分數乘法教案匯總十篇

序論：好文章的創作是一個不斷探索和完善的過程，我們為您推薦十篇分數乘法教案范例，希望它們能助您一臂之力，提升您的閱讀品質，帶來更深刻的閱讀感受。

篇（1）

1、使學生正確掌握分式的乘除法的法則。

2、能熟練地運用分式的乘除法的法則進行計算。

教學分析

重點：分式的乘除法的法則是本節的教學重點。

難點：分子或分母為多項式的分式的乘除法是本節教學的難點。

教學過程

一、復習

1、復習提問：

(1)什么叫做分式的約分？約分的根據是什么？(可叫一位學生回答．)

(2)用投影儀(或小黑板)出示以下題目：

下列各式是否正確？為什么？。

先讓學生觀察思考，最后老師作結論．

2、用類比的方法總結出分式的乘除法的法則。

由分數的基本性質類比地得到分式的基本性質，由分數的約分類比地得到分式的約分．由分數乘除法的法則同樣可類比地得到分式的乘除法的法則．現在我們來學習分式的乘除法．(板書課題)

讓學生回憶并回答什么是“分數的乘除法的法則”；用投影儀(或小黑板)出示分數的乘除法的法則，然后啟發學生，用類比的方法敘述出分式的乘除法的法則．。

二、新授

用投影儀或小黑板出示分式的乘除法法則：

分式乘以分式，用分子的積做積的分子，分母的積做積的分母；

分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后與被除式相乘．

用式子表示即是：

例1計算

分析(1)題并引導學生解答：

①(1)題是幾個分式進行什么運算？

②每個分式的分子和分母都是什么代數式？

③運用分式乘除法法則得到的積的分子、分母各是什么？

④積的符號是什么？

⑤怎樣應用分式的約分法則使積化成最簡分式或單項式？

隨手板書解題過程：

分析(2)題并引導學生自解：

①(2)題兩個分式進行什么運算？

②每個分式的分子、分母各是什么代數式？

③怎樣應用分式的除法法則把分式的除法運算變成分式的乘法運算？

以下可由學生寫出運算結果：

(用投影儀或小黑板出示以下小結內容)

小結：分子和分母都是單項式的分式乘除法的解題步驟是：

①含有分式除法運算時，先用分式除法法則把分式除法運算變成分式乘法運算；

②再用分式乘法法則得出積的分式；

③用分式符號法則確定積的符號；

④用分式約分法則使積化成最簡分式或整式(一般為單項式)．

三、練習

課堂練習1：

計算：

分析、引導學生

①本題是幾個分式在進行什么運算？

②每個分式的分子和分母都是什么代數式？

③在分式的分子、分母中的多項式是否可以分解因式，怎樣分解？(a2-4)=(a+2)(a-2)，a2-4a+3=(a-1)(a-3)，a2+3a+2=(a+1)(a+2)．

④怎樣應用分式乘法法則得到積的分式？

⑤怎樣應用分式約分法則使積化成最簡分式或整式(一般為多項式)？

隨手板書解題過程．

課堂練習2：

計算：

小結：分子或分母是多項式的分式乘除法的解題步驟是：

①將原分式中含同一字母的各多項式按降冪(或升冪)排列；在乘除過程中遇到整式則視其為分母為1，分子為這個整式的分式；

②把各分式中分子或分母里的多項式分解因式；

③應用分式乘除法法則進行運算得到積的分式；

④應用分式約分法則使積化成最簡分式或整式．

先分析：本題是分子或分母為多項式的分式乘除法混合運算，運算過程從左至右依次進行；因此，分式乘除法法則也適用于兩個以上的分式相乘除．然后讓學生自己做，教師巡視，并找出得出正、反兩個結果的學生上臺板書，讓大家判斷正誤．

四、小結

(1)讓兩個學生分別用語言敘述和式子表示分式乘除法法則．

(2)課堂驗收題：在余下的時間內讓學生獨立完成以下題目，下課時全收上來，批閱打分，以便檢查課堂效果．(題目可用小黑板出示)．

計算：

五、作業

1．計算：

篇（2）

1．使學生明確分式的約分概念和理論依據，掌握約分方法；

2．通過與分數的約分作比較，學習分式的約分，滲透“類比”的思想方法．

教學重點和難點

重點：分式約分的方法．

難點：分式約分時分式的分子或分母中的因式的符號變化．

教學過程設計

一、導入新課

問：下面的等式中右式是怎樣從左式得到的？這種變換的理論根據是什么？

答：(1)式中的左邊分式的分子與分母都除以2a2b2，得到右式，這里a≠0，b≠0．(2)式中的左邊分式的分子與分母都除以(x+y)，得到右式，這里(x+y)≠0．這種變換的根據是分式的基本性質：分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個不等于零的整式，分式的值不變．

本性質．

問：什么是分數的約分？約分的方法是什么？約分的目的是什么？

答：把一個分數化為與它相等，但是分子、分母都比較小的分數，這種運算叫做約分．對于一個分數進行約分的方法是：把分子、分母都除以它們的公約數(1除外)．約分的目的是把一個分數化為既約分數．分式的約分和分數的約分類似，下面討論分式的約分．

二、新課

我們觀察：

(1)中左式變為右式，是把左式中的分子與分母都除以2a2b2得到的，它是分式的分子與分母的公因式．

(2)中左式變為右式，是把左式中的分子與分母都除以它們的公因式(x+y)而得到的．

像(1)，(2)中分式的運算就是分式的約分．即把一個分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分．

一個分式的分子與分母沒有公因式時，這個分式叫做最簡分式．

把一個分式進行約分的目的，是使這個分式變為最簡分式．

為了把上述分式約分，應該先確定分式的分子與分母的公因式，那么分式的分子與分母的公因式是什么？

答：因為分式的分子與分母都是單項式，取分子、分母中相同因式的最低次冪和分子、分母的系數的最大公約數，把它們的積作為這個分式的分子與分母的公因式．

指出：分子或分母的系數是負數時，一般先把負號移到分式本身的前邊．這就同時改變了分式本身與分子或分母的符號，所以分式的值不變．

例2約分：

分析：(1)，(2)的分子、分母都是多項式，并且都能分解因式，可以先分解因式，再分別確定分子與分母的公因式．

請同學說出解題思路．

答：分式的分子、分母都是多項式，可以先分別因式分解，約分，把分式化為最簡分式，再求值．

當x=45時，

請同學概括分式約分的步驟．

答：

1．如果分式的分子、分母是單項式，約去分子、分母的系數的最大公約數和相同因式的最低次冪．

2．如果分式的分子與分母都是多項式時，可先把分子、分母分解因式，然后約去分子與分母的公因式．

3．當分式的分子或分母的系數是負數時，應先把負號提到分式的前邊．

請同學思考一個問題：將分式約分時，約去分式中的分子與分母的公因式，為什么分式的值不變？

答：因為所給的分式都是有意義的，也就是說，分母的值不等于零．而分式的分子與分母的公因式一定是分式的分母的一個因式，根據分式的基本性質，約分后分式的值不變．

三、課堂練習

1．約分：

2．指出下列分式運算中的錯誤，并把它改正．

四、小結

把一個分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分．

分式進行約分的目的是要把這個分式化為最簡分式．

如果分式的分子或分母是多項式，可先考慮把它分別分解因式，得到因式乘積形式，再約去分子與分母的公因式．如果分子或分母中的多項式不能分解因式，此時就不能把分子、分母中的某些項單獨約分．

分式約分中注意正確運用乘方的符號法則，如

x-y＝-(y-x)，(x-y)2＝(y-x)2，(x-y)3＝-(y-x)3．

五、作業

1．約分：

2．約分：

3．先約分，再求值：

課堂教學設計說明

篇（3）

重點理解二分法的基本思想，掌握運用二分法求函數零點的近似值的步驟和過程．難點理解精確度的概念，概括和理解求方程近似解的一般步驟（三）教學內容安排

1.提出問題：（教師可以利用多媒體等手段展示問題）有一條5km長的電話線路（大約100多根電線桿），某一天線路發生了故障．想一想，維修線路的工人師傅如何迅速查出故障所在？教師可以鼓勵學生討論，研究此問題，并提出一個可行的方案．2.新課導入：

求下列函數的零點：（1）（2）

學生回答計算的結果．教師總結：簡單高次函數可以因式分解求出零點，不能因式分解的高次函數我們不能求出其零點，但是我們可以想辦法來求零點的近似值．3.介紹數學史：

介紹法國數學家伽羅瓦(E.Galois,1811.10—1832.5)與挪威數學家阿貝爾（Abel,NielsHenrik,1802-1829）的事跡，并引出二分法．4.例題講解：

例題：求函數的一個正實數零點（精確到）此時應采取教師引導，學生合作探究的教學模式．教師需引導學生解決下列問題：（1）如何尋找零點的近似解？（即二分法的原理，操作方法）（2）分到何時才能滿足誤差要求？（即二分法的精度要求）找到解決這兩個問題的方法之后，首先由師生共同選擇初始區間，教師可以利用數軸演示二分法的原理；讓學生討論絕對誤差與區間長度的關系．教師引導學生用表格演示二分法逐次計算的結果．最后由學生歸納二分法解題的一般步驟，教師做最后總結．（可以通過計算機作圖來驗證學生的計算結果）5.練習鞏固

使用計算器，用二分法求函數的一個正零點的近似值（誤差不超過0.01）．教師巡視，學生作練習．要求同桌配合，一名同學負責作記錄，另一名負責用計算器求值，盡快求解．6.拓展加深由二分法到算法．

（1）教師總結二分法的用途，拓展到算法，鼓勵學生在學習前人算法的基礎上，去尋求解決各類問題的算法．（2）介紹函數圖象求解法．7.歸納小結：

教師總結二分法的解題步驟，讓學生并領會、回顧本節所學的知識與方法，以逐步提高學生自我獲取知識的能力，有利于發展教與學中存在的問題并能及時糾正．8.布置作業：

教材P100練習2.教材P102習題3.1B組1（四）教學資源建議

建議在教學過程中可以讓學生使用計算器來計算相關的函數值，這樣可以節省學生的計算時間．教師則可以利用多媒體教學手段協助學生發現、歸納方法，并且驗證學生的計算結果．

（五）教學方法與學習指導策略建議

1.教學目標的落實：

篇（4）

《義務教育教科書·數學》（青島版）六年制四年級下冊第三單元信息窗三綜合實踐。

【教材簡析】

本信息窗是在學生本課的教學內容是在學生已經學習掌握了乘法交換律、結合律，以及乘法分配律并能初步應用這些定律進行一些簡便計算的基礎上進行學習的，對提高學生的計算能力有著重要的作用。通過創設情景走進小花園，引導學生梳理信息并提出問題，進而展開乘法分配律（二）的學習。

【教學目標】

1.結合已有的知識經驗和具體情境，通過探索并了解掌握乘法分配律二，能根據運算律，解決相關的實際問題。

2.在探究學習過程中，讓學生經歷計算、比較、發現和概括規律的學習活動，發展比較，抽象，概括的能力，學會自主學習和合作交流學習的方法，增強用符號表達數學規律的意識。

3.在合作交流中培養學生勇于探索，敢于質疑，敢于思考的理性精神，獲得積極的情感體驗，體會探究的樂趣。

【教學重點】經歷發現規律的過程，掌握乘法分配律

【教學難點】掌握乘法分配律二并能進行簡算,理解乘法分配律的意義。

【教學準備】探究單，多媒體課件

【教學過程】

一、創設情境，感知規律

課件出示教材中的情境圖。

談話:今天咱們再次走進小花園，從圖中你知道了哪些數學信息？

預設1;芍藥每行12棵，牡丹每行8棵，共9行。

預設2:芍藥園長15米，牡丹園長10米，寬都是8米。

提問：你能提出一個減法問題嗎？

預設1:芍藥比牡丹多多少棵？

預設2:芍藥的種植面積比牡丹多多少平方米？

【設計意圖】從學生熟悉的情景入手，創設走進小花園情境圖，通過熟悉的情景圖，調動學生的興趣，激起學生思維的火花，積極主動的進入到新知識的學習中，培養學生發現問題，提出問題的能力，為下面的教學提供了素材。

二、研究素材，猜測規律

（一）分析素材，初步感知

提問：你會求芍藥比牡丹多多少棵嗎？先獨立思考后小組交流。

預設1:先求芍藥和牡丹分別有多少棵，再求芍藥比牡丹多少少棵，列式為12×9－8×9，也就是先算12個9和8個9是多少，再把它們相減。

預設2：先求芍藥比牡丹每行少多少棵，再乘行數求出芍藥比牡丹少多少棵，列式為（12－8）×9，也就是求4個9是多少。

提問：比較這兩種算法，你有什么發現？

預設1：得數相等，可以用=把兩個算式相連，也就是12×9-8×9=（12-8）×9

預設2：都是求5個8是多少。

預設3：第一種方法比較簡便。

（二）研究素材，發現規律

出示課件。

談話：仔細觀察以上各個算式，想一想他們與12×9-8×9=（12-8）×9有著怎樣的聯系？現在，小組合作，算一算兩邊的結果，比較兩邊的算式，是否相等？你發現了什么規律？

預設1:兩邊的算式相等。

預設2：兩個數的差乘第三個數，等于把這兩個數分別乘第三個數，再把積相減。

【設計意圖】采取小組合作的學習方式，在合作過程中留給學生充足的自主探究時間，提高了學生自主學習的能力，讓學生們暢所欲言，積極想辦法找規律解決問題，幫助學生積累數學活動的經驗，使學生在合作交流過程中體會數學的樂趣。

三、討論交流，驗證規律

談話：這難道是一個規律嗎?讓我們一起驗證一下吧！

預設：54×15-34×15=（54-34）×15

999×36-899×36＝（999-899）×36……

小結：因而我們可以說兩個數的差乘第三個數等于把這兩個數分別乘第三個數，再把積相減是一個規律。

提問:你能用字母表示這個規律嗎？

預設1:(a-b)c=ac-bc

預設2:ac-bc=(a-b)c

提問：乘法分配律用字母怎么表示？

預設：（a+b）c=ac+bc

小結：兩個數的差乘一個數也有類似乘法分配律那樣的關系，也可以用于簡便計算。

【設計意圖】學生通過計算、比較、猜想、驗證得出乘法分配率的規律，在探究的過程中學生能夠充分觀察、計算、比較，并獲得正確的數學思想，進一步提高學生推理概括的能力，發展學生的推理能力。

四、反思回顧，提升方法

談話:剛才我們通過計算兩邊的得數是否相同，接著通過比較猜想發現規律，再舉例進行驗證，最后得出了兩個數的差乘第三個數等于把這兩個數分別乘第三個數，再把積相減是一個規律。

【設計意圖】通過小結，對知識進行梳理，讓學生系統地所學知識形成知識樹，內化數學思想方法，使學生在在掌握知識的同時，體驗數學思想方法。

五、鞏固拓展，應用規律

1.運用所學規律計算。

先獨立思考，后全班交流并說一說是怎樣做的。進一步加深對乘法分配律二的理解。

2

.運用規律解決生活中的實際問題。

通過解決購物問題，靈活運用乘法運算律。先獨立解答，后全班交流，學會選擇簡便方法

3.

對乘法分配律二的延續鞏固練習。

獨立思考，后全班交流。引導學生總結運用乘法分配率進行簡便計算的經驗與方法

【設計意圖】通過有層次練習不僅讓學生進一步鞏固了本節課的知識，更加體會到數學源于生活，讓學生能自覺熟練的運用規律解決實際問題，內化數學思想方法，提升學生的數學思考能力以及數學素養。

六、反思回顧，總結提升

談話：通過這一節課的學習，你有哪些收獲？

預設1：學會了乘法分配律(二)能使計算簡便。

預設2：學會了猜想驗證總結的的數學方法方法。

預設3：我覺得生活中處處有數學。

篇（5）

開此先河的案例是2008年康明甩訴奉化市溪口公路運輸有限公司客運合同損害賠償糾紛一案。該案明確，按照《消法》及《浙江省實施中華人民共和國消費者權益保護法辦法》(以下稱《浙江省實施消法辦法》)的規定，乘客享有消費者的地位，康明甩依照《消法》的規定提起訴訟，人民法院應當按照《消法》及《浙江省實施消法辦法》的規定進行審理。乘客與公交公司之間存在客運合同關系，乘客可以依據《侵權責任法》中關于機動車交通事故責任的相關規定請求公交公司承擔侵權賠償責任，也可以依據《消法》有關經營者的損害賠償責任的相關規定請求公交公司承擔損害賠償責任，兩者屬于請求權的競合，乘客有權選擇基于《消法》的損害賠償請求權。至此，浙江省的機動車客傷事故案件，都按照《消法》及《浙江省實施消法辦法》的規定進行審理。

之前，反對將公交車客傷事故案件納入《消法》調整的理由有3個:1)乘客中屬市政府規定的享受免費乘坐公交車的老年人，其免費乘坐公交車沒有支付對價，不構成消費行為。2)公交公司企業性質是享受政府補貼和特殊優惠政策的不以營利為目的的公益性企業，不屬于《消費者權益保護法》調整的經營者范疇。3)適用《消費者權益保護法》獲得的賠償比適用人身損害賠償的相關法律獲得的賠償要高出幾倍，顯失公平。

現在法院在審理過程中，對上述3個理由已基本形成共識:1)免費并不等同于免責，持有免票卡的乘客，其免票是政府給與老年人的特殊照顧，其上車并接受了服務應視為消費者。2)因《消法》及《浙江省實施消法辦法》的規定中并未限定對客運合同糾紛中的受害人在適用《消法》進行賠償時，將享受國家補貼和特殊優惠政策的不以營利為目的的公益性企業排除在外或適用賠償標準有所區別，故對公交公司不應適用《消法》的抗辯意見不予采納。3)與乘客相比，公交公司在經濟上更有優勢地位，一般能夠通過責任保險及提取利潤等方式轉移風險，故適用《消法》不構成對雙方權責關系平衡性的損害。

二、適用《消法》賠償的具體項目及其計算標準

筆者通過北大法律信息網司法案例庫等信息渠道，收集到十個乘客與公交公司之間客傷事故的案例，通過對案情仔細的閱讀和分析，筆者發現法官在殘疾賠償金、一次性生活補助費、營養費以及精神損害賠償4個方面認識不同，故從上述4個方面對公交公司責任承擔的司法現狀繪制了如下表格，希望能夠對此問題有一個直觀且科學的分析和評價。

(一)傷殘等級與賠償倍數之間的關系

根據《浙江省實施消法辦法》第54條第七款和第八款的規定:(七)殘疾者一次性生活補助費，根據受害者傷殘等級，按照當地年平均生活費的6倍至20倍計算;(八)殘疾賠償金，根據受害者傷殘等級，按照當地年平均生活費的六倍至十五倍計算。該法條僅僅就賠償標準的范圍進行了規定，但具體傷殘等級與賠償倍數之間的關系沒有相關法律進行規定。第一種意見認為應當參考《道路交通事故受傷人員傷殘評定》的規定，將賠償標準按照傷殘等級平均分配，即殘疾者一次性生活補助費從6倍開始，每級傷殘提高14/9倍;殘疾賠償金從6倍開始，每級傷殘提高1倍;第二種意見認為既然法律沒有明確規定，法官對于傷殘賠償標準就有一定的自由裁量權，可以根據案件的具體情況進行判決。

筆者同意第二種觀點，將賠償標準按照傷殘等級平均分配雖然具有可操作性，但畢竟不是法律明文規定，在適用的時候缺乏明確的法律支撐，這就需要法官在裁判時應當發揮一定的自由裁量權。事實上法官在判決時采用按照傷殘等級平均分配的賠償標準，實質上也是自由裁量權的一種體現。

(二)營養費是否應當支持

有些法院的法官支持了原告對營養費的訴訟請求，有些法院的法官不予支持，即使同一法院的不同法官也有不同的理解。持支持意見的法官認為，人身損害賠償應當按照實際損失確定，營養費當然屬于受害人實際損失。持反對意見的法官認為，《浙江省實施消法辦法》第五十四條并沒有將營養費列為賠償項目，因此不能得到支持。

筆者贊同在高某某訴杭州市蕭山某某有限公司城市公交運輸合同糾紛案中，法官對營養費的認定:營養費本不屬消法的法定賠償項目，但鑒于被告僅認為費用過高，本院酌情支持。即若被告對營養費沒有異議，或是對營養費的多少有異議，法官應當對營養費的訴訟請求予以支持，酌情予以支持;若被告對營養費的有無有異議，法官需嚴格依照法律規定對營養費的訴訟請求不予支持。

(三)有無精神損害賠償

對城市公交運輸合同是否應當支持精神損害賠償存在爭議。通常認為違約之訴中不應支持精神損害賠償，原因在于，精神損害賠償是當事人在訂立合同時難以預見的，并且該種損害難以通過金錢加以確定，而在違約責任與侵權責任競合的情形之下，權利被侵害者可以通過提出侵權之訴獲得精神損害賠償，若此時允許違約精神損害賠償，責任競合即無存在意義。筆者認為，《消法》對精神損害賠償問題都作了原則性規定，而《浙江省實施消法辦法》第53條明確了具體的標準:經營者提供商品或者服務給消費者造成精神損害的，應當給予五千元以上的精神損害賠償。就城市公交運輸合同來說，旅客和承運人之間除了訂立運輸合同外，承運人保證旅客在旅途中的安全和舒適感也是重要因素，旅客因承運人違約造成人身損害賠償導致旅途安全目的未能實現時，其主張的精神損害賠償應當得到支持。但公交公司與旅客之間的權利義務分配不對等，旅客以低廉的價格獲得服務，而公交公司作為公益性企業，享受國家補貼和政策優惠，面對巨額的精神損害賠償，將不利于公共事業的發展。因此，在城市公交運輸合同糾紛中，應當對雙方利益進行衡量，以精神損害賠償達到懲戒的目的為標準。

三、不適用《消法》賠償的情形

并不是所有在公交車上發生的客傷事故都要適用《消法》進行賠償，根據《中華人民共和國合同法》(以下稱《合同法》)第302條規定:承運人應當對運輸過程中旅客的傷亡承擔賠償責任，但傷亡是旅客自身健康原因造成的或者承運人證明傷亡是旅客故意、重大過失造成的除外。由此可見，本文開頭的事件，由于傷亡是因旅客自身故意造成的，公交公司無須承擔賠償責任。但是否只有傷亡是因旅客自身故意、重大過失造成的這種兩種免責情形，承運人才不適用《消法》進行賠償?在筆者接觸的案件和搜集的資料里面，認為還有以下兩種情況。

(一)公交公司與乘客之間的客運合同沒有成立

合同沒有成立，乘客就不是消費者，公交公司當然不適用《消法》進行賠償。最典型的案例是寧波的一位毛大爺從公交車后門上車跌落致殘案。法官認為，公交公司以《寧波市公共汽車乘坐規則》的形式向公眾告知無人售票公共汽車實行前門上車，系其對乘客做出的要約行為，毛大爺知曉乘車規則，但從后門上車的方式是對要約內容的變更，構成新的要約，除非得到公交公司方的事先同意或事后許可，否則合同依法不成立。(該案在《錢江晚報》、《都市快報》等報紙上面均有報道)故法院最后判決駁回毛大爺的訴訟請求;毛大爺可以基于侵權法律關系另行行使賠償請求權。

(二)第三人不法侵害導致乘客發生人身損害，承運人盡到安全保障義務的，不承擔賠償責任

根據《合同法》第290條規定:承運人應當在約定期間或者合理期間內將旅客、貨物安全運輸到約定地點。第301條規定:承運人在運輸過程中，應當盡力救助患有急病、分娩、遇險的旅客。上述條文要求承運人有義務通過各種方式保證乘客在運輸期間的安全，但沒有對承運人是否應對第三人侵權造成的乘客人身傷亡承擔責任做出明確規定。最高人民法院民一庭經研究認為，在此情形下，應當參照現有法律及司法解釋的規定，對這一問題的法律適用進行類推。可以參照最高人民法院《人身損害賠償解釋》第6條第2款規定[《人身損害賠償解釋》第6條第2款:因第三人侵權導致損害結果發生的，由實施侵權行為的第三人承擔賠償責任。安全保障義務人有過錯的，應當在其能夠防止或者制止損害的范圍內承擔相應的補充賠償責任。安全保障義務人承擔責任后，可以向第三人追償。賠償權利人起訴安全保障義務人的，應當將第三人作為共同被告，但第三人不能確定的除外之精神，在查明運輸公司在運輸過程中對旅客受到的傷害是否存在過錯的前提下，確定運輸公司應否承擔相應的補充賠償責任。

篇（6）

（一）知識教學點：1．正確理解因式分解法的實質．2．熟練掌握運用因式分解法解一元二次方程．

（二）能力訓練點：通過新方法的學習，培養學生分析問題解決問題的能力及探索精神．

（三）德育滲透點：通過因式分解法的學習使學生樹立轉化的思想．

二、教學重點、難點、疑點及解決方法

1．教學重點：用因式分解法解一元二次方程．

式）

3．教學疑點：理解“充要條件”、“或”、“且”的含義．

三、教學步驟

（一）明確目標

學習了公式法，便可以解所有的一元二次方程．對于有些一元二次方程，例如（x－2）（x＋3）＝0，如果轉化為一般形式，利用公式法就比較麻煩，如果轉化為x－2＝0或x＋3＝0，解起來就變得簡單多了．即可得x1＝2，x2＝-3．這種解一元二次方程的方法就是本節課要研究的一元二次方程的方法——因式分解法．

（二）整體感知

所謂因式分解，是將一個多項式分解成幾個一次因式積的形式．如果一元二次方程的左邊是一個易于分解成兩個一次因式積的二次三項式，而右邊為零．用因式分解法更為簡單．例如：x2＋5x＋6＝0，因式分解后（x＋2）（x＋3）＝0，得x＋2＝0或x＋3＝0，這樣就將原來的一元二次方程轉化為一元一次方程，方程便易于求解．可以說二次三項式的因式分解是因式分解法解一元二次方程的關鍵．“如果兩個因式的積等于零，那么兩個因式至少有一個等于零”是因式分解法解方程的理論依據．方程的左邊易于分解，而方程的右邊等于零是因式分解法解方程的條件．滿足這樣條件的一元二次方程用因式分解法最簡單．

（三）重點、難點的學習與目標完成過程

1．復習提問

零，那么這兩個因式至少有一個等于零．反之，如果兩個因式有一個等于零，它們的積也就等于零．

“或”有下列三層含義

①A＝0且B≠0②A≠0且B＝0③A＝0且B＝0

2．例1解方程x2＋2x＝0．

解：原方程可變形x（x＋2）＝0……第一步

x＝0或x＋2＝0……第二步

x1=0，x2=-2．

教師提問、板書，學生回答．

分析步驟（一）第一步變形的方法是“因式分解”，第二步變形的理論根據是“如果兩個因式的積等于零，那么至少有一個因式等于零”．分析步驟（二）對于一元二次方程，一邊是零，而另一邊易于分解成兩個一次式時，可以得到兩個一元一次方程，這兩個一元一次方程的解就是原一元二次方程的解．用此種方法解一元二次方程叫做因式分解法．由第一步到第二步實現了由二次向一次的“轉化”，達到了“降次”的目的，解高次方程常用轉化的思想方法．

例2用因式分解法解方程x2＋2x－15＝0．

解：原方程可變形為（x＋5）（x-3）＝0．

得，x＋5＝0或x-3＝0．

x1＝-5，x2＝3．

教師板演，學生回答，總結因式分解的步驟：（一）方程化為一般形式；（二）方程左邊因式分解；（三）至少一個一次因式等于零得到兩個一元一次方程；（四）兩個一元一次方程的解就是原方程的解．

練習：P．22中1、2．

第一題學生口答，第二題學生筆答，板演．

體會步驟及每一步的依據．

例3解方程3（x-2）-x（x-2）＝0．

解：原方程可變形為（x-2）（3-x）＝0．

x-2＝0或3-x＝0．

x1＝2，x2＝3．

教師板演，學生回答．

此方程不需去括號將方程變成一般形式．對于總結的步驟要具體情況具體分析．

練習P．22中3．

（2）（3x＋2）2=4（x-3）2.

解：原式可變形為（3x＋2）2-4（x-3）2＝0．

[（3x＋2）＋2（x-3）][（3x＋2）-2（x-3）]＝0

即：（5x-4）（x＋8）=0．

5x-4＝0或x＋8＝0．

學生練習、板演、評價．教師引導，強化．

練習：解下列關于x的方程

6．（4x＋2）2＝x（2x＋1）．

學生練習、板演．教師強化，引導，訓練其運算的速度．

練習P．22中4．

（四）總結、擴展

1．因式分解法的條件是方程左邊易于分解，而右邊等于零，關鍵是熟練掌握因式分解的知識，理論依舊是“如果兩個因式的積等于零，那么至少有一個因式等于零．”

四、布置作業

教材P．21中A1、2．

教材P．23中B1、2（學有余力的學生做）．

2．因式分解法解一元二次方程的步驟是：

（1）化方程為一般形式；

（2）將方程左邊因式分解；

（3）至少有一個因式為零，得到兩個一元二次方程；

（4）兩個一元一次方程的解就是原方程的解．

但要具體情況具體分析．

3．因式分解的方法，突出了轉化的思想方法，鮮明地顯示了“二次”轉化為“一次”的過程．

五、板書設計

12．2用因式分解法解一元二次方程（一）

例1．……例2……

二、因式分解法的步驟

（1）……練習：……

（2）…………

（3）……

（4）……

但要具體情況具體分析

六、作業參考答案

教材P．21中A1

（1）x1=-6，x2=-1

（2）x1=6，x2=-1

（3）y1=15，y2=2

（4）y1=12，y2=-5

（5）x1=1，x2=-11，

（6）x1=-2，x2=14

教材P．21中A2略

（1）解：原式可變為：（5mx-7）（mx-2）＝0

5mx-7=0或mx-b＝0

又m≠0

（2）解：原式可變形為

（2ax＋3b）（5ax-b）＝0

2ax＋3b＝0

或5ax-b＝0

a≠0

教材P．23中B

1．解：（1）由y的值等于0

得x2-2x-3=0

變形為（x-3）（x＋1）＝0

x-3＝0或x+1=0

x1＝3，x2=-1

（2）由y的值等于-4

得x2-2x-3=-4

方程變形為x2-2x＋1=0

（x-1）2=0

解得x1=x2=1

當x=3或x＝-1時，y的值為0

當x=1時，y的值等于-4

教材P．23中B2

證明：x2-7xy＋12y2＝0

篇（7）

第一個誤解是把“寫教案”等同于“備課”。有學校把定期檢查教師的教案作為管理教學質量的手段，認為教案的質量等同于教學質量，導致一些教師養成了為應付檢查而寫教案的習慣，使得備課成為被動的“抄寫”活動，失去了主動的思考和學習，備課并沒有成為上課的準備，而成為了“不得已而為之”的負擔，備課沒有成為主動的腦力勞動，而成了被動的體力勞動。

事實上，教案就是對課堂教學的一個計劃和安排（Lesson Plan），應當是對備課中思考和學習的一個記錄。這個記錄可以寫出來，也可以不寫出來；可以寫得很詳細，也可以寫得很簡略，甚至也可以不寫出來。教案是為教師自身教學所使用的，因此寫出來還是不寫出來、寫得詳細還是粗略，應當由教師依據自身情況和需要自由決定，而不應當按照某一種模式硬性地統一要求。備課的質量是由教師主動“思考和學習”的質量決定的，而不是由寫不寫教案或者教案寫成什么樣子決定的。備課的水平決定了教學質量，而教學質量最終是靠培養出來的學生的質量來檢驗的。因此，試圖通過檢查教案的方式檢驗教師的教學質量，顯然是不妥的。

第二個誤解是備課內容追求全面，其結果是備課中需要思考的內容變得“復雜化”和“形式化”。比如，要求書寫格式必須包括“課題名稱、教學目標、重點難點、教學過程、板書設計”等，其中“教學目標”必須包括所謂的“三維目標”。一些地區開展的說課比賽中，組織者更是規定了“八股文”式的模板，規定說課內容要包括“指導思想與理論依據，教材分析與學情分析，教學目標與重點難點，教學流程與教具學具，教學評價與方式方法，教學特色與教學反思”，其中的“教材分析”必須包括多個版本教科書的對比分析，“學情分析”必須通過所謂的“前測”來進行。試想，在日常教學中，教師準備40分鐘的一節課，怎么可能去認真思考如此煩瑣的內容？在這樣的模板下，教師的備課不是獨立地思考和學習，而是在揣摩“檢查者”或“評委”想法的基礎上的“東抄西抄”，當然也就談不上發揮教師的主動性和創造性了。這種追求全面的備課要求實質上是“把簡單問題復雜化”，使人無法聚焦重點，自然就不能使得思考深入，只能是“用華麗的詞匯掩蓋空虛的內容”。

第三個誤解是備課中的思維方式模式化。在不同地區、不同學校經常聽到一些模式化的說法。比如，“必須要有生活情境，必須要有直觀模型”，等等。無論是“生活情境”還是“直觀模型”都屬于教學的方法與手段，方法與手段是為內容和目的服務的。不同的內容和目的所適用的方法和手段可能是不同的。這些模式化的思維方式可能是來源于一線教師對所謂“專家”的迷信，認為專家說的都是正確的。中國教育的一個特點是眾多的沒有做過中小學教師的專家在指導著中小學教育教學。這樣的指導可以說是利弊參半，最不可取的指導有兩種類型，一種是把外國人的話變成晦澀的中文灌輸給教師，使得教師誤認為“外國的就是先進的”“聽不懂的就是高深的”理論；第二種是“有想法、沒辦法”的所謂指導，這種“眼高手低”的指導給人的感覺是高高在上、可望而不可即，空談理念和意義，對于教育教學中的實際問題說不出解決辦法。這樣“沒錯且沒用”的指導只會使得一線教師慢慢習慣于高談闊論式的教學研究，而對于教育教學中的實際問題卻視而不見。

第四個誤解是只關注教學內容，而忽視課堂組織形式的設計。什么樣的任務適合獨立思考？什么樣的任務適合同伴交流？什么樣的任務適合小組合作？每一個學習任務需要安排多少時間？完成任務后應當如何組織匯報？學生匯報過程中如何組織其他學生的傾聽與交流？這些問題其實都是需要在備課過程中認真思考并有所安排的。

綜上，備課作為教師上課前的準備活動，應當是一個個性化的活動，并沒有統一的模式。備課永遠不會有最好的模式，每一位教師都可以創造出最適合自己以及自己學生的備課方式。從某種意義上說，這也是“教無定法”的一種體現。

“變教為學”的教學從知識安排的角度說，強調突出本質和實現關聯，所謂“突出本質”就是明晰知識屬性，由此可以確定其學習的過程與方法。[1]“實現關聯”的一個重要方面是把“新”內容與學生已經熟悉的內容建立聯系，實現“化未知為已知”。為此，備課中需要思考和研究的一個重要問題就是辨別“新”知識。

二、辨別“新”知識

辨別新知識是確定學習目標的基礎。這樣的思考關注哪些內容對學生的學習來說是“新”的、哪些是學生已經熟悉的，這將成為設計“怎樣學”的依據。下面以“小數乘法”和“小數除法”為例說明。“小數乘法”是在學習了“整數乘法”“小數的認識”以及“小數加減法”之后的內容，應當說是以上內容的重新組合，從數學的角度看，這種“重組”并沒有出現什么新知識。但從學生的學習來說，就可能存在著學生所不熟悉的“新”內容。

學生之前對“乘法”的認識是“相同加數求和”，如果把這種認識用于對小數乘法的理解就會產生困難。比如，小數乘整數的“0.5×3”，可以理解為是“3個0.5相加”，也就是“0.5+0.5+0.5”，但是反過來“0.5個3相加”就不好理解了。類似地小數乘小數“0.5×0.3”，用“相同加數求和”也很難理解其含義。

“小數除法”也是類似，學生過去所熟悉的整數除法算式一般有兩種理解方式，比如對于“24÷4”，第一種理解是“24中包含有多少個4”；第二種理解是“把24平均分為4份，每份是多少”。不妨把第一種理解簡稱為“包含除”，第二種簡稱為“等分除”。對于“22.4÷4”如果用“包含除”理解，那就是問“22.4中包含有多少個4”。這樣的理解對于如圖1的豎式計算過程就難以解釋了。

圖1計算過程實際上分為兩步，用“包含除”的語言說，第一步算出了“22中包含有5個4”，剩余部分是“2.4”，比除數4小，就無法用“包含除”的語言繼續解釋下面的“2.4÷4”了。只能用“等分除”的語言敘述為“把2.4平均分為4份，每份是多少”，如果除數也是小數，同時被除數小于除數，那么無論是用“包含除”還是“等分除”都很難解釋除法算式的含義。比如“0.1÷0.2”，既不能說成“0.1中包含有多少個0.2”，也不能說成“把0.1平均分為0.2份，每份是多少”。

另外，學生學習“整數乘法”和“整數除法”后會不自覺地形成兩種認識，第一種認識是“乘法使得結果變大”“除法使得結果變小”。[2]第二種認識是做除法的時候“被除數總是大于除數”的。這兩種認識在學習小數乘除法的時候都發生了變化。因此，在學習小數乘法和小數除法之前，首先需要學習的“新”知識不是程序化的“算法”，而是針對小數乘法算式和除法算式含義的理解。

三、為新、舊知識搭橋

辨明對學生來說可能的新知識后，需要思考的重要問題是如何把“新”知識變成“舊”知識，也就是把新知識與學生已經熟悉的知識或者經驗建立聯系。

對于“小數乘法”，一種較為普遍的學習方式是借助長方形的面積。圖2正方形ABCD的邊長為1，所以面積為1。

在圖2正方形的AB邊上截取0.5長度，AD邊上截取0.3長度，那么長方形AEFG的面積就可以用“0.5×0.3”表示。類似于這樣的方法在國內外小學數學教科書中普遍采用，比如人民教育出版社出版的《義務教育課程標準實驗教科書數學》五年級上冊中對小數乘法的引入，就采用了求面積引入小數乘法。

在國外的數學教學中把用長方形面積展示小數乘法過程叫作小數乘法的“直觀化（Visualization）”，比如對于“5.7×1.4”的計算過程和結果，就可以用下面的圖形直觀地展示出來。[3]

圖4 小數乘法示意圖

用長方形面積直觀理解小數乘法，實際上是默認了一個前提，就是邊長為小數的長方形面積可以用“長×寬”計算，這一點與學生之前的經驗并不相符。所謂“長×寬”的長方形面積公式，學生最初是用“數方格”的辦法學習的，數字“1”對應的是一個方格，邊長都是整數。而在圖4中數字“1”對應的是一個“大方格”，其中還包含了100個“小方格”，實際上是把小數變成整數進行理解，并沒有揭示小數乘法的真正含義，仍然會對學生理解小數乘法構成困難。

對小數乘法算式真正的理解需要借助分數的思維方式，用分數的眼光看待小數及其乘法運算。比如0.5可以看作是或者，把0.3看作是。那么“0.5×0.3”就可以理解為“0.5的”或者“0.3的”。兩者的相等關系可以從下面的圖5中看出：

0.5的：

0.3的：

圖5 0.5×0.3的理解圖示

在實際的購物問題中就可能出現類似的計算，比如，“一個物品的價格是0.3元，買半個多少元？”這個問題可以用“0.5×0.3”來計算，實質上是用求“0.3的”進行思考的。行程問題中，如果一個人的步行速度是平均每分鐘0.12千米，那么半分鐘步行距離就可以用“0.12×0.5”來計算，也是運用了“求一個數的幾分之幾”的思維方式。

在這樣理解的基礎上，應當可以對小數乘法的

結果進行口算或估計。比如，“0.5×0.3”是“0.3的”，因此結果應當是“0.15”。再比如，“5.7×1.4”，由于“5.7”接近5的和6，“1.4”接近1.5。因此，可以知道“5.7×1.4”應當比“5的一倍半”大，比“6的一倍半”小，也就是這個結果應當介于7.5和9之間，在沒有精確計算的時候，利用分數的思維方式已經估計出了準確結果所在的范圍，這對將來算法的學習是十分有益的。

對于小數除法來說，最難理解的情況是“除數是整數部分為0的小數，并且被除數小于除數”，對于這樣的情況可以利用“比和比例”的思維方式進行理解。比如，一個物品單價為0.2元，如果某顧客只有0.1元，可以買多少？這個問題可以通過計算“0.1÷0.2=0.5”來解決。這樣的方法實質上是利用了“總價”與“數量”成正比例，也就是說“0.2元與0.1元之間的倍數關系”與“1個物品和0.5個物品之間的倍數關系”是一樣的。這樣的關系可以從圖6的表格中明顯看出：

總價（元） 0.2 0.1 …

數量（個） 1 0.5 …

圖6 總價、數量關系圖

這個時候“0.1÷0.2”既不是“等分除”，也不是“包含除”，而表達的是0.1與0.2之間的倍數關系，這實際上就是“比和比例”的思維方式。再比如，中國古代重量的計量單位有“斤”和“兩”，兩者的關系為1斤等于16兩。因此有一個成語叫作“半斤八兩”，表示勢均力敵、不相上下的意思。如果在已知“半斤”等于“八兩”的基礎上問“0.2斤等于多少兩”？其間的數量關系可以用圖7的表格展示出來：

斤 0.5 0.2 ……

兩 8 ？ ……

圖7 半斤八兩示意圖

此時用“0.2÷0.5”得到的“0.4”就是0.2與0.5之間的倍數關系，由于“？”與“8”也符合這樣的倍數關系，所以0.2斤對應的就是“8×0.4=3.2（兩）”。

因此，對于小數乘、除法一種有效的理解方式是充分利用計量單位之間的比例關系。小學階段含有這種計量單位的“量（magnitude）”主要包括描述物體“大小”的長度、面積、體積；描述物體“輕重”的重量（質量）；描述價值“貴賤”的人民幣；描述經歷“長短”的時間；描述“冷熱”的溫度；描述“快慢”的速度；描述旋轉或者“張開程度”的角。凡此都可以成為理解小數乘、除法算式的素材，成為溝通新、舊知識的橋梁。雖然比、比例以及正、反比例等都屬于六年級的課程內容，但相關的方法和思維方式是在數學課程中貫穿始終的。

以上關于“小數乘、除法”的課程內容具有“似舊不舊”的特點，也就是表面看沒有新內容，而實際上存在著與學生已有知識和經驗不同甚至相悖的內容。因此，備課中應當著力挖掘其中蘊含著的“新”內容，這些新內容將成為學生學習的重點和難點。

四、似新未必新

數學課程中還有一類與“似舊不舊”相對的課程內容，可以叫作“似新不新”，也就是表面看是新知識，而實際上學生之前對其已經具有了相當豐富的知識和經驗。備課中一個重要工作就是把“似新”的內容與學生已經熟悉的內容溝通聯系，使之成為“不新”的內容。“圓的面積”通常被認為是難教并且難學的課程內容。事實上如果溝通了圓與三角形的關系，學生完全可以自己推導出圓的面積公式。[4]如圖8，首先把一個半徑為r的圓面內部畫出若干同心圓：

然后想象將這些同心圓逐一取出：

接下來想象將圖9中所有同心圓從某處剪開并拉直，依次擺放在一起：

這樣就形成了一個兩條直角邊分別為半徑“r”和圓周長“2πr”的直角三角形。

所有變換過程并沒有使得面積發生改變，因此圖11三角形的面積與原來圖8圓形面積相等，因此利用三角形面積公式就可以求出圓的面積為πr2了。這樣的過程與之前學生所熟悉的將“平行四邊形”轉化為“長方形”求出平行四邊形面積公式的過程是一樣的。[5]另外，這樣的過程實質上是利用了微積分中所謂“分割、求和、取極限”的方法，也是利用“離散量”研究“連續量”的過程。[6]

“變教為學”主旨在于讓學生自己經歷知識的發現與發明，這就要求教師備課中需要認真研究并且辨別新知識，進而溝通其與舊知識的聯系，在此基礎上為學生設計有效的學習任務和學習活動。

參考文獻：

[1] 郜舒竹. “變教為學”說備課[J]. 教學月刊小學版（數學）. 2014，（1/2）.

[2] Anna O. Graeber and Dina Tirosh. Insights Fourth and Fifth Graders Bring to Multiplication and Division with Decimals[J]. Educational Studies in Mathematics， Vol. 21， No. 6 （Dec.， 1990）， pp. 565-588.

[3] Margaret Rathouz.Visualizing Decimal Mulyiplication with Drea Models：Oppor Tuniies and Challengesc.[J]. IUMPST： The Journal. Vol 2 （Pedagogy）， August， 2011. [k-12prep.math.ttu.edu].

[4]郜舒竹，夏寶霞. “幾何直觀”觀什么[J]. 教學月刊小學版（數學）. 2013，（4）.

篇（8）

教學內容：

教材第59頁加減法與乘法的混合運算。

教學提示：

學生已經基本掌握了整數的四則計算，這些運算的運算順序都是從左往右依次計算，為了打破學生的思維定勢，教材選擇具有現實性和趣味性的素材，由淺入深地促使學生理解混合運算順序，目的是為了讓學生了解在有加法和乘法的計算中，無論乘法在前和在后都要先算乘法。通過活動，結合具體情境，讓學生在發現問題、解決問題的過程中，體會四則運算的意義，發展學生提出問題、解決問 題的能力。逐步提高他們的計算能力。這一內容的學習也為今后的小數、分數混合運算打下基礎。

教學目標：

1、知識與技能： 初步理解綜合算式的含義，掌握含有乘法和加、減法混合運算的順序。

2、過程與方法： 經歷對比、推理、總結混合運算的特點，培養學生合作意識。

3、 情感態度與價值觀： 在學習活動中，感受數學與生活之間的聯系。

教學重點：

掌握含有乘法和加、減法混合運算的順序，并進行正確的計算。

教學準備：

多媒體課件、草稿本

教學過程：

一、談話導入

師：同學們，你們到文具店買過學習用品嗎?

生：買過。

師：買過什么文具?

生：買過2個筆記本和1支筆。

師：你買的筆記本每個幾元，筆每只幾元?

生：筆記本每個2元，筆每只1元。

師：，你們能幫他算一算一共要用去多少錢嗎?

生：5元。

師：你怎么算的?

生：先算筆記本的錢2×2=4(元)，再算4+1=5(元)

師：說得很好。今天我們繼續學習這類的問題。出示課題：加減法與乘法的混合運算。

設計意圖：創設學生熟悉的生活環境，拉近了數學與生活的距離。提出有針對性的問題，為后面的學習做好鋪墊。

二、小組合作探究新知

1、課件出示例題

師：生讀題，說說要解決的問題。

生：買文具盒和書包一共用去多少元?

師：獨立列分步算式解決問題。小組內說說你是怎么想的。

師：誰說說你是怎么想的?

生：先算6個文具盒多少錢，就是6×7=42(元)再算一共用去多少錢。就是42+55=97(元)

師：誰能把這兩個算式合并到一起嗎?

生：可以寫成：6×7+55

生：還可以寫成：55+6×7

師：這兩個算式對不對。(小組討論)

生：第一個對。因為先算乘法，第二個先算加法。

師：像上面的算式無論乘在前還是在后都應該先算，所以都對。在一個沒有括號綜合算式里，有乘又有加減。應先算乘，后算加減。

講解：像同學們這樣，分列了兩個算式，一步一步去解答。我們把這種方法叫“分步解答”，這兩個算式叫“分步算式”。我們還可把這兩個算式合在一起列成一道兩步的算式，這種算式叫做綜合算式。在綜合算式中，我們要先算乘除后算加減。

設計意圖：再現學生熟悉的生活情景，激發學生的學習興趣，調動學生的情感投入，把解決實際問題與計算教學緊密結合起來。

2、試試身手。

81-17×4

師：計算這道題時，應先算什么?后算什么?

生：先算乘法，后算減法。

81-17×4

=81-68

=13

再次總結：在一個沒有括號綜合算式里，有乘有加減。應先算乘，后算加減。

三、鞏固新知

1、完成第59頁試一試。

2、將下面兩個算式合成一個綜合算式。

(1)3×5=15

20+15=35

(2)6×8=48

48-18=30

3、亮亮今年7歲，爸爸的年齡是亮亮的5倍，爸爸比亮亮大多少歲?

答案：1、536、 1 2、20+3×5 6×8-18 3、28歲

四、達標反饋

1、24×3+19 (注意運算順序)

2、森林醫生。(改正錯誤)

16+40×8

=56×8

=448

3、小紅拿50元錢去買8個6元一個的筆記本，應找回多少錢?

答案：1、91 2、16+40×8 3、2元

=16+320

=336

五、課堂小結

師：大家回顧一下，綜合算式中有乘有加減應先算什么?再算什么?

生：先算乘，再算加減。

師：為什么?

生：因為加減是同級運算。

設計意圖：讓學生總結所學，在交流反思中，意識到學習方式的重要性和數學內容的延續性，激發學生進一步探究知識的欲望。

六、布置作業

1、我會列式計算。

3個7再加28是多少?

71減去6個8是多少?

2、我來算一算。

65-8×8

20+5×5

3、小明看一本故事書，看了4天，每天看6頁，還剩13頁沒有看。這本故事書一共有多少頁?

4、媽媽買來12盒月餅，每盒有9塊。送給奶奶16塊，還剩多少塊月餅?

答案：1、49、23 2、1、45 3、37頁 4、92塊

板書設計：

加減法與乘法的混合運算

分步：7×6=42(元)

42+55=97(元)

綜合：7×6+55

=42+55

=97(元)

在一個算式里有加減法和乘法，應先算乘法再算加減法。

看了四年級上冊數學四則混合運算教學設計的人還看：

1.四年級數學上冊預習提綱要點以及教案

2.2016年人教版四年級上冊數學教學計劃

3.小學四年級數學上冊教學計劃北師大版

篇（9）

高年級學生分數學習目標：學習整數乘分數的計算方法，讓學生親身經歷探究整數乘分數的計算原理；能根據解決問題的需要，探究有關的數學信息，發展初步的分數乘法的能力；使學生感受到分數乘法與生活的密切聯系，培養學習數學的良好興趣。

高年級學生在對分數意義的理解、比較分數大小的表現、關于分數的四則運算能力、對分數除法的認識、對分數等值變換的理解等方面的學習情況良好，但對分數問題解決能力方面存在一些缺陷。

2. 制定方案與收集材料

小組負責人制定“研課”活動方案，分工合作，交流探討，分類收集分數教學一些學術研究文獻（理論類）、公開課錄像和一些教學案例等。

3. 學習與研究

“研課” 小組成員教師T1負責制定一節高年級學生分數學習教案，初稿出來后，小組成員對教案初稿進行互相學習與研究，并對教案提出意見和建議，進一步完善教師T1的教案，形成共識。

4. 觀課

確定公開課的時間，然后由教師T1講授這節課，小組中的其他人將全部參與到課堂中進行觀察。筆者認為，聽課要注重幾個環節：（1）復習導入：教師T1如何導入新課，有沒有更好的方法；（2）講授新課：教師T1的教學方法、組織如何？對教學內容如何處理，如何評價學生的學習等；（3）鞏固練習：題量與難度如何處理；（4）課堂小結：小結的形式；（5）板書設計：板書設計是否科學、合理。

5. 再研究

研究是“研課”的中心環節。“研課”組成員對本課研討有如下幾點：

（1）對分數教學的研究

分數對于初學者來說是一個難點。有的學者認為，分數是學生在小學學習過程中遇到的最為復雜的概念之一，同時也有學者斷言分數學習是學生數學學習中遇到的最為嚴重的障礙。分數之所以成為學生學習的“難點”，主要是因為：分數在日常生活中應用較少，不如自然數那么容易描述；分數的書寫格式比較復雜；分數在數軸上不容易排列大小；分數的算法有很多法則，這些法則比自然數的算法要復雜。也有學者認為，分數教學和學習復雜性的主要原因之一是分數由多重結構組成。

（2）對教學過程局部的研究（兩道例題的研究）

從教學路線可以看出，本課遵循“情境-問題-探究-反思-概括-應用”的教學模式，屬于“教師指導下的學生主動探究”模式。“研課”組成員主要對本課的例題講解及板書作局部的研究。

教師T1設計了兩道題：

例1：用分數表示圖 1 中的陰影部分。

圖1要求學生用分數表示陰影部分，對于前兩個圖形，學生全部都填寫正確，分別是4/9和2/3，說明學生對分數的意義比較熟悉；但是圖 1 中的第三個圖形，就出現了幾種不同的答案：

產生上述表1結果，主要是因為圖形產生了誤導。從答案我們可以看出，學生主要有兩種認識：如果把前面的 4 個方塊組成的陰影看成“單位 1”，那么答案就是5/4，如果把兩個大的方塊看作“單位 1”，那么陰影就是5/8，因此，學生對于“單位 1”理解透徹，沒有出現偏差。從訪談中了解到，大多數學生認為“單位 1”就是“一個整體”，有的學生甚至解釋得更加詳細：把一個整體平均分成若干份，這個整體就是“單位 1”。

例2：要求學生根據25×4/5編寫一道應用題，其實和創設一個問題情境類似。其中，編寫的應用題比較合理的學生有31人，約占總體的55.4%。這些應用題包括購物、行程、年齡、讀書、做工等問題。例如有位學生的編題：美術小組有25人，比航模小組的人數多1/4，航模小組有多少人？但有些學生編寫的題目雖然符合題意，但是在生活中卻不合理，其實，這道題是一道開放題，答案多種多樣，可訓練學生的發散性思維，是一道好題。

（3）對本課局部特征的研究

對于例1，學生無論是使用圖形表示分數，還是使用數學符號表示分數，學生都能夠熟練正確地完成。學生對于約分、通分等分數等值變換內容能夠應付自如，說明他們對分數的基本性質理解深刻。另外，學生對于例2，熟悉分數應用題，能夠熟練地解答。在訪談中，對于簡單的分數應用題，他們可以很快找出“單位 1”，選擇正確的運算。對此，學生透露出“訣竅”：比、是、總量……這些詞語是關鍵，可以發現“單位 1”。 這些方法可以幫助學生很快地解答問題。

6. 修改教學設計

基于觀察和反思，研課組的教師會對在上課過程中學生表現出某些錯誤理解的地方做出修訂，如改變材料、活動、提出問題等。修改主要是局部的，這里改進兩點：

（1）板書改進：充分利用黑板，呈現探究的全過程，凸顯思維活動的變化。

篇（10）

教材的編排，給我們提供的信息是：幾乎所有的知識都是以動態生長的姿態呈現的。教師只有充分的認識到了知識的這個特點，才有可能保證制定出科學的知識目標，才能保證對教學過程的策劃由近及遠，也才能保證教學設計對學生來說是有效多于有用。每次進行教學設計之前，我都喜歡認真的看教師用書，也會找很多資料放在案頭。周圍的同事經常取笑我寫個教案象是在搞大制作，弄出來的東西其實就那么簡單的幾句話。我總是會說“磨刀，懂嗎？”在他們羨慕我跟學生都輕松地時候，我就會故做神氣道：“我是從很遠的地方走來的……”。只有了解了知識，才能談得上對教學知識過程的的設計。

二、教學設計要設計出“空間”

首先，要設計出學生可以自主活動的空間。任何一個知識，不管課堂上教師引導的有多么精彩，學生表現的是多么積極。但是，如果缺少了學生可以自覺活動的空間，我覺得那樣的課堂即便是有效的，學生也始終是被動的，學生的積極與精彩都是被設計了的，缺少了生命力。曾經在上乘法的意義那節內容時，我是這樣設計的：我在黑板上出示了一張畫著用小木棍拼成的四個長方形。然后讓學生提出想問的數學問題。“這里一共有幾個長方形？”“這幾個長方形一共用了幾根小木棍？”待孩子們說出自己的問題后，我們一起一一進行解決。接著，我針對孩子們的加法算式說出了自己簡便快速的算法：1×4=4與4×4=16。孩子們見到了好好奇啊，都說：“那是怎么回事？”對于孩子們的表現，我并沒有急于進行下面的教授。我教他們拿出學具——小木棍（開學時就自己從家里準備好了的）。然后說：“你們也可以與同桌合作，擺出喜歡的圖形，提出問題，然后看能不能也像老師一樣用乘法解決。”孩子們根據自己的觀察擺啊，說啊，投入到了積極探討的過程中。相信大家都有了差不多結果的時候，我讓想發表意見的孩子說了自己的心得。很多孩子都發現了乘法意義之所在。這個時候，我還是沒有急于給知識下結論，我繼續說：“再擺擺吧，看能不能把你的同桌難倒，讓他寫不出乘法算式，只能寫出加法算式”。孩子們繼續擺。這個時候，孩子自己出彩了：有個孩子給他的同桌擺出了一個三角形，一個正方形，并神氣的問道“一共有幾根小棒，能列出乘法算式嗎？”他的同桌說出了1×7=7。他有那么短時的驚訝，但是并沒有馬上否定，慢慢的他臉上露出了笑容。這個完整的過程其實正是經歷了學生自主活動的一個完整過程，這個過程也讓學生對乘法的意義有了進一步的認識。這個過程是教不出來的。后來由擺小棒我讓學生又列舉出生活中更多的可以用乘法列算式的問題。到最后才讓學生完整的說出乘法所表示的意義。這節內容的設計由學生經歷發現——探索發現目標的特點——完整認識發現目標的特點——形成意義。學生可以自主活動的空間很足。這些空間讓他們覺得數學是有趣的，數學是可以發現的、這些空間也讓他們學到了知識并靈活運用知識。當后來在練習中我出“2×3+8=（ ）×（ ）時，學生就很容易的填出了2×7”。這樣的內容也揭示了教學設計的下一個特點：其次，教學設計要設計出知識的發展空間。就接著上面的例子說，上面最后的練習，既靈活的檢測了學生對乘法意義的掌握與運用能力，也為后來學習乘法分配律刻畫了雛形。這個空間雖然沒有讓學生馬上填補，但是它可以幫助學生讓知識更豐盈，成長的更壯碩。另外，教學設計要設計出學生反思總結的空間。每堂課中總會有不同的小結時刻，但是多半小結都是針對知識。我想說的是，教師要設計出學生小結知識的機會，也要設計出學生小結學法，小結心情，小結他人長處的機會與空間。這樣的空間會對提升孩子的學習能力與學習興趣有很大的幫助，也是體現提升教學有效性的一個重要方面。

三、教學設計要有助于促使學生調動所有的知識去為新知識做準備