高中數學綜合實踐教學分析

序論：好文章的創作是一個不斷探索和完善的過程，我們為您推薦一篇高中數學綜合實踐教學分析范例，希望它們能助您一臂之力，提升您的閱讀品質，帶來更深刻的閱讀感受。

在2017年版普通高中數學課程標準設計的數學課程結構中，將“數學建模活動與數學探究活動”[1]與其他內容并列成為四條主線之一，“數學文化融入課程內容之中”，并在課時、內容要求、教學提示及學業要求等方面都給出了具體的建議或要求，人民教育出版社出版的普通高中數學（A版）教科書據此分別編寫了2個數學建模活動、2個數學探究活動、5個選學內容。課標指出，“數學建摸活動是基于數學思維運用模型解決實際問題的一類綜合實踐活動”，而“數學探究活動是運用數學知識解決數學問題的一類綜合實踐活動”[2]。課標和教科書都建議用課題研究的形式開展綜合實踐活動，在踐行中將重新定義普通高中數學教與學的方式。

一、數學綜合實踐活動相關概念

1.數學建模活動

廣義的數學建模活動包括高中數學教學中遇到的所有此類活動，典型代表是“4.2.1指數函數的概念”“5.6函數y＝Asin（ωx＋φ）”。狹義的數學建模活動僅僅指課標中有課時安排、教科書中編寫的3個數學建模活動，即必修第一冊162頁的“數學建模建立函數模型解決實際問題”、選擇性必修第三冊141頁的“數學建模建立統計模型進行預測”、必修第二冊218頁“9.3公司員工的肥胖情況調查分析”。上述兩類建模活動的實施辦法、目標是有差異的：廣義數學建模活動解決的實際問題是教科書中給出的，建模的過程是在教師設計的問題指引下進行的，知識目標是確定的；狹義數學建模活動的實際情境選擇更加多樣，過程更加開放，模型的抽象更加復雜，學生活動自主性更強，知識目標弱化，重在用數學方法構建模型，解決實際問題，積累活動經驗。換言之，廣義數學建模活動是一個與既定目標無偏差的良構活動，而狹義數學建模活動是圍繞既定目標全開放的探索活動。

2.數學探究活動

數學探究活動也有廣義和狹義之分。就廣義而言，在高中數學內容中有很多是可以用數學探究的方式學習的，比如“6.4.3余弦定理、正弦定理”“直線與平面垂直的性質定理”[3]，甚至還有不足一課時的探究內容，比如“不等式的性質”“雙曲線的定義”等等，體現了數學的一般觀念[4]。就狹義而言，數學探究活動特指必修第二冊63頁“數學探究用向量法研究三角形的性質”、選擇性必修第三冊39頁“數學探究楊輝三角的性質與應用”。數學探究與數學探究活動、廣義和狹義的數學探究活動之間的關系與“數學建模與數學探究活動”中的分析類似。3.文獻閱讀與數學寫作“文獻閱讀與數學寫作”是教科書中設置的選學內容，共有5個，比如必修第一冊97頁“函數的形成與發展”等。教科書中給出了“目標”“主題”“實施建議”“參考選題”“文獻綜述的結構”等。實施的建議是：選題，分組，分配任務，收集資料，素材匯總，交流討論等。具體實踐時依然可以參照課題研究的方式進行。“文獻閱讀與數學寫作”是集中體現“數學文化”的載體，有助于學生系統了解數學發展史，理解數學，提升科學思維。

二、高中數學綜合實踐活動的開展

1.以課題研究開展數學綜合實踐活動的基本范式

基于教學實踐探索，我們提煉了基本范式，其結構是相同的，但由于三種活動各自教學內容不同，所以也有差異。為了清晰表達，也為了方便閱讀，分別用3個圖表示三種綜合實踐活動的基本范式。其中“教師鉆研”是教師備課環節。“示范……”對應課題的開題環節，之后是學生先體驗，嘗試開展課題研究；“中期交流”是學生之間進行思維碰撞，交流心得經驗，并由教師指導課題研究的思路、方法，通過這個環節，學生更加理解課題研究“做什么”“怎么做”，之后繼續完成課題研究；“結題報告”是展示交流課題研究成果，并進一步升華對研究對象的理解，之后完善成果，完成本課題的研究工作。

2.比較中理解數學綜合實踐活動的基本范式

（1）分散課時，重新定義教與學

①重新定義課上、課下的功能。課題研究不同于大家熟悉的教學方法。“示范……”環節在課上進行，教師講解，并由學生初步確定選題。之后的“中期交流”“結題報告”環節也都在課上進行，以學生展示交流、質疑問難為主，教師予以點撥指導。至于課下“自主……”環節，則個體研究與團隊合作并行。課上、課下的工作是按照研究對象的邏輯順序連續推進、逐步深入的，并非重復訓練。課上完成需要交流碰撞的、方法方向探討的、思維層面的工作，課下完成個體獨立鉆研、小組合作研究的任務。②重新定義課時的使用。課時的使用方式與傳統教學有著本質的不同。“數學建模活動與數學探究活動”在必修部分課標建議課時是6課時，在選擇性必修部分建議課時是4課時。教師教學用書中每個“文獻閱讀與數學寫作”的建議課時是1課時。不論課時多少，其使用方法都不同于傳統：要分散使用。換言之，即“示范……”“中期交流”“結題報告”不能連起來上。比如，在做數學探究活動“用向量法研究三角形的性質”時，4月3日開題，之后留給學生一周的時間進行個體自主探究，小組內部以及組與組之間進行交流，教師隨時予以幫助。4月10日進行“中期交流”，4月29日“結題報告”[5]。從“中期交流”到“結題報告”之間之所以間隔這么久，是因為在“中期交流”中學生提出的探究問題涉及到教師之前沒有預想到的知識，師生都需要進一步學習。此外，學生還需要將其他小組展示的研究成果進行梳理、理解，互相借鑒、融合，形成一個完整的研究報告。這些工作都是在課余時間進行的，所以整體跨度比較長。期間教師予以關注、督促、指導，并根據進展情況確定結題時間。數學綜合實踐活動課不能因下課鈴聲而終止，要創造條件讓學生盡情交流研討，確保課下有效的探索研究，確保課題研究過程要真實、思維有深度、成果能創新、熱情會提升。③重新定義學習的物理空間。數學綜合實踐的課堂也需要突破傳統課堂的物理空間。在學生自主做課題環節，因研究對象不同需要匹配不同的物理空間。比如，完成數學建模活動“介質與距離對WIFI信號強弱的影響”，就需要到操場進行測量收集數據[6]。課標中所給“案例15測量學校內、外建筑物的高度”需要走出校園收集數據。完成文獻閱讀與數學寫作，學生需要大量查閱資料。結題報告活動，可以在自己班級進行，還可以擴大范圍，增進交流，比如，開展全校評比活動，因此需要在學校的報告廳舉行。數學綜合實踐活動拓展了學生的學習空間，根據活動內容選取適當的空間，保障課題研究的順利進行。

（2）轉變角色，教師成為導師

在基本范式中教師的工作分三段：備課鉆研，主導開題，指導做題。不同于傳統教學，在課題研究過程中，教師更重要的工作是對學生的指導，包括組建團隊、選題的指導，學生課下自主開展的課題研究活動，以及課上展示交流。數學綜合實踐活動的備課對教師提出新的挑戰，教師要先自己親自體驗。做設計的過程就是教師自己開展課題研究的過程，并將自己的經驗提煉概括用于指導學生，因此需要較長時間，即使對于常規教學經驗豐富的教師也是如此。比如在“用向量法研究三角形的性質”時，教師前期備課寫出了約2萬字的內容，包括從最基本、最核心的三角形閉合回路向量表達式出發，用向量的不同運算方法探索性質，再基于所得結論，綜合運用向量方法繼續探索的全過程，獲得結論30余條，從學生最熟悉的三角形中線交于一點到梅涅勞斯定理等，構建了它們之間的關系結構圖，整體上把握了該數學探究，做到了完全可以俯瞰學生數學探究[7]。“對數的起源與應用”雖然是一課時的教學內容，但備課歷時卻是比較長的，主要用于學習、甄選、處理史料等[8]。數學綜合實踐活動的過程中，教師對學生的指導是綜合性、全方位的。在數學建模活動的開題課上，要指導學生用數學的眼光觀察世界，開闊思路，確定選題；在數學探究活動的開題課上，要幫助學生明確研究對象的一般觀念，在其指引下發現和提出問題，推進研究；在文獻閱讀與數學寫作的開題課上，要指導學生學會閱讀文獻，確定寫作主題。與常規的輔導作業相比，在數學綜合實踐活動過程中教師遇到的問題更豐富、更具挑戰性。要幫助學生選題[9]；要指導學生收集數據[10]，評判學生所選模型的合理性；要親自演算，了解學生探究的思路，判斷其研究方向的可行性[11]；要在數學歷史當年的背景下理解數學史料等等[12]。教師還要解決學生思想認識方面的各種問題。有的學生認為做數學綜合實踐活動不如刷題有效，有的學生遇到困難就要放棄等等，都需要教師予以指導，需要教師鼓勵其完成活動，收獲成就感，從根本上解決認識問題。

（3）轉換身份，學生變身數學家

在數學綜合實踐活動中，學生的學習方式發生了徹底的改變。不僅僅是聽課做作業，而是自己觀察、發現值得研究的問題，并分析、解決問題；學習的特點不僅僅是模仿，更重要的是自主探索；不僅僅是汲取，還要分享貢獻自己的智慧；不僅僅是個體學習，更需要團隊的合作；不僅僅是做對答案，更重要的是有自己的創造。對于數學綜合實踐活動，一開始學生不適應，但只要他們被吸引進去，其韌性和創造力都是超乎預料的，這就是數學本身的魅力所在。要吸引學生，關鍵是要做真實、完整的數學綜合實踐活動。在“用向量法研究三角形的性質”中，學生一開始只是通過各種渠道收集羅列結論，在老師的指導下，他們轉變方式，開始探究；探究過程中，學生幾次推導失敗，但在老師的鼓勵下，獨立推導出了塞瓦定理；學生還借助技術進行猜想，得到“奔馳定理”的一般形式。在完成課標“案例11正方體截面的探究”時，學生一開始是邊寫常規作業邊開啟數學探究活動的，但隨著探究的推進，他們開始學習數學軟件畫圖驗證，精心推演求得垂直于體對角線的截面面積的變化規律，徒手繪制了漂亮的函數圖象，結題時還總結出收獲———“秒殺月考題”。在該探究過程中他們學到了空間中平面方程的求法，之后還用來解決線性規劃問題，成就感油然而生，探究樂趣倍增[13]。在完成課標“案例15測量學校內、外建筑物的高度”活動中，學生不僅創造性地解決了測量遠處建筑物高度的問題，還總結出了獨特的解決生活中數學難題的“四維”思路，即在三維空間問題解決的基礎上增加了學生的元認知，這就是創新[14]。在“介質與距離對WIFI信號的影響”案例中，建模失敗的小組在結題匯報時，認真傾聽其他小組的成功經驗，頓悟了本組測量數據時的失誤，這都是真實、寶貴的學習經驗。觀察發現，學生是容易被數學本身感染的，并能在其中心悅誠服地接受挫折，吸取經驗教訓，也能沉浸其中，在數學成就感的激發下克服困難，堅持探究，直至達成目標。當學生在結題課上驕傲地以自己的名字命名一個定理時，相信他已經找到了學習數學的新方法———像數學家一樣探索數學世界的奧秘，并深刻地體會到了學習數學的樂趣所在。

3.相同范式下開展各具特色的綜合實踐活動

基本范式結構一樣，但具體操作過程差異是很大的，這種差異是研究對象自身特點決定的。對于“介質與距離對WIFI信號強弱的影響”和“身高與鞋碼關系問題”中的數學建模活動而言，相關聯內容是函數，因此其研究的基本套路是：實際問題———函數模型———模型應用。實際問題的選擇是第一步，要求學生用數學的眼光發現問題，比如有學生觀察在學校供水處同學們取用飲用水情況，提出研究“溫水與熱水的比例為多少時口感適合”的問題；有學生觀察校園內拐角處被汽車剮蹭的痕跡，提出研究“校園內轉彎處適合的汽車車速”問題等等。之后要發揮代數運算的作用，發現變量之間的關系，探索變量之間的函數關系。這其中重要的是應用好函數研究的一般觀念。“用向量法研究三角形的性質”和“正方體截面的探究”都是數學探究活動，但其一般觀念是不同的。“用向量法研究三角形的性質”要知道研究的工具是向量，研究對象是三角形。在一般觀念指引下，從向量的視角提出問題，比如用向量的線性運算對三角形中的基本組成元素進行運算能推導出哪些關系？用數量積運算呢？用它們的綜合運算呢？再增加研究對象的元素，比如三角形中的中線、垂線、角平分線、重心、垂心等，再對之進行向量運算又可以得到哪些關系……“正方體截面的探究”則以立體幾何研究的一般觀念為指導，先研究最簡單最基本的截面———三角形，以三角形的研究為示范，其他形狀的截面可以類比進行。在研究三角形截面時，依據立體幾何研究套路進行。先研究其存在性，再研究何時存在特殊的三角形，并予以論證或者反駁。完成對形狀的研究之后，接下來研究其度量問題，即截面的面積和截面周長。依然是從一般性到特殊性展開研究，比如先研究任意一個截面面積的求法，再研究特殊截面面積的變化規律，如垂直于體對角線的截面等等。“對數的起源與應用”中所記述的數學文化的學習要有歷史觀，要“穿越”歷史回到從前，在當時的數學背景下學習史料，置身于當時的社會環境中了解數學家的智慧和艱辛，從而感受數學家的偉大貢獻。用課題研究的方式開展數學綜合實踐活動程序類似，但內涵差異大，不能機械套用。能否做好活動，起決定性作用的是“教師鉆研”的深度，這就是新的學習對象、新的教學方式對數學教師提出的挑戰。

4.深度體驗中做一次真實的課題研究

對比實踐效果可以發現，完整的、較大型的、開放的數學綜合實踐能讓學生有深刻的體驗，對學習方式改變產生較大的促進作用。因此建議第一次數學綜合實踐活動一定要大膽嘗試，精心設計，確保成功，對后續的綜合實踐活動形成積極效應。例如，我們組織的一場數學建模活動的大型結題報告會震動了一個學校從校長到教師各個層面，促進了該校對課題研究的全新認知，并由他們推動了一個市的教學理念的變革。由此可見，一個成功的開端可以掃清開展數學綜合實踐活動的所有障礙，甚至打開教學方式改革的新局面。還可以用項目學習的方式開展數學綜合實踐活動，其本質與課題研究一致，只是加強了成果意識和評價引領[15]。不論哪一種方法，第一次開展數學綜合實踐活動時都是艱辛的，教師沒有經驗，學生不會做，只能依賴教師的指導，無論是課上的交流研討，還是課下的自主活動，時刻需要教師給予指導。不過，只要完成一次，有了成功體驗，后續學生將越來越獨立，教師的組織和駕馭能力也越來越游刃有余。在課題研究過程中，師生共同成長，一起領略數學的風采，可謂“教學相長”“不亦樂乎”。

作者:薛紅霞 單位:山西省教育科學研究院