高中數(shù)學(xué)綜合實踐教學(xué)分析

序論：好文章的創(chuàng)作是一個不斷探索和完善的過程，我們?yōu)槟扑]一篇高中數(shù)學(xué)綜合實踐教學(xué)分析范例，希望它們能助您一臂之力，提升您的閱讀品質(zhì)，帶來更深刻的閱讀感受。

在2017年版普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計的數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)中，將“數(shù)學(xué)建模活動與數(shù)學(xué)探究活動”[1]與其他內(nèi)容并列成為四條主線之一，“數(shù)學(xué)文化融入課程內(nèi)容之中”，并在課時、內(nèi)容要求、教學(xué)提示及學(xué)業(yè)要求等方面都給出了具體的建議或要求，人民教育出版社出版的普通高中數(shù)學(xué)（A版）教科書據(jù)此分別編寫了2個數(shù)學(xué)建模活動、2個數(shù)學(xué)探究活動、5個選學(xué)內(nèi)容。課標(biāo)指出，“數(shù)學(xué)建摸活動是基于數(shù)學(xué)思維運用模型解決實際問題的一類綜合實踐活動”，而“數(shù)學(xué)探究活動是運用數(shù)學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題的一類綜合實踐活動”[2]。課標(biāo)和教科書都建議用課題研究的形式開展綜合實踐活動，在踐行中將重新定義普通高中數(shù)學(xué)教與學(xué)的方式。

一、數(shù)學(xué)綜合實踐活動相關(guān)概念

1.數(shù)學(xué)建模活動

廣義的數(shù)學(xué)建模活動包括高中數(shù)學(xué)教學(xué)中遇到的所有此類活動，典型代表是“4.2.1指數(shù)函數(shù)的概念”“5.6函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）”。狹義的數(shù)學(xué)建模活動僅僅指課標(biāo)中有課時安排、教科書中編寫的3個數(shù)學(xué)建模活動，即必修第一冊162頁的“數(shù)學(xué)建模建立函數(shù)模型解決實際問題”、選擇性必修第三冊141頁的“數(shù)學(xué)建模建立統(tǒng)計模型進行預(yù)測”、必修第二冊218頁“9.3公司員工的肥胖情況調(diào)查分析”。上述兩類建模活動的實施辦法、目標(biāo)是有差異的：廣義數(shù)學(xué)建模活動解決的實際問題是教科書中給出的，建模的過程是在教師設(shè)計的問題指引下進行的，知識目標(biāo)是確定的；狹義數(shù)學(xué)建模活動的實際情境選擇更加多樣，過程更加開放，模型的抽象更加復(fù)雜，學(xué)生活動自主性更強，知識目標(biāo)弱化，重在用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型，解決實際問題，積累活動經(jīng)驗。換言之，廣義數(shù)學(xué)建模活動是一個與既定目標(biāo)無偏差的良構(gòu)活動，而狹義數(shù)學(xué)建模活動是圍繞既定目標(biāo)全開放的探索活動。

2.數(shù)學(xué)探究活動

數(shù)學(xué)探究活動也有廣義和狹義之分。就廣義而言，在高中數(shù)學(xué)內(nèi)容中有很多是可以用數(shù)學(xué)探究的方式學(xué)習(xí)的，比如“6.4.3余弦定理、正弦定理”“直線與平面垂直的性質(zhì)定理”[3]，甚至還有不足一課時的探究內(nèi)容，比如“不等式的性質(zhì)”“雙曲線的定義”等等，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的一般觀念[4]。就狹義而言，數(shù)學(xué)探究活動特指必修第二冊63頁“數(shù)學(xué)探究用向量法研究三角形的性質(zhì)”、選擇性必修第三冊39頁“數(shù)學(xué)探究楊輝三角的性質(zhì)與應(yīng)用”。數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)探究活動、廣義和狹義的數(shù)學(xué)探究活動之間的關(guān)系與“數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)探究活動”中的分析類似。3.文獻閱讀與數(shù)學(xué)寫作“文獻閱讀與數(shù)學(xué)寫作”是教科書中設(shè)置的選學(xué)內(nèi)容，共有5個，比如必修第一冊97頁“函數(shù)的形成與發(fā)展”等。教科書中給出了“目標(biāo)”“主題”“實施建議”“參考選題”“文獻綜述的結(jié)構(gòu)”等。實施的建議是：選題，分組，分配任務(wù)，收集資料，素材匯總，交流討論等。具體實踐時依然可以參照課題研究的方式進行。“文獻閱讀與數(shù)學(xué)寫作”是集中體現(xiàn)“數(shù)學(xué)文化”的載體，有助于學(xué)生系統(tǒng)了解數(shù)學(xué)發(fā)展史，理解數(shù)學(xué)，提升科學(xué)思維。

二、高中數(shù)學(xué)綜合實踐活動的開展

1.以課題研究開展數(shù)學(xué)綜合實踐活動的基本范式

基于教學(xué)實踐探索，我們提煉了基本范式，其結(jié)構(gòu)是相同的，但由于三種活動各自教學(xué)內(nèi)容不同，所以也有差異。為了清晰表達，也為了方便閱讀，分別用3個圖表示三種綜合實踐活動的基本范式。其中“教師鉆研”是教師備課環(huán)節(jié)。“示范……”對應(yīng)課題的開題環(huán)節(jié)，之后是學(xué)生先體驗，嘗試開展課題研究；“中期交流”是學(xué)生之間進行思維碰撞，交流心得經(jīng)驗，并由教師指導(dǎo)課題研究的思路、方法，通過這個環(huán)節(jié)，學(xué)生更加理解課題研究“做什么”“怎么做”，之后繼續(xù)完成課題研究；“結(jié)題報告”是展示交流課題研究成果，并進一步升華對研究對象的理解，之后完善成果，完成本課題的研究工作。

2.比較中理解數(shù)學(xué)綜合實踐活動的基本范式

（1）分散課時，重新定義教與學(xué)

①重新定義課上、課下的功能。課題研究不同于大家熟悉的教學(xué)方法。“示范……”環(huán)節(jié)在課上進行，教師講解，并由學(xué)生初步確定選題。之后的“中期交流”“結(jié)題報告”環(huán)節(jié)也都在課上進行，以學(xué)生展示交流、質(zhì)疑問難為主，教師予以點撥指導(dǎo)。至于課下“自主……”環(huán)節(jié)，則個體研究與團隊合作并行。課上、課下的工作是按照研究對象的邏輯順序連續(xù)推進、逐步深入的，并非重復(fù)訓(xùn)練。課上完成需要交流碰撞的、方法方向探討的、思維層面的工作，課下完成個體獨立鉆研、小組合作研究的任務(wù)。②重新定義課時的使用。課時的使用方式與傳統(tǒng)教學(xué)有著本質(zhì)的不同。“數(shù)學(xué)建模活動與數(shù)學(xué)探究活動”在必修部分課標(biāo)建議課時是6課時，在選擇性必修部分建議課時是4課時。教師教學(xué)用書中每個“文獻閱讀與數(shù)學(xué)寫作”的建議課時是1課時。不論課時多少，其使用方法都不同于傳統(tǒng)：要分散使用。換言之，即“示范……”“中期交流”“結(jié)題報告”不能連起來上。比如，在做數(shù)學(xué)探究活動“用向量法研究三角形的性質(zhì)”時，4月3日開題，之后留給學(xué)生一周的時間進行個體自主探究，小組內(nèi)部以及組與組之間進行交流，教師隨時予以幫助。4月10日進行“中期交流”，4月29日“結(jié)題報告”[5]。從“中期交流”到“結(jié)題報告”之間之所以間隔這么久，是因為在“中期交流”中學(xué)生提出的探究問題涉及到教師之前沒有預(yù)想到的知識，師生都需要進一步學(xué)習(xí)。此外，學(xué)生還需要將其他小組展示的研究成果進行梳理、理解，互相借鑒、融合，形成一個完整的研究報告。這些工作都是在課余時間進行的，所以整體跨度比較長。期間教師予以關(guān)注、督促、指導(dǎo)，并根據(jù)進展情況確定結(jié)題時間。數(shù)學(xué)綜合實踐活動課不能因下課鈴聲而終止，要創(chuàng)造條件讓學(xué)生盡情交流研討，確保課下有效的探索研究，確保課題研究過程要真實、思維有深度、成果能創(chuàng)新、熱情會提升。③重新定義學(xué)習(xí)的物理空間。數(shù)學(xué)綜合實踐的課堂也需要突破傳統(tǒng)課堂的物理空間。在學(xué)生自主做課題環(huán)節(jié)，因研究對象不同需要匹配不同的物理空間。比如，完成數(shù)學(xué)建模活動“介質(zhì)與距離對WIFI信號強弱的影響”，就需要到操場進行測量收集數(shù)據(jù)[6]。課標(biāo)中所給“案例15測量學(xué)校內(nèi)、外建筑物的高度”需要走出校園收集數(shù)據(jù)。完成文獻閱讀與數(shù)學(xué)寫作，學(xué)生需要大量查閱資料。結(jié)題報告活動，可以在自己班級進行，還可以擴大范圍，增進交流，比如，開展全校評比活動，因此需要在學(xué)校的報告廳舉行。數(shù)學(xué)綜合實踐活動拓展了學(xué)生的學(xué)習(xí)空間，根據(jù)活動內(nèi)容選取適當(dāng)?shù)目臻g，保障課題研究的順利進行。

（2）轉(zhuǎn)變角色，教師成為導(dǎo)師

在基本范式中教師的工作分三段：備課鉆研，主導(dǎo)開題，指導(dǎo)做題。不同于傳統(tǒng)教學(xué)，在課題研究過程中，教師更重要的工作是對學(xué)生的指導(dǎo)，包括組建團隊、選題的指導(dǎo)，學(xué)生課下自主開展的課題研究活動，以及課上展示交流。數(shù)學(xué)綜合實踐活動的備課對教師提出新的挑戰(zhàn)，教師要先自己親自體驗。做設(shè)計的過程就是教師自己開展課題研究的過程，并將自己的經(jīng)驗提煉概括用于指導(dǎo)學(xué)生，因此需要較長時間，即使對于常規(guī)教學(xué)經(jīng)驗豐富的教師也是如此。比如在“用向量法研究三角形的性質(zhì)”時，教師前期備課寫出了約2萬字的內(nèi)容，包括從最基本、最核心的三角形閉合回路向量表達式出發(fā)，用向量的不同運算方法探索性質(zhì)，再基于所得結(jié)論，綜合運用向量方法繼續(xù)探索的全過程，獲得結(jié)論30余條，從學(xué)生最熟悉的三角形中線交于一點到梅涅勞斯定理等，構(gòu)建了它們之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)圖，整體上把握了該數(shù)學(xué)探究，做到了完全可以俯瞰學(xué)生數(shù)學(xué)探究[7]。“對數(shù)的起源與應(yīng)用”雖然是一課時的教學(xué)內(nèi)容，但備課歷時卻是比較長的，主要用于學(xué)習(xí)、甄選、處理史料等[8]。數(shù)學(xué)綜合實踐活動的過程中，教師對學(xué)生的指導(dǎo)是綜合性、全方位的。在數(shù)學(xué)建模活動的開題課上，要指導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，開闊思路，確定選題；在數(shù)學(xué)探究活動的開題課上，要幫助學(xué)生明確研究對象的一般觀念，在其指引下發(fā)現(xiàn)和提出問題，推進研究；在文獻閱讀與數(shù)學(xué)寫作的開題課上，要指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會閱讀文獻，確定寫作主題。與常規(guī)的輔導(dǎo)作業(yè)相比，在數(shù)學(xué)綜合實踐活動過程中教師遇到的問題更豐富、更具挑戰(zhàn)性。要幫助學(xué)生選題[9]；要指導(dǎo)學(xué)生收集數(shù)據(jù)[10]，評判學(xué)生所選模型的合理性；要親自演算，了解學(xué)生探究的思路，判斷其研究方向的可行性[11]；要在數(shù)學(xué)歷史當(dāng)年的背景下理解數(shù)學(xué)史料等等[12]。教師還要解決學(xué)生思想認(rèn)識方面的各種問題。有的學(xué)生認(rèn)為做數(shù)學(xué)綜合實踐活動不如刷題有效，有的學(xué)生遇到困難就要放棄等等，都需要教師予以指導(dǎo)，需要教師鼓勵其完成活動，收獲成就感，從根本上解決認(rèn)識問題。

（3）轉(zhuǎn)換身份，學(xué)生變身數(shù)學(xué)家

在數(shù)學(xué)綜合實踐活動中，學(xué)生的學(xué)習(xí)方式發(fā)生了徹底的改變。不僅僅是聽課做作業(yè)，而是自己觀察、發(fā)現(xiàn)值得研究的問題，并分析、解決問題；學(xué)習(xí)的特點不僅僅是模仿，更重要的是自主探索；不僅僅是汲取，還要分享貢獻自己的智慧；不僅僅是個體學(xué)習(xí)，更需要團隊的合作；不僅僅是做對答案，更重要的是有自己的創(chuàng)造。對于數(shù)學(xué)綜合實踐活動，一開始學(xué)生不適應(yīng)，但只要他們被吸引進去，其韌性和創(chuàng)造力都是超乎預(yù)料的，這就是數(shù)學(xué)本身的魅力所在。要吸引學(xué)生，關(guān)鍵是要做真實、完整的數(shù)學(xué)綜合實踐活動。在“用向量法研究三角形的性質(zhì)”中，學(xué)生一開始只是通過各種渠道收集羅列結(jié)論，在老師的指導(dǎo)下，他們轉(zhuǎn)變方式，開始探究；探究過程中，學(xué)生幾次推導(dǎo)失敗，但在老師的鼓勵下，獨立推導(dǎo)出了塞瓦定理；學(xué)生還借助技術(shù)進行猜想，得到“奔馳定理”的一般形式。在完成課標(biāo)“案例11正方體截面的探究”時，學(xué)生一開始是邊寫常規(guī)作業(yè)邊開啟數(shù)學(xué)探究活動的，但隨著探究的推進，他們開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)軟件畫圖驗證，精心推演求得垂直于體對角線的截面面積的變化規(guī)律，徒手繪制了漂亮的函數(shù)圖象，結(jié)題時還總結(jié)出收獲———“秒殺月考題”。在該探究過程中他們學(xué)到了空間中平面方程的求法，之后還用來解決線性規(guī)劃問題，成就感油然而生，探究樂趣倍增[13]。在完成課標(biāo)“案例15測量學(xué)校內(nèi)、外建筑物的高度”活動中，學(xué)生不僅創(chuàng)造性地解決了測量遠(yuǎn)處建筑物高度的問題，還總結(jié)出了獨特的解決生活中數(shù)學(xué)難題的“四維”思路，即在三維空間問題解決的基礎(chǔ)上增加了學(xué)生的元認(rèn)知，這就是創(chuàng)新[14]。在“介質(zhì)與距離對WIFI信號的影響”案例中，建模失敗的小組在結(jié)題匯報時，認(rèn)真傾聽其他小組的成功經(jīng)驗，頓悟了本組測量數(shù)據(jù)時的失誤，這都是真實、寶貴的學(xué)習(xí)經(jīng)驗。觀察發(fā)現(xiàn)，學(xué)生是容易被數(shù)學(xué)本身感染的，并能在其中心悅誠服地接受挫折，吸取經(jīng)驗教訓(xùn)，也能沉浸其中，在數(shù)學(xué)成就感的激發(fā)下克服困難，堅持探究，直至達成目標(biāo)。當(dāng)學(xué)生在結(jié)題課上驕傲地以自己的名字命名一個定理時，相信他已經(jīng)找到了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的新方法———像數(shù)學(xué)家一樣探索數(shù)學(xué)世界的奧秘，并深刻地體會到了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣所在。

3.相同范式下開展各具特色的綜合實踐活動

基本范式結(jié)構(gòu)一樣，但具體操作過程差異是很大的，這種差異是研究對象自身特點決定的。對于“介質(zhì)與距離對WIFI信號強弱的影響”和“身高與鞋碼關(guān)系問題”中的數(shù)學(xué)建模活動而言，相關(guān)聯(lián)內(nèi)容是函數(shù)，因此其研究的基本套路是：實際問題———函數(shù)模型———模型應(yīng)用。實際問題的選擇是第一步，要求學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)問題，比如有學(xué)生觀察在學(xué)校供水處同學(xué)們?nèi)∮蔑嬘盟闆r，提出研究“溫水與熱水的比例為多少時口感適合”的問題；有學(xué)生觀察校園內(nèi)拐角處被汽車剮蹭的痕跡，提出研究“校園內(nèi)轉(zhuǎn)彎處適合的汽車車速”問題等等。之后要發(fā)揮代數(shù)運算的作用，發(fā)現(xiàn)變量之間的關(guān)系，探索變量之間的函數(shù)關(guān)系。這其中重要的是應(yīng)用好函數(shù)研究的一般觀念。“用向量法研究三角形的性質(zhì)”和“正方體截面的探究”都是數(shù)學(xué)探究活動，但其一般觀念是不同的。“用向量法研究三角形的性質(zhì)”要知道研究的工具是向量，研究對象是三角形。在一般觀念指引下，從向量的視角提出問題，比如用向量的線性運算對三角形中的基本組成元素進行運算能推導(dǎo)出哪些關(guān)系？用數(shù)量積運算呢？用它們的綜合運算呢？再增加研究對象的元素，比如三角形中的中線、垂線、角平分線、重心、垂心等，再對之進行向量運算又可以得到哪些關(guān)系……“正方體截面的探究”則以立體幾何研究的一般觀念為指導(dǎo)，先研究最簡單最基本的截面———三角形，以三角形的研究為示范，其他形狀的截面可以類比進行。在研究三角形截面時，依據(jù)立體幾何研究套路進行。先研究其存在性，再研究何時存在特殊的三角形，并予以論證或者反駁。完成對形狀的研究之后，接下來研究其度量問題，即截面的面積和截面周長。依然是從一般性到特殊性展開研究，比如先研究任意一個截面面積的求法，再研究特殊截面面積的變化規(guī)律，如垂直于體對角線的截面等等。“對數(shù)的起源與應(yīng)用”中所記述的數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)要有歷史觀，要“穿越”歷史回到從前，在當(dāng)時的數(shù)學(xué)背景下學(xué)習(xí)史料，置身于當(dāng)時的社會環(huán)境中了解數(shù)學(xué)家的智慧和艱辛，從而感受數(shù)學(xué)家的偉大貢獻。用課題研究的方式開展數(shù)學(xué)綜合實踐活動程序類似，但內(nèi)涵差異大，不能機械套用。能否做好活動，起決定性作用的是“教師鉆研”的深度，這就是新的學(xué)習(xí)對象、新的教學(xué)方式對數(shù)學(xué)教師提出的挑戰(zhàn)。

4.深度體驗中做一次真實的課題研究

對比實踐效果可以發(fā)現(xiàn)，完整的、較大型的、開放的數(shù)學(xué)綜合實踐能讓學(xué)生有深刻的體驗，對學(xué)習(xí)方式改變產(chǎn)生較大的促進作用。因此建議第一次數(shù)學(xué)綜合實踐活動一定要大膽嘗試，精心設(shè)計，確保成功，對后續(xù)的綜合實踐活動形成積極效應(yīng)。例如，我們組織的一場數(shù)學(xué)建模活動的大型結(jié)題報告會震動了一個學(xué)校從校長到教師各個層面，促進了該校對課題研究的全新認(rèn)知，并由他們推動了一個市的教學(xué)理念的變革。由此可見，一個成功的開端可以掃清開展數(shù)學(xué)綜合實踐活動的所有障礙，甚至打開教學(xué)方式改革的新局面。還可以用項目學(xué)習(xí)的方式開展數(shù)學(xué)綜合實踐活動，其本質(zhì)與課題研究一致，只是加強了成果意識和評價引領(lǐng)[15]。不論哪一種方法，第一次開展數(shù)學(xué)綜合實踐活動時都是艱辛的，教師沒有經(jīng)驗，學(xué)生不會做，只能依賴教師的指導(dǎo)，無論是課上的交流研討，還是課下的自主活動，時刻需要教師給予指導(dǎo)。不過，只要完成一次，有了成功體驗，后續(xù)學(xué)生將越來越獨立，教師的組織和駕馭能力也越來越游刃有余。在課題研究過程中，師生共同成長，一起領(lǐng)略數(shù)學(xué)的風(fēng)采，可謂“教學(xué)相長”“不亦樂乎”。

作者:薛紅霞 單位:山西省教育科學(xué)研究院