xiàn)了弦圖的兩種證法以及對(duì)青朱出入圖證法（無字證明）的解釋。與人教版不同的是，北師大版在這兩處更注重學(xué)生的實(shí)際動(dòng)手操作。如在弦圖證明時(shí)，不像人教版那樣對(duì)弦圖證明進(jìn)行一步一步的解釋，而是簡潔的介紹了用弦圖證明的“割補(bǔ)”思路，最后以“這里所有三角形和正方形的面積都能夠求出，相信同學(xué)們可以比較容易地驗(yàn)證勾股定理了”這句話結(jié)束，接下來的工作是由學(xué)生自己完成，學(xué)生經(jīng)過計(jì)算很容易就驗(yàn)證了定理的正確性。在介紹“青朱出入圖”證法時(shí)，通過“你能將兩個(gè)小正方形中多出的部分剪下正好補(bǔ)到大正方形上去嗎？”設(shè)問，水到渠成讓學(xué)生自己動(dòng)手、動(dòng)腦、動(dòng)嘴操作。在這之后還設(shè)計(jì)了“做一做”欄目，共4問，前三問主要是讓學(xué)生親身經(jīng)歷拼“青朱出入圖”這一過程，這樣留給學(xué)生更多的是動(dòng)手操作的機(jī)會(huì)；而最后一問 “利用五巧板，你還能通過怎樣的拼圖驗(yàn)證勾股定理？與同伴交流”不僅為學(xué)生提供了實(shí)踐的機(jī)會(huì)，還能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生思維，有利于學(xué)生從多方、多角度思考問題；此外，學(xué)生在交流各自觀點(diǎn)的同時(shí)，不僅豐富了自身思維，看到自己與他人思路的區(qū)別，還有利于表達(dá)能力的發(fā)展。

2.1.2其他證明方法的編排模式

兩版本都不同形式的出現(xiàn)了勾股定理的幾種證明方法，除在正文中對(duì)趙爽弦圖證明做相關(guān)解釋外，人教版還以閱讀材料的形式呈現(xiàn)了勾股定理證明的另外三種方法（畢達(dá)哥拉斯證法、弦圖的另一種證法及總統(tǒng)證法）。由于“閱讀與思考”這一欄目用方框框起來，并且是放在勾股定理這一節(jié)最后，這就容易使教師和學(xué)生認(rèn)為，這些內(nèi)容是補(bǔ)充材料，可學(xué)可不學(xué)，可看可不看。再加之受現(xiàn)行考試制度和傳統(tǒng)考試文化的影響，大多數(shù)教師對(duì)這些內(nèi)容要么略微提一下，要么是要求學(xué)生下來自己看，還有一部分教師根本就對(duì)這些內(nèi)容視而不見，直接越過。作為學(xué)生來說，本來學(xué)習(xí)壓力就大，平時(shí)一本本做不完的練習(xí)冊，加之有的學(xué)生還要進(jìn)行課外輔導(dǎo)。哪有時(shí)間去看這些考試不考的內(nèi)容，就算是有時(shí)間，這個(gè)年齡階段的學(xué)生還想在這難得的空余里玩一會(huì)，做點(diǎn)平時(shí)想做但沒時(shí)間做的事情。據(jù)本人的了解，能主動(dòng)去看這些內(nèi)容的學(xué)生畢竟是少數(shù)。這樣以來，這些數(shù)學(xué)史對(duì)大多數(shù)學(xué)生來說就失去了其本身應(yīng)有的地位和價(jià)值，難以發(fā)揮其所期待的育人功能。

與人教版的設(shè)計(jì)模式不同的是，北師大版除了在正文中介紹了弦圖的兩種證法和對(duì)青朱出入圖的解釋外，把勾股定理的另外三種證法（總統(tǒng)證法、達(dá)芬奇的實(shí)驗(yàn)研究法以及畢達(dá)哥拉斯的證法）分別放在了不同小節(jié)的習(xí)題當(dāng)中。這樣教師和學(xué)生就不得不重視這些數(shù)學(xué)史內(nèi)容了，因?yàn)檎n后習(xí)題大都是教師先布置給學(xué)生做，最后教師再“處理”。暫且先不說這種設(shè)計(jì)模式是否發(fā)揮了數(shù)學(xué)史的真正價(jià)值。但從某種層面上說，教師和學(xué)生至少會(huì)被“逼著”關(guān)注這些內(nèi)容。學(xué)生在做這些習(xí)題或當(dāng)教師處理這些習(xí)題時(shí)，就會(huì)了解到證明勾股定理的其他證法，同時(shí)也有利于學(xué)生從多方面多角度看問題，有利于發(fā)散思維能力的培養(yǎng)。因此，從這一層面上可以說，在勾股定理證明法的編排模式上北師大版較人教版更為合理。

2.2其他內(nèi)容的設(shè)計(jì)

人教版在章前圖文并茂，不僅呈現(xiàn)了2002年北京國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)“趙爽弦圖”，還簡要解釋了勾、股、弦所表示的含義，并在此基礎(chǔ)上提出了兩個(gè)問題，進(jìn)而交待了這一章所要學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容。這樣的設(shè)計(jì)不僅激起了學(xué)生的求知欲、好奇心，還能讓學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識(shí)之前對(duì)本章要干啥有一個(gè)大概的了解，同時(shí)也便于學(xué)生在學(xué)習(xí)完這章后的自我評(píng)估。比起北師大版在章前簡單列出各文明古國關(guān)于勾股定理說法的設(shè)計(jì)更為人性化。

兩版本教材在介紹數(shù)學(xué)家時(shí)，都是簡要的說明數(shù)學(xué)家的生平（如國籍、年代、出生地等）及做出的貢獻(xiàn)，并沒有體現(xiàn)數(shù)學(xué)家遭遇的困惑、挫折、失敗的經(jīng)歷。使學(xué)生覺得數(shù)學(xué)家所想到的定理是理所當(dāng)然的，未能體現(xiàn)數(shù)學(xué)家在創(chuàng)作過程中斗爭、挫折以及數(shù)學(xué)家所經(jīng)歷的艱難漫長的道路。相比北師大版，人教版在此有一個(gè)特色，也是人教版整套教材的特色，即在介紹數(shù)學(xué)家時(shí)附有數(shù)學(xué)家的頭像（本章附有畢達(dá)哥拉斯圖像），這樣能喚起學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)家及數(shù)學(xué)史的親近、肅穆之感。而北師大版在這方面就稍顯遜色，根據(jù)劉超的統(tǒng)計(jì)，在初中六本教材中人教版有五處附有數(shù)學(xué)家圖像，而北師大版僅有一處（并不是此章）。

3、幾點(diǎn)思考

3.1教材采用歷史名題進(jìn)行引入，但是引入過于平淡，體現(xiàn)不出實(shí)際價(jià)值。

人教版在勾股定理及其逆定理的開始分別以數(shù)學(xué)家的故事和古埃及人得到直角的方法引入數(shù)學(xué)知識(shí)，而北師大版在第一、三節(jié)都是以實(shí)際問題情境引入數(shù)學(xué)內(nèi)容的，但這兩處的情境都來源于數(shù)學(xué)歷史名題。兩版本在此對(duì)數(shù)學(xué)史用的都比較淺顯，沒有深挖史料背后隱藏的數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)史只是作為一個(gè)情景用來引出相關(guān)內(nèi)容的，顯得過于平淡和簡單，也顯示不出實(shí)際的一個(gè)教學(xué)價(jià)值。這只是數(shù)學(xué)史融入教學(xué)的初級(jí)階段，但我們并不能說這種融入方式是低級(jí)的或是不好的。一方面，初級(jí)階段是數(shù)學(xué)史融入教學(xué)，進(jìn)入高級(jí)階段不可逾越的階段，具有重要意義，比如激發(fā)學(xué)習(xí)興趣、調(diào)動(dòng)積極性；另一方面，教材的這種設(shè)計(jì)也體現(xiàn)了教材的靈活性和多樣性，便于教師在不同情況對(duì)內(nèi)容的重新加工。因此，對(duì)這兩種引入方式我們不可妄加斷言其好壞，唯獨(dú)希望各相關(guān)領(lǐng)域人員對(duì)數(shù)學(xué)思想、方法做認(rèn)真的思考，對(duì)數(shù)學(xué)史料進(jìn)行加工和創(chuàng)造，深挖史料背后隱含的價(jià)值，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)史的作用和價(jià)值。

3.2數(shù)學(xué)史與教材的整合與立足于學(xué)科本源，返璞歸真，適度形式化。

兩個(gè)版本教材中雖然說數(shù)學(xué)史料都比較豐厚翔實(shí)，但編排方式單一，多以成人的語言呈現(xiàn)出來，較為抽象，概括；在教材設(shè)計(jì)上又大多表現(xiàn)為閱讀與思考（選學(xué)內(nèi)容），歷史圖片，數(shù)學(xué)家故事等形式，以至于多事在章末的閱讀材料形式出現(xiàn)居多。我覺得，數(shù)學(xué)史的內(nèi)容的呈現(xiàn)方式應(yīng)該是多樣化的，除了目前已有的形式外，還應(yīng)結(jié)合學(xué)生的心理年齡特征，知識(shí)接受水平對(duì)數(shù)學(xué)史進(jìn)行選擇，編排，比如卡通，連環(huán)畫等形式，也可以將數(shù)學(xué)游戲等編排進(jìn)其中，這樣學(xué)生學(xué)習(xí)起來更加容易接受和容易理解，也更能實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值。

3.3應(yīng)加強(qiáng)與現(xiàn)在信息技術(shù)的相結(jié)合

現(xiàn)代信息技術(shù)的發(fā)展使得計(jì)算機(jī)已經(jīng)成為數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化之間的橋梁。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修訂稿）》在基本理念中明確提出：“信息技術(shù)的發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)教育的價(jià)值、目標(biāo)、內(nèi)容以及教學(xué)方式產(chǎn)生了很大的影響。數(shù)學(xué)課程的設(shè)計(jì)要注意信息技術(shù)與課程內(nèi)容的整合開發(fā)并向?qū)W生提供豐富的信息資源”。而兩版本教材除了讓學(xué)生自己上網(wǎng)搜索相關(guān)內(nèi)容外（并沒有提供相關(guān)網(wǎng)站），并沒有涉及與信息技術(shù)有關(guān)的內(nèi)容。而“勾股定理”作為幾乎是全世界中學(xué)都要介紹的定理，其證明方法就有400多種，并且這些證法反映了東西方不同的文化，在教材中卻沒能與信息技術(shù)掛上鉤，是不是有點(diǎn)可惜。這應(yīng)引起兩版本教材編寫者的重視，以便在教材修訂時(shí)注重相關(guān)數(shù)學(xué)史與信息技術(shù)的整合。

參考文獻(xiàn)：

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[4]張維忠，汪曉勤等.文化傳統(tǒng)與數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化[M].北京：北京大學(xué)出版社，2006.4.

[5]王亞輝編.數(shù)學(xué)史選講[M].合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2011.1.

[6]羅新兵等.高中數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)史分布的特征和模式研究——以北師大版數(shù)學(xué)必修教材為例[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012.2.

[7]劉超.人教版初中數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)史的調(diào)查分析[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2011.6.

篇（9）

時(shí)鐘隨著指針的移動(dòng)嘀嗒在響:“秒”是雄赳赳氣昂昂列隊(duì)行進(jìn)的兵士,“分”是士官,“小時(shí)”是帶隊(duì)沖鋒陷陣的驍勇的軍官。所以當(dāng)你百無聊賴、胡思亂想的時(shí)候,請(qǐng)記住你掌上有千軍萬馬;你是他們的統(tǒng)帥。檢閱他們時(shí),你不妨問問自己——他們是否在戰(zhàn)斗中發(fā)揮了最大的作用?

——菲·蔡·約翰遜

數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)質(zhì)上是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué),在數(shù)學(xué)教學(xué)中要充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的主體作用,注重教學(xué)過程,改變被動(dòng)接受知識(shí)的局面,實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)素質(zhì)化,才能真正提高課堂教學(xué)質(zhì)量和效率。下面說說我在教學(xué)中的做法,通過這個(gè)例子來具體地說明數(shù)學(xué)課上如何提高課堂效率。

課例:《勾股定理的證明》

教學(xué)目標(biāo):勾股定理是學(xué)生在已經(jīng)掌握了直角三角形的有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)的。它是直角三角形的一條非常重要的性質(zhì),是幾何中最重要的定理之一;它揭示了一個(gè)直角三角形三條邊之間的數(shù)量關(guān)系;它可以解決直角三角形中關(guān)于邊的計(jì)算問題,是解直角三角形的主要根據(jù)之一,在實(shí)際生活中用途很大。教材在編寫時(shí)注意培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力和分析問題的能力,通過實(shí)際分析、拼圖等活動(dòng),使學(xué)生獲得較為直觀的印象;通過聯(lián)系和比較,理解勾股定理,以便正確地進(jìn)行運(yùn)用。

例如,勾股定理證明教學(xué)過程中,教師可這樣實(shí)施:

一、故事引入,激發(fā)興趣

為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)勾股定理的興趣,可以由下列故事引入:三千多年前有個(gè)叫商高的人對(duì)周公說:把一根直尺折成直角,兩端連接得到一個(gè)直角三角形,如果勾是3,股是4,那么弦等于5。

這樣引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,激發(fā)學(xué)生的求知欲。

教師緊接著問:是不是所有的直角三角形都有這個(gè)性質(zhì)呢?

教師要善于激疑,使學(xué)生進(jìn)入樂學(xué)狀態(tài)。這樣做將學(xué)生的注意力吸引到課堂上來,學(xué)生全神貫注地聽課,課堂效率得到提高。

二、自學(xué)教材,主動(dòng)探究

教師將教材知識(shí)整合,制作成幻燈片,以此指導(dǎo)學(xué)生自學(xué)教材。通過自學(xué)感悟、理解新知,體現(xiàn)了學(xué)生的自主學(xué)習(xí)意識(shí),鍛煉了學(xué)生主動(dòng)探究知識(shí)的能力,養(yǎng)成了學(xué)生良好的自學(xué)習(xí)慣。

1.通過自主學(xué)習(xí),教師設(shè)疑或?qū)W生提疑。如:怎樣證明勾股定理?通過自學(xué),中等以上的學(xué)生基本都能掌握,這時(shí)能激發(fā)學(xué)生的表現(xiàn)欲。

2.通過合作探究,引導(dǎo)學(xué)生擺脫網(wǎng)格的限制,研究任意直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系。滲透由特殊到一般的思想方法。

3.教師引導(dǎo)學(xué)生按照要求進(jìn)行拼圖,觀察并分析;(學(xué)生每人準(zhǔn)備四個(gè)大小一樣的直角三角形)(1)這兩個(gè)圖形有什么特點(diǎn)?(2)你能寫出這兩個(gè)圖形桔黃色部分的面積嗎?(3)你得到什么結(jié)論?

這時(shí)教師組織學(xué)生分組討論,調(diào)動(dòng)全體學(xué)生的積極性,達(dá)到人人參與的效果,接著全班交流。先由某一組代表發(fā)言,說明本組對(duì)問題的理解程度,其他各組作評(píng)價(jià)和補(bǔ)充。教師及時(shí)進(jìn)行富有啟發(fā)性的點(diǎn)撥,最后,師生共同歸納,形成一致意見,最終解決疑難。

三、鞏固練習(xí),強(qiáng)化提高

1.出示練習(xí),學(xué)生分組解答,并由學(xué)生總結(jié)解題規(guī)律。課堂教學(xué)中動(dòng)靜結(jié)合,以免引起學(xué)生思維疲勞。

例1.某樓房三樓失火,消防員趕來救火,了解到每層樓高3米,消防員取來6.5米長的梯子,梯子的底部離墻基2.5米,請(qǐng)問消防員能否進(jìn)入三樓滅火?

2.出示例1:學(xué)生試解,師生共同評(píng)價(jià),以加深對(duì)例題的理解與運(yùn)用。針對(duì)例題再次進(jìn)行鞏固練習(xí),進(jìn)一步提高學(xué)生運(yùn)用知識(shí)的能力,對(duì)練習(xí)中出現(xiàn)的情況可采取互評(píng)、互議的形式,在互評(píng)互議中出現(xiàn)的具有代表性的問題,教師可以采取全班討論的形式予以解決,以此突出教學(xué)重點(diǎn)。

四、歸納總結(jié),練習(xí)反饋

引導(dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)要點(diǎn)進(jìn)行總結(jié),梳理學(xué)習(xí)思路。分發(fā)自我反饋練習(xí),學(xué)生獨(dú)立完成。

五、課后作業(yè)

1.課本第81頁1、2、3題。

2.通過報(bào)刊、資料或上網(wǎng)查閱中外名人對(duì)勾股定理的證明方法以及勾股定理的發(fā)展史。

教學(xué)反思:本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)明確,重點(diǎn)突出,注重對(duì)知識(shí)形成過程的教學(xué)。但是在準(zhǔn)備這節(jié)課時(shí)還是不夠充分,比如引例比較簡單,可以適當(dāng)增加。在本節(jié)課后,我又搜集了一些關(guān)于勾股定理的典故,充實(shí)本節(jié)課的內(nèi)容。

勾股定理的典故:

1.5000年前的埃及人,也知道這一定理的特例,也就是勾3、股4、弦5,并用它來測定直角,之后才漸漸推廣。

2.金字塔的底部,四正四方,正對(duì)準(zhǔn)東西南北,可見方向測得很準(zhǔn),四角又是嚴(yán)格的直角。而要量得直角,當(dāng)然可以采用作垂直線的方法,但是如果將勾股定理反過來用,也就是說:只要三角形的三邊是3、4、5,或者符合的公式,那么弦邊對(duì)面的角一定是直角。

3.到了公元前540年,希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯注意到了直角三角形三邊是3、4、5,或者是5、12、13,他想:是不是所有直角三角形的三邊都符合這個(gè)規(guī)律?反過來,三邊符合這個(gè)規(guī)律的,是不是都是直角三角形?他搜集了許多例子,結(jié)果都對(duì)這兩個(gè)問題作了肯定的回答。他非常高興,殺了一百頭牛來祝賀。以后,西方人就將這個(gè)定理稱為“畢達(dá)哥拉斯定理”。

篇（10）

數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)定理（公式、法則等）是數(shù)學(xué)思維的細(xì)胞，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，也是數(shù)學(xué)思維的起點(diǎn)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有重要的地位.數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)定理（公式、法則等）的形成過程所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)家的思想方法、思維方法及研究方法，更是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的精髓所在.在數(shù)學(xué)定理教學(xué)中，對(duì)數(shù)學(xué)定理的形成過程進(jìn)行精心設(shè)計(jì)，將凝結(jié)在數(shù)學(xué)定理中的數(shù)學(xué)家的觀察、試驗(yàn)、歸納、概括、推理與證明等思維活動(dòng)打開，并設(shè)計(jì)一定的載體（如教學(xué)情境、教師講解、學(xué)生探究和反思、變式訓(xùn)練等），用以展開這些數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，使得學(xué)生的學(xué)習(xí)思維與數(shù)學(xué)家的思維同步，并逐步使其思維結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)家相似，讓學(xué)生在體驗(yàn)數(shù)學(xué)家思維活動(dòng)的過程中提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，發(fā)展創(chuàng)造性思維能力，這是數(shù)學(xué)定理教學(xué)的關(guān)鍵所在.下面談?wù)劰P者對(duì)數(shù)學(xué)定理（公式、法則等）教學(xué)的淺見.

一、強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)定理（公式、法則等）的發(fā)現(xiàn)過程

在傳統(tǒng)的接受性學(xué)習(xí)中，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)往往以定論的形式直接呈現(xiàn)出來，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)定理（公式、法則等）是在記定理、背定理，往往看不到數(shù)學(xué)定理（公式、法則等）的發(fā)現(xiàn)過程，只看到完美的結(jié)論，正像波利亞所說：“只給出規(guī)則而不講理由，則干巴巴的規(guī)則會(huì)很快被遺忘.”其實(shí)，數(shù)學(xué)家的發(fā)現(xiàn)過程是迂回曲折的，他們的思維活動(dòng)通常是從具體的背景材料出發(fā)，通過觀察、試驗(yàn)、類比、歸納等一套合情推理，提出需要證明的數(shù)學(xué)猜想.

在數(shù)學(xué)定理教學(xué)中，模擬數(shù)學(xué)家的思維活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“似真性”的發(fā)現(xiàn)，讓學(xué)生體會(huì)到尋求真理的興趣和喜悅，這是數(shù)學(xué)教師主導(dǎo)作用之所在.

例如：在三角形全等的“邊角邊”條件這節(jié)課的教學(xué)中，筆者創(chuàng)設(shè)了下面的問題情境來引導(dǎo)學(xué)生探究發(fā)現(xiàn).

問題1：如果已知一個(gè)三角形的兩邊及一個(gè)內(nèi)角，那么它有幾種可能情況？

同學(xué)們經(jīng)片刻的思考與交流后得出兩種：（1）兩邊及其夾角，（2）兩邊及一邊的對(duì)角.針對(duì)學(xué)生答出的這兩個(gè)問題，教師提出對(duì)這兩個(gè)問題進(jìn)行探究.

探究1：先畫出一個(gè)ABC，再畫出一個(gè)A′B′C′，使AB = A′B′，AC = A′C′，∠A = ∠A′（即保證兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等），把畫好的A′B′C′剪下，放到ABC上，它們?nèi)葐幔?/p>

探究2：先畫出一個(gè)ABC，再畫出A′B′C′，使AB = A′B′，AC = A′C′，∠B = ∠B′（即保證兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等），把畫好的A′B′C′剪下，放到ABC上，它們?nèi)葐幔?/p>

先由學(xué)生自己動(dòng)手，利用直尺、三角尺、圓規(guī)等工具，對(duì)以上兩個(gè)問題進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作，并探究全等三角形的條件.在學(xué)生個(gè)人探究的基礎(chǔ)上再全班交流，最后得到：

兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等，所以它不能作為判定兩個(gè)三角形全等的方法；

兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，可作為判定兩個(gè)三角形全等的方法.

上面的探究活動(dòng)，學(xué)生通過動(dòng)手操作，為數(shù)學(xué)定理的學(xué)習(xí)積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，在“操作”中探究，在過程中感悟，在體驗(yàn)和感悟中理解數(shù)學(xué)定理的意義.這樣學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)定理在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中才會(huì)有所依托，才會(huì)鞏固.

二、突出數(shù)學(xué)定理證明思路的探索過程

對(duì)數(shù)學(xué)定理（公式、法則等）的證明，如果僅用演繹推理，按教科書上的格式敘述過程，這就降低了教學(xué)的要求.“直截了當(dāng)”固然節(jié)約了時(shí)間，但對(duì)學(xué)生來說卻缺乏一個(gè)完整的認(rèn)識(shí)過程.數(shù)學(xué)家真實(shí)的思維過程，常常被最終的簡潔掩蓋著，我們雖然不知道，但是我們可以仿真，作出示范.在思路分析中，應(yīng)教給學(xué)生如何聯(lián)想、探索、猜想、推理、轉(zhuǎn)化，特別是分析思維受阻時(shí)，如何合理改變心向，變換策略，另辟蹊徑，從而到達(dá)目的的思維過程.同時(shí)還應(yīng)把學(xué)生有價(jià)值的解題思路發(fā)展下去.為了使這種思維過程卓有成效，教師必須對(duì)教材進(jìn)行“再創(chuàng)造”.

例如，對(duì)于如何證明“勾股定理的逆定理”的教學(xué)，當(dāng)學(xué)生通過猜想得到：“如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2 + b2 = c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.”接下來證明猜想的正確性也就變成了學(xué)生自發(fā)的需要.先猜，于是我先讓學(xué)生說說證明的思路.有的同學(xué)說，是根據(jù)勾股定理，因?yàn)閍2 + b2 = c2，所以這個(gè)三角形是直角三角形.此種說法馬上遭到部分同學(xué)的反對(duì)，理由是：在勾股定理中，題設(shè)是直角三角形，而在要證明猜想的題設(shè)中沒有告訴我們ABC是直角三角形，所以不能應(yīng)用勾股定理.這時(shí)一名學(xué)生站起來說他會(huì)證，并到黑板上板演解題過程，即如圖1，作一個(gè)RtA′B′C′，使∠C′ = 90°，C′A′ = a，C′B′ = b，由題設(shè)，得A′B′ = c，那么ABC ≌ A′B′C′，所以∠C = 90°，所以ABC是直角三角形.

此時(shí)老師追問這名同學(xué)你是怎樣想到這種方法的，這名同學(xué)說他是從課本上看的.老師繼續(xù)追問這種證明的方法是什么方法. 全班大部分同學(xué)回答說是構(gòu)造法，上節(jié)課證明勾股定理也是用構(gòu)造法.這時(shí)老師指出：同學(xué)們說得好，構(gòu)造法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，通過這兩節(jié)課的學(xué)習(xí)，大家對(duì)它有了初步的認(rèn)識(shí)，今后在解題中要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用.并提問全班同學(xué)：本題證明中用構(gòu)造直角三角形的方法很妙，但思路是如何想到的啊？當(dāng)同學(xué)們都在靜靜思考的時(shí)候，一名同學(xué)談了自己的想法，他說：“我是這樣想的：前面已學(xué)習(xí)過勾股定理，而問題1中的已知條件a2 + b2 = c2類似于勾股定理中的結(jié)論.如果想要應(yīng)用已有知識(shí)，首先想到的是應(yīng)用勾股定理，而要應(yīng)用勾股定理就必須得有直角三角形這個(gè)條件，所以想到要構(gòu)造一個(gè)直角三角形.”至此，學(xué)生完全明白猜想結(jié)論的證明及為什么這樣去證明.

用構(gòu)造的方法證明“勾股定理的逆定理”是很有思考性的問題，怎樣構(gòu)造？為什么這樣構(gòu)造？你是怎樣想到的？等等，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力極為有益.如果老師很突然地構(gòu)造了直角三角形，按教科書宣讀證明過程，就降低了教學(xué)的要求.長此以往，“機(jī)械學(xué)習(xí)”也在所難免.

三、重視數(shù)學(xué)定理（公式、法則、性質(zhì)等）的引申和推廣

數(shù)學(xué)概念的完整性和數(shù)學(xué)模型的普遍性是數(shù)學(xué)探索的主要內(nèi)容，對(duì)數(shù)學(xué)定理進(jìn)行引申和推廣，也是數(shù)學(xué)家常用的研究方法.數(shù)學(xué)研究的很多問題都是某種形式的推廣，將數(shù)學(xué)定理進(jìn)行引申和推廣，既符合數(shù)學(xué)知識(shí)本身發(fā)展的規(guī)律，也符合學(xué)生個(gè)體心理發(fā)展的規(guī)律.

例如，學(xué)習(xí)了三角形的中位線定理后，可進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想：如果將條件“三角形”改成“梯形”，那么又有什么新的結(jié)論？使學(xué)生的思維跨入新的高度.

又如，當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)了平行線分線段成比例定理“三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段的比相等”后，接著，教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生探究這個(gè)定理的推廣和特殊情況，即定理是否存在推廣情況， 是否存在特殊情形，先讓學(xué)生獨(dú)立思考，再合作交流得到：

變式1：一組平行線（平行線族）截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段的比相等.

變式3：如圖3中的實(shí)線部分，平行于三角形一邊的直線截其他兩邊，所得的對(duì)應(yīng)線段的比相等.

變式4：如圖4中的實(shí)線部分，若AB = BC，AE = DE，則BE = ■CD（三角形中位線定理對(duì)應(yīng)的基本圖形）.

變式5：如圖5中的實(shí)線部分，平行于三角形一邊的直線截其他兩邊的延長線，所得的對(duì)應(yīng)線段的比相等.

世間萬物都在變化之中，但只說事物在變，不能說明什么問題，科學(xué)的任務(wù)是要找出變化中不變的規(guī)律.于是在得到上面的各種變式后，教師繼續(xù)提出問題讓學(xué)生思考：在上面的各種變式中，其不變的規(guī)律是什么？

學(xué)生思考后認(rèn)為， 在“平行線”的條件下， 通過直線移動(dòng)得到各種變式圖形，但其“對(duì)應(yīng)的線段比相等”是不變的.

學(xué)生經(jīng)歷對(duì)數(shù)學(xué)定理（公式、法則等）進(jìn)行引申和推廣的過程，不但使他們也像數(shù)學(xué)家一樣經(jīng)歷了發(fā)明創(chuàng)造的過程， 而且使他們在理解知識(shí)的基礎(chǔ)上，把學(xué)到的知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力.同時(shí)還使他們體驗(yàn)到新知識(shí)是如何從已知知識(shí)逐漸演變或發(fā)展而來的，從而理解知識(shí)的來龍去脈，形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu).